PURE MATHEMATICAL CONSTRUCTIONS

കാസറഗോഡ് ജില്ലയിലെ കണിയ ജിവിഎച്ച്എസ്എസ്സിലെ ഹെഡ്‌മാസ്റ്ററാണ് ശ്രീ സി മോഹനന്‍ സാര്‍. വര്‍ഷങ്ങളായി ഗണിത എസ് ആര്‍ ജിയായി പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന അദ്ദേഹം എട്ടാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകസമിതി അംഗംകൂടിയാണ്. 'പൈ'ചരിത്രവും പ്രത്യേകതകളും ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട്'പൈ മാഹാത്മ്യം'എന്നപേരില്‍ ഒരു ഓട്ടന്തുള്ളല്‍ തയ്യാറാക്കുകയും, ആയത് സിഡികളിലാക്കി പുറത്തിറക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരിനമായ 'പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷനെ'ക്കുറിച്ച് ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ അദ്ദേഹം വായനക്കാരുമായി പങ്കുവെക്കുന്നത്, വളരേ പ്രധാനപ്പെട്ട ചില വസ്തുതകളാണ്. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങളുണ്ടായേക്കാം. എങ്കിലും, പോസ്റ്റിനുതാഴേയുള്ള കമന്റുകളിലൂടെ അവ ക്രോഡീകരിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താവുന്നതല്ലേയുള്ളൂ?
 പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ (Pure Mathematical Construction)സംസ്ഥാന സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിൽ ഹൈസ്കൂൾ , ഹയർ സെക്കന്ററി വിഭാഗങ്ങളിലെ മത്സരയിനമാണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ ക്ഷൻ. ഒന്നിലധികം ആശയങ്ങളുടെ സമന്വയത്തിലൂടെ നൂതനമായ ഒട്ടേറെ നിർമിതികൾ മത്സരത്തിനെത്തുന്നുണ്ട്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള ചില നിർമിതികൾ സംസ്ഥാനതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടുകാണുന്നുണ്ട്. സകെച്ച് പേന ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതികൾ , കൈവരകൾ (free hand drawing) ഉള്‍പ്പെടുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ (eg. construction of ellipse, cycloid etc.), ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിർമിതികൾ ഇവ അത്തരത്തിലുള്ള ചില നിർമിതികളാണ്. ഇതിൽ നിന്നും , മത്സരാർത്ഥികളിലും അവരെ പരിശീലിപ്പിക്കുന്നവരിലും ജില്ലയിൽ നിന്നും അവരെ തെരഞ്ഞെടുത്തയക്കുന്ന വിധികർത്താക്കളിലും ഇത് സംബന്ധിച്ച് അവ്യക്തത നിലനിൽക്കുന്നു എന്ന് കരുതാവുന്നതാണ്. ഈ കുറിപ്പും തുടർന്നുള്ള ചർച്ചയും പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷക്ഷനെ കുറിച്ച് പരമാവധി വ്യക്തത കൈവരുത്താനുതകം എന്ന പ്രതീക്ഷയിലാണ് ഇതെഴുതുന്നത്.

 എന്താണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷൻ ?
പുസ്തകങ്ങളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്: "Pure mathematical construction is the construction of lines, angles and other geometrical figures using only an idealized ruler(straight edge) and compass". “Compass may not be directly used to transfer distances. (This is an unimportant restriction, since using multistep procedure, a distance can be transferred.)”

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്: " റൂളർ (അങ്കനം ചെയ്യാത്ത സ്കെയിൽ) , കോമ്പസ് എന്നിവ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി. നിർമാണപ്രക്രിയയിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവയ്ക്ക് ഉയർന്ന പരിഗണന നൽകണം. ചാർട്ടിന്റെ വലിപ്പത്തിലായിരിക്കണം നിർമിതികൾ. പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ചാണ് വരയ്യേണ്ടത്. നിറം നൽകാൻ പാടില്ല. ഒരേ ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി 3 ചാർട്ടുകൾ വരേ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. " 

സ്കെച്ച് പേന ഉപയോഗിക്കരുതെന്ന് ഇതിൽ നിന്നും വ്യക്തമാണ്. റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി എന്ന് കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതു കൊണ്ട് കൈവരകൾ (free hand drawing) പറ്റില്ല. മാത്രമല്ല കൈവരകളിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ട് തന്നെ ellipse, cycloid തുടങ്ങിയ നിര്‍മ്മിതികളിലെ free hand drawing അംഗീകരിക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല. ത്രിമാന രൂപങ്ങളുടെ നിർമിതി സാധ്യമാണോയെന്നതാണ് മറ്റൊരു വിഷയം. ചതുരപ്പെട്ടിയുടെ ഒരു മുഖത്തിന് അഭിമുഖമായി നിൽക്കുമ്പോൾ , ആ മുഖം മാത്രമേ കാണുകയുള്ളൂ (അതാകട്ടെ ദ്വിമാന രൂപമായ ചതുരമാണ്). 3 മുഖങ്ങൾ കാണത്തക്കവിധത്തിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരാളുടെ കാഴ്ചയിൽ വരയ്ക്കുമ്പോൾ ഒരു മുഖം ചതുരമായും രണ്ട് മുഖങ്ങൾ സാമാന്തരികമായും (യഥാർത്ഥത്തിൽ ചതുരമായ മുഖങ്ങൾ) മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കുകയുള്ളൂ. മാത്രമല്ല സാമാന്തരികങ്ങളുടെ ചരിവ് വരുന്നത് . നോക്കുന്നയാളുടെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ചാണ് ഇവിടെയും നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ല. ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിര്‍മ്മിതി സാധ്യമല്ലെങ്കില്‍ "doubling the cube" (construction of a cube with twice the volume of a given cube) എന്ന പ്രശ്നത്തിന് എന്താണ് പ്രസക്തി എന്ന് ചോദിക്കുന്നവരുണ്ട്. പൊതുവായി പരാമർശിക്കുമ്പോൾ construction of a cube എന്ന് പറയാറുണ്ടെങ്കിലും അതേക്കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ വ്യക്തമായി ഇങ്ങിനെ പറയുന്നു: “It is impossible to construct a side of a cube that has twice the volume of a cube with a given side" (This is impossible because we cannot construct a line of length cube root of 2, ) അതായത്, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമോയെന്നതാണ് പരിശോധിക്കപ്പെടേണ്ടുന്ന മറ്റൊരു വിഷയം. ഇതേ കുറിച്ച് മാന്വലിൽ ഒന്നും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. 

പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷനെ കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ , Compass may not be directly used to transfer distances എന്നും, This is an unimportant restriction എന്നുമാണ് പറഞ്ഞിട്ടുള്ളത്. അപ്രധാനമായ നിബന്ധന എന്ന് പറയാൻ കാരണം, റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നിലധികം വരകളിലൂടെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നതാണ് (അതായത് പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷന്റെ മാനദണ്ഡങ്ങൾക്കനുസൃതമായിത്തന്നെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നർത്ഥം). അങ്ങിനെ മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കാര്യത്തിൽ നിർബന്ധം പിടിക്കാതിരിക്കുന്നതിലൂടെ വരകളിലെ സങ്കീർണ്ണത ഒഴിവാക്കാൻ സാധിക്കും എന്ന മെച്ചമുണ്ട്. മാത്രമല്ല മാന്വലിൽ ഒന്നും പരാമർശിച്ചിട്ടുമില്ല. ആയതിനാൽ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമെന്നത് അംഗീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

പലപ്പോഴും സബ് ജില്ലാതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയുടെ എണ്ണം കുറവായതുകൊണ്ടും ഒന്നും രണ്ടും സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുകൊണ്ടും രണ്ടെണ്ണം സെലക്ട് ചെയ്യുകയും ഓരോന്നിനും A grade നൽകുകയുമാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഒന്നാലോചിച്ചാൽ ഇങ്ങിനെ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ തെറ്റായ സന്ദേശം നൽകുകയാണ്. മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള നിർമിതികൾ അംഗീകരിക്കപ്പെടുകയാണ്. ഈ തെറ്റ് ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കുന്നതിനിടയാക്കുകയാണ്. ഇങ്ങിനെ സെലക്ട് ചെയ്യപ്പെട്ടുവരുന്നവയിൽ ചിലത് ജില്ലാതലത്തിൽ നിന്നും സ്ഥാനം നേടി സംസ്ഥാനതലത്തിലുമെത്തുന്നു. ചിലതിനൊക്കെ A gradeലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് വളരെ നിർഭാഗ്യകരമായ ഒരു അവസ്ഥയാണ് എന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. ഇനിയുള്ള വർഷങ്ങളിൽ അപാകതകൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ടുള്ള മത്സരവും വിധിയെഴുത്തും ഉണ്ടാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Equality of Triangles : A tool for Geometric Construction

എട്ടാംക്ലാസിലെ പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തിലെ ഒന്നാമത്തെ യൂണിറ്റ് ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയാണ് . യൂക്ലിഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയുടെ എല്ലാ ലാളിത്യവും ഉള്‍ക്കൊണ്ട് തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്ന മനോഹരമായ അവതരണമാണ് പാഠപുസ്തകത്തിലെ ഈ പഠനഭാഗം . ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നുവശങ്ങള്‍ മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നുവശങ്ങളോട് തുല്യമായാല്‍ തുല്യമായ വശങ്ങള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകള്‍ തുല്യമായിരിക്കുമെന്ന് ഏതൊരു കുട്ടിയ്ക്കും മനസിലാകും വിധം പറഞ്ഞുവെച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതുപോലെ തന്നെയാണ് മറ്റു തൃകോണതുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഭാഗങ്ങളും .
യൂണിറ്റിന്റെ അവസാനഭാഗത്താണ് സമഭാജികളെക്കുറിച്ച് പരാമര്‍ശിക്കുന്നത് . തൃകോണങ്ങളുടെ തുല്യത ഒരു ടൂളായി വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് നിര്‍മ്മിതികളുടെ ജ്യാമിതീയ കാഴ്തപ്പാടുകള്‍ മറനീക്കിയിരിക്കുന്നു. അര്‍ത്ഥമറിഞ്ഞ് കണക്കുപഠിക്കാന്‍ പ്രേരിപ്പിക്കുന്ന അവതരണരീതിയെ ആന്മാര്‍തഥമായി പ്രശംസിക്കാം .
സര്‍വ്വസമത അഥവാ തുല്യത ഒരു ടൂളായി ഉപയോഗീക്കാവുന്ന ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ് .
ഒരു കോണ്‍വരച്ച് അതിനെ സമഭാഗം ചെയ്യാന്‍ ടീച്ചര്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. നിര്‍മ്മിതിക്കാവശ്യമായ എല്ലാ ഉപകരണങ്ങളും ജ്യാമിതിപെട്ടിയില്‍ നിന്ന് പുറത്തെടുത്ത് കുട്ടികള്‍ വരച്ചുതുടങ്ങി . വരക്കാനുള്ള ഉപകരണങ്ങളൊന്നും കൈവശമില്ലാതെയിരുന്ന അരുണ്‍ കണക്കില്‍ മിടുമിടുക്കനായിരുന്നു. അവര്‍ ഒരു സ്ക്കെയില്‍ എവിടെനിന്നോ സംഘടിപ്പിച്ചു. അതുപയോഗിച്ച് ഒരു കോണ്‍ വരച്ചു. കോണിന്റെ ശീര്‍ഷം $O$ എന്നുപേരിട്ടു. ശീര്‍ഷത്തില്‍നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത അകലത്തില്‍ ഭുജങ്ങളിലേ‍ $ A, B$ എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തി. മറ്റൊരു അകലമെടുത്ത് ഭുജങ്ങളില്‍ $C, D$ എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തി. പിന്നെ $ B$യും $ C$ യും ചേര്‍ത്തുവരച്ചു. അതുപോലെ $A$ യും $D$ യും ചേര്‍ത്തു. $ AD$ , $ BC$ എന്നീ വരകള്‍ കൂട്ടിമുട്ടുന്നിടം $P$ എന്ന് എഴുതി . $ O$ യില്‍ നിന്നും $ P$ യിലൂടെയുള്ള വര കോണിന്റെ സമഭാജിയാണെന്ന് അരുണ്‍ അവകാശപ്പെട്ടു.
ചിത്രം നോക്കുക

ത്രികോണതുല്യതയുടെ ചിന്തകള്‍ $\triangle OBC$യും $\triangle OAD$ യും പരിഗണിക്കുക. ഇവ തുല്യത്രികോണങ്ങളാണല്ലോ? തീര്‍ച്ചയായും . അതുകൊണ്ട് $ OB$എന്ന വശത്തിന് എതിരെയുള്ള കോണും $OA$ എന്ന വശത്തിന് എതിരെയുള്ള കോണും തുല്യമാണ് . $ \angle C=\angle D$. കൂടാതെ $\angle APC$യും $‌\angle BPD$യും തുല്യമാണല്ലോ? അതിനാല്‍ $\angle CAP=\angle DBP$ ആയിരിക്കും .
$‌‌\triangle PAC$യും $ ‌\triangle PBD$ യും പരിഗണിക്കാം . ഇവ തുല്യത്രികോണങ്ങളാണ് . അപ്പോള്‍ $ PA=PB$ ആകുന്നു.
ഇനി $\triangle PAO, ‌\triangle PBO$ എന്നിവ തുല്യത്രികോണങ്ങളാണ് . അതിനാല്‍ $‌\angle POB=\angle POA$ ആയിരിക്കും .
ഇനി ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനത്തിന്റെ പോസ്റ്റര്‍ ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്യുക .
തുല്യത്രികോണങ്ങള്‍: ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനം

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Art of Counting : A new approach on finding diagonal sum of Polygons.

അന്വേഷണാന്മക ഗണിതപഠനത്തിന്റെ വിശാലമായ ലോകത്തേയ്ക്ക് ഗണിത വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെയും അധ്യാപകരെയും കൂട്ടിക്കൊണ്ടു പോകുകയാണ് ലക്ഷ്മി ടീച്ചര്‍. ആലുവ വിദ്യാഭ്യാസജില്ലയില്‍ കാലടി ബ്രഹ്മാനന്ദോദയം ഹയര്‍ സെക്കന്ററി സ്ക്കൂളിലെ ഗണിതാധ്യാപികയാണ് ലക്ഷ്മി ടീച്ചര്‍. DRG കൂടിയായ ടീച്ചര്‍ ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളിലെ നിറസാന്നിധ്യമാണ്. ടീച്ചറിന്റെ ഈ പുതിയ കാഴ്ചപ്പാടിനെ ഒരു പഠനപ്രോജക്ടായി കാണുകയാണ് അഭികാമ്യം. കാരണം; ഇതില്‍ വിവശേഖരണം, അപഗ്രഥനം, സൈദ്ധാന്തികവിശകലനം എന്നീ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും വളരെ സമൃദ്ധമായി വിന്യസിച്ചിരിക്കുന്നു.

ബഹുഭുജങ്ങളും അവയുടെ വികര്‍ണ്ണങ്ങളും നമുക്ക് സുപരിചിതമാണ്. ഏതൊരു ബഹുഭുജത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും ശീര്‍ഷങ്ങളുടെ എണ്ണവും തുല്യമാണ്. $n$ വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഒരു ശീര്‍ഷത്തില്‍നിന്നും വരക്കാവുന്ന പരമാവധി വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണം $(n-3)$ ആണല്ലോ. ശീര്‍ഷങ്ങളില്‍നിന്നും വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ വരച്ചാല്‍ ആകെ $n(n-3)$ വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകും. എതിര്‍ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാണ് വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ വരക്കുന്നത് എന്നതിനാല്‍ ആകെ വരക്കാവുന്ന വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ $‌\frac{n(n-3)}{2}$ആകും. ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളിലെത്തുമ്പോള്‍ എണ്ണലിന്റെ അടിസ്ഥാനപ്രമാണവും കോമ്പിനേഷന്‍ എന്ന ഗണിതരീതിയും മനസ്സിലാക്കുമ്പോള്‍ വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണം $ ^nC_2-n$ എന്നെഴുതി ലഘൂകരിച്ച് ഈ ഫലത്തില്‍ എത്താവുന്നതാണ് .

