രാമാനുജന് സംഖ്യകള്‍ - ഒരു രേഖാചിത്രം
>> Thursday, December 23, 2010
ഡിസംബര്‍ 22. ഇന്‍ഡ്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ രാജകുമാരന്റെ ജന്മദിനം.ദിനാഘോഷപ്പട്ടികയില്‍ ഇടം കിട്ടാതെ പോയ ഈ ദിവസമാണ് ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ അയ്യങ്കാര്‍ ജനിച്ചത്.ഗണിതമേളകളിലൂടെ, അധികവായനയ്ക്കുള്ള കണക്കുപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ കുട്ടികളുടെ കളക്ഷന്‍ പുസ്തകങ്ങളിലൂടെ രാമാനുജന് എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ജീവിക്കുന്നു. നമ്മുടെ പുതിയ ഒന്‍പതാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തില്‍ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും ചര്‍ച്ചചെയ്യവെ നല്‍കിയിട്ടുള്ള രാമാനുജനെക്കുറിച്ചുള്ള സൈഡ് ബോക്സ് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ?
1729 എന്ന സംഖ്യയുടെ വ്യക്തിത്വം അനാവരണം ചെയ്തുകൊണ്ട് കുട്ടികള്‍ ലഘുപ്രോജക്ടുകള്‍ തയ്യാറാക്കാറുണ്ട്.ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാഘടകങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണത്രേ!അവ കൊണ്ട് രൂപീകരിച്ച ഒരു സംഖ്യാപാറ്റേണ്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ടോ?
1729 ന്റെ പ്രത്യേകതയുള്ള അനേകം സംഖ്യകളുണ്ട്. അവയെ പൊതുവെ Rസംഖ്യകള്‍ എന്നു വിളിക്കുന്നു.പഠന സൗകര്യത്തിനായി ഗവേഷകര്‍ 1729 നെ ആദ്യത്തെ മൂന്നാംവര്‍ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നു.
രണ്ട് വ്യത്യസ്ത നിസര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയായി രണ്ടുവ്യത്യസ്ത തരത്തില്‍ എഴുതാന് കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് രണ്ടാംവര്‍ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യകള്‍ .ഇത്തരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് Cayley പട്ടിക ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടാണ്.പട്ടികയുടെ ഒരു ചെറുരൂപമാണ് താഴെ കാണുന്നത്
ഈ പട്ടികയില്‍ നിന്നും ആദ്യത്തെ രണ്ടാംവര്‍ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യ വളരെ എളുപ്പത്തില്‍ കണ്ടെത്താം.
ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിതസമീപനം ചിന്തനീയമാണ്.
ഈ സര്‍വ്വസമവാക്യത്തില്‍ n ന് നിസര്‍ഗ്ഗസംഖ്യാവിലകള്‍ നല്‍കി അനേകം രണ്ടാംവര്‍ഗ്ഗരാമാനുജന്‍ സംഖ്യകള്‍ എഴുതാം.
ഇത്തരം ഒരു പഠനത്തിനുതന്നെ പ്രസക്തിയുണ്ടായത് ആദ്യത്തെ മൂന്നാംവര്‍ഗ്ഗ രാമാനുജന്‍സംഖ്യയുടെ സാന്നിധ്യമാണല്ലോ.
ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതിയും ഒരു പട്ടികയയും കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
ഇതു പോലെ ഉയര്‍ന്ന വര്‍ഗ്ഗത്തിലുള്ള സംഖ്യകളെ കണ്ടെത്തുക ശ്രമകരമാണ്. അവിടെയാണ് കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമുകളുടെ പ്രസക്തി.രാമാനുജന് സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് പലതരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നടത്തിയിട്ടുള്ള അധ്യാപകരും കുട്ടികളും നമ്മുടെ ഇടയിലുണ്ട് . അവരുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകളും വിലപ്പെട്ടതാണ്.
റിവിഷന്‍ പേപ്പര്‍ 5 ന് ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
50 comments:
ഇന്ന് ഡിസംബര്‍ 22. ഇന്‍ഡ്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ രാജകുമാരന്റെ ജന്മദിനം.ദിനാഘോഷപ്പട്ടികയില്‍ ഇടം കിട്ടാതെ പോയ ഈ ദിവസമാണ്.....
