റൂട്ട് നാല് അഭിന്നകമാണോ?
>> Saturday, September 4, 2010
നമ്മുടെ ടീം മെമ്പറായ മുരളീധരന്‍ സാറിനെക്കുറിച്ച് ഒരാമുഖത്തിന്‍റെ ആവശ്യമില്ല. അദ്ദേഹം ആദ്യമായെഴുതുമ്പോള്‍ രണ്ട് വാക്ക് പറയാതെ ശരിയാകുമോ? മുമ്പൊരിക്കല്‍ ബ്ലോഗിലൂടെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചോദ്യപേപ്പര്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരുന്നു, കേട്ടോ. പാലക്കാട് ജില്ലയില്‍ നിന്നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര റിസോഴ്സ് പേഴ്സണ്‍ ആണ് മുരളിസാര്‍. DRG പരിശീലനക്യാമ്പുകളിലെ നിറസാന്നിധ്യമാണ് അദ്ദേഹം. വളരെക്കുറച്ച് സംസാരിക്കുന്ന വ്യക്തി. പറയുന്നത് ഗണിതമായിരിക്കും. അതിന് കനമുണ്ടായിരിക്കും. പണ്ട്, ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ കമന്റുചെയ്യുന്നതില്‍ നിന്നും മുരളിസാറിനെ വിലക്കിയതോര്‍ക്കുന്നു. എന്തിനായിരുന്നു അത്? പസിലുകള്‍ നിറഞ്ഞൊഴുകുന്ന കാലം. അഞ്ചുമണിവെളുപ്പിന് പോസ്റ്റുവന്നാല്‍ അഞ്ചുമിനിറ്റിനുള്ളില്‍ ഉത്തരമിട്ട് മുരളിസാര്‍ നാടുവിട്ടിരിക്കും. മറ്റുള്ളവര്‍ക്ക് ഒന്നു ചിന്തിക്കാന്‍ പോലും ഇടനല്‍കാതെ.... അഭിന്നകസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് മുരളിസാര്‍ എഴുതുന്നു. നമ്മള്‍, ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ക്ക് ചിന്തിക്കാനുള്ള ഒരു വഴിതുറക്കുകയാണ് അദ്ദേഹം. എവിടെയോ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്ന യുക്തിഭംഗത്തെ തിരിച്ചറിഞ്ഞുതന്നെയാണ് ഇതെഴുതിയത്. വിരോധാഭാസവഴിയിലൂടെ നടന്നുനീങ്ങുന്ന ഒരാള്‍ക്ക് പറ്റിയേക്കാവുന്ന അബദ്ധമായിരിക്കാം അദ്ദേഹം മറനീക്കുന്നത്. എന്തായാലും മുരളി സാര്‍ ഒരു അധ്യാപികയുടെ ക്ലാസിലേക്ക് നമ്മുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുകയാണ്. നമുക്കൊന്നു ശ്രദ്ധിക്കാം.
√2 അഭിന്നകമാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കാന്‍ ടീച്ചറുടെ ശ്രമം. √2 ഒരു ഭിന്നകമാണെങ്കില്‍ ആ ഭിന്നകത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 2 ആകണമല്ലോ. ഇതിനു വേണ്ടി ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം ഇരട്ടസംഖ്യകളാണെന്നും ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം ഒറ്റസംഖ്യകളാണെന്നും അനേകം ഉദാഹരണങ്ങള്‍ സഹിതം കുട്ടികളെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു . ഇരട്ടസംഖ്യകള്‍ 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാകയാല്‍ 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗം 2ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായിരിക്കും എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തിച്ചേരുന്നു.
അതുപോലെ 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗം 3ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായിരിക്കും എന്നും കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാല്‍ 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലങ്ങളും 2ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും എന്നും 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലങ്ങളും 3ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും എന്നും കണ്ടെത്തുന്നു.
ഇനി √2 ഭിന്നകമാണെന്ന് സങ്കല്‍പ്പിക്കുന്നു. ഈ ഭിന്നകത്തിന്റെ ലഘുരൂപം p/q ആണെന്നു സങ്കല്‍പ്പിക്കുന്നു.
ie √2 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 2 = p2/q2
=> p2 = 2q2
=> p2 രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=> p രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം say 2k
=> (2k)2 = 2q2
=> q2 രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=>q രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ രണ്ടിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല്‍ √2 ഭിന്നകമല്ല. (ഒരു ഭിന്നകത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗം 2 അല്ല.)
