ചന്ദ്രികയും പൈതഗോറസും

മുന്‍പൊരിക്കല്‍, സമചതുരത്തിന്റേയും ചന്ദ്രികയുടേയും പരപ്പളവ് തുല്യമെന്ന് തെളിയിക്കാമോയെന്ന ചോദ്യവുമായി വന്ന പോസ്റ്റ് ഓര്‍മ്മയിലുണ്ടോ?നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ വടകരയിലെ വിജയന്‍സാറിന്റെ ആദ്യ പോസ്റ്റുകളിലൊന്നായിരുന്നൂ അത്. ജോണ്‍ സാറും ഭാമടീച്ചറുമടക്കം ഒരുപാട് പേര്‍ അത് തെളിയിക്കുകയും നാമത് ഒരു പോസ്റ്റിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തതാണ്. എന്നാല്‍, പൈതഗോറിയന്‍ പ്രിപ്പോസിഷനിലൂടെ (Pythagorian preposition)ഒരു വ്യത്യസ്ത തെളിവുമായി രംഗത്തെത്തിയിരിക്കുകയാണ് വിജയന്‍ സാര്‍....

ചിത്രം 1 ലെ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണത്തിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തം, ആ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

ചിത്രം 1

വലിയ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ മറുവശത്തേക്കു മാറ്റിയാല്‍ നമുക്കു ലഭിക്കുന്ന രണ്ടു ചന്ദ്രികകളും കൂടിയാല്‍ ത്രികോണത്തിനു തുല്യമായി (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2

ത്രികോണം സമപാര്‍ശ്വമായാല്‍ ഓരോ ചന്ദ്രികയും അതിനു തുല്യമായി വരും (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3

ചിത്രം 4

ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണത്തില്‍ നിന്നും സമചതുരമുണ്ടാക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ? (ചിത്രം 5).

ചിത്രം 5

അതുകൊണ്ട് ചന്ദ്രികയുടെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കല്‍ ജ്യാമിതീയ രീതിയില്‍ സാദ്ധ്യമാണെന്നു തെളിഞ്ഞു.

സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ് = π/4*√2x*√2x= π/2 x²
സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ് = π/2*x*x=π/2 x²
AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് = ∆AMN ന്റെ പരപ്പളവ് + സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ്
= x²+π/2 x²
ചന്ദ്രികയുടെ പരപ്പളവ് = AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് - സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ്
= (x²+π/2 x²)- π/2 x²
= x²
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും x²ആയതിനാല്‍, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെട്ടു.