എന്നാല്‍ ഈ പോസ്റ്റില്‍ മുന്നോട്ടുവെയ്ക്കുന്ന രീതി മറ്റൊന്നാണ്. ഒരു ഗണിതാശയത്തെ വ്യത്യസ്ത രീതിയില്‍ സമീപിക്കുന്നത് പുതിയ പഠനസമീപനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതയാണ്. അതുകൊണ്ടുതന്നെ ലക്ഷ്മി ടീച്ചര്‍ മുന്നോട്ടുവെയ്ക്കുന്ന സമീപനം ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടേണ്ടതാണ്. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഫയല്‍ വായിച്ച് കമന്റ് ചെയ്യുമല്ലോ.
പുതിയ സമീപനത്തിന്റെ പി ഡി എഫ് രൂപം

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

SSLC 2014 - Maths Video Tutorials By Sunny Thomas Sir

സണ്ണി തോമസ് സാര്‍ അയച്ചു തന്ന മാത്സ് വീഡിയോ ടൂട്ടോറിയിലുകളാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചിരിക്കുന്നത്.. സാറിന്റെ വാക്കുകളിലേക്ക്...

"സഖ്യകള് തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളെ ബീജഗണിത ഭാഷയിഇല് എഴുതാന് കഴിയും. SSLC പരീക്ഷയിലെ 23 ആമത്തെ ചോദ്യം ഈ ഭാഗത്തും (അധ്യായം 10 ) നിന്നും ആണ് ചോദിക്കുന്നത്. 5 മാര് ക്ക്‌ ആണ് ഈ ചോദ്യത്തിനു ലഭിക്കുനത്. 2012 മുതല് 2014 മോഡല് പരീക്ഷ വരെ ഇതുവരെ ചോദിച്ച ചോദ്യങ്ങള് വിശകലാനം ചെയ്തുകൊണ്ട് . വളരെ എളുപ്പത്തില് ഏതുകുട്ടിക്കും ഈ 5 മാര് ക്ക്‌ സ്വന്തക്കാന് കഴിയുന്ന വിധത്തില ഒരുക്ക്യിരിക്കുന്നവയാണ് ഈ വീഡിയോകള് ഇതില് ആദ്യത്തെ കുറച്ചു ഭാഗങ്ങള് ചോദ്യങ്ങള് എപ്രകാരം ആയിരിക്കും അവ എങ്ങനെ ചെയ്യാം എന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.തുടര്ന്ന്ള ഭാഗങ്ങളില് 2012 മുതലുള്ള എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളും പൂര്ണമായും ചെയ്തിരിക്കുന്നു. ഒരു ക്ലാസ്സില് ഇരിക്കുന്നതുപോലെ നിങ്ങള്ക്ക് കേട്ടുകൊണ്ടും കണ്ടുകൊണ്ടും പഠിക്കാം. 5 മാര് ക്ക്‌ നിങ്ങളുടെ പോകറ്റില് ആക്കാന് ഭാഗം 1 മുതല് ഭാഗം 13 വരെ കാണുക "

all lectures are Malayalam audio but question in English.

• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 1
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 2
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 3
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 4
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 5
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 6
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 7- ( MODEL EXAM 2014)
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 8 (SAY EXAM - 2013)
• SSLC ചോദ്യം 23 മാർക്ക് 5 വീഡിയോ ഭാഗം 9 (SSLC EXAM - MARCH- 2013)
• SSLC ചോദ്യം 23 മാര്ക്ക് -5 വീഡിയോ ഭാഗം- 10 ( model 2013)
• SSLC ചോദ്യം 16 മാര്ക്ക് - 4വീഡിയോ ഭാഗം- 11( say 2012)
• SSLC ചോദ്യം 20 മാര്ക്ക് -5 വീഡിയോ ഭാഗം- 12 ( march 2012)
• SSLC ചോദ്യം 20 മാര്ക്ക് -5 വീഡിയോ ഭാഗം- 13 ( model 2012)

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

SSLC Maths : 100 Easy Questions

ചെറിയ ചെറിയ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുമ്പോള്‍ ആത്മവിശ്വാസം വര്‍ധിക്കും. മാത്രമല്ല കഠിനമായ ചോദ്യങ്ങളില്‍ ഒന്നിലേറെ ലളിതമായ ആശയങ്ങള്‍ ആണുള്ളതെന്ന സത്യം നമുക്കെല്ലാവര്‍ക്കും അറിയുകയും ചെയ്യാം. ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങളില്‍ അറിയാവുന്ന ആദ്യഭാഗങ്ങള്‍ക്കെങ്കിലും ഉത്തരം എഴുതാമെങ്കില്‍ കുറച്ച് മാര്‍ക്ക് ലഭിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇത്തരത്തില്‍ നൂറു ചോദ്യങ്ങളടങ്ങുന്ന ഒരു പാക്കേജ് തയ്യാറാക്കി ഒരു പരീക്ഷണത്തിന് ഒരുങ്ങുകയാണ് 16 വര്‍ഷത്തെ അധ്യാപനപരിചയമുള്ള ഗോപീകൃഷ്ണന്‍ സാര്‍. ചുവടെയുള്ള ലിങ്കില്‍ നിന്നും നൂറു ചോദ്യങ്ങളുടെ ഈ പാക്കേജ് ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം. പാലക്കാട് കിഴക്കഞ്ചേരി ജി.എച്ച്.എസ്.എസിലെ ഗണിതശാസ്ത്രാധ്യാപകനായ അദ്ദേഹം തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്ന ഈ പാക്കേജ് കുട്ടികള്‍ക്ക് പരിശീലനത്തിന് നല്‍കി നോക്കൂ. മാറ്റം നേരിട്ട് നമുക്ക് അറിയാനാകുമെന്നു തീര്‍ച്ച.

ഗണിതപഠനം ചെറിയ ചെറിയ ആശയങ്ങളുടെ കൂട്ടായ്മയിലൂടെയാണ് പൂര്‍ണമാകുന്നത്. A+ സ്വപ്നംകാണുന്ന കുട്ടിക്കും D+ന് വേണ്ടി പ്രാര്‍ഥിക്കുന്ന കുട്ടിക്കും അടിസ്ഥാനപരമായ അറിവ് ഒരേ പോലെ ഗുണം ചെയ്യും. അത്തരം അറിവ് പരീക്ഷിക്കാന്‍ ഏറ്റവും നല്ലത് ഒറ്റ വാക്യത്തില്‍ ഉത്തരം എഴുതാവുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ നേരിടുകയെന്നതാണ്. എല്ലാ പാഠങ്ങളിലും അത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് 4,7,10 എന്ന ശ്രേണിയുടെ അടുത്ത പദം എന്ത് എന്ന ചോദ്യം തന്നെയെടുക്കാം. ചോദ്യം ലഭിക്കുന്നതോടെ കുട്ടി ആദ്യം ചിന്തിക്കുന്നത് 4 നോട് എന്തു കൂട്ടുമ്പോഴാണ് 7 കിട്ടുന്നത് എന്നായിരിക്കും. 3 കൂട്ടിയാല്‍ മതി എന്ന് അവന്‍ സ്വയം തിരിച്ചറിയുകയാണ്. പിന്നീട് 7 നോട് 3 കൂട്ടി തൊട്ടടുത്ത പദം 10 തന്നെ വരുന്നില്ലേ എന്ന് അവന്‍ ഉറപ്പു വരുത്തുന്നു. തുടര്‍ന്ന് അടുത്ത പദങ്ങള്‍ കൂട്ടിക്കൂട്ടി പറയാന്‍ അവന് ആത്മവിശ്വാസം ലഭിക്കുന്നു. സമാന്തരശ്രേണി എന്ന യൂണിറ്റിലെ ആദ്യ ലേണിങ് ഒബ്ജക്ടീവ് അവനില്‍ ഉറച്ചു കഴിഞ്ഞു. ഇത്തരത്തില്‍ പാഠപുസ്തകത്തിലൂടെയുള്ള ഒരു യാത്രയാണ് ഈ നൂറു ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ കുട്ടികള്‍ക്ക് നടത്താനാവുക. നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Click here to download the 100 Easy questions

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

----Challenges of a mathematics Teacher: --- നാം പ്രതിസന്ധികളെ മറികടക്കുന്നത്

പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ പുതുക്കിയെഴുതുന്ന കാലത്ത് കേരളത്തിലെ ഒരു പൊതുവിദ്യാലയത്തിലെ ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്റെ ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. രാകേഷ് സാര്‍ ആലപ്പുഴയില്‍ നിന്നുള്ള റിസോഴ്സ് പേഴ്സണനാണ്. മാത്​സ് ബ്ലോഗിന്റെ നിത്യസന്ദര്‍ശകനും. രാകേഷ് സാര്‍ എഴുതുന്നു... അഞ്ചാം തരം മുതല്‍ പത്താം തരം വരെയുള്ള നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോള്‍ വായനക്കാരന് വിവിധ കാഴ്ചപാടുകള്‍ അത് സമ്മാനിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി വായനക്കാരന് തന്റെ മാതൃഭാഷയായ മലയാളത്തിനോടുള്ള ഇഷ്ടം,സ്നേഹം,ബഹുമാനം ഇവയൊക്കെ തന്നെ ഗണിതപാഠപുസ്തകം സമ്മാനിക്കുന്നുണ്ട്.കൂടാതെ നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം പഠിക്കലാണ്- പഠിപ്പിക്കലാണ് ഏതൊരു ഗണിതവിദ്യാര്‍ത്ഥിയും ഗണിതാദ്ധ്യാപകനും ചെയ്യേണ്ടത് എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം അടിവരയിട്ട് പറയുന്നു. അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ പല സ്ഥലങ്ങളിലും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു-(അതായത് പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നു).ഇത്തരം പ്രതിസന്ധികള്‍ ഉണ്ടാകുന്നതും അവ തരണം ചെയ്യുന്നതുമൊക്കെ തന്നെ വളരെ മനോഹരമായി നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്. 1 മുതല്‍ 12 വരെയുള്ള പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ 2014-2016 കാലയളവില്‍ മാറുകയാണല്ലോ.മാറ്റത്തെ നമുക്ക് സ്വാഗതം ചെയ്യാം.അതോടൊപ്പം തന്നെ നമ്മള്‍--നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു,മാറ്റത്തിലും മാറാതെ നില്‍ക്കേണ്ടത് എന്തൊക്കെ,ഇനിയും എന്തൊക്കെ മാറ്റങ്ങളാണ് നമുക്ക് വേണ്ടത് എന്ന് ഓരോ ഗണിത പ്രേമിയും ആലോചിക്കേണ്ടതാണ്. അത്തരം ആലോചനകള്‍ക്ക് ആക്കം കൂട്ടാന്‍ ഈ കുറിപ്പിനും ഒരു പങ്കുണ്ടാകട്ടെ എന്നാഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട് തുടങ്ങുന്നു.

1)$2\times3=\cdots$,
2)$2\times-3=\cdots$,
3)$4\times \frac{1}{2}=\cdots$,
4)$-3\times-2=\cdots$,
5)$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\cdots$,
6)$3\times 2=.\cdots$
7)$-3\times 2=\cdots$,
8) $\frac{1}{2}\times 4=\cdots$

മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം ഒരേ അര്‍ത്ഥമാണോ? $2\times3=2$ തവണ $3$ കൂട്ടുക എന്നാണല്ലോ അര്‍ത്ഥം.അതായത് $2\times3=3+3=6$. അതുപോലെ $3\times2=3$ തവണ $2$ കൂട്ടുക എന്ന് വരുന്നു.അതായത്$3\times2=2+2+2=6$ അപ്പോള്‍ $2\times3=3\times2$. ഇനിയും $2\times-3$ ന്റെ അര്‍ത്ഥം പരിഗണിച്ചാലൊ? $2\times-3=2$ തവണ $-3$കൂട്ടുക എന്നു കിട്ടുന്നു.അതായത് $2\times-3=-3+-3=-6$.ഈ രീതിയില്‍ തന്നെ മുന്നോട്ടു പോയാല്‍ $-3\times 2=-3$ തവണ $2$കൂട്ടുക എന്ന് പറയേണ്ടി വരുന്നു.പക്ഷേ $-3$ തവണ എന്നൊരു തവണ ഇല്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളില്‍ നാം കണ്ട അര്‍ത്ഥം ഇവിടെ ശരിയാകുന്നില്ല എന്നു വരുന്നു. ഇതു നമ്മുടെ ഒരു പ്രതിസന്ധി ഘട്ടമാണ്. ഈ പ്രതിസന്ധി ഘട്ടം നമുക്ക് തരണം ചെയ്യേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്; അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.

എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ $a \times b$യും $b \times a$യും ഒന്നു തന്നെയാണല്ലോ.ഈ ഒരു സ്വഭാവം $2\times-3$, $-3\times2$ ഇവയിലേക്കും ആരോപിക്കുന്നു.അതായത് $-3\times2$ എന്നത് $2 \times -3$ ന് തുല്യമാണ് എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കുന്നു. അപ്പോള്‍ $-3 \times 2=2 \times -3= -6$ .ഇതുപോലെ അരത്തവണ എന്നൊന്നില്ലാത്തതിനാല്‍ $\frac{1}{2} \times 4$ നും $4 \times \frac{1}{2}$ എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു.ഇത്തരത്തില്‍ നിര്‍വ്വചനങ്ങളുടെ തന്നെ യുക്തി പരിശോധിച്ച് അരക്കിട്ടുറപ്പിക്കുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്.

വീണ്ടും എട്ടാം തരത്തിലേക്ക് വന്നാല്‍, സര്‍വ്വസമത്രികോണങ്ങള്‍ എന്ന അധ്യായത്തില്‍ $12,13$ പേജുകളിലായി രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുന്നയിക്കുന്നുണ്ട്;
a) ഒരു വശവും ഏതെങ്കിലും 2 കോണുകളും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
b) രണ്ടു വശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
നമ്മുടെ മുന്‍ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും സമാന്തര textbook ളിലും(NCERT,ICSE) വേണ്ടത്ര ഗൗരവമായി ചര്‍ച്ചചെയ്യപ്പെടാത്ത രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളാണിവ.മറ്റൊരു കാര്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധതിരിച്ചാല്‍,--പുതിയ അര്‍ത്ഥങ്ങള്‍കല്‍പ്പിക്കുമ്പോള്‍ ഒന്നില്‍കൂടുതല്‍ തത്വങ്ങളെ ഒരു തത്വമായി ചുരുക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു.ഉദാഹരണമായി കൃതികളുടെ ഹരണത്തിന് ഏഴാം ക്ളാസില്‍ പഠിച്ച രണ്ടു തത്വങ്ങള്‍ ഇവയാണ്.

1.$m>n$ ആയാല്‍$\frac{x^m}{x^n} =x^{m-n}$
2.$m < n$ ആയാല്‍ $\frac{x^m}{x^n}$ =$\frac{1}{x^{n-m}}$ അതായത് $\frac{4^5}{4^2}= 4^{5-2}= 4^3$ $\frac{4^2}{4^5} =\frac{1}{4^{5-2}}=\frac{1}{4^3}$ എന്തുകൊണ്ടാണ് $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$എന്നെഴുതാന്‍ കഴിയാത്തത്? $4^3$ എന്നതിന് 3 എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്നാണല്ലോഅര്‍ത്ഥം.പക്ഷേ $4^{-3}$ എന്നതിന് $-3$ എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്ന് അര്‍ത്ഥം സ്വീകരിക്കാനും പറ്റില്ല.അപ്പോള്‍ ന്യൂനസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തിന് പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുത്തതുപോലെ ന്യൂനകൃതികള്‍ക്കും പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കാം.എങ്കില്‍ $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$ എന്ന് നമ്മള്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കില്‍( പ്രതിസന്ധി മറികടക്കാന്‍ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുവെങ്കില്‍) $4^{-3}$ ന് $\frac{1}{4^3}$ എന്ന അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കേണ്ടി വരുന്നു. പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍,x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതുസംഖ്യയായാലും n ഏതു എണ്ണല്‍സംഖ്യയായാലും $x^{-n}$ എന്നത് $\frac{1}{ x^n}$ ആകുന്നുഎന്ന് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കാം.അതായത് $x^{-n} =\frac{1}{x^n}$ .ഇങ്ങനെഅര്‍ത്ഥം കൊടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച 2 തത്വങ്ങള്‍ക്കു പകരം $m>n$ ആയാലും $m < n$ ആയാലും $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$ എന്ന ഒരു തത്വം മതി. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം;കോണുകള്‍ A,B,Cയും വശങ്ങള്‍a,b,c യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം; കോണുകള്‍ $A,B,C$യും വശങ്ങള്‍$a,b,c$ യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. $\angle A < 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin A$ $\angle A > 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin(180-A)$ $\angle A = 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc $ ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക എന്ന സമാന ആശയത്തിന് വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍വേണ്ടിവരുന്നു.ഈ പ്രതിസന്ധി തരണം ചെയ്യാന്‍ $90^\circ$ യേക്കാള്‍ വലിയ കോണുകള്‍ക്കും ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ പുതുതായി നിര്‍വ്വചിച്ചാല്‍ മതിയാകും. അപ്പോള്‍ $\sin(180-x)=\sin x$ എന്നും $\sin 90^\circ =1$ എന്നും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ മുകളില്‍ പരാമര്‍ശിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളെ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യത്തില്‍, പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc SinA$, ഒതുക്കാം.