ഇതുപോലെ 2 ന്റെ ഗുണിതം എന്നതിനു പകരം 3 ന്റെ ഗുണിതം എന്നെടുത്താല്‍ √3 ഉം ഭിന്നകമല്ല എന്നു തെളിയിക്കാം എന്നു ടീച്ചര്‍ പറയുന്നു.
അപ്പോള്‍ ഒരു കുട്ടി √6 ഭിന്നകമല്ല എന്നു തെളിയിക്കാമോ എന്നു ചോദിക്കുന്നു.
ഇതിന് 6 ന്റെ ഗുണിതം എന്ന ആശയം എടുത്താല്‍ മതി എന്ന് ടീച്ചര്‍ പറയുന്നു.
√6 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 6 = p2/q2
=> p2 = 6q2
=> p2 ആറിന്റെ ഗുണിതം
=> p ആറിന്റെ ഗുണിതം say 6t
=> (6t)2 = 6q2
=> q2 = 6t2
=> q2 ആറിന്റെ ഗുണിതം
=>q ആറിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ ആറിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല്‍ √6 ഭിന്നകമല്ല. (ഒരു ഭിന്നകത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗം 6 അല്ല.)
ഇനി നിങ്ങള്‍ക്കിഷ്ടമുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഭിന്നകമല്ലെന്നു തെളിയിക്കൂ എന്നു ടീച്ചര്‍ കുട്ടികളോടാവശ്യപ്പെടുന്നു. ഒരു കുട്ടി ചെയ്തതിങ്ങനെ.
√4 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 4 = p2/q2
=> p2 = 4q2
=> p2 നാലിന്റെ ഗുണിതം
=> p നാലിന്റെ ഗുണിതം say 4a
=> (4a)2 = 4q2
=> q2 = 4a2
=> q2 നാലിന്റെ ഗുണിതം
=>q നാലിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ നാലിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല്‍ √4 ഭിന്നകമല്ല.
ഇതു കണ്ട ടീച്ചര്‍ അന്തം വിട്ടു നില്ക്കുന്നു. (കുറച്ചു നേരത്തേക്കെങ്കിലും). ഇവിടെ പിശകിയത് എവിടെയാണ്? ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ അഭിന്നകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ചര്‍ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ചോദ്യങ്ങളും സംശയങ്ങളുമൊക്കെയാകാം.
സമാന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കണ്ണൂര്‍ ജില്ലയിലെ കുഞ്ഞിമംഗലത്തു നിന്നും സി. മോഹനന്‍ സാര്‍ അയച്ചു തന്ന ഒരു ഡോക്യുമെന്റ് ഇതോടൊപ്പമുണ്ട്. ഇതു കൂടി ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് വിധേയമാക്കുമല്ലോ.
27 comments:
root 6 തെളിയിക്കുന്നതില്‍ തെ യുക്തിഭംഗമുണ്ട്.അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ റാഡിക്കിളുകളുടെ കാര്യത്തില്‍ മാത്രം ഈ രീതി ശരിയാകുകയുള്ളു
Vincent സാര്‍ കഴിഞ്ഞദിവസം ചോദിച്ച ചോദ്യമുണ്ട് . The square root of a prime is irrational . Prove!. തെളിവ് സാധ്യമാണ്.
root 4 ന്റെ കാര്യം . p^2 നാലിന്റെ ഗുണിതമായാല്‍ p നാലിന്റെ ഗുണിതമാകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണം 36
ശാക്തീകരണത്തില്‍ നമുക്ക് ചര്‍ച്ചക്കിടാം.
ഞാന്‍ root 6 ന്റെ ആഭിന്നകസ്വഭാവം തെളിയിച്ചത്മറ്റൊരു രീതിയിലാണ്.പിന്നെ വിശദമാക്കാം .
root 6 അഭിന്നകം
തെളിവ്
root 6 ഭിന്നകമാണെന്ന് കരുതുക. അതിന്റെ ലഘുരൂപം p/q ആണെന്നും
അതിനാല്‍ p , q എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലീയ പൊതുഘടകം 1 ആണ്.
6= p^2/q^2
6q^2 = p^2
ഇവിടെ നാലു സാധ്യതകള്‍ പരിശോധിക്കണം
p ഒറ്റ സംഖ്യ, q ഒറ്റ സംഖ്യ,
p ഒറ്റ സംഖ്യ, q ഇരട്ട,
p ഇരട്ട സംഖ്യ, q ഒറ്റ സംഖ്യ,
p ഇരട്ട സംഖ്യ, qഇരട്ട സംഖ്യ,
case 1
p = 2m+1 , q= 2n+1
6(2n+1)^2 = (2m+1)^2
This is inadmissible because LHS become even and RHS odd
Case 2
p= 2m+1 ,q = 2n
this is not [possible by the same reason
case 3
Both P and Q even
Not possible because 2 is not the HCF by our assumption.