കാരണം അദ്ദേഹം വെറുമൊരു ഇന്ത്യക്കാരന്‍ ആയിപ്പോയി. എന്തു ചെയ്യാം. റിവിഷന്‍ പോപ്പര്‍ എല്ലാവര്‍ക്കും ഉപകാരപ്പെടുമെന്നു കരുതുന്നു.
The most famous Pythagorean triangle is 3,4,5(a rt,triangle with all integer sides),which also makes nearly isoceles triangle.write few more set of 'sides of right triangle' with consecutive legs?
"ദിനാഘോഷപ്പട്ടികയില്‍ ഇടം കിട്ടാതെ പോയ ഈ ദിവസമാണ്.....
കാരണം അദ്ദേഹം വെറുമൊരു ഇന്ത്യക്കാരന്‍ ആയിപ്പോയി. എന്തു ചെയ്യാം?"
ഹല്ലാ, ഇതാരുടെ കുറ്റം? ദിനാചരണങ്ങള്‍ സ്കൂളുകളില്‍ മാഷന്മാര്‍ തന്നെയല്ലേ നിശ്ചയിക്കുന്നത്?
ഓഫ് ടോപ്പിക്:
ഗണിത ഒളിമ്പ്യാഡ് ലിസ്റ്റ് കണ്ടു. ഒന്നാം സ്ഥാനമടക്കം നാല് വിജയികള്‍ പൊതുവിദ്യാലയങ്ങളില്‍ നിന്ന്..!
സാധാരണ പബ്ലിക് സ്കൂളുകള്‍ എന്ന് തെറ്റായ പേരിലറിയപ്പെടുന്ന 'പബ്ലിക്കിന് അപ്രാപ്യമായ' സ്കൂളുകള്‍ക്കാണല്ലോ കിട്ടുക? ഇത് ഒരു മാറ്റമാണെന്ന് തോന്നുന്നു.ഒരു പക്ഷേ, ഈ ബ്ലോഗ് പൊതുവിദ്യാലയങ്ങളുടെ നിലവാരമുയര്‍ത്താന്‍ കാരണമായ പോലെ.....സബാഷ് ടീജോ!
The devisors of 1729 can be expressed as the difference of the squares of any two numbers in a single way as they all are primes.
133 നെ 13^2 - 6^2 എന്നും എന്നെഴുതിക്കൂടെ
@ Maths Blog Team
ഇത്തരം ഒരു പഠനത്തിനുതന്നെ പ്രസക്തിയുണ്ടായത് ആദ്യത്തെ മൂന്നാംവര്‍ഗ്ഗ രാമാനുജന്‍സംഖ്യയുടെ സാന്നിധ്യമാണല്ലോ.ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതിയും ഒരു പട്ടിയയും കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
പട്ടിക എന്ന് മാറ്റി എഴുതുവാന്‍ ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ
ഞാന്‍ കൊടുക്കുന്ന കമന്റ്റുകള്‍ ബ്ലോഗില്‍ കാണുന്നില്ല എന്താണ് കാരണം .
@vijayan sir,
3^2+4^2=5^2 =9+16=25
6^2+8^2=10^2 = 36+64=100
9^2+12^2=15^2= 81+144=225
etc...
Please see the picture in GeoGebra for isosceles trianlge from this set
@Athira
ആതിരയുടെ ഇന്നലത്തെ കമന്റുകൾ
ഇവിടെ കണ്ടല്ലോ...
@ കാഡ് ഉപയോക്താവ്
ഞാന്‍ ഇന്ന് തന്നെ ഇത് കൂടി ചേര്‍ത്ത് നാല് കമന്റ്‌ ഇവിടെ കൊടുത്തു .അതില്‍ ഒന്ന് മാത്രം ആണ് ഇവിടെ കാണുന്നത്.കൃഷ്ണന്‍ സാറിനു ഒരു മറുപടി അയച്ചു അത് ഇവിടെ കാണാന്‍ ഇല്ല. പിന്നെ ബ്ലോഗില്‍ ഒരു തെറ്റ് ചൂണ്ടി കാണിച്ചു ഒരു കമന്റ്‌ കൊടുത്തു അതും കാണാന്‍ ഇല്ല.ഈ കമന്റ്‌ കാണുമോ ആവോ ?
@ മാത്സ് ബ്ലോഗ് ടീം
എന്താ ഞാന്‍ കൊടുത്ത കമന്റ്‌ നിലവാരം ഇല്ലാത്തതു കൊണ്ട് ആണോ ഇവിടെ ഇടാത്തത്.പഠന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധം ഉള്ള കമന്റ്‌ ആണ് ഞാന്‍ കൊടുത്തത് .
1910 കാലഘട്ടത്തില്‍ ആണ് സംഭവം.മദ്രാസ്‌ സംസ്ഥാനത്തെ നെല്ലൂര്‍ ഡിസ്ട്രിറ്റ് അന്ന് ഭരിച്ചിരുന്നത് രാമചന്ദ്രറാവു എന്നാ കളക്ടര്‍ ആണ്.
റാവു ഗണിതത്തില്‍ വളരെ താല്പര്യം പുലര്‍ത്തിയിരുന്ന ഒരാള്‍ ആയിരുന്നു.അത് കേട്ട് ആണ് ആ യുവാവ് റാവുവിനെ കാണാന്‍ വന്നത്.തന്റെ കണ്ടു പിടുത്തങ്ങള്‍ എഴുതി നിറച്ച ഒരു പുസ്തകം ആ യുവാവ് റാവുവിന് നേരെ നീട്ടി.ഗണിത പണ്ഡിതന്‍ ആയ റാവുവിന് ഒന്നും തന്നെ മനസ്സിലായില്ല.റാവു പക്ഷെ ഒരു കാര്യം മനസ്സിലാകിയിരുന്നു ഈ വന്ന യുവാവ് വെറും ഒരു യുവാവ് അല്ല .ഗണിതത്തില്‍ അപാരമായ പാണ്ഡിത്യം ഉള്ള ഒരു യുവാവ് ആണ് തന്റെ മുന്നില്‍ നില്‍ക്കുന്നത്.റാവു ആ യുവാവിനെ ഉപരിപഠനത്തിനായി മദ്രാസ്‌ സര്‍വകലാശാലയിലേക്ക് അയച്ചു ആ യുവാവിന്റെ പഠന ചിലവുകള്‍ റാവു വഹിക്കാം എന്നും വാഗ്ദാനം ചെയ്തു.ആ യുവാവ് ആയിരുന്നു ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ അയ്യങ്കാര്‍
രാമാനുജന് ഏറ്റവും പ്രിയപ്പെട്ട സംഖ്യകള്‍ ആയിരുന്നു 153 , 370, 371 , 407
ഈ സംഖ്യകള്‍ എല്ലാം അവയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ഘനങ്ങളുടെ തുകയാണ്
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3
@കാഡ്ഉപ യുക്താവ്‌,ഞാന്‍ ഉദേസിച്ചത് 3,4,5ന്റെ ഗുണിതമല്ല.ഏതാണ്ട് സമപാര്സ്വ ത്രികോണങ്ങള്‍ ആയ പ്യ്തഗോരീന്‍ ത്രയങ്ങളെ കുറിച്ചാണ് (write few more set of 'sides of right triangle' with consecutive legs?)
9^2+8^2+7^2 =194
11^2+8^2+3^2=194
12^2+5^2+5^2=194
12^2+7^2+1^2=194
13^2+4^2+3^2=194
എന്ന പ്രത്യേകതയുള്ള 194 ഏതെങ്കിലും പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്നുണ്ടോ?
21^2+20^=29^2 = 441+400=841
119^+120^2=169^2=14161+14400=28561
697^+696^2=985^2=485809+484416=970225
5^2+12^2 =13^2= 25+144 = 169
7^2+24^2 =25^2= 49+576 = 625
@cad user ;
you r correct
3,4,5;20,21,29;119,120,169;
696,697,985;4059,4060,5741;are pythagoren tripples and some what near isoceles.
5,12,13&7,24,25 are other examples.
ഒരു പൈതഗോരീന്‍ ത്രയം .മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെയും ഇടതു വശത്ത് ഒരു അക്കം (means same digit)ചേര്‍ത്താല്‍ വീണ്ടും പൈതഗോരീന്‍ ത്രയം ആണ് .സംഖ്യകള്‍ കണ്ടെത്തുക.
3^2 + 4^2 = 5^2
33^2 + 44^2 =55^2
=1089+1936=3025
333^2 + 444^2 = 555^2
=110889+197136=308025
3333^2 + 4444^2 = 5555^2
=11108889+19749136=30858025
@ cad user
add "same digit" to three terms
Using the digits 1 up to 9, two numbers must be made. The product of these two numbers should be as large as possible. All digits must be used exactly once.
what are the two numbers?
ആതിര ടീച്ചറെ
കമന്റുകള്‍ ഉണ്ടല്ലോ ഇപ്പോള്‍ .അത് താനെ സംഭവിക്കുന്നതാണ്. എന്തുചെയ്യാം . ഇപ്പോള്‍ കുറച്ചുനാളായി ഈ അസുഖം തുടങ്ങിയിട്ട്.
പിന്നെ തിരുത്തല്‍. ദാ,ഇപ്പോള്‍ ചെയ്യാം.
@ azees sir,
two numbers are 9642 and 87531.
(E*I*G*H*T)/(F *O*U*R) = T*W*O
What is the value of T*H*R*E*E?
(E*I*G*H*T)/(F *O*U*R) = T*W*O
What is the value of T*H*R*E*E?
രാമാനുജം നമ്പര്‍1729 ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ പട്ടികയില്‍ നിന്ന് 247 ഒഴിവാക്കിയതില്‍ അമര്‍ഷമുണ്ട്. 247*7=1729 എന്നിരിക്കെ ഇത് വിട്ടു പോയതാണെന്ന് കരുതുന്നു. പോസ്റ്റ്‌പബ്ലിഷ് ചെയ്തിട്ടു 16മണിക്കൂര്‍ പിന്നിട്ടു.എന്തെ ഇതാരും ശ്രദ്ധിച്ചില്ലേ? 247=124^2-123^2 എന്നും രെഖപ്പെടുതാമല്ലോ?കാലത്ത് മുതല്‍ ഇങ്ങനെയും ഒരു കമണ്ട് പ്രതീക്ഷിച്ചിരുന്നത് വെറുതെയായല്ലോ?
രാമാനുജനെപ്പറ്റി മനോരമയില്‍
1+7+2+9=19
19*91=1729
ഏതൊരു ഒറ്റസംഖ്യ n നേയും രണ്ട് വര്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതാന് കഴിയും
n=[(n+1)/2]^2-[(n-1)/2]^2
13*133=1729
19*91=1729
7*247=1729
7= 4^2-3^2
13= 7^2-6^2
19= 10^2-9^2
91= 6^2-45^2= 10^2-3^2
133=67^2-66^2= 13^2-6^2
247=124^2-123^2= 16^2-3^2
@ Babu Jacob Sir,
Correct Answer.
ചരിത്ര കേരളത്തിന് മറക്കാന്‍ കഴിയാത്ത ലീഡര്‍ കെ.കരുണാകരന് ആദരാഞ്ജലികള്‍.
ഇവിടെ പോസ്റ്റു മായിബന്ധപ്പെട്ട ചിലതിരുത്തലുകള്‍ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നു.(?) 1)1729ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ പട്ടികയില്‍ 247 ഉള്‍പെടുത്തണം.
2)7,13,19എന്നീ അഭാജ്യ സംഖ്യകള്‍ വര്‍ഗ വെത്യസമായി ഒരു രൂപത്തിലും (ഏതു ഒറ്റ സംഖ്യക്കും ഈ പ്രത്യേകത ഉണ്ട്,രാമാനുജം ഘടകങ്ങള്‍ക്കു മാത്രമല്ല).91,133,247എന്നീ ഭാജ്യ സംഖ്യകള്‍വര്‍ഗ വെത്യസമായി രണ്ടു രൂപത്തിലുംഎഴുതാന്‍ സാധിക്കും .
3)n3+(12n)3 +(9n)3 +(10n)3=1729n3
എന്നത് n3+(12n)3 =(9n)3 +(10n)3=1729n3 എന്ന് തിരുത്തണം .
(from valuable comments from azees,thomas sir etc.)
ജോണ് സര്‍ ക്രിസ്തുമസിന്റെ തിരക്കിലായിരിക്കും .48മണിക്കൂറായി കാണുന്നില്ല .....വിലപ്പെട്ട അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുമല്ലോ? ..........വിജയന്‍ ലാര്‍വ (wish u all a happy 11 lakhs and chritmas eve)
Born on December 22, 1887 in a place called Erode, Tamil Nadu, Srinivasa Ramanujan is considered to be one of the greatest Mathematicians to date. He was a natural genius in Mathematics and his fascination of numbers led to many contributions in number theory, infinite series, function theory, etc. Ramanujan was completely engrossed in pure mathematics and as a result never had any formal education. He used to write several letters to the Mathematicians at the University of Cambridge about his discoveries. It was G.H. Hardy who recognized Ramanujan and asked him to join the University.
Ramanujan discovered something interesting in positive integers. He said that any positive integer 'n' can be partitioned into the sum of positive integers without duplicating the partitions (summands). This partition function was represented as p(n). Here are a few examples:
p(0) = 0
p(1) = 1
p(2) = 2 [2, 1+1]
p(3) = 3 [3, 2+1, 1+1+1]
p(4) = 5 [4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1]
Many Mathematical giants such as Euler and Jacobi were fascinated with this discovery and researched to find a formula for this function.
Ramanujan's ingenuity in finding formulae under different categories had intrigued many great Mathematicians. He had proposed an equation called the diophantine equation which states that 2n - 7 is a perfect square for the values 3, 4, 5, 7 and 15 of 'n'. Are there any other values that can satisfy this equation?
2n - 7 = x2
It is believed that Ramanujan used to work for 30 hours at a stretch and this had caused some serious illness. His health had deteriorated and he was admitted to a hospital for months. Despite his illness, his mathematical ability to discover new facts never stopped. This was evidenced when G.H. Hardy visited him at the hospital and mentioned to Ramanujan that he had come in a cab numbered 1729. Apparently G.H. Hardy had thought 1729 was a dull number, while Ramanujan spontaneously discovered that this was the smallest number that can be expressed as sum of the cubes of two numbers, in two different ways.
1729 = 103 + 93
1729 = 13 + 123
Sadly, Ramanujan was unable to recover from his illness and he was diagnosed for tuberculosis. In the year 1920, he succumbed to his illness.
Even today many Mathematicians are pondering over his discoveries and theorems, and are still trying to analyze his findings
[ma][co="red"]ഈ പോസ്റ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജോണ് സാറിന്റെ മറുപടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു[/co][ma]
SSITC യുടെ TRAINING GHSS PANAMATTOM ത്ത് വച്ച് നടത്തിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു. MATHSBLOG പരിചയപ്പെടുത്തി.
SSITC യുടെ ക്യാമ്പിനിടക്കാണ് ഞാന്‍mathsblog പരിചയപ്പെട്ടു.വളരെ നല്ല ഒന്നാണിത്.
SSITC യുടെ TRAINING ല്‍ ഞാന്‍ പങ്കെടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോള്‍ MATHS BLOG പരിചയപ്പെട്ടുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.
ജിബി തങ്കച്ചന്
Jiby
g v h s s vazhathope
this blog is so simple.
maths blog is very good. it is help to study maths .i like in this site .
വളരെ സന്തോഷം വിജയകുമാര്‍,അച്ച്യുതന്‍, ഐശ്വര്യ, ജിബി, അഞ്ജലി....
കുട്ടികള്‍ ഈ ബ്ലോഗില്‍ കമന്റുന്ന അപൂര്‍വ്വ കാഴ്ച കണ്ട സന്തോഷത്തിലാണു ഞാന്‍.
നന്ദി.
I LIKE THIS MATHS BLOG
Test
I am new here
I like mathsblog
I am ELIZABETH studying in 9 class.Mathsblog is very useful for me
രാമാനുജന് quiz post ചെയ്താല്‍ നന്നായിരുന്നു.
രാമാനുജന് quiz post ചെയ്താല്‍ നന്നായിരുന്നു.
@ vikram
എന്നാല്‍ കുറെ ചോദ്യങ്ങള്‍ തുടങ്ങാം.
ചോദ്യം 1 .1^3+12^3 =1729
10^3+9^3= 1729
ഇതേ പ്രത്യേകതയുള്ള മറ്റൊരു നാലക്ക സംഖ്യ ?
(expect next qn)
2^3+ 16^3 = 9^3 + 15^3 = 4104
Post a Comment