----Challenges of a mathematics Teacher: ---
നാം പ്രതിസന്ധികളെ മറികടക്കുന്നത്
>> Thursday, September 19, 2013
പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ പുതുക്കിയെഴുതുന്ന കാലത്ത് കേരളത്തിലെ ഒരു പൊതുവിദ്യാലയത്തിലെ ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്റെ ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. രാകേഷ് സാര്‍ ആലപ്പുഴയില്‍ നിന്നുള്ള റിസോഴ്സ് പേഴ്സണനാണ്. മാത്സ് ബ്ലോഗിന്റെ നിത്യസന്ദര്‍ശകനും. രാകേഷ് സാര്‍ എഴുതുന്നു... അഞ്ചാം തരം മുതല്‍ പത്താം തരം വരെയുള്ള നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോള്‍ വായനക്കാരന് വിവിധ കാഴ്ചപാടുകള്‍ അത് സമ്മാനിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി വായനക്കാരന് തന്റെ മാതൃഭാഷയായ മലയാളത്തിനോടുള്ള ഇഷ്ടം,സ്നേഹം,ബഹുമാനം ഇവയൊക്കെ തന്നെ ഗണിതപാഠപുസ്തകം സമ്മാനിക്കുന്നുണ്ട്.കൂടാതെ നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം പഠിക്കലാണ്- പഠിപ്പിക്കലാണ് ഏതൊരു ഗണിതവിദ്യാര്‍ത്ഥിയും ഗണിതാദ്ധ്യാപകനും ചെയ്യേണ്ടത് എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം അടിവരയിട്ട് പറയുന്നു. അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ പല സ്ഥലങ്ങളിലും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു-(അതായത് പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നു).ഇത്തരം പ്രതിസന്ധികള്‍ ഉണ്ടാകുന്നതും അവ തരണം ചെയ്യുന്നതുമൊക്കെ തന്നെ വളരെ മനോഹരമായി നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്. 1 മുതല്‍ 12 വരെയുള്ള പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ 2014-2016 കാലയളവില്‍ മാറുകയാണല്ലോ.മാറ്റത്തെ നമുക്ക് സ്വാഗതം ചെയ്യാം.അതോടൊപ്പം തന്നെ നമ്മള്‍--നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു,മാറ്റത്തിലും മാറാതെ നില്‍ക്കേണ്ടത് എന്തൊക്കെ,ഇനിയും എന്തൊക്കെ മാറ്റങ്ങളാണ് നമുക്ക് വേണ്ടത് എന്ന് ഓരോ ഗണിത പ്രേമിയും ആലോചിക്കേണ്ടതാണ്. അത്തരം ആലോചനകള്‍ക്ക് ആക്കം കൂട്ടാന്‍ ഈ കുറിപ്പിനും ഒരു പങ്കുണ്ടാകട്ടെ എന്നാഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട് തുടങ്ങുന്നു.