The only possiblity P is even and q is odd
p= 2m and q= 2n+1
Now 6 (2n+1)^2 = (2m)^2 makes a contrdiction .As we get 2 the common factor it makes a contrdiction
our assumption is wrong
വാള്‍ട്ടര്‍ റുഡിന്‍ മുതല്‍ ഞാന്‍ കണ്ടിരിക്കുന്ന എല്ലാ real analysis പുസ്തകങ്ങളിലും root 2 ന്റെ അഭിന്നകസ്വഭാവം തെളിയിച്ചിരിക്കുന്നത് പാഠപുസ്തകത്തിലേതുപോലെയാണ്.
അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലങ്ങള്‍ മാത്രമേ ഈ രീതിക്കു വഴങ്ങുകയുള്ളു
ആശയ രൂപീകരണത്തിന് ഉത്തമമാതൃകയായ നമ്മുടെ ഒന്‍പതാംക്ലാസ് പാഠവപസ്തകത്തില്‍ side box ലെങ്കിലും ചേര്‍ക്കാമായിരുന്നു
ആശയരൂപീകരണത്തില്‍ നി
.
ഇവിടെ നോക്കൂ
.
1.p^2,2 ന്റെ ഗുണിതമായാല്‍ p,2ന്റെ ഗുണിതമാണ് (ശരിയായ പ്രസ്താവന )
2. p^2,6 ന്റെ ഗുണിതമായാല്‍ p,6 ന്റെ ഗുണിതമാണ് (ശരിയായ പ്രസ്താവന )
കാരണം 3 ന്റെ ഗുണിതമായ ഇരട്ട സംഖ്യ 6 ന്റെയും ഗുനിതമായിരിക്കും
3.p^2,4 ന്റെ ഗുണിതമായാല്‍ p,4ന്റെ ഗുണിതമാണ് ( തെറ്റായ പ്രസ്താവന )
അവ്യക്തമായ ഭാഷയില്‍, "root 2 അഭിന്നകമാണ്'" , "root 6 അഭിന്നകമാണ്" എന്നെല്ലാം പറയുന്നതിനു പകരം,
(root 2 എന്നാല്‍ എന്താണര്‍ത്ഥം?) "ഒരു ഭിന്നകസംഖ്യയുടേയും വര്‍ഗം 2 അല്ല", "ഒരു ഭിന്നകസംഖ്യയുടേയും വര്‍ഗം 6 അല്ല" എന്നൊക്കെ
എല്ലാവര്‍ക്കും മനസിലാകുന്ന ഭാഷയില്‍പ്പറയുന്നത് ശീലമാക്കിയാല്‍, മുരളീധരന്‍മാഷ് പറഞ്ഞതുപോലുള്ള പ്രശ്നമേ വരില്ലല്ലോ!
p^2 നാലിന്റെ ഗുണിതം ആയാല്‍ p നാലിന്റെ ഗുണിതം
എന്നത് ശരിയല്ല
Eg . p^2 = 100 (നാലിന്റെ ഗുണിതം)
p=root (25*4)
p= 10 (നാലിന്റെ ഗുണിതം അല്ല )
കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ പറഞ്ഞിടത്ത് പ്രശ്നം അവസാനിച്ചു എന്നാണ് എന്റെ പക്ഷം.പിന്നെ റൂട്ട്4 അഭിന്നകമാണൊ എന്നതിന് പ്രസക്തിയില്ലല്ലൊ
ഇത് സ്വാഭാവികമായും കുട്ടികൽ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അവിടെയല്ലെ അധ്യാപകന്‍റ ഇട്പെടൻ വരേണ്ടത്?
ജോൺ സാറിൻടെQUESTION PAPER, QUESTION NO:10, ചൊദ്യം വിശധീകരിക്കാമോ ?
കുട്ടികൾക്ക് ചെയ്യൻ ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ട്
@ Lalitha Teacher,
കോണുകളുടെ തുക എന്നതിനു പകരം കോണളവുകളുടെ തുക എന്നാക്കി മാറ്റിയാല്‍ ചോദ്യം വ്യക്തമാവില്ലേ.
ജോണ്‍ മാഷ് അങ്ങനെ അല്ലെ ഉദ്ദേശിച്ചത് ?
