കടങ്കഥ: പുല്‍ത്തകിടിയുടെ വിസ്തീര്‍ണം എത്ര?
>> Wednesday, February 17, 2010
ഖത്തറിലെ അസീസ് മാഷ് പസിലുകളുടെ തോഴനാണെന്ന് ഇതിനോടകം നിങ്ങള്‍ക്കേവര്‍ക്കും അറിയാനാകും. കോഴിക്കോട്ടെ വിജയന്‍ മാഷിന്റെ ശിഷ്യനായതു കൊണ്ടായിരിക്കാം അദ്ദേഹത്തിന് പസിലുകളോട് ഇത്രയേറെ ഒരു അഭിനിവേശം വരാന്‍ കാരണമായത്. ഡല്‍ഹിയില്‍ ഉള്ള അനുജ് പന്‍വാറിനെ കമന്റ് ബോക്സിലേക്കെത്തിച്ചത് അസീസ് സാറാണ്. അനുജിന് മലയാളം അറിയില്ല. അതുകൊണ്ട് തന്നെ കമന്റ് ബോക്സില്‍ ഇടുന്ന പസിലുകളുടെ പസിലുകള്‍ മലയാളത്തിലും ഇംഗ്ലീഷിലും നല്‍കിയാല്‍ നന്നായിരിക്കും. മാത്രമല്ല, നമ്മുടെ ട്വിറ്റര്‍ അക്കൊണ്ട് വഴി ബ്ലോഗിലേക്കെത്തുന്ന വിദേശ ഗണിതസ്നേഹികള്‍ ഇതേ പരാതി ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയിരുന്നു. പസിലുകള്‍ ഇംഗ്ലീഷ് ആകുന്നതില്‍ കുട്ടികളടക്കമുള്ള പലര്‍ക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതിനാല്‍ മലയാളവും നമുക്കാവശ്യമുണ്ട്. അതുകൊണ്ട് കഴിയുമെങ്കില്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ ഇംഗ്ലീഷിലും മലയാളത്തിലും നല്‍കാന്‍ ശ്രമിക്കണമെന്ന് അഭ്യര്‍ത്ഥിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ മലയാളം ടൈപ്പ് ചെയ്യാനറിയാത്തവര്‍ക്ക് സധൈര്യം ഇംഗ്ലീഷ് മാത്രം ഉപയോഗിക്കാം. അധികം നീട്ടാതെ ഇന്നത്തെ പസിലിലേക്ക് കടക്കാം. ഒരു കൃഷിസ്ഥലവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പസില്‍ ആണിത്.
ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഒരു കൃഷി സ്ഥലത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ 10 മീറ്റര്‍, 17 മീറ്റര്‍, 21 മീറ്റര്‍ എന്നിങ്ങനെയാണ്. ഇതിനകത്ത് സമചതുരാകൃതിയില്‍ കുറച്ച് സ്ഥലത്ത് പുല്‍ത്തകിടി നിര്‍മ്മിക്കണം. പുല്‍ത്തകിടിയുടെ ഒരു വശം ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതു പോലെ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തായിരിക്കും. എതിര്‍മൂലകള്‍ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളെ തൊട്ടു നില്‍ക്കുന്നു. ഇത്തരം ഒരു പുല്‍ത്തകിടിയില്‍ എത്ര ചതുരശ്രമീറ്റര്‍ പുല്ലുണ്ടായിരിക്കും?
കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് തരത്തിലെങ്കിലും ഈ പ്രശ്നം നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാന്‍ കഴിയും. ഹൈസ്ക്കൂള്‍ ക്ലാസുകളിലേക്ക് നല്ലൊരു പസില്‍ അധിഷ്ഠിത പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി ഈ പ്രശ്നം അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതേയുള്ളു. ആരാണ് ഈ പ്രശ്നത്തിന് ആദ്യം ഉത്തരം നല്‍കുന്നതെന്ന് നോക്കാം.