1)$2\times3=\cdots$,
2)$2\times-3=\cdots$,
3)$4\times \frac{1}{2}=\cdots$,
4)$-3\times-2=\cdots$,
5)$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\cdots$,
6)$3\times 2=.\cdots$
7)$-3\times 2=\cdots$,
8) $\frac{1}{2}\times 4=\cdots$
മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം ഒരേ അര്‍ത്ഥമാണോ? $2\times3=2$ തവണ $3$ കൂട്ടുക എന്നാണല്ലോ അര്‍ത്ഥം.അതായത് $2\times3=3+3=6$. അതുപോലെ $3\times2=3$ തവണ $2$ കൂട്ടുക എന്ന് വരുന്നു.അതായത്$3\times2=2+2+2=6$ അപ്പോള്‍ $2\times3=3\times2$. ഇനിയും $2\times-3$ ന്റെ അര്‍ത്ഥം പരിഗണിച്ചാലൊ? $2\times-3=2$ തവണ $-3$കൂട്ടുക എന്നു കിട്ടുന്നു.അതായത് $2\times-3=-3+-3=-6$.ഈ രീതിയില്‍ തന്നെ മുന്നോട്ടു പോയാല്‍ $-3\times 2=-3$ തവണ $2$കൂട്ടുക എന്ന് പറയേണ്ടി വരുന്നു.പക്ഷേ $-3$ തവണ എന്നൊരു തവണ ഇല്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളില്‍ നാം കണ്ട അര്‍ത്ഥം ഇവിടെ ശരിയാകുന്നില്ല എന്നു വരുന്നു. ഇതു നമ്മുടെ ഒരു പ്രതിസന്ധി ഘട്ടമാണ്. ഈ പ്രതിസന്ധി ഘട്ടം നമുക്ക് തരണം ചെയ്യേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്; അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ $a \times b$യും $b \times a$യും ഒന്നു തന്നെയാണല്ലോ.ഈ ഒരു സ്വഭാവം $2\times-3$, $-3\times2$ ഇവയിലേക്കും ആരോപിക്കുന്നു.അതായത് $-3\times2$ എന്നത് $2 \times -3$ ന് തുല്യമാണ് എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കുന്നു. അപ്പോള്‍ $-3 \times 2=2 \times -3= -6$ .ഇതുപോലെ അരത്തവണ എന്നൊന്നില്ലാത്തതിനാല്‍ $\frac{1}{2} \times 4$ നും $4 \times \frac{1}{2}$ എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു.ഇത്തരത്തില്‍ നിര്‍വ്വചനങ്ങളുടെ തന്നെ യുക്തി പരിശോധിച്ച് അരക്കിട്ടുറപ്പിക്കുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്.
വീണ്ടും എട്ടാം തരത്തിലേക്ക് വന്നാല്‍, സര്‍വ്വസമത്രികോണങ്ങള്‍ എന്ന അധ്യായത്തില്‍ $12,13$ പേജുകളിലായി രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുന്നയിക്കുന്നുണ്ട്;
a) ഒരു വശവും ഏതെങ്കിലും 2 കോണുകളും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
b) രണ്ടു വശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
നമ്മുടെ മുന്‍ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും സമാന്തര textbook ളിലും(NCERT,ICSE) വേണ്ടത്ര ഗൗരവമായി ചര്‍ച്ചചെയ്യപ്പെടാത്ത രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളാണിവ.മറ്റൊരു കാര്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധതിരിച്ചാല്‍,--പുതിയ അര്‍ത്ഥങ്ങള്‍കല്‍പ്പിക്കുമ്പോള്‍ ഒന്നില്‍കൂടുതല്‍ തത്വങ്ങളെ ഒരു തത്വമായി ചുരുക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു.ഉദാഹരണമായി കൃതികളുടെ ഹരണത്തിന് ഏഴാം ക്ളാസില്‍ പഠിച്ച രണ്ടു തത്വങ്ങള്‍ ഇവയാണ്.
1.$m>n$ ആയാല്‍$\frac{x^m}{x^n} =x^{m-n}$
2.$m < n$ ആയാല്‍ $\frac{x^m}{x^n}$ =$\frac{1}{x^{n-m}}$ അതായത് $\frac{4^5}{4^2}= 4^{5-2}= 4^3$ $\frac{4^2}{4^5} =\frac{1}{4^{5-2}}=\frac{1}{4^3}$ എന്തുകൊണ്ടാണ് $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$എന്നെഴുതാന്‍ കഴിയാത്തത്? $4^3$ എന്നതിന് 3 എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്നാണല്ലോഅര്‍ത്ഥം.പക്ഷേ $4^{-3}$ എന്നതിന് $-3$ എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്ന് അര്‍ത്ഥം സ്വീകരിക്കാനും പറ്റില്ല.അപ്പോള്‍ ന്യൂനസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തിന് പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുത്തതുപോലെ ന്യൂനകൃതികള്‍ക്കും പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കാം.എങ്കില്‍ $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$ എന്ന് നമ്മള്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കില്‍( പ്രതിസന്ധി മറികടക്കാന്‍ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുവെങ്കില്‍) $4^{-3}$ ന് $\frac{1}{4^3}$ എന്ന അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കേണ്ടി വരുന്നു. പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍,x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതുസംഖ്യയായാലും n ഏതു എണ്ണല്‍സംഖ്യയായാലും $x^{-n}$ എന്നത് $\frac{1}{ x^n}$ ആകുന്നുഎന്ന് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കാം.