മറ്റൊന്നുള്ളത് മുന്‍കാലങ്ങളിലും $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:1:\sqrt{2}$ ആണന്നും $30^\circ$,$60^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:\sqrt{3}:2$ ആണന്നതും നമ്മള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യ്ത കാര്യങ്ങളാണ്. പക്ഷേ ഇപ്പോള്‍ കുറെക്കൂടി വലിയ ക്യാന്‍വാസിലാണ് കാര്യങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.ഏതുത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ അംശബന്ധം,കോണുകളുടെ $\sin$ അളവുകളുടെ അംശബന്ധത്തിന് തുല്യമാണ് $(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C)$ എന്ന മനോഹരമായ,അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണ്ണമായ ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാനുള്ള ചവിട്ടുപടികളായിട്ടാണ് നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച അംശബന്ധങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.

ചുരുക്കത്തില്‍ ഏഴാം തരത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളെ മുഖാമുഖം കാണുന്ന കുട്ടിക്ക് പത്താംതരത്തില്‍ത്രികോണമിതിയില്‍എത്തുമ്പോഴേക്കും ആടിത്തിമിര്‍ക്കാനുള്ള അവസരമാണ് ഒരുക്കിയിട്ടുള്ളത്. ഇങ്ങനെ ആടിതിമിര്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ ഭാവിയില്‍ CBI പോലെയുളള അന്വേഷണാത്മക ടീമിന്റെ നേതൃത്വനിരയിലേക്കും ഉയരും എന്ന കാര്യത്തിലും രണ്ടു പക്ഷമില്ല. അഭിന്നകസംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ഒന്നു പരാമര്‍ശിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒന്‍പതാം തരത്തില്‍ രണ്ടാമത്തെ അദ്ധ്യായത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഓരോ കുട്ടിയും പ്രതിസന്ധികള്‍ തരണം ചെയ്യുന്നത് മുഖാമുഖം കാണുകയാണ്. പുതിയ അര്‍ത്ഥ സങ്കല്‍പ്പങ്ങള്‍ കണ്ടാസ്വദിക്കാന്‍ സാധിച്ച കുട്ടി, അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ എല്ലാ നീളങ്ങളെയും താന്‍ പരിചയപ്പെട്ട ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടളക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നു. ഒരു സമചതുരത്തില്‍, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഏതു ഭിന്നകസംഖ്യാ ഗുണിതമെടുത്താലും അതു വികര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളത്തിനു തുല്യമാകില്ല എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം ബോധ്യപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ ഗണിത ചരിത്രത്തിലെ തന്നെവലിയ ഒരു പ്രതിസന്ധി പഠിതാവും ഏറ്റെടുക്കുകയാണ്. തുടര്‍ന്ന് ആ പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നതും അഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും എല്ലാം അര്‍ഹിക്കുന്ന ഗൗരവത്തോടെയാണ് ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.

ഏതു പ്രവര്‍ത്തനവും ചില ചിന്തകളിലേക്ക് നയിക്കുകയും അതില്‍ നിന്ന് യുക്തിപൂര്‍വ്വം ചില ആശയങ്ങളിലെത്തുകയും ഈ ആശയങ്ങള്‍ പുതിയ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്കും പുതിയ ചിന്തകളിലേക്കും നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിതപാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്. ഈ അവസരത്തില്‍ ഒരു കാര്യം കൂടി-- കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ കാര്‍മികത്വത്തില്‍ $11,12$ ക്ളാസുകളിലേക്കും കൂടി, മലയാളിക്ക് അഭിമാനിക്കാവുന്ന, നെഞ്ചോട് ചേര്‍ത്തുപിടിക്കാവുന്ന ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകണമെന്ന് ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

ഏതൊരു ഭാഷയും നിലനില്‍ക്കുന്നതും ഉയരങ്ങള്‍ കീഴടക്കുന്നതും അത് ഏറ്റെടുക്കുന്നവരുടെ ആത്മാര്‍ത്ഥതയെയും കൂടി അനുസരിച്ചാണല്ലോ. കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ നേതൃത്വപരമായ ഇടപെടലുകളിലൂടെ പുതിയ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഒരുപിടി പുതിയ മലയാളപദങ്ങള്‍ നമുക്ക് സമ്മാനിച്ചു.

1. പരപ്പളവ്----വിസ്തീര്‍ണ്ണം---Area
2. സമാനകോണുകള്‍---സമസ്ഥാനീയ കോണുകള്‍--Corresponding angles
3. മറുകോണുകള്‍---ഏകാന്തരകോണുകള്‍--Alternate angles
4. പുറംകോണുകള്‍--- ബാഹ്യകോണുകള്‍--Exterior angles
5. തൊടുവര---സ്പര്‍ശരേഖ ---Tangent
6. മധ്യമരേഖ---Medians
7. മധ്യമം---Median
8. മഹിതം---Mode
9. ചതുരചിത്രം--Histogram
10. വൃത്താംശം--Sector
11. ബഹുപദം---polynomial
12. പരിഹാരം;... solution

മറ്റൊരു കാര്യം കൂടി സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഈ കുറിപ്പ് അവസാനിപ്പിക്കുകയാണ്. നിരന്തര മൂല്യനിര്‍ണയത്തില്‍ ഗണിത ക്വിസിന്റെ പങ്ക് 2003 മുതല്‍ നടപ്പിലാക്കിയ CCE പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ ഇന്നത്തെ അവസ്ഥ എന്താണ്? CCE കേവലം മാര്‍ക്കിടല്‍ ചടങ്ങായി തരംതാണു എന്നൊരു ആക്ഷേപം നിലനില്‍ക്കുകയാണല്ലോ. ഇത്തരം പ്രതിസന്ധികളും നമുക്ക് തരണം ചെയ്യതേ പറ്റു.പത്തു വര്‍ഷത്തെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളില്‍ നിന്നും പാഠം ഉള്‍ക്കൊണ്ട് പുതിയ തലങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് പോകേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.ഈ അദ്ധ്യയനവര്‍ഷം മുതല്‍ നടപ്പിലാക്കിതുടങ്ങിയ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപന രേഖയില്‍ നിന്നും ആരംഭിക്കാം.

പഠനപ്രക്രിയയുടെ അനിവാര്യ ഘടകമാണല്ലോ പഠിതാവിനെ വിലയിരുത്തുക എന്നത്. ഇപ്പോഴത്തെ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപനം മൂന്ന് മാനങ്ങളിലായി ക്രോഡീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

1.Assessment as learning
2.Assessment for learning
3. Assessment of learning

1. Assessment as learning(വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനം)(പഠിതാവിന്റെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠിതാവ് തന്റെമികവുകളും പരിമിതികളും തിരിച്ചറിയുന്ന സ്വയം വിലയിരുത്തല്‍ പ്രക്രയ.ഇത് സ്വയം വിമര്‍ശനത്തിനുള്ള അവസരം ഒരുക്കുകയും തിരുത്തല്‍ പ്രക്രിയ കാര്യക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.ഇവിടെ വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി മാറുന്നു.ഇത് കൂടുതല്‍ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിലേക്ക്നയിക്കുന്നു.
2. Assessment for learning(പഠനത്തിനായുള്ള വിലയിരുത്തല്‍)(പഠനത്തിനു വേണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍): പഠന ബോധന പ്രക്രിയയില്‍ തന്റെ പഠിതാക്കള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു?അവര്‍ എവിടെയാണ് എത്തിച്ചേരേണ്ടത്?അദ്ധ്യാപകനായ ഞാന്‍ ഇതിന് എന്തെല്ലാം ചെയ്യണം? ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരം തേടലാണ് പഠനത്തിനുവണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍.പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ ആസൂത്രണത്തിനും നിര്‍വ്വഹണത്തിനും ഈ വിലയിരുത്തല്‍ അനിവാര്യമാണ്.
3. Assessment of learning(പഠനത്തെ വിലയിരുത്തല്‍)(പഠിച്ചതിനെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠനബോധന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നിശ്ചിതഘട്ടത്തിനു ശേഷം വിലയിരുത്തുമ്പോള്‍ അത്പഠനത്തെവിലയിരുത്തലാകുന്നു.പഠിതാവിലുണ്ടായ മാറ്റം,പഠനനിലവാരം നേടിയ അറിവ് എത്രമാത്രം പ്രയോജനപ്പെടുന്നു തുടങ്ങിയവ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ വിലയിരുത്തല്‍ സഹായകമാണ്.

ക്ളാസ്റൂം പഠനത്തിന്റെ ഭാഗമായി നടക്കുന്നതാണല്ലോ നിരന്തരവിലയിരുത്തല്‍.ഗണിതശാസ്ത്രപഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിരന്തരവിലയിരുത്തലിന് സ്വീകരിക്കാവുന്ന/സ്വീകരിക്കുന്ന ധാരാളം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ഉണ്ട്. ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളെ 4 അടിസ്ഥാന മേഖലകളാക്കി നിരന്തര വിലയിരുത്തലിന് (HS തലത്തില്‍) പരിഗണിക്കുന്നു.

മേഖല 1-ദൈനംദിന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 2-അന്വേഷണാത്മക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 3-പ്രായോഗിക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 4-സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍

നാലാമത്തെ മേഖലയിലാണ് ഗണിതക്വിസ് ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.സര്‍ഗാത്മകമായ കഴിവുകളും വിഷയസംബന്ധമായ കഴിവുകളും പ്രകടിപ്പിക്കുവാനുളള അവസരമാണ് ഈ മേഖലയിലൂടെ കിട്ടുന്നത്.ക്വിസ്, ചോദ്യനിര്‍മ്മാണം,പസിലുകള്‍, ഗെയിമുകള്‍ ചാര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കല്‍, മോഡലുകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കല്‍, കവിതകള്‍,നാടകങ്ങള്‍, കാര്‍ട്ടൂണുകള്‍ ഐ സി റ്റി പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍, ഗണിതപതിപ്പ്, ഗണിതകഥ എന്നിവ ഈ മേഖലയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.

ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ വിലയിരുത്തലിന് ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂചകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാം.
സൂചകങ്ങള്‍

1. ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം
2. ചോദ്യങ്ങളുടെ വൈവിധ്യം
3. ചോദ്യങ്ങളിലെ ലാളിത്യം
4. അവതരണം

ഈ സൂചകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി good,average,to be improved എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി 3,2,1 എന്നീ സ്കോറുകള്‍ നല്‍കി ശരാശരി സ്കോര്‍ കണക്കാക്കാം. ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത—പെന്‍സിലും പേപ്പറും എടുക്കാതെ ഒന്നോ രണ്ടോ മിനിട്ടു കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ ക്രിയകള്‍ നടത്തി ഉത്തരത്തില്‍ എത്തിച്ചേരണം. അപ്പോള്‍ സ്വാഭാവികമായും ,ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം അന്വേഷിച്ചിറങ്ങുന്ന ഏതൊരു കുട്ടിക്കും ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങള്‍ സമഗ്രമായും സൂക്ഷ്മമായും മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവസരം വന്നു ചേരുന്നു.

1 Click Here to download Quiz Paper prepared by Rakesh Sir
2. Old post on State level Quiz
3. IT QUIZ POST

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഒമ്പതാംക്ലാസ് ഗണിത 'പരീക്ഷണം?

കണ്ണൂര്‍ ജില്ലയിലെ അഴീക്കോട് ഹൈസ്കൂളിലെ സിന്ധുടീച്ചര്‍, ഈയടുത്തകാലത്ത് നമുക്ക് ലഭിച്ച വിലപ്പെട്ട വരദാനമാണ്. അതങ്ങിനെയാണ്! മാത്​സ് ബ്ലോഗിന് എല്ലാ കാലത്തും ഇത്തരം നിസ്വാര്‍ത്ഥ പരിശ്രമശാലികളെ കൂട്ടിനു കിട്ടും.ഇന്നലെ ഫ്ലാഷായി സ്ക്രോള്‍ ചെയ്തതോര്‍ക്കുന്നുണ്ടോ,ഒമ്പതിലെ ഉത്തരസൂചിക എഴുതി സ്കാന്‍ ചെയ്തയക്കാന്‍? എന്നാല്‍ ഭംഗിയായി ടൈപ്പ് ചെയ്ത് തയ്യാറാക്കിയ ഉത്തരസൂചിക ടീച്ചറില്‍ നിന്നും മെയിലിലെത്തിയത് വെളുപ്പിന് 1.50 ന്! നമിക്കുന്നു.എങ്കില്‍ പിന്നെ അതു വൈകേണ്ടായെന്നങ്ങു വെച്ചു. അത്രതന്നെ!

ഐഎഎസ് പരീക്ഷയോ, ഒമ്പതിലെ ഗണിതമോ എന്നൊക്കെ വായനക്കാരില്‍ ചിലരെങ്കിലും സംശയിച്ച ഈ പേപ്പറിനെക്കുറിച്ചും ഉത്തരങ്ങളെക്കുറിച്ചും ചര്‍ച്ച വേണമെന്നു തോന്നുന്നു.
STD IX Maths Annual Examination Question Paper
കുറേക്കൂടി വ്യക്തതയുള്ള ചോദ്യപേപ്പര്‍ ലഭിക്കുന്ന മുറയ്ക്ക് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നതാണ്

സിന്ധു ടീച്ചര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ഉത്തരസൂചിക (Set A)


പി ഒ സണ്ണി സാര്‍ (തൊടിയൂര്‍, കരുനാഗപ്പിള്ളി കൊല്ലം)തയ്യാറാക്കിയ ഉത്തരസൂചിക Edited (Set A)

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

State Math Quiz 2012

കോഴിക്കോട് രണ്ടാഴ്ച മുമ്പ് നടന്ന സംസ്ഥാന ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഗണിത ക്വിസ്സ് മത്സരത്തിലെ ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളുമെല്ലാം പകര്‍ത്തിയെടുത്ത് ഭംഗിയായി ടൈപ്പ് ചെയ്ത് പിഡിഎഫ് ആക്കി അയച്ചുതന്നത് നമ്മുടെ സുഹൃത്ത് വിന്‍സെന്റ് സാറാണ്.കോഴിക്കോട് ജില്ലയിലെ മഞ്ഞുവയല്‍ വിമലാ യുപി സ്കൂള്‍ അധ്യാപകനായ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഈ സദുദ്യമത്തിന് നന്ദി. പ്രസിദ്ധ ഗണിത ഗ്രന്ഥകാരനായ ശ്രീ എംആര്‍സി നായരായിരുന്നു ക്വിസ് മാസ്റ്റര്‍.
ചോദ്യങ്ങള്‍

ഉത്തരങ്ങള്‍

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

geogebra 4

കേരളത്തിലെ പൊതുവിദ്യാലയങ്ങളില്‍ കഴിഞ്ഞ അധ്യയനവര്‍ഷം വരെ ICT അധിഷ്ഠിത പഠനപ്രക്രിയയില്‍ Ubuntu 10.04(IT@ School കസ്‌റ്റമൈസ് ചെയ്‌ത ലിനക്‌സ് OS) ല്‍ ജിയോജിബ്രയുടെ പഴയ വേര്‍ഷനായിരുന്നു (geogebra 3.2) ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്.എന്നാല്‍ ഈ അധ്യയന വര്‍ഷം, പത്താം ക്ലാസ്സിലെ പുതിയ ICT പാഠപുസ്‌തകത്തോടൊപ്പം നല്‍കിയ Ubuntu10.04 ലും പിന്നീട് നല്‍കിയ Ubuntu 11.04 OSലും ജിയോജിബ്രയുടെ പുതിയ വേര്‍ഷനായ geogebra 4 ആണ് ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.അടിസ്ഥാനപരമായി പുതിയതിലും പഴയതിലും വ്യത്യാസമൊന്നുമില്ലെങ്കില്‍പ്പോലും,പാഠപുസ്‌തകത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ച് ജിയോജിബ്ര പഠിക്കുന്നവര്‍ക്കും പഠിപ്പിക്കുന്നവര്‍ക്കും ചില ബുദ്ധിമുട്ടുകള്‍ അനുഭവപ്പെട്ടതായി അറിയാന്‍ കഴിഞ്ഞു. ജിയോജിബ്രയുടെ പുതിയ വേര്‍ഷനിലൂടെ 8, 9,10 ക്ലാസ്സുകളിലെ ജിയോജിബ്ര പാഠഭാഗത്തിലെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്ക് പോകുന്നതിനു മുമ്പ് geogebra 4 ലെ പ്രത്യേകതകള്‍ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് നോക്കാം. Education മെനുവില്‍ നിന്നും ജിയോജിബ്ര സോഫ്‌റ്റ്‌വെയര്‍ പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കാം.