31 comments:
ENGLISH VERSION OF THE PUZZLE
A triangular FIELD has sides 10 m, 17m, and 21m. A square shaped lawn made in the field. One side of the lawn lies on the longest side of the triangle. The other two vertices of the lawn touch the two shorter sides of the triangle. What is the length of the side of the lawn?
let AT be the altitude from A to BC
since the area of triangle is 84, AT=8
BT=6, CT=15
Let x be the side of the square
since ATB, PRB are similar BR=6x/8
lllrly since ATC, QSC are similar SC=15x/8
since BC=21
6x/8+15x/8 +x =21
x=21*8/29
area of square =168*168/941
et AT be the altitude from A to BC
since the area of triangle is 84, AT=8
BT=6, CT=15
Let x be the side of the square
since ATB, PRB are similar BR=6x/8
lllrly since ATC, QSC are similar SC=15x/8
since BC=21
6x/8+15x/8 +x =21
x=21*8/29
area of square =168*168/841
This puzzle appeared here a long time back. That time, the puzzle was to find the side of the rectangle. See chapter 4 of this document for the solutions using geometry, trigonometry and analytical geometry.
By the way,
side = 168/29 = 5.7931...
area = 28224/841 = 33.56...
സമാനമായ മറ്റൊരു പ്രശ്ലം .................
ത്രികോണം ABC യുടെ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r ആണ്.അന്തര്‍വൃത്തം ഒരു വശത്തെ സ്പര്‍ശിക്കുന്വോള്‍ ആ വശം a ,b എന്നീ നീളമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകുന്നു.
a ,b, r എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ ണ്ണം കാണുക
ENGLISH VERSION
The radius of the incircle of a triangle is “r “ .The incircle touches one side and divides that side as “a” and “b” in length
Express the area of the triangle in terms of “a” ,”b” and “r”
Let the three sides be a,b,c then
Area = [s(s-a)(s-b)(s-c)]^1/2
Here a=10m, b=17m and c=21m
S=(a+b+c)/2=(10+17+21)/2=48/2=24
s-a=24-10=14
s-b=24-17=7
s-c=24-21=3
There fore A=[24(14)(7)(3)]^1/2
A=[2x2x2x3x2x7x7x3]^1/2
A=2x2x3x7=84sq.m
Now draw a perpendicular AD of length ‘h’ on to the side 21m
Area of a triangle =1/2 x one side x altitude to that side
84=0.5 x hx 21
84=10.5 x h
h = 84/10.5= 8m
Here AB=10m and AD=8m so from Pythagorean theorem
We have BD=6m and CD=15m
Consider triangle ADB and triangle PRB
Angle B is common for both triangles
Angle ADB=Angle PRB=90 degree
Since two angles are equal these triangle are similar
In similar triangles sides opposite to equal angle are proportionate
Let the sides of the square be ‘a’
Then a/8=BR/6
BR=6a/8
In the same way from triangle ADC and QSC we have
SC=15a/8
But we know that BC=21cm
So 6a/8 + 15a/8+a=21
21a/8+a=21
29a=21x8=168
a= 168/29 m = 5.79 m
There fore area of the lawn = 5.79 x 5.79 =33.52 sq.m
ഇന്നത്തെ SSLC MODEL MATHS പരീക്ഷയിലെ 17ാം ചോദ്യത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഭാഗം മനസ്സിലായില്ല൰പറഞ്ഞുതരാമോ?
Howmany commendifferences are included in 31st term? How many times common difference is added to get 31st term? that is 30 times.
Is it correct?
Answer key says....
Qn 17) find 30 common difference in 31st term.
find the total number of common difference upto 31st term is the sum of the first 30 natural numbers
(30*31)/2 = 15*31=465
By spliting 100 = 4+96, find there is 16 common differences (96=16*6) in 100. And write 100 is the 17th term
ഹരി സര്‍ ഞാനും ഒരു ചോദ്യ പേപ്പര്‍ സംഘടിപിച്ച് കേട്ടോ . ചോദ്യ നമ്പര്‍ 27 CD സ്പര്‍ശരേഖ ആണോ ? എവിടെ P കേന്ദ്രമായ വൃത്തം
My answer for Q.17
31 st term= a+30d so there are 30 common difference in 31st term.