അതായത് $x^{-n} =\frac{1}{x^n}$ .ഇങ്ങനെഅര്‍ത്ഥം കൊടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച 2 തത്വങ്ങള്‍ക്കു പകരം $m>n$ ആയാലും $m < n$ ആയാലും $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$ എന്ന ഒരു തത്വം മതി. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം;കോണുകള്‍ A,B,Cയും വശങ്ങള്‍a,b,c യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം; കോണുകള്‍ $A,B,C$യും വശങ്ങള്‍$a,b,c$ യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. $\angle A < 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin A$ $\angle A > 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin(180-A)$ $\angle A = 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc $ ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക എന്ന സമാന ആശയത്തിന് വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍വേണ്ടിവരുന്നു.ഈ പ്രതിസന്ധി തരണം ചെയ്യാന്‍ $90^\circ$ യേക്കാള്‍ വലിയ കോണുകള്‍ക്കും ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ പുതുതായി നിര്‍വ്വചിച്ചാല്‍ മതിയാകും. അപ്പോള്‍ $\sin(180-x)=\sin x$ എന്നും $\sin 90^\circ =1$ എന്നും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ മുകളില്‍ പരാമര്‍ശിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളെ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യത്തില്‍, പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc SinA$, ഒതുക്കാം.
മറ്റൊന്നുള്ളത് മുന്‍കാലങ്ങളിലും $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:1:\sqrt{2}$ ആണന്നും $30^\circ$,$60^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:\sqrt{3}:2$ ആണന്നതും നമ്മള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യ്ത കാര്യങ്ങളാണ്. പക്ഷേ ഇപ്പോള്‍ കുറെക്കൂടി വലിയ ക്യാന്‍വാസിലാണ് കാര്യങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.ഏതുത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ അംശബന്ധം,കോണുകളുടെ $\sin$ അളവുകളുടെ അംശബന്ധത്തിന് തുല്യമാണ് $(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C)$ എന്ന മനോഹരമായ,അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണ്ണമായ ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാനുള്ള ചവിട്ടുപടികളായിട്ടാണ് നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച അംശബന്ധങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.
ചുരുക്കത്തില്‍ ഏഴാം തരത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളെ മുഖാമുഖം കാണുന്ന കുട്ടിക്ക് പത്താംതരത്തില്‍ത്രികോണമിതിയില്‍എത്തുമ്പോഴേക്കും ആടിത്തിമിര്‍ക്കാനുള്ള അവസരമാണ് ഒരുക്കിയിട്ടുള്ളത്. ഇങ്ങനെ ആടിതിമിര്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ ഭാവിയില്‍ CBI പോലെയുളള അന്വേഷണാത്മക ടീമിന്റെ നേതൃത്വനിരയിലേക്കും ഉയരും എന്ന കാര്യത്തിലും രണ്ടു പക്ഷമില്ല. അഭിന്നകസംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ഒന്നു പരാമര്‍ശിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒന്‍പതാം തരത്തില്‍ രണ്ടാമത്തെ അദ്ധ്യായത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഓരോ കുട്ടിയും പ്രതിസന്ധികള്‍ തരണം ചെയ്യുന്നത് മുഖാമുഖം കാണുകയാണ്. പുതിയ അര്‍ത്ഥ സങ്കല്‍പ്പങ്ങള്‍ കണ്ടാസ്വദിക്കാന്‍ സാധിച്ച കുട്ടി, അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ എല്ലാ നീളങ്ങളെയും താന്‍ പരിചയപ്പെട്ട ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടളക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നു. ഒരു സമചതുരത്തില്‍, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഏതു ഭിന്നകസംഖ്യാ ഗുണിതമെടുത്താലും അതു വികര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളത്തിനു തുല്യമാകില്ല എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം ബോധ്യപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ ഗണിത ചരിത്രത്തിലെ തന്നെവലിയ ഒരു പ്രതിസന്ധി പഠിതാവും ഏറ്റെടുക്കുകയാണ്. തുടര്‍ന്ന് ആ പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നതും അഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും എല്ലാം അര്‍ഹിക്കുന്ന ഗൗരവത്തോടെയാണ് ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.