തുറന്നുവന്നിരിക്കുന്ന ജാലകത്തിന്റെ പ്രത്യേകതകള്‍ നിരീക്ഷിക്കുക. െനു ബാറില്‍ വന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ 1. View മെനുവില്‍ Graphics, Graphics 2, Keyboard തുടങ്ങിയ പുതിയ ഓപ്‌ഷനുകള്‍ കൂടി ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ Graphicsഎന്നതിലേയും Graphics 2 എന്നതിലേയും ചെക്ക് ബോക്‌സുകളില്‍ ടിക്ക് മാര്‍ക്കുകള്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍ ഒരേ സമയം നമുക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്‌ത ജാലകങ്ങളില്‍ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാം. ഇവയെ നമുക്ക് ഇതേ രീതിയില്‍ത്തന്നെ സേവ് ചെയ്യാനും സാധിക്കും. 2. Perspectives എന്ന പേരില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയ പുതിയ മെനുവില്‍ 1. Algebra & Graphics 2.Basic Geometry 3.Geometry 4.Spreadsheet & Graphics 5.Manage Perspectives 6.Save Current Perspective തുടങ്ങിയ ഓപ്‌ഷനുകള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ജ്യാമിതിയിലെ അടിസ്ഥാന വസ്‌തുതകള്‍ മാത്രം പരിശീലിപ്പിക്കേണ്ട അവസരം വരുമ്പോള്‍ Perspectives മെനുവില്‍ നിന്നും Basic Geometry എന്ന ഓപ്‌ഷന്‍ സെലക്‌ട് ചെയ്‌താല്‍ മതിയാകും 3. ടൂള്‍ ബാറില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള എല്ലാ ടൂളുകളേയും Tools മെനുവില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്നതാണ് മറ്റൊരു പ്രത്യേകത. 4. പുതിയ വേര്‍ഷനില്‍ Slider Tool ഉപയോഗപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട് തയ്യാറാക്കിയ (അനിമേഷന്‍) ജിയോജിബ്ര ഫയലുകളെ gif ഫയലുകളായി എക്‌സ്‌പോര്‍ട്ട് ചെയ്യാനും സാധിക്കും തുറന്നു വരുന്ന ജാലകത്തില്‍ Algebra പാര്‍ട്ടും Graphics പാര്‍ട്ടും കാണാം. ഇവയില്‍ Toggle Styling Bar, Show View in New Window, Close തുടങ്ങിയ മൂന്നു ബട്ടണുകള്‍ കാണാം. ഇവയിലോരോന്നിലും ക്ലിക്കു ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ നിരീക്ഷിക്കുക. Graphics പാര്‍ട്ടിലെ close ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്കു ചെയ്‌തു കഴിഞ്ഞാല്‍ ജാലകം വീണ്ടും പ്രത്യക്ഷപ്പെടാന്‍ View മെനുവിലെ അവശ്യമായ ഒപ്‌ഷനില്‍ ടിക്ക് മാര്‍ക്ക് നല്‍കിയാല്‍ മതിയാകും. (** ഇങ്ങനെ ടിക്ക് മാര്‍ക്ക് നല്‍കാതെ ടൂള്‍ ബാറില്‍ നിന്നും ടൂളുകളെടുത്ത് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാന്‍ ശ്രമിച്ച് പരാചയപ്പെട്ടവര്‍ നമ്മുടെ കൂട്ടത്തിലുണ്ടാകാം !) Algebra പാര്‍ട്ടിലെ close ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്കുചെയ്‌തു കഴിഞ്ഞാല്‍ ടൂള്‍ ബാറിനു തൊട്ടു താഴെയായി Axes, Grid തുടങ്ങിയവ ഒഴിവാക്കാനും ഉള്‍പ്പെടുത്താനും (hide/view) ഉള്ള ഓപ്‌ഷനുകളും കാണാം. New Tools 1.Point on Object 2.Attach / Detach Point 3.Complex Number 4.PolyLine Between Points 5.Rigid Polygone 6.Vector Polygon 7.Create List 8.Pen Tool 9.Probability Calculator 10.Function Inspector 11.Insert Button 12.Insert Input Box Changed Tools 1.Translate Object by Vector 2.Insert Text Tool 3.Slider Tool 4.Checkbox Tool 5.Locus tool പ്രവര്‍ത്തനം1. ജിയോജിബ്രയിലെ ടൂളുകള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഏതാനും ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കി നോക്കൂ. ജ്യാമിതിയിലെ അടിസ്ഥാനരൂപമാണല്ലോ ബിന്ദു. Point Tools ലെ New point എന്ന ടൂളുപയോഗിച്ച് തലത്തിലെവിടെയും ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്താം. ഇനി ഒരു രേഖ (Line)(വര) വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ ? Line Tools ലുള്ള Line through Two Points എന്ന ടൂളെടുത്ത് Algebra part ലുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുകയോ ഒഴിഞ്ഞ പ്രതലത്തില്‍ (Graphic Part) രണ്ട് തവണ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുകയോ ചെയ്താല്‍ മതി. ഒരു രേഖാഖണ്ഡം (Line segment ) വരയ്ക്കാനും Line Tools ലുള്ള Segment between Two Points എന്ന ടൂളെടുത്ത് Algebra View വിലുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുകയോ ഒഴിഞ്ഞ പ്രതലത്തില്‍(Graphic Part) രണ്ട് തവണ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുകയോ ചെയ്താല്‍ മതി. ഒന്നില്‍ക്കുടുതല്‍ വരകള്‍ വരച്ചാല്‍ അവ കൂട്ടിമുട്ടുന്നുണ്ടാകാം. Intersect ചെയ്യുന്ന ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്താന്‍ Point Toolsള്ള Intersect Two Objects എന്ന ടൂളെടുത്ത് രണ്ട് വരകളിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്താല്‍ മതി. പുതിയ വേര്‍ഷനില്‍ Intersect Two Objects എന്ന ടൂളെടുത്തതിനുശേഷം, മൗസ് പോയിന്റര്‍ വരകള്‍ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ഭാഗത്തേക്ക് കൊണ്ടുവരുമ്പോള്‍ രണ്ടു വരകളും സെലക്‌ടായി വരുന്നതുപോലെ കാണാം. ആ സമയത്ത് മൗസ് ക്ലിക്ക് ചെയ്‌താലും,മതി. രണ്ട് വരകള്‍ കൂടിച്ചേര്‍ന്നപ്പോള്‍ അവയ്ക്കിടയില്‍ കോണുകളും ഉണ്ടായല്ലോ. മൂന്ന് ബിന്ദുക്കളാണ് ഒരു കോണിനെ നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്നത്. Measurement Tools ലുള്ള Angle ടൂളെടുത്ത് മൂന്ന് ബിന്ദുക്കളിലും ക്രമമായി ക്ലിക്ക് ചെയ്താല്‍ മതി. ഇങ്ങനെ ക്ലിക്കുചെയ്യുമ്പോള്‍ ഏതു ഭാഗത്താണ് കോണളവ് രേഖപ്പെടുത്തിവരുന്നത് എന്ന കാര്യം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക. പുതിയ വേര്‍ഷനില്‍ Angle ടൂളെടുത്ത് രണ്ട് വരകളില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്‌താലും മതി. ചിത്രത്തിലെ നാല് കോണുകളും അടയാളപ്പെടുത്തിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ എതിര്‍ സ്ഥാനത്ത് വരുന്ന കോണുകളുടെ പ്രത്യേകത എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുക. പല വരകള്‍ വരച്ച് എല്ലാ ചിത്രത്തിലും ഇത് ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിനുപകരം നമുക്ക് Move ടൂളുപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം. പ്രവര്‍ത്തനം2. ഒരു വരയും അതിന് സമാന്തരമായി മറ്റൊരു വരയും. ഈ രണ്ട് വരകളേയും മറ്റൊരു വര നെടുകെ മുറിക്കുന്നു. ഓരോ വരയിലും സമാനസ്ഥാനങ്ങളിലുള്ള കോണുകള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക. അളവുകള്‍ക്കെന്തെങ്കിലും സവിശേഷതയുണ്ടോ ? വരകള്‍ മാറിയാല്‍ ഈ സവിശേഷത നിലനില്‍ക്കുന്നുണ്ടോ ?

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ദൃഷ്ടിയില്‍ വരയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേകത മാത്രമേയുള്ളൂ. അതിന്റെ നീളം. പക്ഷെ കടലാസില്‍ നാമൊരു വര വരയ്ക്കുമ്പോള്‍ നീളം മാത്രമല്ല പരിഗണിക്കുക. അതിന്റെ നിറം, പേര്, വരയ്ക്ക് കനം എത്ര വേണം ? തുടങ്ങിയവയെല്ലാം പരിഗണിക്കും. നിങ്ങള്‍ വരച്ച വരയുടെ പ്രത്യേകതകള്‍ പരിശോധിക്കൂ. പേര് നല്കാന്‍ : Right click (object)--> show label എന്ന ഇനം ചെക്ക് മാര്‍ക്ക് ചെയ്താല്‍ മതി. പുതിയ വേര്‍ഷനില്‍ Show Label എന്നതിലെ ചെക്ക് മാര്‍ക്ക് default ആയി നല്‍കിയിരിക്കുന്നതിനാല്‍ പേര് തനിയെ വന്നുകൊള്ളും. പേര് മാറ്റാന്‍ : Right click (object)--> rename നിറം, സ്റ്റൈല്‍: Right click (object)-->Properties--> ആവശ്യമായമാറ്റങ്ങള്‍ വരുത്താം. പ്രവര്‍ത്തനം3. 10cm നീളത്തില്‍ AB എന്ന വര വരച്ച് അതിന് മധ്യലംബം വരയ്ക്കുക. 10cm നീളത്തില്‍ വരയ്ക്കാന്‍ segment with given length from point എന്ന ടൂള്‍ ആണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. മധ്യലംബം വരയ്ക്കാന്‍ Special Line Tools ലുള്ള Perpendicular Bisector ടൂളുപയോഗിച്ചാല്‍ മതി. പ്രവര്‍ത്തനം4. ഒരു സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ഇതില്‍ തുല്യ വശങ്ങള്‍ ചേരുന്ന മൂലയില്‍ നിന്ന് എതിര്‍വശത്തേക്കുള്ള ലംബം, ഈ വശത്തേയും ഈ മൂലയിലുള്ള കോണിനേയും സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു എന്ന നിരീക്ഷണം എല്ലാ ത്രികോണങ്ങള്‍ക്കും ശരിയാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കാന്‍ Polygon Tools ലുള്ള Regular Polygon Tool ഉപയോഗിക്കാം. (അല്ലെങ്കില്‍ വ്യത്യസ്‌ത ടൂളുകള്‍ ( Segment between Two Point, Circle with Centre through Point തുടങ്ങിയവ) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടും നിര്‍മ്മിക്കാം.) പ്രവര്‍ത്തനം5. ഒരു ത്രികോണം നിര്‍മ്മിച്ച് അതിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളും അളന്നെഴുതുക. അതിന്റെ മൂന്ന് മൂലകളിലൂടെയും കടന്നു പോകുന്ന ഒരു വൃത്തവും വരയ്ക്കുക. വൃത്തകേന്ദ്രവും അടയാളപ്പെടുത്തി വ്യത്യസ്‌ത തരം ത്രികോണങ്ങളില്‍ വൃത്തകേന്ദ്രം എവിടെയാണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. ത്രികോണം വരയ്ക്കാന്‍ Polygon Tool ഉപയോഗിക്കാം. ( Segment between Two Point ടൂള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടും നിര്‍മ്മിക്കാം.) കോണുകള്‍ അളന്നെഴുതാന്‍ Measurement Tools ലുള്ള Angle ടൂളുപയോഗിക്കാം. ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് മൂലകളിലൂടെയും കടന്നു പോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാന്‍ Circle & Arc Tools ലുള്ള Circle through Three Points ടൂളാണുപയോഗിക്കേണ്ടത്. വൃത്തകേന്ദ്രം അടയാളപ്പെടുത്താന്‍ Point Tools ലുള്ള Midpoint or Center ടൂളെടുത്ത് വൃത്തത്തിന്റെ മുകളില്‍ ഒരു തവണ ക്നിക്കു ചെയ്‌താല്‍ മതി. പ്രവര്‍ത്തനം6. AB=6cm AC=7cm, $\angle A=70^\circ$ അളവുകളിലുള്ള ത്രികോണം ABC വരയ്ക്കുക. 6cm നീളമുള്ള രേഖാഖണ്ഡം AB വരയ്ക്കാന്‍ Line Tools ലുള്ള Segment with given Length from Point ടൂളാണുപയോഗിക്കേണ്ടത്. $\angle A=70^\circ$ കോണ്‍ അടയാളപ്പെടുത്താന്‍ Measurement Tools ലുള്ള Angle with Given Size ടൂളാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ബിന്ദു C അടയാളപ്പെടുത്താന്‍ Circle & Arc Tools ലുള്ള Circle with Centre and Radius ടൂള്‍ ഉപയോഗിക്കാം. പ്രവര്‍ത്തനം6. ചതുര്‍ഭുജം, പഞ്ചഭുജം, ഷഡ്ഭുജം എന്നീ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ Polygon ടൂളുപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കുക. ഇവയുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം, ചുറ്റളവ്, പരപ്പളവ് എന്നിവ ഓരോ രൂപത്തിലും അചയാളപ്പെടുത്തുക. ബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാന്‍ polygon ടൂള്‍ ആണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്തുതന്നെ അവസാനി പ്പിച്ചെങ്കില്‍ മാത്രമേ ചിത്രം പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. നീളം, ചുറ്റളവ്, പരപ്പളവ് എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്താന്‍ Measurement Tools ലുള്ള Length or Distance, Area എന്നീ ടൂളുകള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്താം. സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാന്‍ regular polygon ടൂള്‍ ആണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. പ്രവര്‍ത്തനം7. ടെക്‌സ്‌റ്റും സമവാക്യങ്ങളും ജിയോജിബ്ര ജാലകത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തല്‍

ജിയോജിബ്ര ജാലകത്തില്‍ ടെക്‌സ്‌റ്റ് ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ Special Object Tools ലുള്ള Insert Text എന്ന ടൂളുപയോഗിക്കാം.

Text എന്ന പേരോടുകൂടി വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്സിലെ Edit എന്നതില്‍ ആവശ്യമായ ടെക്‌സ്‌റ്റുകള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താം. Polygon ടൂളുപയോഗിച്ചാണ് ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നതെങ്കില്‍ Angle ടൂളെടുത്ത് ത്രികോണ ക്ഷേത്രത്തിനുള്ളില്‍ ഒരു തവണ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുന്നതോടെ ത്രികോണത്തിനുള്ളില്‍ കോണളവുകള്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടും. ത്രികോണം ABC യിലെ കോണുകള്‍ക്ക് α, β, γ എന്നിങ്ങനെയുള്ള പേരുകളാണ് സോഫ്‌റ്റ്‌വെയര്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. Move ടൂളുപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശീര്‍ഷങ്ങളില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്‌ത് ഡ്രാഗ് ചെയ്യുമ്പോള്‍ കോണുകളുടെ അളവുകളും മാറുന്നതായി കാണാം. ഈ രീതിയിലുള്ള ടെക്‌സ്‌റ്റുകളും (Dynamic Text) ജിയോജിബ്ര ജാലകത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ സാധിക്കും. Text എന്ന പേരോടുകൂടി വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്സിലെ Edit എന്നതില്‍ "

എന്ന രീതിയിലുള്ള ടെക്‌സ്‌റ്റ് ലഭിക്കാന്‍ "A+B+C=”( α+β+γ) എന്നാണ് Edit ഡയലോഗ് ബോക്‌സില്‍ നല്‍കേണ്ടത്.

(α, β, γ എന്നിങ്ങനെയുള്ള പേരുകള്‍ Symbols എന്നതില്‍ നിന്നും സെലക്‌ട് ചെയ്യണം.) ഒരു ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ തുക കാണാനാണെങ്കില്‍ "Sum of the Angles=”(α+β+γ+δ)എന്ന് നല്‍കിയാല്‍ മതിയാകും. എന്നാല്‍ പഞ്ചഭുജം മുതലുള്ള ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്ക് "Sum of the Angles=”(α+β+γ+δ+ε)/° എന്ന രീതിയില്‍ നല്‍കേണ്ടി വരും .

** 9 -)0 ക്ലാസ്സിലെ ICT പാഠപുസ്‌തകം പഴയ വേര്‍ഷന്‍ ജിയോജിബ്ര അടിസ്ഥാനമാക്കി തയയ്യാറാക്കിയതായതിനാല്‍ ഡൈമാമിക് ടെക്‌സ്‌റ്റുകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്നതില്‍ ചെറിയ വ്യത്യാസമുണ്ട്. സ്ലൈഡര്‍ ഗണിത നിര്‍മ്മിതികളിലെ വരകളുടെ നീളം, കോണുകളുടെ അളവ് തുടങ്ങിയവ പുറമെ നിന്ന് നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനുള്ള സംവിധാനമാണ് സ്ലൈഡര്‍. അതായത് രൂപങ്ങള്‍ നാം നിര്‍ദ്ദശിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ചലിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സംവിധാനമാണ് സ്ലൈഡറുകള്‍. സ്ലൈഡര്‍ ടൂള്‍ എടുത്ത് സ്ലൈഡര്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തേണ്ട സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. സ്ലൈഡറിലുള്ള 'a' എന്ന ബിന്ദു -5 മുതല്‍ 5 വരെ ചലിപ്പിക്കും എന്നതാണ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഇവ നമ്മുടെ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്കനുസരിച്ച് മാറ്റാം. തുടര്‍ന്ന് apply ക്ലിക്ക് ചെയ്താല്‍ slider പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. (പുതിയ വേര്‍ഷന്‍ ജിയോജിബ്രയില്‍ Number, Angle, Integer എന്നിങ്ങനെ മൂന്ന് ഓപ്‌ഷനുകള്‍ കാണാം.) Number എന്നതിലെ ബട്ടണ്‍ സെലക്‌ട് ആയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പു വരുത്തുക.

പ്രവര്‍ത്തനം8. slider ന്റെ വില നാം മാറ്റുന്നതിനനുസരിച്ച് നീളം കൂടിവരുന്ന രേഖ (വര) വരയ്ക്കുക . ജാലകത്തില്‍ Slider ഉള്‍പ്പെടുത്തുക. അതിലെ Number ബട്ടണ്‍ സെലക്‌ട് ആയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പു വരുത്തുക Segment with given length from point എന്ന ടൂളാണ് രേഖ വരയ്ക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ടൂള്‍ എടുത്ത് Drawing Pad ല്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ Length എത്ര വേണം എന്ന് നിര്‍ദ്ദശിക്കാനുള്ള ജാലകം തുറന്നുവരും. slider ന്റെ പേര് (a) നല്കി OK ക്ലിക്ക് വൃത്തം ലഭിക്കും. പ്രവര്‍ത്തനം9. slider ന്റെ വില നാം മാറ്റുന്നതിനനുസരിച്ച് ആരം കൂടിവരുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കുക. ജാലകത്തില്‍ Slider ഉള്‍പ്പെടുത്തുക. അതിലെ Number ബട്ടണ്‍ സെലക്‌ട് ആയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പു വരുത്തുക Circle with center and radius എന്ന ടൂളാണ് വൃത്തം വരയ്ക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ടൂള്‍ എടുത്ത് വൃത്തകേന്ദ്രം വരേണ്ട സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. ആരം എത്ര വേണം എന്ന് നിര്‍ദ്ദശിക്കാനുള്ള ജാലകം തുറന്നുവരും. slider ന്റെ പേര് (a) നല്കി OK ക്ലിക്ക് വൃത്തം ലഭിക്കും. ലഭിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം സ്ലൈഡറിലെ a യുടെ അളവ് മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് മാറും. ഇതിന് move ടൂള്‍ ഉപയോഗിക്കാം പ്രവര്‍ത്തനം 10. ഒരു സ്ലൈഡര്‍ നിര്‍മ്മിക്കുക. സ്ലൈഡറിലെ ചരത്തിന്റെ പരിധി 2 മുതല്‍ 10 വരെ നല്‍കുക. വര്‍ദ്ധന 1. ഒരു സമബഹുഭുജും (Regular polygon) നിര്‍മ്മിക്കുകയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണം സ്ലൈഡറിലെ ചരം നല്‍കുക. സ്ലഡൈര്‍ ചലിപ്പിച്ച് മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കുക. സ്ലൈഡറിന് അനിമേഷന്‍ നല്കി നോക്കൂ. slider ല്‍ കോണളവും കോണളവും സ്ലൈഡറുപയോഗിച്ച് നിയന്ത്രിക്കാനാകും. ഇതിന് slider ല്‍ Number എന്നതിനുപകരം Angle എന്ന് മൗസ് ക്ലിക്ക് വഴി തെരഞ്ഞെടുക്കണം. സ്ലൈഡറിലുള്ള ∝ എന്ന കോണിന്റെ വില 00 തൊട്ട് 3600 വരെയാക്കാം. പ്രവര്‍ത്തനം 11. കോണളവ് നിയന്ത്രിക്കുന്ന ഒരു സ്ലൈഡര്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വൃത്തം നിര്‍മ്മിക്കാം. ജാലകത്തില്‍ Slider ഉള്‍പ്പെടുത്തുക. അതിലെ Angle സെലക്‌ട് ചെയ്യുക. അപ്പോള്‍ സ്ലൈഡറിന്റെ പേര് α എന്നായിട്ടുണ്ടാകും. (Min : 0 Max: 360 Incre: 1) Segment between Two Points ടൂളെടുത്ത് ഒരു രേഖാഖണ്ഡം AB വരയ്ക്കുക. ഇതാണ് കോണിന്റെ പാദം. A ശീര്‍ഷമായി വരത്തക്കവിധം ഒരു കോണ്‍ സ്ലൈഡറിന്റെ സഹായത്തോടെ നിര്‍മ്മിക്കണം. Measurement Tools ലുള്ള Angle with Given Size ടൂളെടുത്ത് ആദ്യം B യിലും പിന്നീട് Aയിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അപ്പോള്‍ വരുന്ന Angle with Given Size എന്ന പേരോടു കൂടി വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്‌സില്‍ Angle എന്നതിലുള്ള 45 o ക്കു പകരം സ്ലൈഡറന്റെ പേര് α എന്നു നല്‍കി OK ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്കു ചെയ്‌താല്‍ കോണ്‍ നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന മൂന്നാമത്തെ ബിന്ദു തലത്തില്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടും. സ്ലൈഡര്‍ പ്രവര്‍ത്തിപ്പിച്ചു നോക്കൂ. ഈ ബിന്ദുവിന്റെ സഞ്ചാരപഥമാണ് നമുക്ക് അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടത്. അതിനായി ഈ ബിന്ദുവില്‍ Right Click (മൗസ്) ചെയ്ത് Trace on എന്ന സങ്കേതം പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കുക. Move Tool ഉപയോഗിച്ച് സ്ലൈഡര്‍ പ്രവര്‍ത്തിപ്പിച്ചു നോക്കൂ. സ്ലൈഡറില്‍ Right Click ചെയ‌്ത് Animation On എന്ന സങ്കേതം കൂടി പ്രവര്‍ത്തിപ്പിച്ചു നോക്കൂ.. ഡൈലേഷന്‍ Transformation Tool ബോക്സിലുള്ള Dilate Object from Point by Factor എന്ന ടൂളുപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു രൂപത്തെ , ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുള്ള ദൂരം അടിസ്ഥാനമാക്കി വലുതാക്കുകയോ ചെറുതാക്കുകയോ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ജിയോജിബ്ര ജാലകം തുറന്ന് ഒരു ത്രികോണം Polygon ടൂളുപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കുക. തുടര്‍ന്ന് മറ്റൊരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. Dilate Object from Point by Factor എന്ന ടൂളെടുത്ത് ആദ്യം ത്രികോണത്തിന്റെ ഉള്ളിലും പിന്നീട് ബിന്ദുവിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്സില്‍ Number എന്നതില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യ ( 0.5, 1, 1.5, 2, 3,....) നല്കി O K ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കൂ. എത്ര മടങ്ങ് മാറ്റണം എന്ന് നാം നിര്‍ദ്ദേശിക്കുന്ന സംഖ്യയെ വേണമെങ്കില്‍ ഒരു സ്ലൈഡര്‍ ഉപയോഗിച്ച് നിയന്ത്രിക്കുകയുമാകാം. മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തില്‍ ഒരു സ്ലൈഡര്‍ ഉണ്ടാക്കിയതിനുശേഷം (Slider on Number ( Name, Interval [Minimum ; o , maximum ; any number > 0, Increment ; any number]) Dilate Object from Point by Factor എന്ന ടൂളെടുത്ത് ആദ്യം ത്രികോണത്തിന്റെ ഉള്ളിലും പിന്നീട് ബിന്ദുവിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്സില്‍ Number എന്നതില്‍ സ്ലൈഡറിന്റെ പേര് നല്കി O K ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കൂ. ട്രാന്‍സ്ലേഷന്‍ Transformation Tool ബോക്സിലുള്ള Translate Object by Vector എന്ന ടൂളുപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു രൂപത്തിന്റെ പകര്‍പ്പ് , Vector നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി തയ്യാറാക്കാം. ജിയോജിബ്ര ജാലകം തുറന്ന് ഒരു ത്രികോണം Polygon ടൂളുപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കുക. മൂന്നാമത്തെ ടൂള്‍ ബോക്സില്‍ നിന്നും Vector between two Points എന്ന ടൂളെടുത്ത് Drawing Pad ല്‍രണ്ട് ബിന്ദുക്കളില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഒരു Vector ലഭിക്കും. Translate Object by Vector എന്ന ടൂളെടുത്ത് ആദ്യം Polygon ന്റെ ഉള്ളിലം പിന്നീട് Vector ലും ക്ലക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ വരുന്ന മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കൂ. ജിയോജിബ്ര ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേതുപോലെ മറ്റ് വിഷയങ്ങളുടെ പഠനത്തിനും ഉപയോഗപ്പെടുത്താനാകും. ഭൂമിശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം ഒരു ഫോള്‍ഡറില്‍ ഇന്‍ഡ്യയുടെ ഭൂപടം, മറ്റ് ചിത്രങ്ങള്‍, ബന്ധപ്പെട്ട ലേഖനങ്ങളുടെ ഫയലുകള്‍ തുടങ്ങിയവ save ചെയ്ത് വെയ്ക്കുക. ഭൂപഠം ജിയോജിബ്രയിലേക്ക് ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ Insert Image എന്ന ടൂള്‍ ഉപയോഗിക്കാം. Geogebra യില്‍ നിര്‍മ്മിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങള്‍ക്ക് തലക്കെട്ടുകളും മറ്റ് വിശദീകരണങ്ങളും ഉള്‍പ്പെടുത്താന്‍ insert text എന്ന ടൂള്‍ ഉപയോഗിക്കാം. Geogebra യില്‍ തയ്യാറാക്കിയ ഇന്‍ഡ്യയുടെ ഭൂപടത്തില്‍ കൊച്ചി തുറമുഖം ഉള്‍പ്പെടുത്തണം എന്നിരിക്കട്ടെ. ഇവിടെ ഒരു കപ്പലിന്റെ ചിത്രം ഉപയോഗിക്കാം. ഭൂപടത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് കൊച്ചി എന്ന് എഴുതി അവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രം സ്ഥലം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന രീതിയില്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ check box ഉപയോഗിക്കാം. Biology യിലെ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ ചിത്രം Geogebra തലത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തി അതില്‍ കോശകേന്ദ്രം, മൈറ്റോകോണ്‍ട്രിയ എന്നിവഅടയാലപ്പെടുത്തുക. മലയാള ഭാഷയിലെ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം 1700 മതല്‍ 2000 വരെയുള്ള തുടര്‍ച്ചയായ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ മലയാള ഭാഷയിലുണ്ടായ പ്രധാന സംഭവങ്ങളെ ചിത്രസഹിതം ജിയോജിബ്ര സോഫ്‌റ്റ്‌വെയര്‍( സ്ലൈഡര്‍) ഉപയോഗിച്ച് അവതരിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണമായി 1705 ല്‍ സ്ലൈഡര്‍ എത്തുമ്പോള്‍ കുഞ്ചന്‍ നമ്പ്യാരുടെ ചിത്രവും അദ്ദേഹവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റു വിവരങ്ങളും ജാലകത്തില്‍ തെളിയണം. ചിത്രങ്ങളും മറ്റ് വിവരങ്ങളും ശേഖരിക്കുക. ജിയോജിബ്ര ജാലകം തുറന്ന് അതില്‍ ഒരു സ്ലൈഡര്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തുക (Name ; a Min : 1700 Max : 2000 Incr ; 10) Insert Image ടൂളുപയോഗിച്ച് ചിത്രം ഉള്‍പ്പെടുത്തുക. ഈ ചിത്രത്തില്‍ Right Click ചെയ്‌ത് Object Properties സെലക്‌ട് ചെയ്യുക. ഇതിലെ Advanced ടാബ് സെലക്‌ട് ചെയ്‌ത് Condition to Show Object എന്നതില്‍ condition ( a ≥1705 ∧ a≤1770) നല്‍കാം. അതിനു ശേഷം സ്ലൈഡര്‍ ചലിപ്പിച്ചു നോക്കൂ. ഇതുപോലെ മറ്റ് സാഹിത്യകാരന്മാരുടെ ചിത്രങ്ങളും അവരുടെ കാലയളവില്‍ പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാന്‍ സാധിക്കും. ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകള്‍ ജിയോജിബ്ര സോഫ്‌റ്റ്‌വോയര്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് വിവിധ തരത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകള്‍ തയ്യാറാക്കാം. താഴെ കൊടുത്ത രീതിയിലുള്ള ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണ്‍ തയ്യാറാക്കി നോക്കാം.

Line Tools ലെ അനുയോജ്യമായ ടൂളുപയോഗിച്ച് ഒരു വര വരച്ച് അതിന്റെ മധ്യബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. Slider നിര്‍മ്മിക്കുക. (Name ; a Min : 0 Max : 5 Incr ; 0.1) വരയിലുള്ള ബിന്ദു കേന്ദ്രവും സ്ലൈഡറുപയോഗിച്ച് നിയന്ത്രിക്കാവുന്ന ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കണം. (Circle with Center and Radius ടൂളുപയോഗിക്കാം.) ഈ വൃത്തം വരയുമായി സന്ധിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക. (Intersect Two Objects Tool ഉപയോഗിക്കാം.) ഇപ്പോള്‍ ലഭിച്ച രണ്ട് സംഗമബിന്ദുക്കളും കേന്ദ്രമാക്കി വരയിലെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന രണ്ട് വൃത്തങ്ങള്‍ കൂടി വരയ്ക്കുക. ഇപ്പോള്‍ ലഭിച്ച രണ്ട് വൃത്തങ്ങള്‍ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ഒബ്‌ജക്‌ടുകളും hide ചെയ്യുക. ( hide ചെയ്യാന്‍ --- Right Click on the Object — Show Object എന്നതിലെ ടിക്കാ മാര്‍ക്ക് ഒഴിവാക്കുക.) രണ്ട് വൃത്തങ്ങളിലും വലതു ബട്ടണ്‍ ക്ലിക്കു ചെയ്‌യുമ്പോള്‍ ലഭിക്കുന്ന മെനുവില്‍ നിന്നും Trace On എന്നത് പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കുക. Slider ലെ അനിമേഷന്‍ കൂടി പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കുക. വെബ് പേജുകളും ജിഫ് ഫയലുകളും ജിയോജിബ്ര സോഫ്റ്റ് വെയറില്‍ സേവ് ചെയ്യുന്ന ഫയലുകളുടെ തനതു ഫോര്‍മാറ്റ് .ggb എന്നാണല്ലോ. ഒരു ഫയലിനെ അതിന്റെ തനതു ഫോര്‍മാറ്റിലല്ലാതെ മറ്റൊന്നിലേക്ക് സേവ് ചെയ്യുന്നതിനെ എക്സ്പോര്‍ട്ട് എന്നാണ് സാങ്കേതികമായി പറയുക. ജിയോജിബ്ര ഉപയോഗിച്ച് തയ്യാറാക്കിയ നിര്‍മ്മിതികള്‍ വെബ് പേജുകള്‍ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ പഠന സഹായികളിലും മറ്റും ഉപയോഗിക്കുമ്പോഴാണ് അവയെ വെബ്പേജ് ഫോര്‍മാറ്റിലേക്ക് എക്സ്പോര്‍ട്ട് ചെയ്തെടുക്കുന്നത്. ജിയോജിബ്ര ഫയലുകളെ വെബ് പേജുകളായി എക്‌സ്‌പോര്‍ട്ട് ചെയ്യുന്നത് നാം പഴയ വേര്‍ഷനില്‍ കണ്ടതാണ്. പുതിയ വേര്‍ഷനില്‍ Slider Tool ഉപയോഗപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട് തയ്യാറാക്കിയ (അനിമേഷന്‍) ജിയോജിബ്ര ഫയലുകളെ gif ഫയലുകളായി എക്‌സ്‌പോര്‍ട്ട് ചെയ്യാനും സാധിക്കും. gif ഫയലുകളായി എക്സ്പോര്‍ട്ട് ചെയ്യുന്നതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. തയ്യാറാക്കിയ ഒരു ജിയോജിബ്ര ഫയല്‍ തുറക്കുക. മെനു ബാറില്‍ File → Export → Graphics View as Animated GIF എന്ന ക്രമത്തില്‍ ക്ലിക്കു ചെയ്യുക. Animated GIF Export എന്ന പേരോടു കൂടിയ ഡയലോഗ് ബോക്‌സ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടും. Time between Frames, As Loop എന്നിവയില്‍ ആവശ്യമായ മാറ്റങ്ങല്‍ വരുത്തി Export ബട്ടണില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Applied Construction എന്തല്ല..?