Then
Here it is noted that upto 31st term
s0 31st term is not included
so
a+a+d+a+2d+.........+a+29d
for d
d+2d+3d+......+29d
d(1+2+3+4+….+30)
d (15x31)
so there are 465 common differences
a+(n-1)d=100
4+(n-1)6=100
4+6n-6=100
6n=100+6-4
6n=102
n=102/6=17
So 100 is the 17th term of this A.P
ഹിതേ,
Q No 21 ല്‍ തന്നിട്ടുള്ള ചിത്രത്തില്‍ CD സ്പര്‍ശരേഖയല്ല. P കേന്ദ്രമായ ഒരു വൃത്തവും കാണ്മാനില്ല.
some printing mistake.
സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ഭാമ ടീച്ചര്‍
എക്സാം തിരക്കില്‍ ആയിരുന്നു അല്ലെ .കുട്ടികള്‍ എല്ലാം നന്നായി എഴുതിയിരിക്കും അല്ലെ.ടീച്ചറെ നേരില്‍ കണ്ടിട്ടിലെങ്കിലും ബ്ലോഗിലൂടെ ടീച്ചറെ എനിക്ക് നേരില്‍ കണ്ട പോലെ ആണ് .നന്ദി ടീച്ചര്‍ .ഇടക്ക് ബ്ലോഗില്‍ വരണം .ലളിത ടീച്ചര്‍ എവിടെ ?
വൈകിപോയതിനു ഖേദമുണ്ട്.ശ്രീജിത്ത് സാറിനും ഹരിസാറിനും ഹിതയ്ക്കും വളരെനന്ദി. Mathsblogന് ആശംസകള്‍!
പസിലുകള്‍ കാണാത്തത് കൊണ്ടാണോ അസീസ് സര്‍ , ഉമേഷ് സര്‍ , ഫിലിപ്പ് സര്‍ ഒന്നും ഈ വഴിക്ക് കാണാത്തത് .എക്സാം തിരക്ക് ആയതു കൊണ്ട് കുറച്ചു ദിവസം "Examination Analysis "ആയിരുന്നു. നമുക്ക് വീണ്ടും പസിലുകള്‍ കൊണ്ട് വരണ്ടേ .....
ഒരു ദിവസം നമ്മുടെ ജോണ്‍ സര്‍ ബ്ലോഗിന്റെ ഒരു കാര്യം സംസാരിക്കാന്‍ ഹരി സാറിന്റെ വീട്ടില്‍.പോയി.അപ്പോള്‍ ഹരി സാറിന്റെ മോള്‍ 'അനന്യ ' ജോണ്‍ സാറിന്റെ അടുത്ത് വന്നു ചോതിച്ചു.
"ചാണക്യന്‍ അങ്കിള്‍ ഞാന്‍ ഒരു കുസൃതി ചോദ്യം ചോതികട്ടെ" .
ജോണ്‍ സര്‍ കരുതി "ദൈവമേ പട പേടിച്ചു പന്തളത്ത് ചെന്നപോള്‍ അവിടെ പന്തം കൊളുത്തി പട "
എന്തായാല്മ കുട്ടിയല്ലേ ശരി എന്ന് പറഞ്ഞു .അനന്യ മോള്‍ ചോതിച്ചു
"There are three houses one is red one is blue and one is white. If the red house is to the left of the house in the middle and the blue house is to the right to the house in the middle where is the white house?"
ജോണ്‍ സര്‍ കരുതി കാര്യം ഫോണില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ മതിയായിരുന്നു. വന്നു പോയി .എന്താണ് അനന്യ മോള്‍ ചോതിച്ച ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ?ജോണ്‍ സാറിനെ സഹായിക്കൂ .........
@ Hitha
വൈറ്റ് ഹൌസ് വാഷിങ്ങ്ടണില്‍ ആണെന്നോ മറ്റോ ആണ് ഉത്തരമെങ്കില്‍ സമ്മതിച്ചു തരില്ല. :)
white house - ഇന്റെ "w" -ഉം "h" -ഉം ക്യാപിറ്റല്‍ ആവണമായിരുന്നു..
Dear Panicker sir
You got A+
Congratulations ................
About question 17 again.