ഏതു പ്രവര്‍ത്തനവും ചില ചിന്തകളിലേക്ക് നയിക്കുകയും അതില്‍ നിന്ന് യുക്തിപൂര്‍വ്വം ചില ആശയങ്ങളിലെത്തുകയും ഈ ആശയങ്ങള്‍ പുതിയ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്കും പുതിയ ചിന്തകളിലേക്കും നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിതപാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്. ഈ അവസരത്തില്‍ ഒരു കാര്യം കൂടി-- കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ കാര്‍മികത്വത്തില്‍ $11,12$ ക്ളാസുകളിലേക്കും കൂടി, മലയാളിക്ക് അഭിമാനിക്കാവുന്ന, നെഞ്ചോട് ചേര്‍ത്തുപിടിക്കാവുന്ന ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകണമെന്ന് ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
ഏതൊരു ഭാഷയും നിലനില്‍ക്കുന്നതും ഉയരങ്ങള്‍ കീഴടക്കുന്നതും അത് ഏറ്റെടുക്കുന്നവരുടെ ആത്മാര്‍ത്ഥതയെയും കൂടി അനുസരിച്ചാണല്ലോ. കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ നേതൃത്വപരമായ ഇടപെടലുകളിലൂടെ പുതിയ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഒരുപിടി പുതിയ മലയാളപദങ്ങള്‍ നമുക്ക് സമ്മാനിച്ചു.
പഠനപ്രക്രിയയുടെ അനിവാര്യ ഘടകമാണല്ലോ പഠിതാവിനെ വിലയിരുത്തുക എന്നത്. ഇപ്പോഴത്തെ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപനം മൂന്ന് മാനങ്ങളിലായി ക്രോഡീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
1.Assessment as learning
2.Assessment for learning
3. Assessment of learning
മേഖല 1-ദൈനംദിന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 2-അന്വേഷണാത്മക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 3-പ്രായോഗിക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 4-സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
നാലാമത്തെ മേഖലയിലാണ് ഗണിതക്വിസ് ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.സര്‍ഗാത്മകമായ കഴിവുകളും വിഷയസംബന്ധമായ കഴിവുകളും പ്രകടിപ്പിക്കുവാനുളള അവസരമാണ് ഈ മേഖലയിലൂടെ കിട്ടുന്നത്.ക്വിസ്, ചോദ്യനിര്‍മ്മാണം,പസിലുകള്‍, ഗെയിമുകള്‍ ചാര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കല്‍, മോഡലുകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കല്‍, കവിതകള്‍,നാടകങ്ങള്‍, കാര്‍ട്ടൂണുകള്‍ ഐ സി റ്റി പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍, ഗണിതപതിപ്പ്, ഗണിതകഥ എന്നിവ ഈ മേഖലയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.
ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ വിലയിരുത്തലിന് ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂചകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാം.
സൂചകങ്ങള്‍
ഈ സൂചകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി good,average,to be improved എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി 3,2,1 എന്നീ സ്കോറുകള്‍ നല്‍കി ശരാശരി സ്കോര്‍ കണക്കാക്കാം. ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത—പെന്‍സിലും പേപ്പറും എടുക്കാതെ ഒന്നോ രണ്ടോ മിനിട്ടു കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ ക്രിയകള്‍ നടത്തി ഉത്തരത്തില്‍ എത്തിച്ചേരണം. അപ്പോള്‍ സ്വാഭാവികമായും ,ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം അന്വേഷിച്ചിറങ്ങുന്ന ഏതൊരു കുട്ടിക്കും ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങള്‍ സമഗ്രമായും സൂക്ഷ്മമായും മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവസരം വന്നു ചേരുന്നു.
