ആരങ്ങളുടെ അംശബന്ധം
>> Wednesday, November 18, 2009
എട്ടാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം പുതിയ മാതൃകയിലുള്ളതായതിനാലാണ് നമ്മള്‍ എട്ടിന് മുന്‍ഗണന കൊടുത്തത്. പത്താം ക്ലാസിലെ ഒരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് ആവശ്യപ്പെട്ടു കൊണ്ട് നിരവധി മെയിലുകള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് ലഭിച്ചിരുന്നു. ഇതാ പത്താം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളില്‍ നിന്ന് ഒരു തുടര്‍ പ്രവര്‍ത്തനം. ഇത് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു നല്ല അസൈന്‍മെന്റ് ആണെന്ന് കരുതുന്നു. മുകളില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ചിത്രം നോക്കുക. AB വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവും (diameter)CD വ്യാസത്തിന് ലംബമായ ഞാണുമാണ് (chord). ഇവ P യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. CD=8യൂണിറ്റായാല്‍ ഷേയ്ഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് (area) എത്ര? ഒരു ചോദ്യം കൂടിത്തരാം. PB വ്യാസമായ വൃത്തം AP വ്യാസമായ വൃത്തം AB വ്യാസമായ വൃത്തം എന്നിങ്ങനെ മൂന്നു വൃത്തങ്ങളുണ്ടല്ലോ. ഇവയില്‍ AP വ്യാസമായ വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഷേയ്ഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവിന് തുല്യമായാല്‍ മൂന്ന് വൃത്തങ്ങളുടേയും ആരങ്ങള്‍ (radii)തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം (ratio)എത്രയായിരിക്കും.
ശരിയുത്തരം അടുത്ത ബുധനാഴ്ച പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു. അതിനു മുന്‍പേ ആരെല്ലാം ഏതെല്ലാം രീതിയില്‍ ഈ പ്രശ്നത്തെ സമീപിക്കുന്നുവെന്നു നോക്കാം.
35 comments:
സുപ്രഭാതം
ഗീത
ഈ അപ്ലെറ്റ് ഒന്നു കാണൂ....
എനിക്ക് ഈ പോസ്റ്റിനു നല്‍കാന്‍ ഇതുമാത്രമേയുള്ളൂ.....
മുരളിമാഷിനു നന്ദി!
ഗീത
Let O be the centre of the biggest circle & the distance OP=x
also let r be the radius of the circle
then r+x is the diameter of medium circle & r-x is the diameter of small circle
Required area =pie*r*r-(pie*(r+x)/2*(r+x)/2)- pie*(r-x)/2*(r-x)/2
=pie*r*r-pie/4*(2r*r+2x*x)
=1/2*pie(r*r-x*x)
=1/2*pie*16
=8pie
correction:CD is perpendicular to AB only. it is stated that CD is perpendicular to the circle.pl correct it
rest in next.
Thakyou Vijayan sir. I told Nizar sir just now. I think it is a typing mistake
I refered the hand written material . Correct in the manuscript
John
AP*PB=CP^2
let x be the diametre of the rt circle and (8-x) be the diametre of lt circle.
then (8-x)*x= 4^2
X^2-8X-16=0
SOLVING WE GET
x=4
then the area 0f Shaded portion= 16pi-4pi-4pi=8pi
തെറ്റ് ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതിനു നന്ദി ജോണ്‍ സാര്‍, വിജയന്‍സാര്‍
തിരുത്തി!
AB diameter of Big circle.
AP diameter of medium circle.
PB diameter of small circle.
AP*PB=CD^2 ie 16
AP
Let PB = x Then AP = 16/x
Radius of small circle PB/2 =x/2
Area = pie x^2/4
Radius of medium circle 8/x
Area = pie 64/x^2
AB = AP+PB
=16/x+x ie (16+x^2)/x
AB/2 = (16+x^2)/2x
Area of Big Circle = pie[(16+x^2)/2x]^2
ie (x^2/4)pie+8pie+(64/x^2)pie
Area of the shaded portion = (x^2/4)pie+8pie+(64/x^2)pie -(x^2/4)pie-(64/x^2)pie
=8pie.