Sorry to see that all of you are in a haste to find the answer, nobody bothers to examine whether the question is properly set! Of course the hint, the explanation and the answer given by many of you are according to your interpretations of the question. But the problem I put is this: how can you have more than one common differences for a given arithmetic progression? The common difference of an arithmetic progression is unique and so the question is very badly composed. It is surprising to see that even teachers do not care about the logical precision which is essential for a mathematical statement. Discussion of question papers should not end by merely finding the answer. I humbly request those who post comments here and also the people behind this blog to consider this aspect also. Mathematics is not just solving certain puzzles or answering some crooked questions.It is a science governed by its own rules ,logic, methods etc, please give due respect to it!
Dear Nava,
After the Model Examination, the teachers are too busy in valuation. So, pls wait for the active discussion.
17-ം ചോദ്യത്തിലെ ബി പാര്‍ട്ടിലൂടെ ചോദ്യകര്‍ത്താവ് ഒരു AP യുടെ ആദ്യ പദത്തോട് പൊതുവ്യത്യാസം മാത്രം കൂട്ടിക്കൊണ്ട് രണ്ടാം പദം, മൂന്നാം പദം... ഇവ കണ്ടുപിടിക്കുകയും അവയിലെ പൊതുവ്യത്യാസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ മറ്റൊരു സമാന്തരശ്രേണിയാക്കാനുമാണ് ശ്രമിച്ചിരിക്കുന്നത്. (രണ്ടാം പദം, മൂന്നാം പദം,... എന്നിവ ആദ്യപദത്തോട് എത്ര പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടുമ്പോളാണ് കിട്ടുന്നതെന്ന ഐഡിയ കുട്ടിയിലുണ്ടാക്കാനുപകരിക്കും.ഇതൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യാ ശ്രേണിയായിരിക്കുമല്ലോ)
ചോദ്യം പുതുമയുള്ളതാണെന്ന് വളരെ ചെറിയ എക്സ്പീരിയന്‍സിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ സധൈര്യംപറയട്ടെ
എന്റെ വീക്ഷണത്തിലും 17-ം ചോദ്യത്തിലെ എ പാര്ട്ടില്‍ എവിടെയോ ഒരു കുഴപ്പമുണ്ട്.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യപദം a ആണെങ്കില്‍ 31-ം പദത്തിലെത്താന്‍ എത്ര പൊതുവ്യത്യാസങ്ങള്‍ കൂട്ടേണ്ടിവരും എന്നായിരുന്നു ചോദ്യമെങ്കില്‍, കുട്ടികള്‍ക്ക് കുറച്ചെങ്കിലും സംശയം വിട്ടുമാറിയേനെ. കാരണം, ഇവിടെ ചോദ്യകര്‍ത്താവും 30 പൊതുവ്യത്യാസം എന്ന ഉത്തരം തന്നെയാണ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത്.
അതായത് ബി പാര്‍ട്ട് ആന്‍സര്‍ ചെയ്യാന്‍ വേണ്ട സഹായിയായി എ പാര്‍ട്ട് മാറണമെന്ന് അദ്ദേഹത്തിന് ആത്മാര്‍ത്ഥമായി ആഗ്രഹമുണ്ടായിരുന്നുവെന്നു വേണം അനുമാനിക്കാന്‍.
White House is in between the others ,the order is R,W,B. ?
As sreejithmupliyam has rightly mentioned, the 17th question should be like this: "How many times the common difference is added to get the 31st term? "
Even a below average student can understand that d, 2d, 3d, ... is an arithmetic progression and can find the sum to any number of terms using the standard formula. The problem here is that the question setter confused the students (and the teachers) by compiling the question carelessly. Creating confusion is not innovation.
ചോദ്യ കര്‍ത്താവു ഒരു മനുഷ്യന്‍ തന്നെ ആണല്ലോ ? അപ്പോള്‍ ചില തെറ്റുകള്‍ വന്നു എന്ന് വരാം .
ശരി നിങ്ങള്‍ ഒരു ചോദ്യ പേപ്പര്‍ തയാറാക്കൂ .അതില്‍ എന്തെങ്കിലും ഒരു കുഴപ്പം ആരെങ്കിലും കണ്ടുപിടിക്കും. പിന്നെ കുട്ടികള്‍ ഈ പരീക്ഷയിലും 80/80 സ്കോര്‍ ചെയ്തു എന്ന് ജോണ്‍ സര്‍, ഗീതസുധി ടീച്ചര്‍ എന്നിവല്‍ പറഞ്ഞിരുന്നു. അപ്പോള്‍ കുട്ടികളില്‍ ചിലരെങ്കിലും ചോദ്യ കര്‍ത്താവിന്റെ രീതിയിലും ചിന്തിചിരുക്കുമല്ലോ ?