1 Click Here to download Quiz Paper prepared by Rakesh Sir
2. Old post on State level Quiz
3. IT QUIZ POST
1)$2\times3=\cdots$,
2)$2\times-3=\cdots$,
3)$4\times \frac{1}{2}=\cdots$,
4)$-3\times-2=\cdots$,
5)$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\cdots$,
6)$3\times 2=.\cdots$
7)$-3\times 2=\cdots$,
8) $\frac{1}{2}\times 4=\cdots$
മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം ഒരേ അര്‍ത്ഥമാണോ? $2\times3=2$ തവണ $3$ കൂട്ടുക എന്നാണല്ലോ അര്‍ത്ഥം.അതായത് $2\times3=3+3=6$. അതുപോലെ $3\times2=3$ തവണ $2$ കൂട്ടുക എന്ന് വരുന്നു.അതായത്$3\times2=2+2+2=6$ അപ്പോള്‍ $2\times3=3\times2$. ഇനിയും $2\times-3$ ന്റെ അര്‍ത്ഥം പരിഗണിച്ചാലൊ? $2\times-3=2$ തവണ $-3$കൂട്ടുക എന്നു കിട്ടുന്നു.അതായത് $2\times-3=-3+-3=-6$.ഈ രീതിയില്‍ തന്നെ മുന്നോട്ടു പോയാല്‍ $-3\times 2=-3$ തവണ $2$കൂട്ടുക എന്ന് പറയേണ്ടി വരുന്നു.പക്ഷേ $-3$ തവണ എന്നൊരു തവണ ഇല്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളില്‍ നാം കണ്ട അര്‍ത്ഥം ഇവിടെ ശരിയാകുന്നില്ല എന്നു വരുന്നു. ഇതു നമ്മുടെ ഒരു പ്രതിസന്ധി ഘട്ടമാണ്. ഈ പ്രതിസന്ധി ഘട്ടം നമുക്ക് തരണം ചെയ്യേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്; അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.
എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ $a \times b$യും $b \times a$യും ഒന്നു തന്നെയാണല്ലോ.ഈ ഒരു സ്വഭാവം $2\times-3$, $-3\times2$ ഇവയിലേക്കും ആരോപിക്കുന്നു.അതായത് $-3\times2$ എന്നത് $2 \times -3$ ന് തുല്യമാണ് എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കുന്നു. അപ്പോള്‍ $-3 \times 2=2 \times -3= -6$ .ഇതുപോലെ അരത്തവണ എന്നൊന്നില്ലാത്തതിനാല്‍ $\frac{1}{2} \times 4$ നും $4 \times \frac{1}{2}$ എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു.ഇത്തരത്തില്‍ നിര്‍വ്വചനങ്ങളുടെ തന്നെ യുക്തി പരിശോധിച്ച് അരക്കിട്ടുറപ്പിക്കുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്.
വീണ്ടും എട്ടാം തരത്തിലേക്ക് വന്നാല്‍, സര്‍വ്വസമത്രികോണങ്ങള്‍ എന്ന അധ്യായത്തില്‍ $12,13$ പേജുകളിലായി രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുന്നയിക്കുന്നുണ്ട്;
a) ഒരു വശവും ഏതെങ്കിലും 2 കോണുകളും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
b) രണ്ടു വശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
നമ്മുടെ മുന്‍ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും സമാന്തര textbook ളിലും(NCERT,ICSE) വേണ്ടത്ര ഗൗരവമായി ചര്‍ച്ചചെയ്യപ്പെടാത്ത രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളാണിവ.മറ്റൊരു കാര്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധതിരിച്ചാല്‍,--പുതിയ അര്‍ത്ഥങ്ങള്‍കല്‍പ്പിക്കുമ്പോള്‍ ഒന്നില്‍കൂടുതല്‍ തത്വങ്ങളെ ഒരു തത്വമായി ചുരുക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു.ഉദാഹരണമായി കൃതികളുടെ ഹരണത്തിന് ഏഴാം ക്ളാസില്‍ പഠിച്ച രണ്ടു തത്വങ്ങള്‍ ഇവയാണ്.
1.$m>n$ ആയാല്‍$\frac{x^m}{x^n} =x^{m-n}$
2.$m < n$ ആയാല്‍ $\frac{x^m}{x^n}$ =$\frac{1}{x^{n-m}}$ അതായത് $\frac{4^5}{4^2}= 4^{5-2}= 4^3$ $\frac{4^2}{4^5} =\frac{1}{4^{5-2}}=\frac{1}{4^3}$ എന്തുകൊണ്ടാണ് $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$എന്നെഴുതാന്‍ കഴിയാത്തത്? $4^3$ എന്നതിന് 3 എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്നാണല്ലോഅര്‍ത്ഥം.പക്ഷേ $4^{-3}$ എന്നതിന് $-3$ എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്ന് അര്‍ത്ഥം സ്വീകരിക്കാനും പറ്റില്ല.അപ്പോള്‍ ന്യൂനസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തിന് പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുത്തതുപോലെ ന്യൂനകൃതികള്‍ക്കും പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കാം.എങ്കില്‍ $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$ എന്ന് നമ്മള്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കില്‍( പ്രതിസന്ധി മറികടക്കാന്‍ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുവെങ്കില്‍) $4^{-3}$ ന് $\frac{1}{4^3}$ എന്ന അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കേണ്ടി വരുന്നു. പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍,x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതുസംഖ്യയായാലും n ഏതു എണ്ണല്‍സംഖ്യയായാലും $x^{-n}$ എന്നത് $\frac{1}{ x^n}$ ആകുന്നുഎന്ന് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കാം.അതായത് $x^{-n} =\frac{1}{x^n}$ .ഇങ്ങനെഅര്‍ത്ഥം കൊടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച 2 തത്വങ്ങള്‍ക്കു പകരം $m>n$ ആയാലും $m < n$ ആയാലും $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$ എന്ന ഒരു തത്വം മതി. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം;കോണുകള്‍ A,B,Cയും വശങ്ങള്‍a,b,c യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം; കോണുകള്‍ $A,B,C$യും വശങ്ങള്‍$a,b,c$ യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. $\angle A < 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin A$ $\angle A > 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin(180-A)$ $\angle A = 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc $ ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക എന്ന സമാന ആശയത്തിന് വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍വേണ്ടിവരുന്നു.ഈ പ്രതിസന്ധി തരണം ചെയ്യാന്‍ $90^\circ$ യേക്കാള്‍ വലിയ കോണുകള്‍ക്കും ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ പുതുതായി നിര്‍വ്വചിച്ചാല്‍ മതിയാകും. അപ്പോള്‍ $\sin(180-x)=\sin x$ എന്നും $\sin 90^\circ =1$ എന്നും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ മുകളില്‍ പരാമര്‍ശിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളെ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യത്തില്‍, പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc SinA$, ഒതുക്കാം.
മറ്റൊന്നുള്ളത് മുന്‍കാലങ്ങളിലും $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:1:\sqrt{2}$ ആണന്നും $30^\circ$,$60^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:\sqrt{3}:2$ ആണന്നതും നമ്മള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യ്ത കാര്യങ്ങളാണ്. പക്ഷേ ഇപ്പോള്‍ കുറെക്കൂടി വലിയ ക്യാന്‍വാസിലാണ് കാര്യങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.ഏതുത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ അംശബന്ധം,കോണുകളുടെ $\sin$ അളവുകളുടെ അംശബന്ധത്തിന് തുല്യമാണ് $(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C)$ എന്ന മനോഹരമായ,അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണ്ണമായ ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാനുള്ള ചവിട്ടുപടികളായിട്ടാണ് നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച അംശബന്ധങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.
ചുരുക്കത്തില്‍ ഏഴാം തരത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളെ മുഖാമുഖം കാണുന്ന കുട്ടിക്ക് പത്താംതരത്തില്‍ത്രികോണമിതിയില്‍എത്തുമ്പോഴേക്കും ആടിത്തിമിര്‍ക്കാനുള്ള അവസരമാണ് ഒരുക്കിയിട്ടുള്ളത്. ഇങ്ങനെ ആടിതിമിര്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ ഭാവിയില്‍ CBI പോലെയുളള അന്വേഷണാത്മക ടീമിന്റെ നേതൃത്വനിരയിലേക്കും ഉയരും എന്ന കാര്യത്തിലും രണ്ടു പക്ഷമില്ല. അഭിന്നകസംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ഒന്നു പരാമര്‍ശിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒന്‍പതാം തരത്തില്‍ രണ്ടാമത്തെ അദ്ധ്യായത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഓരോ കുട്ടിയും പ്രതിസന്ധികള്‍ തരണം ചെയ്യുന്നത് മുഖാമുഖം കാണുകയാണ്. പുതിയ അര്‍ത്ഥ സങ്കല്‍പ്പങ്ങള്‍ കണ്ടാസ്വദിക്കാന്‍ സാധിച്ച കുട്ടി, അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ എല്ലാ നീളങ്ങളെയും താന്‍ പരിചയപ്പെട്ട ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടളക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നു. ഒരു സമചതുരത്തില്‍, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഏതു ഭിന്നകസംഖ്യാ ഗുണിതമെടുത്താലും അതു വികര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളത്തിനു തുല്യമാകില്ല എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം ബോധ്യപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ ഗണിത ചരിത്രത്തിലെ തന്നെവലിയ ഒരു പ്രതിസന്ധി പഠിതാവും ഏറ്റെടുക്കുകയാണ്. തുടര്‍ന്ന് ആ പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നതും അഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും എല്ലാം അര്‍ഹിക്കുന്ന ഗൗരവത്തോടെയാണ് ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.
ഏതു പ്രവര്‍ത്തനവും ചില ചിന്തകളിലേക്ക് നയിക്കുകയും അതില്‍ നിന്ന് യുക്തിപൂര്‍വ്വം ചില ആശയങ്ങളിലെത്തുകയും ഈ ആശയങ്ങള്‍ പുതിയ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്കും പുതിയ ചിന്തകളിലേക്കും നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിതപാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്. ഈ അവസരത്തില്‍ ഒരു കാര്യം കൂടി-- കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ കാര്‍മികത്വത്തില്‍ $11,12$ ക്ളാസുകളിലേക്കും കൂടി, മലയാളിക്ക് അഭിമാനിക്കാവുന്ന, നെഞ്ചോട് ചേര്‍ത്തുപിടിക്കാവുന്ന ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകണമെന്ന് ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
ഏതൊരു ഭാഷയും നിലനില്‍ക്കുന്നതും ഉയരങ്ങള്‍ കീഴടക്കുന്നതും അത് ഏറ്റെടുക്കുന്നവരുടെ ആത്മാര്‍ത്ഥതയെയും കൂടി അനുസരിച്ചാണല്ലോ. കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ നേതൃത്വപരമായ ഇടപെടലുകളിലൂടെ പുതിയ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഒരുപിടി പുതിയ മലയാളപദങ്ങള്‍ നമുക്ക് സമ്മാനിച്ചു.
- പരപ്പളവ്----വിസ്തീര്‍ണ്ണം---Area
- സമാനകോണുകള്‍---സമസ്ഥാനീയ കോണുകള്‍--Corresponding angles
- മറുകോണുകള്‍---ഏകാന്തരകോണുകള്‍--Alternate angles
- പുറംകോണുകള്‍--- ബാഹ്യകോണുകള്‍--Exterior angles
- തൊടുവര---സ്പര്‍ശരേഖ ---Tangent
- മധ്യമരേഖ---Medians
- മധ്യമം---Median
- മഹിതം---Mode
- ചതുരചിത്രം--Histogram
- വൃത്താംശം--Sector
- ബഹുപദം---polynomial
- പരിഹാരം;... solution
പഠനപ്രക്രിയയുടെ അനിവാര്യ ഘടകമാണല്ലോ പഠിതാവിനെ വിലയിരുത്തുക എന്നത്. ഇപ്പോഴത്തെ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപനം മൂന്ന് മാനങ്ങളിലായി ക്രോഡീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
1.Assessment as learning
2.Assessment for learning
3. Assessment of learning
- Assessment as learning(വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനം)(പഠിതാവിന്റെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠിതാവ് തന്റെമികവുകളും പരിമിതികളും തിരിച്ചറിയുന്ന സ്വയം വിലയിരുത്തല്‍ പ്രക്രയ.ഇത് സ്വയം വിമര്‍ശനത്തിനുള്ള അവസരം ഒരുക്കുകയും തിരുത്തല്‍ പ്രക്രിയ കാര്യക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.ഇവിടെ വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി മാറുന്നു.ഇത് കൂടുതല്‍ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിലേക്ക്നയിക്കുന്നു.