@ Lalitha teacher
1/q + 1/s = 2/r
q+s / qs = 2/r
(q+s) r = 2qs
But it is given as 2q = (p+r)
(q+s) r = (p+r) s
qr + rs = ps + rs
Hence
qr = ps
so p/q = r/s
Hence the proof
ഷെമിടീച്ചറെ
root 6 ,root 2 എന്നിവ ഭിന്നകമല്ല എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ പരീക്ഷയ്ക്കു ചോദിച്ചാലോ?
Dear Vincent Sir
P ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ √p അഭിന്നകമാണ്
രണ്ട് നിര്‍ഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ ഘടകമാണ് ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെങ്കില്‍ ആ അഭാജ്യസംഖ്യ അവയില്‍ ഒന്നിന്റെയെങ്കിലും ഘടകമായിരിക്കണം.
√p അഭിന്നകമല്ലെന്നുകരുതുക.അപ്പോള്‍ പിന്നെ ഭിന്നക.. അതിനെ a/b എന്നെഴുതാം ,gcd(a,b) =1
p=( a/b)^2
p b^2 = a^2
p എന്നത് a^2 ന്റെ ഘടകം
രണ്ട് നിര്‍ഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ ഘടകമാണ് ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെങ്കില്‍ ആ അഭാജ്യസംഖ്യ അവയില്‍ ഒന്നിന്റെയെങ്കിലും ഘടകമായിരിക്കണം.അതിനാല്‍ p എന്നത് a യുടെ ഘടകം
a = k*p എന്നെഴുതാമല്ലോ.
p b^2 = k^2*p^2
b^2 = p*K^2
p എന്നത് b^2 ന്റെ ഘടകം
p എന്നത് b യുടെ ഘടകം
അതിനാല്‍ gcd(a,b) ≠1
ഇതോരു വിരോധാഭാസം തന്നെ.അതിനാല്‍ നമ്മുടെ സങ്കല്പം ശരിയല്ല. √p ഭിന്നകമല്ല.
ഭിന്നകമോ അഭിന്നകമോ അല്ലാത്ത വേറെ രേഖീയസംഖ്യകള്‍ ഇല്ലാത്തതിനാല്‍ √p അഭിന്നകം തന്നെ
രണ്ട് നിസര്‍ഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ ഘടകമാണ് ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെങ്കില്‍ ആ അഭാജ്യസംഖ്യ അവയില്‍ ഒന്നിന്റെയെങ്കിലും ഘടകമായിരിക്കണം.
ശരി തന്നെ. പിന്നെ എന്തുകൊണ്ടാണ് മുരളിസാറിന്റെ ലേഖനത്തില്‍ " √6 അഭിന്നകമാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുന്നതില്‍ യുക്തിഭംഗമുണ്ട്" എന്ന് പറഞ്ഞത്?
√4 അഭിന്നകമാണ് എന്നൊക്കെ തെളിയിക്കാന്‍ പുറപ്പെടുന്നതിനു മുന്‍പ് ഒരു നിമിഷം ചിന്തിച്ചുനോക്കണ്ടെ?!
ഇതിന്റെ തെളിവിലെ മണ്ടത്തരം ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നതിനേക്കാള്‍ പ്രധാനം, ഒരു ഗണിത ആശയവും എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാത്തതെന്ത്കൊണ്ട് എന്ന് അന്വേഷിക്കുകയാണ്!
ഒരിക്കല്‍ എഴുതിയതുപോലെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സിലെ പുതിയ പുസ്തകത്തിലെ മാറ്റം ലക്‌ഷ്യം കാണാതെ പോകുകയാണോ എന്ന് സംശയിച്ചുപോകുന്നു.
September 4, 2010 9:10 PM
If a counting number is not a perfect square then its square root is irrational.
Proof:
'2' is not a perfect square.
Square root of 2is in between 1 and 2. So square root of 2 is a decimal number between 1 and 2. If we can find out this square root then the product, that is, "square root" X "square root" will be equal to 2. If there exists such a number, then the numbers from 1 to 9 should be the last number in the decimal part of that square root, and the product of the last number with itself should be equal to zero. Then only we get, "square root" X "square root" = 2.000.... But we know 1X1=1, 2X2=4, 3X3=9, 4X4=16, 5X5=25, 6X6=36, 7X7=49, 8X8=64, 9X9=81. That is there is no such a number as last number of the square root of 2. That is we can not find out the square root of 2 exactly. So square root of 2 is irrational. In the same way the sqare root of any counting number, which is not a perfect square is irrational. By rajeshchss@gmail.com
Shri Rajesh,
You have written in your "proof" that:
'If there exists such a number, then the numbers from 1 to 9 should be the last number in the decimal part of that square root ...'
How can you guarantee that there exists a last number?
Also, if there exists a last number then it immediately becomes a rational number!
@Rajesh
You have assumed that all rational numbers have decimal forms which terminate. This is not correct, as we have counterexample such as 1/3=0.333...
On the contrary suppose that root 6 is rational.
=> root6=p/q, (p,q)=1
=> p^2=6q^2
Clearly p^2 is even.(Since 6q^2=2*3q^2 is even)
=> p is even,say p=2k
=> 4k^2=6q^2
=> 2k^2=3q^2
=> 3q^2 is even
=> q^2 is even. (Since 3 is odd)
=> q is even.
Hence contradiction arises, and ...........
NOW think of root 4.
Student's claim : root 4 is irrational.
On the contrary suppose that root 4 is rational.
=> root4=p/q, (p,q)=1
=> p^2=4q^2
Clearly p^2 is even.(Since 4q^2=2*2q^2 is even)
=> p is even,say p=2k
=> 4k^2=4q^2
=> 2k^2=2q^2
=> 2q^2 is even
This does not imply that q is even.
Then how could we conclude the proof ?
I think here is that so called "യുക്തിഭംഗം"
@ Vincent
ഞാന്‍ ചോദിച്ചത് മുരളീധരന്‍ സാറിന്റെ ഒറിജിനല്‍ പോസ്റ്റില്‍ √6 അഭിന്നകമാണ് എന്ന് തെളിയിച്ചതില്‍ എവിടെയാണ് യുക്തിഭംഗം എന്നാണ്.
വിന്‍സെന്റ് സാറിന്റെ തെളിവില്‍ കാണിച്ചതുപോലെ p,q എന്നിവയ്ക്ക് പൊതുഘടകം 2 ലഭിക്കുന്നതായും അതുപോലെ 3 ലഭിക്കുന്നതായും അതുകൊണ്ടുതന്നെ 6 ലഭിക്കുന്നതായും കാണിച്ചു വൈരുദ്ധ്യത്തില്‍ എത്താം.
പിന്നെ √4 - ന്റെ കാര്യത്തില്‍ , അത് അഭിന്നകമാണെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ പോകുന്നതിലാണ് യുക്തിഭംഗം !
കഴിഞ്ഞ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കില്‍ എട്ടാം ക്ലാസില്‍ വര്‍ഗമൂലം കണ്ടെത്താന്‍ പഠിപ്പിച്ചിരുന്നു. പുതിയ എട്ടാം ക്ലാസ് ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കിലോ ഒന്‍പതിലോ വര്‍ഗമൂലം കണ്ടെത്താന്‍ പഠിപ്പിച്ചിരുന്നുവെങ്കില്‍ റൂട്ട് 2 ഉം റൂട്ട് മൂന്നുമൊക്കെ കുട്ടികള്‍ സ്വയം കണ്ടെത്തുമായിരുന്നില്ലേ?
സമാന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കണ്ണൂര്‍ ജില്ലയിലെ കുഞ്ഞിമംഗലത്തു നിന്നും സി. മോഹനന്‍ സാര്‍ അയച്ചു തന്ന ഒരു ഡോക്യുമെന്റ് ഇതോടൊപ്പമുണ്ട്. ഇതു കൂടി ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് വിധേയമാക്കുമല്ലോ.
മോഹനന്‍ സാറിന്റെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ ഉചിതമായിരിക്കുന്നു.തീര്‍ച്ചയായും കുട്ടികള്‍ക്കും നമുക്കും പ്രയോജനം ചെയ്യും.നാളെ ഇത് ക്ലാസില്‍ അവതരിപ്പിക്കണം.നന്ദി മോഹനന്‍ സാര്‍
dear hari sir,the post of 'geogebra'is not readable. pl make
it clear
C.Mohanan
6 is not a square of a rational number
proof :-suppose 6= p²/q² ( p , q are integers having no common factor)
then p² = 6q²
= 2 x 3 q²
=> p² is a multiple of 2
=> p is a multiple of 2 (say 2m)
=> 4m² = 2 x 3 q²
2m² = 3 q²
=> q² is a multiple of 2
=> q is a multiple of 2
=> p & q are multiples of 2 ( contradicts the assumption that p & q have no common factor)
mash enna prayodam ozhivaakkanam ennu abhyarthikkunnu
Post a Comment