ഒരു അധ്യാപകനും കുട്ടികളെ ആശയകുഴപ്പത്തില്‍ ആക്കാന്‍ മനപൂര്‍വം ശ്രമിക്കില്ല.
...എന്നോട് അഹിതം തോന്നരുത് .
Thank you Hitha for your great piece of advice.
When people behind this blog invited discussion on the model paper I thought one can also discuss and criticize the form and style of the question paper. Nearly 5 lakh students write this examination and I believe, under any circumstances, there should not be any mistake in the question paper. Proclaiming that no human being can make a question paper free from errors is an insult to the teaching fraternity of Kerala. I believe that there are thousands of teachers in Kerala (including persons who contribute in this blog) who are capable of doing this job without mistakes (perhaps, as pointed out by Hitha, I may not be able to do that; but Hitha, I never made any claim to that effect!).
The wide acceptability and applicability of mathematics lie in its methods, the high standard of its logic, its striving without the least compromise to the full truth and its habit of defining every notion used exactly and avoiding contradictions. These are very fundamental ideas which should be inculcated in the minds of students during their formative period itself. Teachers have a definite role in accomplishing this. A question paper, that too an SSLC model question paper naturally gathers much attention and therefore should be 100 % error free. As we are all aware, there is a public criticism against this practice of composing faulty or improper question papers. With all these big talks of syllabus renovation, modern techniques of teaching, grading, cluster meetings ... etc, if one cannot prepare a well set model question paper, then there is something seriously wrong.
When I started posting comments on the question paper I thought this is a forum where any math lover can genuinely express and share his/her thoughts and such things would be taken in good spirit. Can I continue to believe so?
@ Nova
Hey sir what is this ? I was just kidding. If my comments hurts you i am really sorry for that and i apologise for that .As you mentioned any maths lover can genuinely express and share his/her thoughts here.Once again i am really sorry for my comments.
God bless you sir.Keep in touch.
@ Nava Chechi
ചേച്ചി ഞാന്‍ ഒരു തമാശക്ക് കമന്റ് പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്തതാണ് .ചേച്ചി എന്നോട് ക്ഷമിക്കണം .എന്റെ അറിവില്ലായ്മ കൊണ്ട് ഞാന്‍ അങ്ങിനെ ഒരു കമന്റ് പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്തു .ചേച്ചിയെ പോലെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ തുറന്നു പറയുന്നവരെ ആണ് ബ്ലോഗ്‌ ആഗ്രഹിക്കുനത് .എന്റെ ഭാഗത്ത്‌ നിന്ന് ഉണ്ടായ തെറ്റിന് ഞാന്‍ ഒരിക്കല്‍
കൂടി ക്ഷമ ചോതികുന്നു .ചേച്ചി എപ്പോഴും വരണം അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യണം .
ഹിത
Hitha,
It is OK, there is nothing to regret or apologize. I only want people to take into account other’s view also. See, I do not have any personal hatred towards the question setter! – don’t look at things from that angle. As a person who is interested in mathematics I just want to say something which is correct to my understanding. Now forget it, and let us discuss mathematics! (but don’t forget that I am not a chechi, you can take nava for navaganitham!)
സമാനമായ മറ്റൊരു പ്രശ്ലം .................
ത്രികോണം ABC യുടെ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r ആണ്.അന്തര്‍വൃത്തം ഒരു വശത്തെ സ്പര്‍ശിക്കുന്വോള്‍ ആ വശം a ,b എന്നീ നീളമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകുന്നു.
a ,b, r എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ ണ്ണം കാണുക
ENGLISH VERSION
The radius of the incircle of a triangle is “r “ .The incircle touches one side and divides that side as “a” and “b” in length
Express the area of the triangle in terms of “a” ,”b” and “r”
answer of the qn.is flying around the site.
it is very easy if we add C ,the other part of the tangent of the above said circle;
the area of triangle is r(a+b+c)
P is a point inside a square ABCD. AP=3,CP=5, DP=4, Find BP and AB
Post a Comment