- Assessment for learning(പഠനത്തിനായുള്ള വിലയിരുത്തല്‍)(പഠനത്തിനു വേണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍): പഠന ബോധന പ്രക്രിയയില്‍ തന്റെ പഠിതാക്കള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു?അവര്‍ എവിടെയാണ് എത്തിച്ചേരേണ്ടത്?അദ്ധ്യാപകനായ ഞാന്‍ ഇതിന് എന്തെല്ലാം ചെയ്യണം? ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരം തേടലാണ് പഠനത്തിനുവണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍.പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ ആസൂത്രണത്തിനും നിര്‍വ്വഹണത്തിനും ഈ വിലയിരുത്തല്‍ അനിവാര്യമാണ്.
- Assessment of learning(പഠനത്തെ വിലയിരുത്തല്‍)(പഠിച്ചതിനെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠനബോധന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നിശ്ചിതഘട്ടത്തിനു ശേഷം വിലയിരുത്തുമ്പോള്‍ അത്പഠനത്തെവിലയിരുത്തലാകുന്നു.പഠിതാവിലുണ്ടായ മാറ്റം,പഠനനിലവാരം നേടിയ അറിവ് എത്രമാത്രം പ്രയോജനപ്പെടുന്നു തുടങ്ങിയവ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ വിലയിരുത്തല്‍ സഹായകമാണ്.
മേഖല 1-ദൈനംദിന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 2-അന്വേഷണാത്മക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 3-പ്രായോഗിക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 4-സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
നാലാമത്തെ മേഖലയിലാണ് ഗണിതക്വിസ് ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.സര്‍ഗാത്മകമായ കഴിവുകളും വിഷയസംബന്ധമായ കഴിവുകളും പ്രകടിപ്പിക്കുവാനുളള അവസരമാണ് ഈ മേഖലയിലൂടെ കിട്ടുന്നത്.ക്വിസ്, ചോദ്യനിര്‍മ്മാണം,പസിലുകള്‍, ഗെയിമുകള്‍ ചാര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കല്‍, മോഡലുകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കല്‍, കവിതകള്‍,നാടകങ്ങള്‍, കാര്‍ട്ടൂണുകള്‍ ഐ സി റ്റി പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍, ഗണിതപതിപ്പ്, ഗണിതകഥ എന്നിവ ഈ മേഖലയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.
ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ വിലയിരുത്തലിന് ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂചകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാം.
സൂചകങ്ങള്‍
- ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം
- ചോദ്യങ്ങളുടെ വൈവിധ്യം
- ചോദ്യങ്ങളിലെ ലാളിത്യം
- അവതരണം
ഈ സൂചകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി good,average,to be improved എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി 3,2,1 എന്നീ സ്കോറുകള്‍ നല്‍കി ശരാശരി സ്കോര്‍ കണക്കാക്കാം. ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത—പെന്‍സിലും പേപ്പറും എടുക്കാതെ ഒന്നോ രണ്ടോ മിനിട്ടു കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ ക്രിയകള്‍ നടത്തി ഉത്തരത്തില്‍ എത്തിച്ചേരണം. അപ്പോള്‍ സ്വാഭാവികമായും ,ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം അന്വേഷിച്ചിറങ്ങുന്ന ഏതൊരു കുട്ടിക്കും ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങള്‍ സമഗ്രമായും സൂക്ഷ്മമായും മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവസരം വന്നു ചേരുന്നു.
1 Click Here to download Quiz Paper prepared by Rakesh Sir
2. Old post on State level Quiz
3. IT QUIZ POST
Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക