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ്  അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍ .എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് ഡ്രോയിംഗിനായി ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ സാമഗ്രികളും ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കാം. ഒന്നോ അതിലധികമോ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് നടപ്പാക്കുന്ന ജ്യാമിതീയനിര്‍മ്മിതികളാണ് ഇവ. മല്‍സരത്തെക്കുറിച്ചുപറഞ്ഞാല്‍‌ പരമാവധി മൂന്ന് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറിലായി തുടര്‍ച്ചയും വളര്‍ച്ചയും വ്യക്തമാകത്തക്കവിധം തയ്യാറാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ . ആശയവും നിര്‍മ്മിതിയും ഒരു ചാര്‍ട്ടില്‍ പൂര്‍ണ്ണമായില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടാമത്തെതും മൂന്നാമത്തേതുമായി ചാര്‍ട്ടുകള്‍ ഉപയാഗിക്കാം. പരസ്പരബന്ധമില്ലാത്ത മൂന്നുനിര്‍മ്മിതികള്‍ വളരെ മനോഹരമായി തയ്യാറാക്കിയാല്‍ അവയില്‍ ഒന്നുമാത്രമേ മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം നടത്തുകയുള്ളൂ എന്ന് സാരം. ഒരാശയം തന്നെ ഉപയാഗിച്ച് നിര്‍മ്മിക്കുന്ന മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത നിര്‍മ്മിതികളും തുടര്‍ച്ചയല്ലെന്ന് അറിയുക. ഒത്തിരി തെറ്റിദ്ധാരണകള്‍ നിറഞ്ഞ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ് Applied Construction. ഇതേക്കുറിച്ച് ജോണ്‍ സാര്‍ ചുവടെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് ഇതൊരു വസ്തുവിന്റെ നിര്‍മ്മിതിയാക്കി അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. പലപ്പോഴും അവ മോഡലുകള്‍ മാത്രമായി മാറിപ്പോകുമായിരുന്നു. ഇവ ചാര്‍ട്ടുകളില്‍ വരക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാകണം എന്ന് നിഷ്ക്ര്‍ഷിച്ചപ്പോള്‍ അവ കേവലം വീടിന്റെ പ്ലാനുകളായി പുനര്‍ജനിച്ചു.  ചിലര്‍ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരക്കുകയും തെര്‍മ്മോക്കോളില്‍ മാതൃക നിര്‍മ്മിക്കുകയും ചെയ്തു. മറ്റുചിലരാകട്ടെ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരച്ച് മുറികളുടെ പരപ്പളവും മറ്റും കണക്കുകൂട്ടി പട്ടികയിലാക്കി. ഇങ്ങനെ വ്യക്തതയില്ലാത്ത ഒരു ഇനമായിമാറി അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍.. മൂല്യനിര്‍ണ്ണയത്തിന് വ്യക്തമായ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ പ്രാബല്യത്തില്‍ വന്നപ്പോള്‍ കാഴ്ചപ്പാടുകള്‍ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതായി വന്നു. പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള നേര്‍ബന്ധം അനിവാര്യമായിത്തീര്‍ന്നു. പണ്ട് ഫിങ്ക് ട്രസുകളുടെയും കാന്റിലിവറുകളുടെയും സ്റ്റബിളിറ്റിയും മറ്റും ലിങ്ക് പോളിഗണണ്‍ നിര്‍മ്മിച്ച് ടെസ്റ്റ് ചെയ്ത് എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് നിര്‍മ്മിതികള്‍ നടത്തി സംസ്ഥാനതലത്തില്‍ സമ്മാനങ്ങള്‍ വാങ്ങാമായിരുന്നു. ഇന്ന് അത്തരം വര്‍ക്കുകള്‍ പാഴ് വേലകളാണ് .. ഇത്രയുമൊക്കെ പറഞ്ഞപ്പോള്‍ പ്രീയ വായനക്കാര്‍ ചിന്തിക്കുന്നുണ്ടാകും പിന്നെ എന്താണ് ഈ നിര്‍മ്മിതി ? വിമര്‍ശനാന്മകമായ നിലപാടുകള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു നിര്‍മ്മിതി അവതരിപ്പിക്കട്ടെ. ഒരു ഷീറ്റ് മെറ്റല്‍ ജോലിക്കാരന്‍ നേരിടുന്ന പ്രശ്നമാണ്. അയാള്‍ക്ക് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള മെറ്റല്‍ഷീറ്റുകളാണ് വാങ്ങാന്‍ കിട്ടുന്നത് . ഓരോ ത്രികോണത്തകിടില്‍നിന്നും പരമാവധി വലുപ്പത്തിലുള്ള സമചതുരങ്ങള്‍ മുറിച്ചെടുക്കണം . പല വലുപ്പത്തിലുളള , പല ആകൃതിയുള്ള ത്രികോണത്തകിടില്‍ നിന്നു സമചതുരങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാന്‍ അയാളെ ഒന്നു സാഹായിക്കാമോ?

നിര്‍മ്മിതിയുടെ ഏകദേശചിത്രമാണ് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് സമാനമായ നിര‍മ്മിതി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സ്റ്റപ്പുകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരക്കുമല്ലോ ത്രികോണം ABC വരക്കുക.AB വശത്ത് D അടയാളപ്പെടുത്തുക. D യില്‍നിന്ന് AC യിലേയ്ക്ക് AE എന്ന ലംബം വരക്കുക AE വശമായി സമചതുരം DEGF വരക്കുക AF ലൂടെ നീട്ടുന്ന വര BC യെ H ല്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു H ല്‍ നിന്നും AC യിലേയ്ക്ക് HK എന്ന ലംബം വരക്കുക HK വശമായി വരക്കുന്ന സമചതുരം ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരമായിരിക്കും ഇതിന്റെ ജ്യാമിതീയ തത്വം ഒന്നാലോചിച്ചുനോക്കാം ത്രികോണം ADF , ത്രികോണം AIH എന്നിവ സദൃസ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . അതിനാല്‍ $‌\frac{DF}{HI}=\frac{AF}{AH}$ ആയിരിക്കും . അതുപോലെ ത്രികോണം AFG , ത്രികോണം AHK എന്നിവ സദൃശ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . $‌\frac{GF}{HK}=\frac{AF}{AH}$ അതിനാല്‍ $\frac{DF}{HI}=\frac{GF}{HK}$ ആണ്.എന്നാല്‍ DF = FG ആയതുകൊണ്ട് HK = HI ആണ്ലലോ . അതിനാല്‍ HIGK സമചതരം തന്നെ . അത് ഏറ്റവും വലുതല്ലേ? ഈ നിര്‍മ്മിതി പല ആകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ശരിയാകുമെന്ന് കാണിക്കാം .വേണമെങ്കില്‍ ചാര്‍ട്ടുപേപ്പറില്‍ വെട്ടിയെടുത്ത് ഭംഗിയാക്കാം ...

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഈ കുറിപ്പ് .ഒരു കുട്ടി ആദ്യമായി അഭ്യസിക്കുന്ന ഗണിതപാഠം എണ്ണലാണെന്നുപറയാം.എണ്ണല്‍ ഒരു ഗണിതരീതിയായി വളന്ന് നൂതനമായ ചിന്തകളിലേയ്ക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന രസകരമായകാഴ്ച ആസ്വാദ്യകരമാണ് . ചില മാതൃകകള്‍ കാണാം . നേര്‍വരകള്‍ ഒരു പരന്നപ്രതലത്തെ ഭാഗിക്കുന്ന കാഴ്ചതന്നെയാവട്ടെ.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കാണുക. ധാരാളം നേര്‍വരകളുണ്ട് ഇവിടെ . രണ്ടില്‍കൂടുതല്‍ നേര്‍വരകള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയോ , ഒരു വര മറ്റോരുവരയ്ക്ക് സമാന്തരമാകുയോ ചെയ്യരുത് . ആദ്യചിത്രത്തില്‍ ഒരു വര പ്രതലത്തെ രണ്ടായി മുറിച്ചിരിക്കുന്നു.

രണ്ടുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ നാലായി മുറിക്കുന്നു. അതുപോലെ മൂന്നുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ ആറ് ഭാഗങ്ങളായും നാല് വരകള്‍ പ്രതലത്തെ പതിനൊന്ന് ഭാഗങ്ങളായും മുറിച്ചിരിക്കുന്നതുകാണാം

ഇതില്‍ നിന്നും രൂപീകരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയുണ്ട് . താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടികയിലെ രണ്ടാംവരി സംഖ്യാശ്രേണിയാണ് . ഈ ശ്രേണിയുടെ ബിജഗണിതരൂപത്തെക്കുറിച്ച് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ. പത്താംക്ലാസ് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാവുന്ന ഒരു അധികപ്രവര്‍ത്തനം തന്നെയല്ലേ ഇത്? ജനറല്‍ചാര്‍ട്ട് വിഭാഗത്തില്‍ ഇത് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാമല്ലോ. ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരച്ച് വിവിധഭാഗങ്ങള്‍ നിറം നല്‍കിനോക്കിയാല്‍ നല്ലൊരു ചാര്‍ട്ടാകുമെന്ന് തീര്‍ച്ചയാണ് .

ഇനി വിശകലനപ്പട്ടിക കാണാം

ഇനി ശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപം ​എഴുതാമല്ലോ? $T_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$ എണ്ണലിന്റെ മറ്റൊരു പാറ്റേണ്‍ കാണാം. ഇത് വൃത്തവും ഞാണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് . വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഞാണ്‍ വരച്ചപ്പോള്‍ വൃത്തം രണ്ടായി മുറിഞ്ഞു. മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ പരസ്പരം യോജിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് വൃത്തത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളാക്കാം.

നാലുബിന്ദുക്കളും അഞ്ചുബിന്ദുക്കളുമൊക്കെ അടയാളപ്പെടുത്തി ഇപ്രകാരം ചെയ്താലോ? നാലു ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 8 ഭാഗങ്ങളും അഞ്ചെണ്ണം യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 16 ഭാഗങ്ങളും കിട്ടും . ആറെണ്ണം യോജിപ്പിച്ചാലോ? 32 എണ്ണമല്ല കിട്ടുന്നത് മറിച്ച് 31 എണ്ണമേ കിട്ടുകയുള്ളൂ. $2, 4, 8,16,---$ എന്ന ശ്രേണിയിലെ അടുത്തപദമായ 32 അല്ല എന്ന് ചിത്രംവരച്ച് ബോധ്യപ്പെടാവുന്നതാണ് . 32 ആയിരുന്നെങ്കില്‍ നേര്‍രൂപം $ 2^{n-1}$ എന്ന് എഴുതാമായിരുന്നു. $\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$എന്നതല്ലേ നേര്‍രൂപം . ഇതിന്റെ തെളിവ് കമന്റായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുണ്ട് . എണ്ണലിന്റെ ഗണിതവിസ്മയം മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍ ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കൊടുത്ത പ്രോജക്ടായി മുന്‍പൊരിക്കല്‍ നല്‍കിയത് ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ. ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ഇനിയുമുണ്ട് എണ്ണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ധാരാളം ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍.ഒരു ചെസ്ബോഡില്‍ ചെറുതുംവലുതുമായി ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ?

തിരശ്ചീനമായി 8 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി 8 ചെറിയകളങ്ങളും ഉണ്ടാകും . ഇത്തരം $8^2$സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും . ഇത്തരം സമചതുരങ്ങളെ $1\times1$ സമചതുരങ്ങള്‍ എന്നുവിളിക്കാം. രണ്ടെണ്ണം വലത്തേയ്ക്കും രണ്ടെണ്ണം വീതം താഴേയ്ക്കും എടുക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളെ $2\times2$ സമചതുരങ്ങളെന്നുപറയാം .ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നും പേരുനല്‍കാം. ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ ​എണ്ണം $8^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\=\frac{8\times9\times 17}{6}=204$ ഇത് ക്വിസ് മല്‍സരങ്ങളുടെ കാലം . എണ്ണല്‍ക്രീയയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ തരുന്നു . ഉത്തരം കണ്ടെത്താനും കമന്റ്ചെയ്യാനും കുട്ടികളെ തയ്യാറാക്കുമല്ലോ.

1. What is the digit in the ones place of $2^{50}$?
2. The sequence of natural numbers up to 100 is $1,2,3,4 \cdots 100$ . Divide each of the numbers by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
3. $1^2,2^2,3^2 \cdots 100^2$. Divide each of the number by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
4. What is the 2005 th term of the sequence $1,23,456,78910,\cdots$
5. Consider the following sequence . $\frac{2}{1},\frac{5}{2},\frac{10}{3},\frac{17}{4} ,\frac{26}{5}\cdots$.What is the $100^{th}$ term?
6. The sequence of natural numbers are grouped as follows. $(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10) \cdots $The $n^{th}$ group of this sequence has n natural numbers. In which group the natural number 100 lie?
7. $S_n=1-2+3-4+ 5-6 \cdots up to n terms$. What is the value of $S_{2004}+S_{2005}+S_{2006}$
8. What is the sum of the remainders obtained by dividing each of the first 20triangular numbers by 3 ?
9.  What is the 25 th term of $12,21, 112, 121, 211, 1112, 1121, 1211, 2111, 11112 \cdots $ ?
10. What is th product of 2005 terms of the sequence $1, (1-\frac{1}{2}), (1-\frac{1}{3}) , (1-\frac{1}{4}) \cdots $?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

വേറിട്ടചിന്തകള്‍ 3 : സമാന്തരശ്രേണി

പത്താംക്ലാസിലെ ഗണിതം ആദ്യ പാഠമായ സമാന്തരശ്രേണികളില്‍ നിന്നും ഭാമടീച്ചര്‍ ഗണിതക്ലബ്ബിലെ കുട്ടികള്‍ക്ക് താഴേ കാണുന്ന ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കി,
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാല്‍ അവ പൊതുവ്യത്യാസം 1 ആയ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലാണല്ലോ..? എന്നാല്‍, എ​ണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
പിന്നീട് എ​ണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
സമാന്തരശ്രേണി കിട്ടുന്നതുവരെ ഈ പ്രവര്‍ത്തനം തുടരുക.
പ്രവര്‍ത്തനം ചെയ്യാന്‍ കുട്ടികള്‍ അനന്യയുടെ വീട്ടില്‍ ഒത്തുകൂടി. ഹരിത പറഞ്ഞു."നമുക്ക്, ഈപ്രവര്‍ത്തനം നാലാംകൃതി, അഞ്ചാംകൃതി, ആറാംകൃതി എന്നിവകൂടി കണ്ട് വികസിപ്പിച്ചാലോ?" ശരി എന്നായി ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റ് മിടുക്കികള്‍. അവര്‍ ചെയ്ത പ്രവര്‍ത്തനം താഴേ കാണിക്കുംപോലെയാണ്.
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍
1,2,3,4,5,6,..................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 1
പൊതുവ്യത്യാസം =1

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍

ശ്രേണി 1
1.4.9.16.25,..................
ശ്രേണി 2

3,5,7,9,11,....................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 3
പൊതുവ്യത്യാസം = 2

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍

ശ്രേണി 1
1,8,27,64,125,216,.......

ശ്രേണി 2
7,19,37,61,91,..............

ശ്രേണി 3
12,18,24,30,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 12
പൊതുവ്യത്യാസം = 6

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ നാലാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,16,81,256,625,1296,......

ശ്രേണി 2
15,65,175,369,671,...........

ശ്രേണി 3
50,110,194,302,................

ശ്രേണി 4
64,84,108,.........................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 60
പൊതുവ്യത്യാസം = 24

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ അഞ്ചാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,32,243,1024,3125,7796,16807,...............

ശ്രേണി 2
31,211,781,2101,9031,...............................

ശ്രേണി 3
180,570,1320,2550,4380,...........................

ശ്രേണി 4
390,750,1230,1830,.....................................

ശ്രേണി 5
360,480,600,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 360
പൊതുവ്യത്യാസം = 120

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ആറാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,64,729,4096,............................................

ശ്രേണി 2
63,665,3367,...............................................

ശ്രേണി 3
602,2702,8162,...........................................

ശ്രേണി 4
2100,5460,11340,20460,33540,.................

ശ്രേണി 5
3360,5880,9120,13080,..............................

ശ്രേണി 1
2520,3240,3960,......................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 2520
പൊതുവ്യത്യാസം = 720
പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ നിന്നുള്ള കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു പട്ടികയാക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു.

പട്ടിക നാലഞ്ചാവര്‍ത്തി വായിച്ചുകഴിഞ്ഞയുടന്‍ അനന്യയുടെ പ്രതികരണം. "ആദ്യ രണ്ടുകോളങ്ങള്‍ തുല്യമായാണല്ലോ വരുന്നത്..!"
ഉടനെ അമ്മു "പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ കോളം ശ്രദ്ധിച്ചോ..? ആദ്യശ്രേണിയുടേത് 1, രണ്ടാം ശ്രേണിയുടേത് 2, മൂന്നാം ശ്രേണിയുടേത് 6...ഈ ഒരു ക്രമം വരുന്നതുകണ്ടോ..?"
ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റംഗങ്ങള്‍ ഇത് ശ്രദ്ധാപൂര്‍വ്വം വിശകലനം ചെയ്യവേ നിസാര്‍ പറഞ്ഞു. "ആദ്യപദത്തിന്റെ കോളത്തിലും ഒരു ക്രമമുണ്ടല്ലോ, 1,3,12,..."
എല്ലാവരും നിസാറിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ പ്രകീര്‍ത്തിച്ചു.
അപ്പോള്‍ അമ്മുവിന് ഒരു സംശയം. "എണ്ണല്‍സംഖ്യകളെ n ആം കൃതിയിലേക്ക് ഉയര്‍ത്തിയാലോ..?"
അതൊരു നല്ല ആശയം തന്നെ. എല്ലാവരും കൂടി പട്ടിക താഴേ കാണുംപോലെ മാറ്റിയെഴുതി.

ഇത്രയും തയ്യാറാക്കിക്കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ആതിരയ്ക്കൊരു സംശയം. "കുറേയേറെ സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ശരിയായി വന്നുവെന്ന് കരുതി, ഒരു പ്രസ്താവന ഗണിത തത്വമായി കരുതാനാകില്ലെന്ന് മുമ്പ് ഭാമടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞിട്ടില്ലേ..?"
അടുത്തദിവസം ഭാമടീച്ചറെ ചെന്നുകണ്ട സംഘത്തിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ ഭാമടീച്ചര്‍ പ്രശംസിച്ചു. ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ നിങ്ങള്‍ പഠിക്കുവാന്‍ പോകുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് തെളിയിക്കാം. എന്നാല്‍ ഈ ആശയം ഹൈസ്കൂളില്‍ ഇല്ലല്ലോ..? കുട്ടികള്‍ നിരാശരായി. സാരമില്ല, നമുക്കിത് മാത്​സ് ബ്ലോഗിലെ കൃഷ്ണന്‍ സാറോടു ചോദിക്കാം.നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്ന രീതിയില്‍ അദ്ദേഹമിത് വിശദമാക്കും. കാത്തിരിക്കാം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പള്ളിയറ, സെഞ്ച്വറിയുടെ നിറവില്‍..!

ആറാം ക്ലാസില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ ക്ലാസ് ടീച്ചര്‍ കൂടിയായിരുന്ന കണക്ക് പഠിപ്പിച്ചിരുന്ന ലില്ലിടീച്ചര്‍ തന്ന 'കണക്കിലെ കളികള്‍' എന്ന സമ്മാനപുസ്തകമാണ് ക്ലാസിലെ ശരാശരിക്കാരനായിരുന്ന എനിയ്ക്കു കിട്ടിയ ആദ്യ സമ്മാനം. ആ പുസ്തകവും അതിന്റെ രചയിതാവിന്റെ പേരുമൊക്കെ അന്നേ ഹൃദിസ്ഥമാക്കിയതായിരുന്നു. കണക്കിനോട് അല്പമെങ്കിലും ഇഷ്ടം തോന്നാനുള്ള കാരണം ഒരുപക്ഷേ അവിടെ നിന്നായിരിക്കണം!

ആരംഭകാലം മുതല്‍ തന്നെ നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അഭ്യുദയകാംക്ഷിയായി ഞങ്ങള്‍ക്ക് വിലപ്പെട്ട നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ നല്‍കിപ്പോരുന്ന, ഇന്ത്യന്‍ ഭാഷകളില്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ കര്‍ത്താവു കൂടിയായ ശ്രീ പള്ളിയറ ശ്രീധരന്‍ സാറിന്റെ ഏറ്റവും പുതിയതും നൂറാമത്തേതുമായ "സെഞ്ച്വറി"യാണ് ഈ പോസ്റ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോള്‍ എന്റെ കയ്യിലിരിക്കുന്നത്. ഏകദേശം മൂന്നാഴ്ചകള്‍ക്കു മുമ്പ് കൊടുങ്ങല്ലൂരിലുള്ള ഒരു കൊറിയര്‍ കമ്പനിയാപ്പീസില്‍ നിന്നും ഭംഗിയായി പൊതിഞ്ഞ് കിട്ടിയ പാക്കറ്റ് അഴിച്ചുനോക്കിയപ്പോഴാണ് 'ശ്രീ നിസ്സാറിന് (മാത്​സ് ബ്ലോഗ്)സ്നേഹപൂര്‍വ്വം'എന്നെഴുതി താഴേ ഒപ്പുവെച്ച കനപ്പെട്ട ഈ സമ്മാനം ലഭിച്ചത്. രണ്ടുവര്‍ഷത്തിലേറെയായി ഉറക്കമിളച്ചും അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്തും മാത്​സ് ബ്ലോഗ് നിലനിര്‍ത്തിപ്പോരുന്ന മുഴുവന്‍ ടീമംഗങ്ങള്‍ക്കുമായി പങ്കുവെക്കേണ്ട ആദ്യ സമ്മാനം. (ഇനി, ഈ ബ്ലോഗെഴുത്തിലൂടെ നിങ്ങള്‍ക്കെന്താണ് 'നേട്ട'മെന്ന പരശ്ശതം ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഒന്നുമില്ലെന്നുള്ള ഉത്തരത്തിന് പ്രസക്തിയില്ലാതായി.)

ഈ വരുന്ന മാര്‍ച്ച് 14ന് തിങ്കളാഴ്ച തിരുവനന്തപുരത്ത് പ്രസ് ക്ലബ്ബില്‍ വെച്ച് പ്രശസ്ത നോവലിസ്റ്റ് ശ്രീ.പെരുമ്പടവം ശ്രീധരന്‍ പ്രകാശനം ചെയ്യുന്ന 'സെഞ്ച്വറി'യുടെ ആദ്യപ്രതി ഏറ്റുവാങ്ങുന്നത് ശ്രീ.ജോര്‍ജ്ജ് ഓണക്കൂര്‍ ആണ്. തിരുവനന്തപുരം ദൂരദര്‍ശന്‍ കേന്ദ്രം ഡയറക്ടര്‍ ശ്രീ. പി.കെ. സുഭാഷ് അധ്യക്ഷനായ ചടങ്ങില്‍ കവി ശ്രീ ഡി. വിനയചന്ദ്രന്‍ സര്‍വ്വശ്രീ.ഡോക്ടര്‍ അജിത് പ്രഭു, റൂബിന്‍ ഡിക്രൂസ്, വി.കെ. ജോസഫ്, സതീഷ്ബാബു പയ്യന്നൂര്‍, ...എന്നിവര്‍ പങ്കെടുത്ത് സംസാരിക്കും. നമുക്കെല്ലാവര്‍ക്കും സാറിന്റെ പ്രത്യേക ക്ഷണം ഉണ്ട് കേട്ടോ..!

സെഞ്ച്വറി എന്ന പേരിനെ അന്വര്‍ഥമാക്കുന്ന വിധം 100 അധ്യായങ്ങളിലായി രസകരമായി വായിച്ചുപോകാവുന്ന 192 പേജുകളുള്ള ഒരു കൊച്ചു പുസ്തകം. 'ലീലാവതി' മുതല്‍ 'സുഹൃത്​സംഖ്യകള്‍'വരെ നാം കേട്ടിട്ടുള്ളതും അല്ലാത്തതുമായ ഗണിതസമസ്യകളും വിശേഷങ്ങളും രസകരമായി വായിച്ചുപോകാവുന്ന വിധം അണിനിരത്തിയിട്ടുണ്ട് അദ്ദേഹം. ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ മര്‍മ്മങ്ങളറിഞ്ഞുള്ള യാതൊരു പുതുമയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ പുസ്തകങ്ങളില്‍ കാണാനില്ലായെന്ന വിമര്‍ശകരുടെ ആരോപണങ്ങളെ തെല്ലും ഗൗനിക്കാതെ, കുട്ടികളടക്കമുള്ള വലിയൊരു വിഭാഗത്തിന്റെ ഗണിതത്തോടുള്ള വിരക്തി അകറ്റാനുള്ള ആത്മാര്‍ത്ഥമായ ശ്രമമായി ഈ പുസ്തകത്തെ കാണാനാണ് പുസ്തകം നമ്മോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നത്. കണ്ണൂരിലെ ജീനിയസ് ബുക്സ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ച 'സെഞ്ച്വറി'ക്ക് 120രൂപയാണ് വിലയിട്ടിരിക്കുന്നത്.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

റിവിഷന്‍ ചോദ്യപേപ്പര്‍ 7

ലളിത ടീച്ചര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിലുള്ളത് . ഒപ്പം ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ രണ്ട് വാര്‍ഷിക പരീക്ഷാ ചോദ്യപേപ്പറും ഉണ്ട്. ആദ്യത്തേത് ജോണ്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയതും രണ്ടാമത്തേത് ടീന ടൈറ്റസ് അയച്ചു തന്നതും. ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ പാഠഭാഗത്തുനിന്നും ഒരു ചോദ്യവും ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട് . പുതിയ പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടുകൊണ്ടുള്ള കമന്റുകളും മെയ്ലുകളും ധാരാളം ലഭിക്കുന്നുണ്ട് . പ്രഗത്ഭരായ പല ഗണിതാധ്യാപകരുടെയും ഇടപെടലുകള്‍ കൊണ്ട് ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ അര്‍ഥവത്തായി മാറും. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഗണിതപ്രശ്നം സദൃശത്രികോണങ്ങളില്‍ നിന്നും രൂപീകരിച്ചതാണ്. ഇതൊരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി കാണാം. പല തരത്തില്‍ ഉത്തരത്തിലെത്താന്‍ കഴിയുന്നതിനാല്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാവുന്ന അസെന്‍മെന്റ് കൂടിയാണിത്. സ്വതന്ത്രമായി ചിന്തിക്കാനും ഗ്രൂപ്പുകളിലെ പങ്കുവെയ്ക്കലിലൂടെ, ഇടപെടലുകളിലൂടെ പുതിയ കാഴ്ചകള്‍ കാണാനും ഈ പ്രവര്‍ത്തനം പ്രചോദനമേകും. ഇനി ചോദ്യത്തിലേയ്ക്ക് കടക്കാം.

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്ന ത്രികോണം ABC യുടെ രണ്ടു മധ്യമരേഖകളാണ് (Medians) AP , BQ . മധ്യമരേഖകള്‍ പരസ്പരം ലംബമായി O യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. BC = 3 യൂണിറ്റ് , AC = 4 യൂണിറ്റ് . AB എത്രയെന്ന് കണ്ടെത്തുക.
ഏഴാമത്തെ റിവിഷന്‍ പേപ്പറിനായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

STD IX Mathematics Sample Qn Paper & Sample-II (Annual)

‌2011 March Qn Paper VIII | Qn Paper IX | IX Answers(Hitha)

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ടൗണ്‍പ്ലാനറെ സഹായിക്കാമോ? (ഒരു STD X ചോദ്യപേപ്പറും)

ഈ പസില്‍ പോസ്റ്റിനോടൊപ്പം ഇരുപത് ഭാഗങ്ങളുള്ള പത്താം ക്ലാസ് ചോദ്യപേപ്പര്‍ സീരിസിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം ഡൌണ്‍ലോഡായി നല്‍കിയിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ആദ്യമേ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. അതേക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചകള്‍ ഈ പോസ്റ്റില്‍ കമന്റുകളായി നല്‍കാം. ഒപ്പം ഏവര്‍ക്കും. ഒരു പുതിയ പഠനപ്രവര്‍ത്തനത്തിലേയ്ക്ക് സ്വാഗതം. ഇതും ഒരു ജ്യാമിതീയപ്രശ്നം തന്നെയാണ്.ഒരു പട്ടണത്തില്‍ നാല് പ്രധാനപ്പെട്ട തീര്‍ഥാടനസ്ഥലങ്ങളുണ്ട്.അവയെ A , B , C , D എന്ന് മാര്‍ക്ക് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.ഇവ സമചതുരത്തിന്റെ ശീര്‍ഷങ്ങളാണ്. ഒരു വശം 20 കിലോ മീറ്റര്‍. ഇവയെ തമ്മില്‍ ബന്ധിപ്പിച്ച് റോഡുകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കുകയാണ് ടൗണ്‍പ്ലാനറുടെ ലക്ഷ്യം.പൊതുജനങ്ങളുടെ അഭിപ്രായവും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളും സ്വീകരിച്ചുകൊണ്ട് പരസ്യം കൊടുത്തു.ആര്‍ക്കും റോഡ് ഡിസെനുകള്‍ നിര്‍ദ്ദേശിക്കാം. റോഡുകളുടെ ആകെ നീളം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞിരിക്കണം. പലരുടെയും മാതൃകകള്‍ ചര്‍ച്ചയ്ക്കുവന്നു. അവര്‍ വരച്ച റോഡുകളുടെ ചില മാതൃകകളില്‍ ചിലതാണ് താഴെ കാണുന്നത്. ഇതില്‍ വികര്‍ണ്ണ റോഡിന്റെ ആകെ നീളം 56.6 ആണ്. അതിനേക്കാള്‍ കുറഞ്ഞ നീളമുള്ള ഒരു മാതൃക നിര്‍ദ്ദേശിക്കാമോ?

.

The points A , B , C , D denotes four pilgrim places in a town.The town planner has decided to construct roads joining the pilgrim places in such a way that the total length of the road should be minimum.A , B , C , D are the vertices of asquare of side 20 km.Can you suggest a suitable plan for this project?. Some of the plans collected from the public are shown above.

Click here to get revision paper 2 for standard X

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഗണിതശാസ്ത്ര ക്വിസ് മാതൃകകള്‍

ഇത് ക്വിസ്സുകളുടെ കാലം.സ്ക്കുള്‍ -ഉപജില്ലാതലങ്ങളിലും പിന്നെ റവന്യൂജില്ല ,സംസ്ഥാനതലത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്ര ക്വിസ്സുകള്‍ നടത്തപ്പെടും.കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷം നടത്തിയ സംസ്ഥാനതലത്തിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ?ഇന്ന് പുതിയൊരു ക്വിസ് പേപ്പര്‍ നല്‍കുന്നു.കുട്ടികള്‍ക്ക് പരിശീലനത്തിനായി നല്‍കാം .ഇത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രതീക്ഷയുണ്ട്.മാന്യസന്ദര്‍ശകര്‍ പലതരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ കമന്റായിനല്‍കുമെന്നാണ് കരുതുന്നത്.
ക്വിസ് മത്സരവേദികള്‍ മിടുക്കന്മാരുടെ അത്ഭുതകരമായ പ്രകടനങ്ങളുടെ നേര്‍ക്കാഴ്ചയാണ്.കഴിഞ്ഞ സംസ്ഥാനക്വിസ്സില്‍ കശ്യപ് എന്ന ഒന്നാംസ്ഥാനക്കാരന്റെ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഓര്‍ക്കുന്നു.പലപ്പോഴും പുറകിലിരിക്കുന്ന അധ്യാപകരെക്കാള്‍ മുന്‍പേ പറക്കാന്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കഴിയും.കോട്ടയം മേളയില്‍ വച്ച് പരിചയപ്പെട്ട ഒരു കുട്ടിയുണ്ട്.മുന്നു ക്വിസ്സ് വിഷയങ്ങളില്‍ സംസ്ഥാനതലത്തില്‍ സമ്മാനം നേടിയ ഈ കുട്ടിക്കുവേണ്ടി ഒരേസമയം നടക്കുന്ന മല്‍സരങ്ങള്‍ മാറ്റിവച്ചതായി ഓര്‍ക്കുന്നു.

പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി തയ്യാറാക്കിയ ക്വിസ് പരിശീലന പുസ്തകങ്ങള്‍ കുറവാണ്.ഇതിലേയ്ക് പുതിയ വിഭവങ്ങള്‍ കണ്ടത്തേണ്ടത് നമ്മുടെ ആവശ്യമാണ്.കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷത്തെ ചോദ്യപേപ്പറും , മാത്സ് ബ്ലോഗ് തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ പേപ്പറും ,പിന്നെ ആലുവ വിദ്യാഭ്യാസ ജില്ലയില്‍ കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷം നടത്തിയ ഉപജില്ലാപേപ്പറും ഇന്ന് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു.
Click here to get new quiz paper from maths blog team

Click here to get the STATE QUIZ paper of the last year

Click here to get paper published by Blog team last year

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Paradox

'
പാരഡോക്സ് 'എന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടോ...? ഒരു 'കുഴഞ്ഞുമറിഞ്ഞ പ്രശ്നം' അല്ലേ? അത്രയേ എനിക്കും അറിയാമായിരുന്നുള്ളൂ ....എന്നാല്‍, പരസ്പര വിരുദ്ധമായ ഒന്നോ ഒരുകൂട്ടമോ പ്രസ്താവനകളെയാണ് ഇതുകൊണ്ട് അര്‍ഥമാക്കുന്നത്. (A paradox is a statement or group of statements that leads to a contradiction or a situation which defies intuition). 'കറി' യുടെ പാരഡോക്സ് (Curry's paradox) പോലുള്ള ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഏവര്‍ക്കും സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങള്‍ ഇതുവരെ ആയിട്ടില്ലായെന്നറിയുമ്പോഴാണ് നാം ഇവയുടെ മഹത്വം മനസ്സിലാക്കുന്നത്! ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിലെ ഒരു പാരഡോക്സ് കാണുക.

"The statement below is false”
"The statement above is true".

"ഇവയെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയാവുന്നവരുടെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ കൂടിയാകുമ്പോഴേ, ഈ പോസ്റ്റ് പൂര്‍ണ്ണമാവുകയുള്ളൂ. ഖത്തറില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ അസീസ് മാഷ് ഒരു പാരഡോക്സ് അയച്ചുതന്നതാണ് ഇന്നിവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. ഒരിക്കല്‍ നിയമം പഠിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഗുരുവിന്റെ അടുത്ത്‌ വളരെ സമര്‍ത്ഥനും പാവപ്പെട്ടവനും ആയ ഒരു വിദ്യാര്‍ത്ഥി എത്തി . നിയമങ്ങളെല്ലാം പഠിച്ചു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവനോടു ഫീസ്‌ ചോദിച്ചു. താന്‍ വളരെ പാവപ്പെട്ടവന്‍ ആണെന്നും തന്റെ കയ്യില്‍ പണമൊന്നും ഇല്ലെന്നും പറഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവന്റെ മുമ്പില്‍ ഒരു നിര്‍ദ്ദേശം വെച്ചു ."സാരമില്ല, നിനക്ക് ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസിന്റെ പ്രതിഫലം എനിക്ക് തന്നാല്‍ മതി." അപ്പോള്‍ ശിഷ്യന്‍ പറഞ്ഞു. "ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസ്‌ ജയിച്ചാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരും , തോറ്റാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരില്ല."
ഒന്നു ഞെട്ടിയെകിലും ഗുരുവിനു സമ്മതിക്കാതെ തരമില്ലായിരുന്നു.ശിഷ്യന്‍ ഗുരുകുലം വിട്ടു തന്റെ വീട്ടിലേക്ക് പോയി. ധാരാളം പേര്‍ പല കേസുകളുമായി ശിഷ്യനെ സമീപിച്ചെങ്കിലും അവന്‍ ഒരു കേസും ഏറ്റെടുത്തില്ല. കാരണം ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കാന്‍ അവനു താല്പര്യമില്ലായിരുന്നു. ഈ സംഗതി ഗുരു അറിഞ്ഞു.അങ്ങനെ ഇരിക്കെ ഒരു ദിവസം ഗുരുവും ശിഷ്യനും പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടി .

ഗുരു :"നമ്മുടെ ഫീസ്‌ ഇതുവരെ കിട്ടിയില്ലല്ലോ ശിഷ്യാ?"

ശിഷ്യന്‍: "എന്ത് ചെയ്യാനാ ഗുരോ , എനിക്ക് ഇതുവരെ ഒരു കേസു പോലും കിട്ടിയിട്ടില്ല ."

ഗുരു: "സാരമില്ല ,നിനക്കുടനെ തന്നെ ഒരു കേസ്‌ കിട്ടും"

ശിഷ്യന്‍: "എങ്ങനെ?"

ഗുരു: "നീ എന്റെ അടുത്ത് നിന്നും നിയമം പഠിച്ചു പോയിട്ട് ഫീസ്‌ തന്നില്ല എന്നും പറഞ്ഞു ഞാന്‍ കോടതിയില്‍ കേസ്‌ കൊടുത്തിരിക്കുകയാണ്. മാത്രവുമല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ )കോടതി വിധി പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരണം .ഇനി ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കേസില്‍ നീ വിജയിക്കുകയും നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരികയും വേണം..

ശിഷ്യന്‍:"അങ്ങനെയല്ല ഗുരോ ;ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ ( ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കോടതി വിധി പ്രകാരം ഞാന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല .അതല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ ) നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല.

ചോദ്യം: ഇവിടെ ആര് പറഞ്ഞതാണ് ശരി?

ഇംഗ്ലീഷില്‍ വേണോ..?

Few centuries ago, a Law teacher came across a student who was
willing to learn but was unable to pay the fee. The student struck a
deal saying, "I would pay your fee the day I win my first case in
the court". Teacher agreed and proceeded with the law course. When
the course was finished and teacher started pestering the student to
pay up the fee, student reminded the deal and pushed days. Fed up
with this, the teacher decided to sue the student in the court of
law and both of them decided to argue for themselves. The teacher
put forward his argument saying: "If I win this case, as per the
court of law, student has to pay me. And if I lose the case, student
will still pay me because he would have won his first case. So
either way I will have to get the money". Equally brilliant student
argued back saying: "If I win the case, as per the court of law, I
don't have to pay anything to the teacher. And if I lose the case, I
don't have to pay him because I haven't won my first case yet. So
either way, I am not going to pay the teacher anything"

Who is telling the truth? Guru or Sishya?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഈ ലംബകത്തിന്‍റെ കൂടിയ വിസ്തീര്‍ണമെന്ത്?

കുറച്ചു നാളത്തെ ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം ഗണിത പ്രശ്നങ്ങളെ‍ ബ്ലോഗിലേക്ക് തിരിച്ചു കൊണ്ടു വരികയാണ്. ഒട്ടേറെ പേര്‍ ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന കമന്റ് തന്നെ ഇത്തരം പോസ്റ്റുകള്‍ക്ക് ജന്മം നല്‍കും. വായനക്കാരുടെ ഭാഗത്തു നിന്നും, നിങ്ങളാഗ്രഹിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ചില ലേഖനങ്ങള്‍ കൂടി തയ്യാറാക്കിത്തരികയാണെങ്കില്‍ ഈ ബ്ലോഗില്‍ സന്തോഷത്തോടെ അത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാവുന്നതേയുള്ളു. ഇന്നൊരു ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നമാണ് ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് നല്‍കുന്നത്. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോഴുള്ള ബൗദ്ധീകവ്യായാമങ്ങള്‍ യുക്തിചിന്തയുടെ വളര്‍ച്ചയ്ക്കും വികാസത്തിനും കാരണമാകുന്നു. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രം മനുഷ്യബുദ്ധിയുടെ വികാസ പരിണാമങ്ങളുടെ ചരിത്രമാകുന്നത്. മഹാഗണിതജ്ഞനായ ലിയനാര്‍ഡ് അയ്‍ലര്‍ ( Leonard Euler) നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്ത കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പസ്സില്‍ ഉദാഹരണം. പസ്സിലുകള്‍ പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ തന്നെയാണ്. പാഠ്യദ്ദേശ്യങ്ങള്‍ പഠിതാവില്‍ പൂര്‍ത്തീകരിക്കുന്നതിനായി അധ്യാപകന്‍ ബോധപൂര്‍വ്വം പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്‍കുന്വോള്‍ പഠിതാവില്‍ സ്വതന്ത്രചിന്തയുണത്താന്‍ പസ്സിലുകള്‍ ഉത്തമമാണ്. പസ്സിലുകളില്‍ വിരിയുന്ന ഗണിതപഠനം ഒരു പുതിയ ആശയമൊന്നുമല്ലെങ്കിലും അതിന്റെ പ്രസക്തി മറ്റേതുകാലത്തേക്കാളും ഇന്ന് കൂടുതലാണ്. കാരണം ഇന്ന് ഗണിതപഠനം തനിയാവര്‍ത്തനമല്ല, അന്വേഷണമാണ്, കുട്ടി ശ്രോതാവല്ല, ഗവേഷകനാണ്.

വ്യത്യസ്ത നീളമുള്ള മൂന്നു കമ്പുകള്‍ (നീളങ്ങള്‍ p,q,r എന്നെടുക്കാം.p ചെറുതാണ് q ചെറുതാണ് r).ഇതില്‍ രണ്ടെണ്ണം പരസ്പരം സമാന്തരമായും ഒന്ന് അവയ്ക്കിടയില്‍ ഒരറ്റത്ത് ലംബമായും വച്ചിരിക്കുന്നു.സമാന്തരമായി വച്ചിരിക്കുന്ന കമ്പുകളുടെ മറ്റെരണ്ടറ്റങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തുവരച്ചാല്‍ അതൊരുലംബകമാകും. ലംബകത്തിന് ഏറ്റവും കൂടിയ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കിട്ടാന്‍ കമ്പുകള്‍ എപ്രകാരം ക്രമീകരിക്കണം.

പസ്സില്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിനൊപ്പം സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ പങ്കുവെയ്ക്കമല്ലോ. ഉത്തരത്തിലെത്തുന്നതിനുള്ള ഗണിതയുക്തികൂടി നല്കിയാലേ പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. അടുത്തദിവസം ഉത്തരം ആവശ്യമെങ്കില്‍ നല്‍കാം. കമന്റുകളായിതന്നെ ഉത്തരം കിട്ടിയാല്‍ നന്ന്. പ്രശ്ന നിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് ശേഷം ആധാരമാക്കിയുള്ള സമാനപ്രശ്നങ്ങള്‍ ഉന്നയിക്കുന്നതിനും അവ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിനും വായനക്കാരെ മുന്‍കൂട്ടി സ്വാഗതം ചെയ്യുന്നു. വഴിതെറ്റാത്ത കമന്റുകള്‍ നമ്മുടെ ഗണിതസ്നേഹികളില്‍ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നതോടെ ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഉദ്ദേശ്യലക്ഷ്യങ്ങള്‍ സാര്‍ത്ഥമാകും. ഏവരുടെയും ശ്രദ്ധ സാദരം ഇവിടേയ്ക്ക് ക്ഷണിക്കുന്നു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പ്യുവര്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍

ഇന്നലെ വായിച്ച ആത്മാര്‍ത്ഥത നിറ‌ഞ്ഞ ഒരു കമന്റിന് വാക്കുകള്‍കൊണ്ടൊരു മറുപടി മതിയാവില്ലെന്നു തോന്നി.വിനോദ് സാറിനെക്കുറിച്ചുതന്നെയാണ് ഞാന്‍ പറയുന്നത്."ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രധാനമായും ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്ന ഒരു ബ്ലോഗ്‌ മികച്ച ഒരു ഗണിത വിദ്യാര്‍ഥിയെ വളര്‍ത്തിയെടുക്കുന്നതിലായിരിക്കണം കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധ നല്‍കേണ്ടത് എന്ന് തോന്നുന്നു"ഈ വാക്കുകളിലാണ് ഞാന്‍ തരിച്ചുനിന്നത്.ഇതൊരു തിരിച്ചറിവിന് കാരണമായി.ശാസ്ത്രം സാങ്കേതിക വിദ്യയ്ക്ക് വഴികാട്ടിയാവണം.സാങ്കേതികത കാലത്തിനതീതമല്ല. ഒരിക്കലും ആകുകയുമില്ല.ശാസ്ത്രവും ചിന്തകളും കാലത്തെ അതിജീവിക്കുന്നു.ചിലപ്പോള്‍ പ്രക്യതിയുടെ സമസ്തസൗന്ദര്യവും ഒപ്പിയെടുക്കാന്‍ ശാസ്ത്രം നിമിത്തമാകുന്നു.മേഘം ,പച്ചിലപ്പടര്‍പ്പ്,കടല്‍തീരം എന്നിവയുടെ ഘടനയില്‍ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഗണിതാവിഷ്ക്കാരം ഗണിതവീദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്ക് ഇന്ന് പഠനവിഷയമാണ്.

ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി(PURE CONSTRUCTION)യെക്കുറിച്ചുളള ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഗണിതശാസ്ത്ര മേളകളിലെ ഒരു മല്‍സരഇനമാണ് പ്യൂവര്‍കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍.അളന്നെടുക്കുകയോ അളവെടുക്കുകയോ ചെയ്യാതെ കോമ്പസസ്സും റൂളറും ( straight edge) മാത്രമുപയോഗിച്ച് പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാണിവ. നിര്‍മ്മാണത്തിനാകട്ടെ നല്ല വ്യക്തതയും സൂഷ്മതയും അനിവാര്യവാണ്.ഈ നിര്‍മ്മിതിയൊന്നു നോക്കൂ...
ഒരു ത്രികോണത്തെ തുല്യവിസ്തീര്‍ണ്ണമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകത്തക്കവിധം ഒരു വശത്തിനു സമാന്തരമായ രേഖകൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.
നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കിക്കഴിയുമ്പോള്‍ ആദ്യം വരച്ച ത്രികോണം ഒരുലംബകമായും മറ്റോരു ത്രികോണമായും മാറിയിരിക്കും.അവയുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിധം നമുക്ക് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.

ത്രികോണം ABC വരക്കുക. ഏതുതരം ത്രികോണവുമാകാം.

AB എന്ന വശത്ത് ഒരു ബിന്ദു D അടയാളപ്പെടുത്തുക.

Dയിലൂടെ ABയ്ക്ക് ലംബമായി രേഖ വരക്കുക.

D കേന്ദ്രമായി DA ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം ലംബത്തെ Eയില്‍ മുറിക്കുന്നു.അപ്പോള്‍ AE എന്നത് root 2 * AD ആകുന്നു.

ഇനി EB വരക്കാം.A കേന്ദ്രമായി,AD ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം AE യെ F ല്‍ മുറിക്കുന്നു,ഇനി F ലൂടെ EBയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുക ഈ രേഖ AB യെ Gയില്‍ സന്ധിക്കുന്നു.

ഇനി G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരച്ച് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.

നിര്‍മ്മിതി ഒരു പ്രവര്‍ത്തനക്രമം മാത്രമാകരുത്. അത് ചിന്തയുടെ ഗണിതവല്‍ക്കരണം തന്നെയാണ്. ഏതൊരു ഘട്ടത്തിനു പിന്നിലും ഒരു ജ്യാമിതീയ തത്വം ഉണ്ടായിരിക്കും.ആ തത്വത്തിന്റെ ദൃശ്യവല്‍ക്കരണമായിരിക്കണം നിര്‍മ്മിതി.
ഇനി മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെക്കുതന്നെ പോകാം. ത്രികോണം AEB യില്‍ EB യ്ക്ക് സമാന്തരമായാണ് FG വരക്കുന്നത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ AF/AE = AG/AB = 1/root2 ആയിരിക്കും.G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുന്ന രേഖ AC യെ 1 : root 2 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ വിഭജിക്കും. ഈ രേഖ AC യെ വിഭജിക്കുന്നത് H ലായാല്‍
AH:AC = 1: root 2
സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായ കോണുകള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികം.
ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം : ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം = 1 : 2
അതായത് ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം = ലംബകം GBCH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം

ഈ ചര്‍ച്ചയുടെ ഗതി ഏതാണ്ട് മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടാകുമെന്നു കരുതി മറ്റൊരു നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചു പറയട്ടെ.
വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ 1 : 2 : 3 ആകത്തക്കവിധം 3ഏക കേന്ദ്രവൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കുക. വരച്ചു നോക്കി എങ്ങനെ അതിനു സാധിച്ചു എന്നു കൂടി വിശദീകരിക്കുമല്ലോ. ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ച സജീവമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്.....

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക