സെമിനാര്‍ : ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയ പ്രവര്‍ത്തനം
>> Monday, July 22, 2013
സെമിനാര്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍& തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയത്തിന്റെ ഭാഗമാക്കിയത്& അടുത്തകാലത്താണ് . സെമിനാറിനെ ഒരു സംഘപ്രവര്‍ത്തനമായി കണക്കാക്കാം . ഒരു ക്ലാസിലെ കുട്ടികള്‍ വിവിധ ഗ്രൂപ്പുകളായി തരിഞ്ഞ് സെമിനാര്‍ പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ പങ്കെടുക്കുന്നു. വിഷയം ക്ലാസില്‍ പൊതുവായി നല്‍കുന്നതാണ് ഉചിതം . എല്ലാഗ്രൂപ്പുകാരം വിഷയം പഠിക്കുകയും അവരുടെതായ കണ്ടെത്തലുകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുകയുമാവാം. എങ്കില്‍ മാത്രമേ സെമിനാര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ അവതരണത്തെയും അതിന്റെ കണ്ടെത്തലുകളെയും ക്രീയാത്മകമായി വിലയിരുത്താനാവൂ. ഒരു യൂണിറ്റിലെ പല പാഠഭാഗങ്ങളും സെമിനാറായി അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ് .
ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ക്ലാസുകളില്‍ ചില യൂണിറ്റുകള്‍ തന്നെ സെമിനാറായി കുട്ടികള്‍ അവതിപ്പിക്കാറുണ്ട് . കുട്ടികള്‍ തന്നെ അധ്യാപകരാവുകയും സഹപാഠികള്‍ പഠനത്തില്‍ പങ്കാളികളാകുയും ചെയ്യുന്ന നിമിഷങ്ങളാണ് സെമിനാര്‍ അവതരണവേളകളില്‍ കാണാന്‍ കഴിയുന്നത് . പത്താംക്ലാസിലെ ഒന്നാംപാഠത്തില്‍ നിന്നും ഒരു വിദ്യാലയത്തില്‍ സെമിനാറിനായി തെരഞ്ഞെടുത്തത് എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ രൂപീകരിക്കുന്ന വിവിധതരം പാറ്റേണുകളായിരുന്നു .$1,2,3,4 \cdots$ എന്ന സംഖ്യകളാണല്ലോ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ അഥവാ പ്രകൃതസംഖ്യകള്‍ (Natural numbers).
ഇവിടെ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ത്രികോണരൂപത്തില്‍ വളര്‍ന്നുവരുന്നതായി കാണാം. ഈ പാറ്റേണ്‍ ചാര്‍ട്ടുപേപ്പറില്‍ എഴുതി അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സെമിനാര്‍ ഗ്രൂപ്പിലെ ലീഡര്‍ ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുകയായിരുന്നു.
പ്രോജക്ട് അവതാരകന് ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങളെല്ലാം വളരെ വിശദമായിത്തന്നെ ക്ലാസില്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. ഓരോ വരിയിലെയും സംഖ്യകള്‍ ശ്രേണിയായി എഴുതിയപ്പോള്‍ $ 1, 3, 5 , 7 , \cdots$ എന്ന സമാന്തരശ്രേണി ലഭിച്ചു. ഈ ശ്രേണിയിലെ മുപ്പതാമത്തെ പദമാണ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം എന്ന് വ്യക്തമാക്കാന്‍ കുട്ടിക്കുസാധിച്ചു.എല്ലാവരികളിലെയും അവസാന സംഖ്യകള്‍ നോക്കിയപ്പോള്‍ അവയെല്ലാം പൂണ്ണവര്‍ഗ്ഗസംഖ്യകളാണെന്ന് മനസിലാക്കാന്‍ സാധിക്കും .രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $2^2$ ആണെന്നും മൂന്നാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $3^2$ ആണെന്നും തിരിച്ചറിഞ്ഞ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $900$ ആണെന്ന് തിരിച്ചറിയാന്‍ സാധിച്ചു .
മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ കാണുന്നതിലെ യുക്തിചിന്ത വ്യക്തമാക്കാന്‍ സെമിനാര്‍ അവതാരകന് കഴിയണം . $29$ മത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യയായ $29^2$ നേക്കാള്‍ ഒന്നുകൂടുതലായിരിക്കും മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യസംഖ്യ എന്ന് തിരിച്ചറിയാം . $400$എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തൊട്ടുതാഴെയുള്ള സംഖ്യ ഏതായിരിക്കുമെന്നതാണ് അടുത്തചോദ്യം .$21^2$ ന് മുന്‍പുള്ള സംഖ്യയാണ് $400$ ന് താഴെ വരുന്നത് .
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള മറ്റൊരു പാറ്റേണാണ് അവതരണഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം ചെയ്തത് . രണ്ടാമത്തെ കുട്ടി അവതരിപ്പിച്ച പാറ്റേണ്‍ നോക്കുക
രണ്ടാമത്തെ അവതാരകന് മുന്നോട്ടുവെച്ച ചില ചോദ്യങ്ങളും വിശകലനങ്ങളും താഴെ ചോര്‍ക്കുന്നു.
ഓരോ വരിയിലെയും അവസാനസംഖ്യകള്‍ ത്രികോണസംഖ്യകളായിരിക്കുമെന്നും ത്രികോണസംഖ്യകളെ കണ്ടെത്താന്‍ അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപമായ $\frac {n(n+1)}{2}$ ആണെന്നും വിശദീകരിക്കേണ്ടുണ്ട് . ഇത് സെമിനാര്‍ റിപ്പോര്‍ട്ടിന്റെ ഭാഗമാക്കേണ്ടതുണ്ട് . ഇതില്‍നിന്നും $30$ മത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $ \frac{30(30+1)}{2}$ആയിരിക്കും.തുടര്‍ന്നുള്ള വിശകലനത്തിലൂടെ എല്ലാ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും ഉത്തരം വ്യക്തമാക്കാന്‍ കഴിയും .
ഇങ്ങനെ അവതരണഗ്രൂപ്പിലെ അഞ്ച് കുട്ടികളും തയ്യാറാക്കിയ എണ്ണല്‍സംഖ്യാപാറ്റേണുകള്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. > ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ മാത്രമുപയോഗിച്ച് മുകളില്‍ കാണുന്ന വിധം രണ്ട് പാറ്റേണുകള്‍ , ഇരട്ടസംഖ്യകള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഇത്തരം രണ്ട് പാറ്റേണുകള്‍ എന്നിവയാണ് പിന്നീട് അവതരിപ്പിച്ചത്
പാഠഭാഗവുമായുള്ള ബന്ധം , അവതരണത്തിന്റെ മേന്മ , കുട്ടികളുടെ പങ്കാളിത്തം , ആസൂത്രണത്തിന്റെ മികവ് എന്നിവ വിലയിരുത്തി സ്ക്കോര്‍നല്‍കാവുന്നതാണ് .
ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ക്ലാസുകളില്‍ ചില യൂണിറ്റുകള്‍ തന്നെ സെമിനാറായി കുട്ടികള്‍ അവതിപ്പിക്കാറുണ്ട് . കുട്ടികള്‍ തന്നെ അധ്യാപകരാവുകയും സഹപാഠികള്‍ പഠനത്തില്‍ പങ്കാളികളാകുയും ചെയ്യുന്ന നിമിഷങ്ങളാണ് സെമിനാര്‍ അവതരണവേളകളില്‍ കാണാന്‍ കഴിയുന്നത് . പത്താംക്ലാസിലെ ഒന്നാംപാഠത്തില്‍ നിന്നും ഒരു വിദ്യാലയത്തില്‍ സെമിനാറിനായി തെരഞ്ഞെടുത്തത് എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ രൂപീകരിക്കുന്ന വിവിധതരം പാറ്റേണുകളായിരുന്നു .$1,2,3,4 \cdots$ എന്ന സംഖ്യകളാണല്ലോ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ അഥവാ പ്രകൃതസംഖ്യകള്‍ (Natural numbers).
- ഓരോ വരിയിലും എഴുതിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ശ്രേണിയായി എഴുതുക
- മുപ്പതാമത്തെ വരിയില്‍ എത്ര സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടാകും ?
- മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ അവസാന സംഖ്യ ഏതായിരിക്കും ?
- മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ ഏതായിരിക്കും ?
- മുപ്പതുവരികളിലായി എഴുതിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക
- പാറ്റേണില്‍ $400$ എന്ന എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തൊട്ടുതാഴെയായി വരുന്ന സംഖ്യ ഏതാണ് ?
പ്രോജക്ട് അവതാരകന് ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങളെല്ലാം വളരെ വിശദമായിത്തന്നെ ക്ലാസില്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. ഓരോ വരിയിലെയും സംഖ്യകള്‍ ശ്രേണിയായി എഴുതിയപ്പോള്‍ $ 1, 3, 5 , 7 , \cdots$ എന്ന സമാന്തരശ്രേണി ലഭിച്ചു. ഈ ശ്രേണിയിലെ മുപ്പതാമത്തെ പദമാണ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം എന്ന് വ്യക്തമാക്കാന്‍ കുട്ടിക്കുസാധിച്ചു.എല്ലാവരികളിലെയും അവസാന സംഖ്യകള്‍ നോക്കിയപ്പോള്‍ അവയെല്ലാം പൂണ്ണവര്‍ഗ്ഗസംഖ്യകളാണെന്ന് മനസിലാക്കാന്‍ സാധിക്കും .രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $2^2$ ആണെന്നും മൂന്നാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $3^2$ ആണെന്നും തിരിച്ചറിഞ്ഞ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $900$ ആണെന്ന് തിരിച്ചറിയാന്‍ സാധിച്ചു .
മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ കാണുന്നതിലെ യുക്തിചിന്ത വ്യക്തമാക്കാന്‍ സെമിനാര്‍ അവതാരകന് കഴിയണം . $29$ മത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യയായ $29^2$ നേക്കാള്‍ ഒന്നുകൂടുതലായിരിക്കും മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യസംഖ്യ എന്ന് തിരിച്ചറിയാം . $400$എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തൊട്ടുതാഴെയുള്ള സംഖ്യ ഏതായിരിക്കുമെന്നതാണ് അടുത്തചോദ്യം .$21^2$ ന് മുന്‍പുള്ള സംഖ്യയാണ് $400$ ന് താഴെ വരുന്നത് .
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള മറ്റൊരു പാറ്റേണാണ് അവതരണഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം ചെയ്തത് . രണ്ടാമത്തെ കുട്ടി അവതരിപ്പിച്ച പാറ്റേണ്‍ നോക്കുക
- മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ എത്രയായിരിക്കും ?
- മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ എത്രയായിരിക്കും ?
- മുപ്പത് വരികളിലായി എഴുതിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക
ഓരോ വരിയിലെയും അവസാനസംഖ്യകള്‍ ത്രികോണസംഖ്യകളായിരിക്കുമെന്നും ത്രികോണസംഖ്യകളെ കണ്ടെത്താന്‍ അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപമായ $\frac {n(n+1)}{2}$ ആണെന്നും വിശദീകരിക്കേണ്ടുണ്ട് . ഇത് സെമിനാര്‍ റിപ്പോര്‍ട്ടിന്റെ ഭാഗമാക്കേണ്ടതുണ്ട് . ഇതില്‍നിന്നും $30$ മത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ $ \frac{30(30+1)}{2}$ആയിരിക്കും.തുടര്‍ന്നുള്ള വിശകലനത്തിലൂടെ എല്ലാ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും ഉത്തരം വ്യക്തമാക്കാന്‍ കഴിയും .
ഇങ്ങനെ അവതരണഗ്രൂപ്പിലെ അഞ്ച് കുട്ടികളും തയ്യാറാക്കിയ എണ്ണല്‍സംഖ്യാപാറ്റേണുകള്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. > ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ മാത്രമുപയോഗിച്ച് മുകളില്‍ കാണുന്ന വിധം രണ്ട് പാറ്റേണുകള്‍ , ഇരട്ടസംഖ്യകള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഇത്തരം രണ്ട് പാറ്റേണുകള്‍ എന്നിവയാണ് പിന്നീട് അവതരിപ്പിച്ചത്
പാഠഭാഗവുമായുള്ള ബന്ധം , അവതരണത്തിന്റെ മേന്മ , കുട്ടികളുടെ പങ്കാളിത്തം , ആസൂത്രണത്തിന്റെ മികവ് എന്നിവ വിലയിരുത്തി സ്ക്കോര്‍നല്‍കാവുന്നതാണ് .
18 comments:
John sir
Really Interesting one....
Thanks
thanks
congratulations ...very very useful .thanks
great!tribute to RAMANUJAN
very interesting and helpful for maths teachers.............
I am a new visitor to this blog.This is not Maths Blog.It is GOD'S BLOG.
I don't know how to express my thanks.
I reserve my gratitude.
Thanks maths blog................. It is very useful.
"ഈ ശ്രേണിയിലെ മുപ്പതാമത്തെ പദമാണ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ അവസാനസംഖ്യ എന്ന് വ്യക്തമാക്കാന്‍ കുട്ടിക്കുസാധിച്ചു."
സര്‍,
മുപ്പതാമത്തെ പദമാണ് മുപ്പതാമത്തെ വരിയിലെ സംഖ്യകളുടെ
എണ്ണം എന്നല്ലേ വേണ്ടത്?
ചെറിയ ഒരു പിശകുവന്നതാണ് നന്ദി വിജയന്‍സാര്‍ തിരുത്താം
Sir..look at this journel at
www.teachersofindia.org/en/content/right-angles-atria
Click here to Download
nice.good
sir.enikku e question answer cheyythu tharumo.
prove that the difference of the sum of first n terms and the next n terms of an A.P with common difference d is n^2d
ഇങ്ങനെ ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചത് അഭിനന്ദനാര്‍ഹമാണ് .
ഇത് ഒരു നല്ല തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയപ്രവര്‍ത്തനമാക്കി മാറ്റാമെന്ന് കരുതുന്നു
കുട്ടി ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് $1,2,3,4,\cdots $ എന്ന എണ്ണല്‍സംഖ്യാശ്രേണി പരിഗണിക്കണം . ഇതില്‍ രണ്ടെണ്ണം വീതം കൂട്ടി ഒരു ശ്രേണി എഴുതിനോക്കുക . അത് $3,7, 11 \cdots$ എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയായിരിക്കും . ഇനി മൂന്നെണ്ണം വീതം കൂട്ടി എഴുതിയാലോ? $ 6, 15, 24 \cdots $ എന്നായിരിക്കും കിട്ടുന്നത് . ഇനി നാലെണ്ണം വീതം കൂട്ടി എഴുതിയാല്‍ $10, 36, 52 \cdots $ എന്നായിരിക്കും കിട്ടുക.
രണ്ടുവീതം കൂട്ടിയാല്‍ പൊതുവ്യത്യാസം $2^2$ , മൂന്നുവീതം കൂട്ടിയാല്‍ പൊതുവ്യത്യാസം $3^2$ , നാലുവീതം കൂട്ടിയാല്‍ പൊതുവ്യത്്യാസം $4^2$ എന്നായിരിക്കും . ഇത് തുടരാന്‍ പറ്റുമല്ലോ .
n എണ്ണം വീതം കൂട്ടിയാല്‍ പൊതുവ്യത്യാസം $n^2$ ആയിരിക്കും . അതായത് ആദ്യത്തെ $n$ പദങ്ങളുടെ തുകയും തുടര്‍ന്നുള്ള n പദങ്ങളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം $n^2$ ആണല്ലോ.
ഇനി ഒരു സമാന്തരശ്രേണി എഴുതുക . അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം $2$ ആണെങ്കില്‍ രണ്ടുപദങ്ങള്‍ വീതം കൂട്ടിയാലുള്ള ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യസം $2^2\times 2$ ആണെന്നും , മൂന്നെണ്ണം വീതം കൂട്ടിയാലുള്ള വ്യത്യസം $ 3^2\times 2$ ആണെന്നും കിട്ടും .
ഇനി ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം 3 ആയാല്‍ രണ്ടെണ്ണം വീതം കൂട്ടിയാലുള്ള ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം$ 2^2\times 3$ ആണ് . പൊതുവ്യത്യസം $d$ ആയ സമാന്തരശ്രേണിയുടെ $n$ പദങ്ങള്‍വീതം കൂട്ടിയുണ്ടാക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം $n^2d$ ആണെന്ന് തിരിച്ചറിയാം . ഇതാണ് ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനുത്തരം
ബീജഗണിതരീതിയില്‍ ചെയ്തെടുക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്
ഇത് ഒരു പ്രോജക്ടാക്കുകയാണ് അഭികാമ്യം .
sir,Would you post some questions from Second degree equations.
it is very good
@ gsk
തിങ്കളാഴ്ച രാവിലെ നോക്കുക. കമന്റ് ചെയ്യാന്‍ മറക്കരുത്
sir.Will you help me to find answer to this question?
ABCD is a quadrilateral in WHICH AB=AC,BD=CD&angle DBC=2angleABD.
haiiii
can u plz help me by giving the question pool 2012 of all sujects published by scert for 10th std students.if u can help me plz send them to my email id:-sanjaykumarmonu686@gmail.com
Post a Comment