Again it is given that area of medium circle is equal to area of shaded portion.
(64/x^2) pie = 8pie
solving this we get x=root 8
then the ratio of radies 1:2:3
bhama
there are three circles
let the radius of small be a
next one b
and big one c
APXPB=PC X PC
2b*2a=16
b*a=4 (1)
Again
2a+2b=2c
a+b=c (2)
Area of the shaded portion=pie[ csquare-(bsquare+asquare)] (3)
from (1) & (2) we get asquare+bsquare=csquare-8.. giving this value in(3) we get Area=8 pie
since pie b square=8pie..b=root8=2root2
giving this value in (1)..we get a=root2
again by (3) c=3root2
therefore the areas are in the ratio 1:2:3
thomas
The answer that is going to publish on friday is exactly same as what thomas sir did.Whenever I give this problem the answer in mind is this only. Thank you for all approaches.Thanks to Bhama tr,Murali sir.Vijayan sir,and thomas sir
John
SINCE CD IS PERPENTICULAR TO AB CP=PD
AP.PB =CP.CP
AP.PB = 16
8 X 2 = 16
16 X 1 = 16
4 X 4 = 16
THE ONLY POSSIBLE CHANCE IS AP = 8 AND PB=2
AB= AP+ PB
= 8 + 2
= 10
AREA OF THE SHADED PORTION
= 25 PIE -(16 PIE + PIE)
= 25 PIE-17 PIE
= 8 PIE
2nd part
pie{(r+x)/2}*(r+x)/2=8pie
ie (r+x)*(r+x)=32
r+x=4*root2
since r*r-x*x=16,
r-x=16/4root2
ie r-x=2root2
it follows that
r=3root2, x=root2
therefore ratio is 1:2:3
{(r-x)/2:(r+x)/2:r}
Hitler gathered 1000 soldiers, numbered them 1 to 1000 and made them stand in a circle so that the soldiers numbered 1-2-3-4-.... -999-1000- 1 form a circle. He handed a sword to soldier number 1 , who kills soldier number 2 and hands over the sword to soldier number 3, who kills soldier number 4 and hands over the sword to soldier number 5 and so on .... The process is repeated through the circle on and on till only one soldier is alive, who is made the commander of the army.
If you were one of these 1000 soldiers, which soldier number would you wish you were ?
ഒരു കിടിലന്‍ സാധനവുമായി അസീസ് മാഷ് തിരിച്ചെത്തിയല്ലോ..?മാഷേ, ഇങ്ങനെയുള്ള വഹകള്‍ പോസ്റ്റായി വന്നാല്‍ കൂടുതല്‍ നന്നാവും, ഇല്ലേ..?
എന്തായാലും ഇതൊന്ന് മലയാളത്തിലാക്കട്ടെ, ....
1000 പട്ടാളക്കാരെ ഹിറ്റ്ലര്‍ 1,2,3,....999,1000 എന്നക്രമത്തില്‍ ഒരു വൃത്താകൃതിയില്‍ നിരത്തി നിറുത്തി.ഒന്നാമത്തെ പട്ടാളക്കാരന്റെ കയ്യില്‍ ഒരു വാള്‍ കൊടുത്ത് രണ്ടാമത്തെയാളെ കൊന്നതിനുശേഷം വാള്‍ മൂന്നാമനു കൈമാറാന്‍ ആജ്ഞാപിച്ചു.മൂന്നാമന്‍, നാലാമനെ കൊന്ന് അഞ്ചാമനു കൈമാറണം. അങ്ങിനെ ഒരാള്‍ മാത്രം അവശേഷിക്കുമ്പോള്‍ അയാളെ മുഖ്യ സൈന്യാധിപനാക്കും!
നിങ്ങള്‍ ഈ സംഘത്തിലുണ്ടെങ്കില്‍, എത്രാമനാകാനാണിഷ്ടം?
എന്താ, എന്റെ മലയാളത്തിനു കുഴപ്പം വല്ലതും...?
ഗീത
'കല'യില്‍ കമന്റു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുന്നില്ലോ, ഹരി നിസാര്‍ മാഷന്മാരേ...
പോത്തന്‍കോട് ദിവാകരന്‍.
let us start firing?
today there will be a firing in our school. i will ask 1000 children to stand in the groud and start firing with my gun.
any way i like the number 9. will u accept/
nice qn to teach progression.
A banana plantation is located next to a desert. The plantation owner has 3000 bananas that he wants to transport to the market by camel, across a 1000 kilometre stretch of desert. The owner has only one camel, which carries a maximum of 1000 bananas at any moment in time, and eats one banana every kilometre it travels. What is the largest number of bananas that can be delivered at the market?
@പോത്തന്‍കോട്...
'കല'യിലെ കമന്റ് റെഡിയാക്കിയിട്ടുണ്ട്
നന്ദി
where are u azees from camels ?
THE GOOD POSITION IS 977. it is a good qn in the beginning stage of AP with 2,4,8,16,32,64,256 as Common Difference.
yesterday soldier 1000
today camel 1000kg
tomorrow 1000 what ?
About the anoni...comment
A good number of circles can be drawn with CD=8 chord..
it is interesting to see that in all cases the area of shaded portion remain same 8pie..am i rt sirs..
thank u anoni..
thomas
It is a good generalization Thomas sir'It leads to the dynamic nature of geometric concept.The answer to the second part is possible in a perticular case only. Thak you
There are 1000 bulbs in a room numbered 1 to 1000 , also there are 1000 people numbered 1 to 1000 .
now each person goes to the room at random once and toggles the bulb switch , he will toggle all those bulbs which are its multiple .
toggling a bulb means , changing its state from off to on or on to off .
for example if person numbered 150 goes to room , he will toggle bulbs 150 , 300 , 450 , 600, 750 , 900 as these are its multiple .
consider all the bulbs are off at the start , and each person goes exactly once to the room .
NOW what will be the state at the end , which bulbs will be on and which will be off .
അസീസ്മാഷേ...
ആലോചിച്ച് തല പുകച്ചിട്ടും ഒരെത്തും പിടിയും കിട്ടണില്ലല്ലോ, നിങ്ങളുടെ ഈ ബള്‍ബ് കണക്ക്..!
ഉത്തരത്തിന് എളുപ്പവഴി കാണുമായിരിക്കും, അല്ലേ?
എനിക്കാകെ ഇവിടെ ചെയ്യാവുന്നത് എനിക്കു മനസ്സിലായത് പോലെ, ഇതൊന്ന് മലയാളീകരിക്കലാണ്. തെറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ ആര്‍ക്കും തിരുത്താം.
ഒരു വലിയ ഹാളില്‍ ആയിരം ബള്‍ബുകളുണ്ട്. ആയിരം ആളുകളുമുണ്ട്. ഓരോ ബള്‍ബുകള്‍ക്കും ആളുകള്‍ക്കും 1 മുതല്‍ 1000 വരെ നമ്പര്‍ കൊടുക്കാം. ഓരോരുത്തരും തോന്നിയപോലെ (ക്രമത്തിലല്ലാതെ) ഹാളിലെത്തി അവനവന്റെ നമ്പറിന്റെ എല്ലാ ഗുണിതത്തിന്റേയും സ്വിച്ച് അമര്‍ത്തും (ഓണ്‍ ആണെങ്കില്‍ ഓഫ്, ഓഫ് ആണെങ്കില്‍ ഓണ്‍). ഉദാഹരണത്തിന്, 150 എന്ന വ്യക്തി പോയി 150,300,450,600,750.900 എന്നീ ബള്‍ബുകളുടെ സ്വിച്ചുകള്‍ അമര്‍ത്തും. എല്ലാ സ്വിച്ചുകളും ആദ്യം ഓഫായിരുന്നു. ഓരോരുത്തരും ഓരോ പ്രാവശ്യം മാത്രം ഹാളില്‍ പോയി വന്നാല്‍, അവസാനം ഏതൊക്കെ സ്വിച്ചുകള്‍ ഓണ്‍, ഏതൊക്കെ ഓഫ്?
ഉത്തരത്തിനായി കാത്തിരിക്കുന്നു.
ഗീത
to transalate is better than thinking the puzzle .wait...wait...so many thousand bulbs, soldiers, bananas,camels are ready to import from qatre.
soldier problem
977 is the best position for me
bulb problem
all the perfect squares are on and others are off
am i correct
bhama
AP*PB=PCsquare
AP*PB=4square
=16
AP+PB=AB
Area of shaded part =Π(ABsquare-AP square-PBsquare)/4
= Π {(AP+PB)square-APsquare-PBsquare}/4
=Π{APsquare+2AP*PB+PBsquare-AP square-PAsquare)}/4
=Π{2AP*PB}/4
=Π2AP*PB/4
=Π2*16/4
= 8Π
Given that Area of circle with Diameter AP = Area of shaded part
Therefore ΠAPSqure/4 = 8Π
APSqure/4 = 8
APSqure = 32
ie AP=4Root2
PB=2Root2
AB =4Root2+2Root2
=6 Root2
Therefore ratio of their radius =1:2:3
AP*PB=PCsquare
AP*PB=4square
=16
AP+PB=AB
Area of shaded part =Π(ABsquare-AP square-PBsquare)/4
= Π {(AP+PB)square-APsquare-PBsquare}/4
=Π{APsquare+2AP*PB+PBsquare-AP square-PAsquare)}/4
=Π{2AP*PB}/4
=Π2AP*PB/4
=Π2*16/4
= 8Π
Given that Area of circle with Diameter AP = Area of shaded part
Therefore ΠAPSqure/4 = 8Π
APSqure/4 = 8
APSqure = 32
ie AP=4Root2
PB=2Root2
AB =4Root2+2Root2
=6 Root2
Therefore ratio of their radius =1:2:3
about azeez'sir bulb problm
the switches whose no is a perfect square are swithed on Other switches are in off position
click
heaven... good answer..
to bulb problem i got the same answer.of murali sir.and bhama tr.
thomas
@John Sir,
മൂന്നാമത്തെ ചോദ്യത്തിത്‍ ചിത്രം തന്നിട്ടില്ല
q no7 എതിര്‍ വശങ്ങളുടെ നീളമാണോ തുല്ല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കേണ്ടത്
ശ്രമിച്ചു നോക്കട്ടെ
ഭാമ
@ john sir
രണ്ടാമത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ യോജിച്ച ഉത്തരം ഇത് വരെ കിട്ടിയില്ല..
അന്‍ചാമത്തെ ചോദ്യം construction ലൂടെയാണ് ചെയ്ചത്..
ആറാമത്തെ ചെദ്യത്തിന് വ്രുത്തത്തിമ്റെ കേന്രം locate ചെയ്യാന്‍ കഴിഞില്ല..
പത്താമത്തെ ചോദ്യം x-y==z എന്നല്ലെ വേണ്ടത്
പോതുവെ...A+
thomas
Dear Thomas sir
Q (2)
Draw regular hexegon ABCDEF. Join DB
Draw a line parallel to DD through C
Extent AB meet parallel line at G.Extent ED which meet Parallel line at H
Join AE
AEGH HAS AREA EQUAL TO HEXEGON
It is a rectangle.Now we can construct square whose area equal to rectangle using CO in circles. PA*PB = PCsquare
Q5
s= 150 A= 1500 root 7 by Hero formula
r= A/S
r = 10 root 7 < 10 root9
solved
Q6)
using pythagorus th,l= 13
proceeding like Q5 we get radius pf the sphere
last question,You are right.mistake in Qn
Post a Comment