വേറിട്ടചിന്തകള്‍ 3 : സമാന്തരശ്രേണി
>> Monday, July 9, 2012
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാല്‍ അവ പൊതുവ്യത്യാസം 1 ആയ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലാണല്ലോ..? എന്നാല്‍, എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
പിന്നീട് എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
സമാന്തരശ്രേണി കിട്ടുന്നതുവരെ ഈ പ്രവര്‍ത്തനം തുടരുക.
പ്രവര്‍ത്തനം ചെയ്യാന്‍ കുട്ടികള്‍ അനന്യയുടെ വീട്ടില്‍ ഒത്തുകൂടി. ഹരിത പറഞ്ഞു."നമുക്ക്, ഈപ്രവര്‍ത്തനം നാലാംകൃതി, അഞ്ചാംകൃതി, ആറാംകൃതി എന്നിവകൂടി കണ്ട് വികസിപ്പിച്ചാലോ?" ശരി എന്നായി ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റ് മിടുക്കികള്‍. അവര്‍ ചെയ്ത പ്രവര്‍ത്തനം താഴേ കാണിക്കുംപോലെയാണ്.
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍
1,2,3,4,5,6,..................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 1
പൊതുവ്യത്യാസം =1
എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍
ശ്രേണി 1
1.4.9.16.25,..................
ശ്രേണി 2
3,5,7,9,11,....................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 3
പൊതുവ്യത്യാസം = 2
എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍
ശ്രേണി 1
1,8,27,64,125,216,.......
ശ്രേണി 2
7,19,37,61,91,..............
ശ്രേണി 3
12,18,24,30,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 12
പൊതുവ്യത്യാസം = 6
എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ നാലാംകൃതികള്‍
ശ്രേണി 1
1,16,81,256,625,1296,......
ശ്രേണി 2
15,65,175,369,671,...........
ശ്രേണി 3
50,110,194,302,................
ശ്രേണി 4
64,84,108,.........................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 60
പൊതുവ്യത്യാസം = 24
എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ അഞ്ചാംകൃതികള്‍
ശ്രേണി 1
1,32,243,1024,3125,7796,16807,...............
ശ്രേണി 2
31,211,781,2101,9031,...............................
ശ്രേണി 3
180,570,1320,2550,4380,...........................
ശ്രേണി 4
390,750,1230,1830,.....................................
ശ്രേണി 5
360,480,600,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 360
പൊതുവ്യത്യാസം = 120
എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ആറാംകൃതികള്‍
ശ്രേണി 1
1,64,729,4096,............................................
ശ്രേണി 2
63,665,3367,...............................................
ശ്രേണി 3
602,2702,8162,...........................................
ശ്രേണി 4
2100,5460,11340,20460,33540,.................
ശ്രേണി 5
3360,5880,9120,13080,..............................
ശ്രേണി 1
2520,3240,3960,......................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 2520
പൊതുവ്യത്യാസം = 720
പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ നിന്നുള്ള കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു പട്ടികയാക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു.
ഉടനെ അമ്മു "പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ കോളം ശ്രദ്ധിച്ചോ..? ആദ്യശ്രേണിയുടേത് 1, രണ്ടാം ശ്രേണിയുടേത് 2, മൂന്നാം ശ്രേണിയുടേത് 6...ഈ ഒരു ക്രമം വരുന്നതുകണ്ടോ..?"
ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റംഗങ്ങള്‍ ഇത് ശ്രദ്ധാപൂര്‍വ്വം വിശകലനം ചെയ്യവേ നിസാര്‍ പറഞ്ഞു. "ആദ്യപദത്തിന്റെ കോളത്തിലും ഒരു ക്രമമുണ്ടല്ലോ, 1,3,12,..."
എല്ലാവരും നിസാറിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ പ്രകീര്‍ത്തിച്ചു.
അപ്പോള്‍ അമ്മുവിന് ഒരു സംശയം. "എണ്ണല്‍സംഖ്യകളെ n ആം കൃതിയിലേക്ക് ഉയര്‍ത്തിയാലോ..?"
അതൊരു നല്ല ആശയം തന്നെ. എല്ലാവരും കൂടി പട്ടിക താഴേ കാണുംപോലെ മാറ്റിയെഴുതി.
ഇത്രയും തയ്യാറാക്കിക്കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ആതിരയ്ക്കൊരു സംശയം. "കുറേയേറെ സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ശരിയായി വന്നുവെന്ന് കരുതി, ഒരു പ്രസ്താവന ഗണിത തത്വമായി കരുതാനാകില്ലെന്ന് മുമ്പ് ഭാമടീച്ചര് പറഞ്ഞിട്ടില്ലേ..?"
അടുത്തദിവസം ഭാമടീച്ചറെ ചെന്നുകണ്ട സംഘത്തിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ ഭാമടീച്ചര് പ്രശംസിച്ചു. ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ നിങ്ങള്‍ പഠിക്കുവാന്‍ പോകുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് തെളിയിക്കാം. എന്നാല്‍ ഈ ആശയം ഹൈസ്കൂളില്‍ ഇല്ലല്ലോ..? കുട്ടികള്‍ നിരാശരായി. സാരമില്ല, നമുക്കിത് മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ കൃഷ്ണന്‍ സാറോടു ചോദിക്കാം.നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്ന രീതിയില്‍ അദ്ദേഹമിത് വിശദമാക്കും. കാത്തിരിക്കാം.
86 comments:
ഈ പോസ്റ്റില്‍ കൊടുത്തിട്ടുള്ള പട്ടികകള്‍ വളരെ ചെറുതായിപ്പോയോ..? മുത്തീടെ കണ്ണ് അത്രക്കങ്ങട് പിടിക്കണില്ലാട്ടോ..!
ആ പട്ടികകളിലങ്ങട് ഞെക്കിനോക്യേ മുത്തിമുത്തശ്ശ്യേ..
മ്മ്ണി ബലുതായി കാണാമല്ലോ..?
രാവിലെതന്നെ ഈ പോസ്റ്റിന്റെ തേങ്ങയുടച്ചതിന് നന്ദി.
ഈ മുത്തശ്ശിക്ക് അത്രയ്ക്കു പ്രായമൊന്നുമില്ല നിസാര്‍ സാറെ . അവള്‍ ഏതുവേഷത്തിലും വരും , കാറ്റുപോലെ , കള്ളിയെപ്പോലെ...
ഇവിടെയും ഒരു പാലക്കാടന്‍കാറ്റിന്റെ ഗന്ധം
പോസ്റ്റ് ഇന്നലെ തന്നെ പലവട്ടം വായിച്ചതാണ് . നന്നായിരിക്കുന്നു . കണ്ണന്‍ സാറിനും മുത്തശ്ശിക്കും നന്ദി
ഇപ്പം എങ്ങനുണ്ട് മൂത്ത മുത്തശ്ശി.
ഞെക്കാതെ തന്നെ വായിച്ചുകൂടെ..?
കണ്ണന്മാഷിന്റെ പോസ്റ്റും മുത്തീടെ കണ്ണും എല്ലാം നന്നായിട്ടുണ്ട്......കോള്ളാം കണ്ണന്മാഷെ.....
സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ചുതന്നെ പറയട്ടെ.
ആദ്യപദവും പദങ്ങളുടെ എണ്ണവും തുല്യമായ ഒരു സമാന്തരശ്രേണി എഴുതാമോ? അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാവണം. ആ ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് നോക്കുക . എന്തെങ്കിലും പ്രത്യേകത തുകയ്ക്ക് കാണുന്നുണ്ടോ?
ആദ്യപദവും പദങ്ങളുടെ എണ്ണവും തുല്യവും അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയും ആയാല്‍ ആ ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യ പദത്തിന്റെ ഘനത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും
2,6 തുക 8
3,9,15 തുക 27
4,12,20,28 തുക 64
നന്നായിരിക്കുന്നു കണ്ണന്‍ സര്‍.ഹൈ സ്കൂള്‍ തലത്തിന്റെ ആശയത്തില്‍ നിന്ന് കൊണ്ട് ഇതിനു ഒരു തെളിവ് നല്‍കാന്‍ അഞ്ജന ചേച്ചിയോ ഫിലിപ്പ് സാറോ കൃഷ്ണന്‍ സാറോ അര്‍ജുനോ വരുമെന്ന് കരുതുന്നു
"സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ചുതന്നെ പറയട്ടെ.
ആദ്യപദവും പദങ്ങളുടെ എണ്ണവും തുല്യമായ ഒരു സമാന്തരശ്രേണി എഴുതാമോ? അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം പദങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാവണം. ആ ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുക എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് നോക്കുക . എന്തെങ്കിലും പ്രത്യേകത തുകയ്ക്ക് കാണുന്നുണ്ടോ? "
സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദം 'a' എന്ന് കരുതുക എങ്കില്‍ പദങ്ങളുടെ എണ്ണവും 'a'
അപ്പോള്‍ പൊതു വ്യത്യാസം '2a'
തുക = n/2(2a+n-1)d)
= a/2 (2a+(a-1)2a)
= a/2 (2a+2a^2-2a)
= a/2 (2a^2)
= a^3
ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യ പദത്തിന്റെ ഘനത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും
സുനന്ദ മേനോന്‍
പാലക്കാട്
ശ്രേണി=n,3n,5n,7n........,2n^2-2
തുക=n/2{n+2n^2-n}
=n/2*2n^2
=n^3
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായപദങ്ങളുടെതുക പ്രധാനമായും 'n 'ന് ഊന്നല്‍ കൊടുത്താണല്ലൊ കാണുന്നത്. എന്നാല്‍ 'n' നേരിട്ട് കണ്ടുപിടിക്കാതെ തുക കാണാനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗ്ഗം വിശദീകരിക്കുന്നു.
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടറ്‌ച്ചയായ പദങ്ങളുടെതുക "അവസാനപദത്തിന്റെയും ആദ്യപദത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗ വ്യത്യാസത്തെ പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഇരട്ടി കൊണ്ട് ഹരിച്ച് രണ്ട് പദങ്ങളുടേയും ശരാശരി കൂട്ടിയാല്‍ മതി.”
Sn =[{Xn)^2-(X1)^2}/2d+{(Xn+X1)/2
eg: 1) 1 മുതല്‍ 21 വരേയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക ?
തുക = [(21^2-1^2)/2*2]+(1+21)/2= 121
2) 10 മുതല്‍ 48 വരെയുള്ള ഇരട്ട സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക?
തുക = [(48^2-10^2)/2*2]+(10+48)/2=580
3)13,20,27,-------------97. തുക കാണുക?
തുക = [(97^2-13^2)/2*7]+(13+97)/2 =715
4)21 മുതല്‍ 31 വരെയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക?
തുക = [(31^2- 21^2)/2*2+(31+21)/2=156.
കണ്ണന്‍ സാറേ, താങ്കളുടെ കണ്ടെത്തല്‍ രസകരമായി. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്താന്‍ വല്ല സൂത്രവാക്യവുമുണ്ടോ ? നെറ്റായ നെറ്റൊക്കെ ഞാന്‍ തപ്പി നോക്കി. പക്ഷെ, ഫലം നാസ്തി...............അവസാനം സ്വയം ഒരു സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തി !!!!!........
sum=sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
കണ്ണന്‍ സാറേ, താങ്കളുടെ കണ്ടെത്തല്‍ രസകരമായി. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്താന്‍ വല്ല സൂത്രവാക്യവുമുണ്ടോ ? നെറ്റായ നെറ്റൊക്കെ ഞാന്‍ തപ്പി നോക്കി. പക്ഷെ, ഫലം നാസ്തി...............അവസാനം സ്വയം ഒരു സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തി !!!!!........
sum=sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
കണ്ണന്‍ സാറേ, താങകളുടെ കണ്ടെത്തല്‍ രസകരമാണ്...ഈ രീതിയില്‍ നമുക്ക് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ വ്ര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്താമല്ലോ.......ഇതാ ഞാന്‍ കണ്ടെത്തിയ സൂത്രവാക്യം.....
sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
പരീശോധീച്ച് അഭിപ്രായം പോസ്റ്റ് ചെയ്യണേ.......
sum=(n/6)[6t1tn +(n-1)(2n-1)d2]
where n= number of terms
t1= first term
tn= nth term
d= common difference
സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് അയക്കുന്നു. വിശകലനം ചെയ്ത് ലിങ്ക് ഇടുമെന്ന് വിശ്വസിക്കുന്നു.
ഓഫ്‌ ടോപ്പിക്ക്
ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍ എന്ന പാഠത്തില്‍ ഒരു ചോദ്യം കണ്ടു
"രണ്ടു പൂര്‍ണ സംഖ്യകളുടെ ഇടയില്‍ എത്ര പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും"
ഈ ചോദ്യം രണ്ടു രീതിയില്‍ സമീപിക്കാന്‍ കഴിയില്ലേ
തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ആണ് എടുക്കുന്നത് എങ്കില്‍ അവക്കിടയില്‍ മറ്റൊരു പൂര്‍ണ സംഖ്യ ഉണ്ടാവില്ല.ഉദാഹരണം 0,1 എന്നിവയ്ക്ക് ഇടയില്‍ മറ്റൊരു പൂര്‍ണ സംഖ്യ ഇല്ലല്ലോ .
എന്നാല്‍ ഏതെങ്കിലും രണ്ടു പൂര്‍ണ സംഖ്യ എടുത്താല്‍ അവക്കിടയില്‍ കുറെ പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും.
ശരിയല്ലേ
സുനന്ദ മേനോന്‍
പാലക്കാട്
മുന്‍ പുസ്തകങ്ങളില്‍ 0.3333... പോലെ ഉള്ളവയുടെ ഭിന്നകരൂപം കാണുന്നതിന് Let x=0.33333... എന്ന ഒരു രീതി ഉണ്ടായിരുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കില്‍ 0.999999... കണ്ടാല്‍ എന്താവും എന്ന് നോക്കിയിട്ടുണ്ടോ?
Let x = 0.999999....(1)
10x = 9.999999....(2)
(2)-(1) gives
9x = 9
Hence x=1 ie 0.999999....=1
എന്തു പറ്റി? ശരിയാണോ?
@Sunanda Menon,
"രണ്ടു പൂര്‍ണ സംഖ്യകളുടെ ഇടയില്‍ എത്ര പൂര്‍ണ സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടായിരിക്കും"
I wish to answer the question as follows.
Let a and b be two whole numbers with a < b. Then the number of whole numbers between a and b is b-a -1
Proof: Successive whole numbers starting with a will be an arithmetic progression with common difference 1. Let b be the nth term of that arithmetic progression. Then Tn= a + (n-1)*d which gives us the following relation. b = a + (n-1)*1.
Hence n-1 = b - a.
n= b-a +1.
This means that from a until b there are b-a +1 whole numbers, including both a and b. If we discard a and b, there are b-a +1 -2 whole numbers between a and b.
Hence the number of whole numbers between a and b with b>a is b-a-1.
@ Respected Mubhmed Sir
ബീജ ഗണിതം പറയുന്നു
0.999999... = 1
എന്ന് പറയുന്ന രീതി അത്ര ശരിയാണോ ?
Let x=0.9999------- (1)
10x = 9.9999------- (2)
(2) - (1)
9x = 9 and x=1
അതിനാല്‍ 1 = 0.999999-------
മറ്റൊരു രീതി
(0.33333----)3 = 0.9999999-----
(1/3)3 = 0.999999--------
1 = 0.999999--------------
(ഇനിയും തെളിവുകള്‍ ഉണ്ട്)
എന്നാല്‍ ഇങ്ങനെ വാദിക്കുന്നവരും ഉണ്ട്
0.9 = 9/10 = 10/10 - 1/10 = 1- 1/10
0.99 = 99/100 = 1 -1/100
0.999 =999/1000 = 1 - 1/1000
0.9999 = 9999/10000 = 1- 1/10000
ഈ രീതിയില്‍ തുടര്‍ന്ന് പോയാല്‍ 0.9999-----
എന്നത് 1 നോട് അടുത്ത് വരുന്നു (gets arbitrarily close)എന്നാല്‍ 1 നോട് തുല്യം ആകുന്നില്ല .
ഒരു വിശ്വാസം അതല്ലേ എല്ലാം (The Axiom of Choice)
Mubhmed സാർ,
"Let x = 0.999999...."
അക്കങ്ങളും ദശാംശ ചിഹ്നങ്ങളും ഏതെങ്കിലുമൊക്കെ രീതിയിൽ ചേർത്തുവച്ചാൽ കിട്ടുന്ന രൂപങ്ങളെല്ലാം സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കില്ല എന്ന് നമുക്കറിയാമല്ലോ. ഉദാഹരണത്തിന്,
(അ) 9.9 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ് : ഇത് "ഏത്" സംഖ്യയാണെന്നും നമുക്കെല്ലാം അറിയാം. 9.8, 10 എന്നിവയുടെ കൃത്യം നടുക്കുള്ള സംഖ്യ, 99-നെ 10 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ, എന്നിങ്ങനെയൊക്കെ ഈ സംഖ്യയെ നമുക്ക് വിവക്ഷിക്കാം.
(ആ) 9.9.9 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപം അല്ല .
ചോദ്യം : 0.999.... എന്നിങ്ങനെ അപരിമിതമായ എണ്ണം 9-കൾ എഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രൂപം ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണോ? ആണെങ്കിൽ ഏത് സംഖ്യയെയാണ് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്?
ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിച്ചാൽ സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്ക് പാതിവഴി എത്തും.
വിഷയേതരം : "The Axiom of Choice" എന്നതിന് "ഒരു വിശ്വാസം അതല്ലേ എല്ലാം" എന്നതുമായി ഒരു ബന്ധവുമില്ല. Mubhmed സാറിന്റെ ചോദ്യവുമായും പ്രത്യേകിച്ച് ബന്ധമൊന്നും എനിക്ക് കാണാൻ കഴിയുന്നില്ല. വലിയ വാക്കുകൾ (mathematical jargon) എടുത്ത് പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുൻപ്, അത് വായിക്കുന്നവരിലുണ്ടാക്കാവുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണയെപ്പറ്റി ആലോചിച്ചാൽ നന്നായിരിക്കും.
-- ഫിലിപ്പ്
വിഷയേതരം :
The Axiom of Choice" എന്നതിന് "ഒരു വിശ്വാസം അതല്ലേ എല്ലാം" എന്നതുമായി ഒരു ബന്ധവുമില്ല.
ഉണ്ടെന്നു ആര് പറഞ്ഞു.കുറെ രീതികളില്‍
0.999999... = 1 എന്ന് തെളിയിക്കാം
algebra,geometry,harmonic series അങ്ങിനെ അങ്ങിനെ പല രീതിയിലും.ഒരു പരിധി വരെ ഓരോ വാദവും ശരിയാണെന്ന് കരുതി തിരഞ്ഞെടുക്കാന്‍ ഉള്ള അവകാശം കാഴ്ച്ചകാരന് ഉണ്ട് .ഇനി ഇത് ശരിയല്ല എന്ന് ചിന്തികാനും അവനു അവകാശം ഉണ്ട് അല്ലാതെ നിങ്ങള്‍ കരുതുന്ന പോലെ ഗണ സിദ്ധാന്തത്തിലെ Axiom of Choice അല്ല ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത്.
choosing any one idea from the many ideas എന്നാ രീതിയില്‍ മാത്രം ആണ് ആ വാക്ക് ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് .
ഒരു വിശ്വാസം അതല്ലേ എല്ലാം എന്നത് ഒരു തമാശയായും അല്ലാതെ വലിയ വാക്കുകൾ(mathematical jargon) എടുത്തു ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത പടു ആയി മാറാം എന്ന് ഞാന്‍ കരുതിയിട്ടില്യ
പിന്കുറിപ്പ്
ഈ കമന്റ്‌ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിക്ക് ഉള്ളതല്ല.ഇനി അങ്ങിനെ ആര്കെങ്കിലും തോന്നിയാല്‍ അത് യാദ്രിശ്ചികം മാത്രം
സര്‍,
ഈ ചോദ്യം ഇവിടെ ഇടുന്നത് ശരിയാണോ എന്ന് എനിക്കറിയില്ല. എങ്കിലും അറിയാനുള്ള ആഗ്രഹം കൊണ്ട് എഴുതുന്നു. രസതന്ത്രം ഒന്നം
ചാപ്റ്ററിലെ SCERT Question pool ല്‍ ഉള്ളതാണ്‌ എന്റെ സംശയങ്ങള്‍.
ചോദ്യം ഇതാണ്.
നിങ്ങള്‍ പഠിച്ച വാതക നിയമങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ളവക്ക് കാരണം കണ്ടെത്തുക.
1. ഉയരം കൂടിയ മല കയറുമ്പോള്‍ ചിലര്‍ക്ക് മൂക്കില്‍ രക്തസ്രാവമുണ്ടാകുന്നു.
2. ആഴക്കടലുകളില്‍ മുങ്ങുന്ന മുങ്ങല്‍ വിദഗ്ധര്‍ ലെഡ് കൊണ്ടുള്ള കട്ടിയുള്ള ഹെല്‍മറ്റുകള്‍ ധരിക്കുന്നു.
ബോയില്‍ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങിനെയാണ്‌ എഴുതുന്നത്? ഇവിടെ വ്യാപ്തം വരുന്നില്ലല്ലൊ? ഈ ചോദ്യം വന്നാല്‍ എങ്ങനെയാണ്‌ ഉത്തരം എഴുതേണ്ടതെന്ന് ആരെങ്കിലും ഒന്ന് പറഞ്ഞുതരാമോ?
സര്‍,
ഈ ചോദ്യം ഇവിടെ ഇടുന്നത് ശരിയാണോ എന്ന് എനിക്കറിയില്ല. എങ്കിലും അറിയാനുള്ള ആഗ്രഹം കൊണ്ട് എഴുതുന്നു. രസതന്ത്രം ഒന്നം
ചാപ്റ്ററിലെ SCERT Question pool ല്‍ ഉള്ളതാണ്‌ എന്റെ സംശയങ്ങള്‍.
ചോദ്യം ഇതാണ്.
നിങ്ങള്‍ പഠിച്ച വാതക നിയമങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ളവക്ക് കാരണം കണ്ടെത്തുക.
1. ഉയരം കൂടിയ മല കയറുമ്പോള്‍ ചിലര്‍ക്ക് മൂക്കില്‍ രക്തസ്രാവമുണ്ടാകുന്നു.
2. ആഴക്കടലുകളില്‍ മുങ്ങുന്ന മുങ്ങല്‍ വിദഗ്ധര്‍ ലെഡ് കൊണ്ടുള്ള കട്ടിയുള്ള ഹെല്‍മറ്റുകള്‍ ധരിക്കുന്നു.
ബോയില്‍ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങിനെയാണ്‌ എഴുതുന്നത്? ഇവിടെ വ്യാപ്തം വരുന്നില്ലല്ലൊ? ഈ ചോദ്യം വന്നാല്‍ എങ്ങനെയാണ്‌ ഉത്തരം എഴുതേണ്ടതെന്ന് ആരെങ്കിലും ഒന്ന് പറഞ്ഞുതരാമോ?
1. ഉയരം കൂടിയ മല കയറുമ്പോള്‍ ചിലര്‍ക്ക് മൂക്കില്‍ രക്തസ്രാവമുണ്ടാകുന്നു.
സമുദ്ര നിരപ്പില്‍ നിന്നും മുകളിലേക്ക് പോകും തോറും അന്തരീക്ഷ മര്‍ദം കുറയുന്നു.ദ്രാവകങ്ങള്‍ക്കു മര്‍ദം കൂടുതല്‍ ഉള്ള ഭാഗത്ത്‌ നിന്നും മര്‍ദം കുറഞ്ഞ ഭാഗത്തേക്ക് ഒഴുക്കുവാന്‍ ഉള്ള പ്രവണത ഉണ്ടല്ലോ.
ശരീരത്തിനകത്തു മര്‍ദം കൂടുതലും പുറത്തു (മല മുകളില്‍ )മര്‍ദം കുറവും ആയതിനാല്‍ മൃദുവായ രക്ത കുഴലുകള്‍ പൊട്ടുന്നു.അതിനാല്‍ മൂക്കില്‍ നിന്നും രക്തസ്രാവമുണ്ടാകുന്നു.
2. ആഴക്കടലുകളില്‍ മുങ്ങുന്ന മുങ്ങല്‍ വിദഗ്ധര്‍ ലെഡ് കൊണ്ടുള്ള കട്ടിയുള്ള ഹെല്‍മറ്റുകള്‍ ധരിക്കുന്നു
താഴോട്ടു പോകുംതോറും സമുദ്ര ജലത്തിന്റെ താപനില കുറഞ്ഞുവരുന്നു അതിനാല്‍ താഴേക്കു പോകുംതോറും സമുദ്ര ജലത്തിന്റെ സാന്ദ്രത കൂടുന്നു.സാന്ദ്രത കൂടിയാല്‍ വ്യാപ്തം കുറയുമല്ലോ.വ്യാപ്തം കുറഞ്ഞാല്‍ മര്‍ദം കൂടുമല്ലോ അതാണല്ലോ ബോയില്‍ നിയമം.ആഴക്കടലിലെ ജലത്തിന് മര്‍ദം കൂടുതല്‍ ആണ് .അതിനാല്‍ മുങ്ങല്‍ വിദഗ്ധരുടെ തലയ്ക്കു ആഖാതം ഏല്‍ക്കാന്‍ സാധ്യത കൂടുതല്‍ ആണ് ഇത് ഒഴിവാക്കാന്‍ ആണ് അവര്‍ ലെഡ് കൊണ്ടുള്ള കട്ടിയുള്ള ഹെല്‍മറ്റുകള്‍ ധരിക്കുന്നത്
സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ഫിലിപ്പ് സാറിനു
ഞാന്‍ എഴുതിയ ഒരു കമന്റ്‌ വളരെ മോശമായി പോയി എന്ന് എനിക്ക് ബോധ്യം വന്നതിനാല്‍ ഞാന്‍ സാറോട് മാപ്പ് പറയുന്നു.ഞാന്‍ ചെയ്ത തെറ്റ് എന്താണ് എന്ന് മറ്റു ബ്ലോഗ്‌ വായിക്കുന്ന ആളുകള്‍ക്ക് മനസ്സിലാകാന്‍ വേണ്ടി മാത്രം ആ കമന്റ്‌ ഞാന്‍ ഡിലീറ്റ് ചെയുന്നില്ല .
എന്റെ മോശപെട്ട രീതിയില്‍ ഉള്ള പെരുമാറ്റത്തിന് ഞാന്‍ സാറോട് മാപ്പ് ചോതിക്കുന്നു . മുതിര്‍ന്നവരെ ബഹുമാനിക്കുകയും സാറെ പോലെ അറിവും കഴിവും ഉള്ള ആളുകളെ മേലാല്‍ ഒരു വാക്ക് കൊണ്ടോ പ്രവര്‍ത്തി കൊണ്ടോ അപമാനിക്കുകയില്ല എന്നും പറഞ്ഞു കൊണ്ട് ഒരിക്കല്‍ കൂടി മാപ്പ് പറയുന്നു
സത്യത്തില്‍ എനിക്ക് Axiom of Choice എന്താണെന്ന് ശരിക്ക് അറിയുകയില്ല ഒരു തമാശക്ക് വേണ്ടി എവിടെയോ കേട്ട ആ വാക്ക് ഞാന്‍ എടുത്തു പ്രയോഗിച്ചതാണ്.വലിയ വാക്കുകൾ ഇനി മുതല്‍ ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ അതിന്റെ എല്ലാ അര്‍ത്ഥവും മനസ്സിലാക്കി മാത്രമേ അത് ഉപയോഗിക്കൂ എന്നും ഞാന്‍ ഉറപ്പു തരുന്നു .
എന്നോട് ക്ഷമിക്കണം
അനന്യ പാലക്കാട്
Defenition(in the book EXCURSIONS into MATHEMATICS)
We say that a real number ' R ' is equal to the decimal N. a1a2a3 . . .
if and only if , for each positive integer n, the inequalities
N. a1a2a3 . . . an </= ' is used to denote less than or equal
Defenition( in the book EXCURSIONS into MATHEMATICS)
We say that a real number ' R ' is equal to the decimal N. a1a2a3 . . .
if and only if , for each positive integer n, the inequalities
N. a1a2a3 . . . an </= ' is used to denote less than or equal
അനന്യ,
അത് സാരമില്ല.
Mubhmed സാറിനോട് ഞാൻ ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന് --- " 0.999.... എന്നിങ്ങനെ അപരിമിതമായ എണ്ണം 9-കൾ എഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രൂപം ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണോ? ആണെങ്കിൽ ഏത് സംഖ്യയെയാണ് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? " --- തനിയെ ആലോചിച്ച് കിട്ടുന്ന ഉത്തരം എന്താണെന്ന് പറയാമോ?
@ Fida Ghalid
ഇനി താഴെ പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കുമല്ലോ
1) സമുദ്രത്തിന്റെ അടിത്തട്ടില്‍ ജീവിക്കുന്ന മത്സ്യങ്ങളെ കരയില്‍ കൊണ്ട് വന്നാല്‍ അവയുടെ വയര്‍ പൊട്ടുന്നു
2) ലീക്ക് ചെയാത്ത ഒരു പേന മഷി നിറച്ചു വളരെ ഉയരമുള്ള ഒരു സ്ഥലത്ത് കൊണ്ട് പോയാല്‍ മഷി പുറത്തേക്കു പോകുന്നു .
3)ഹിത ചന്ദ്രനില്‍ പോയപ്പോള്‍ ദെ അവിടെ നില്കുന്നു നമ്മുടെ മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ ജനാര്ദ്ധനന്‍ സര്‍.ഹിതയെ കണ്ടതും സര്‍ ഒരു ഗ്ലാസ് ആപ്പിള്‍ ജ്യൂസ്‌ എടുത്തു കൊടുത്തു കൂടെ ഒരു സ്ട്രോയും . സ്ട്രോ ഉപയോഗിച്ച് ഹിതക്ക് ആപ്പിള്‍ ജ്യൂസ്‌ കുടിക്കാന്‍ കഴിയുമോ
9.9 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്. 9.8, 10 എന്നിവയുടെ കൃത്യം നടുക്കുള്ള സംഖ്യ, 99-നെ 10 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ, എന്നിങ്ങനെയൊക്കെ ഈ സംഖ്യയെ നമുക്ക് വിവക്ഷിക്കാം.
9.99 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്. 9.98, 10 എന്നിവയുടെ കൃത്യം നടുക്കുള്ള സംഖ്യ, 999-നെ 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ, എന്നിങ്ങനെയൊക്കെ ഈ സംഖ്യയെ നമുക്ക് വിവക്ഷിക്കാം.
9.999 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്. 9.998, 10 എന്നിവയുടെ കൃത്യം നടുക്കുള്ള സംഖ്യ, 9999-നെ 1000 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ, എന്നിങ്ങനെയൊക്കെ ഈ സംഖ്യയെ നമുക്ക് വിവക്ഷിക്കാം.
0.99999......എന്നിങ്ങനെ അപരിമിതമായ എണ്ണം 9-കൾ എഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യക്കും 1 നും ഇടയില്‍ കൃത്യം ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയില്ല അതിനാല്‍ .999.... എന്നിങ്ങനെ അപരിമിതമായ എണ്ണം 9-കൾ എഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രൂപം 1 എന്നാ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു
ഫിലിപ്പ് സര്‍
1/9 = 0.1111------
2/9 =0.2222-----
3/9 = 0.33333-----
4/9 = 0.4444------
5/9 = 0.55555------
6/9 = 0.666------
7/9 = 0.77777-----
8/9 = 0.8888------
9/9 = 0.99999999------ = 1
എന്ന ഒരു കണ്ടെത്തലില്‍ എത്ര മാത്രം ശരിയുണ്ട് ?
ഒരു പ്രശ്നമുണ്ടാക്കാനല്ല 0.9999..... എന്നത് എടുത്തത്. Off Topic ആയി Std 9 ലേത് വന്നതു കൊണ്ട് എഴുതിപ്പോയതണ്.
0.9999...... എന്നത് ഒന്നിനേക്കാള്‍ ചെറുതാണെന്നാണ് എല്ലാവരും വിചാരിച്ചിരിക്കുന്നത്. പ്രതികരണങ്ങള്‍ കണ്ടപ്പോള്‍ 0.99999.......=1 എന്ന് കരുതേണ്ടി വരുന്നു.(ഞാന്‍ വിയോജിക്കുന്നു). 9.9.09 പോലെ ഉള്ളവ സംഖ്യയല്ല എന്ന് എല്ലാവരും പറയും.
0.9999999............=1 എന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ "INFINITY" (The very beautiful infinity) എന്നതിനെ എന്തിന് കൊള്ളാം.
ഇനിയും 0.9999999...... എന്നത് ഒരു സംഖ്യ അല്ല എങ്കില്‍ (1/3)=0.3333333....... എന്ന് എഴുതാമോ?
There fore I think 0.999999....... not equal to 1 and loving the infinity very much
Mubhmed സർ,
പ്രശ്നം ഒന്നുമില്ല.
അനന്തത ഉൾപ്പെടുന്ന ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ സാധാരണയുള്ളതിൽ കൂടുതൽ കരുതൽ ആവശ്യമാണ്. പ്രത്യേകിച്ച്, പരിമിതപ്പെട്ട (bounded, finite) രൂപത്തിൽ നമുക്ക് നല്ലതുപോലെ അറിയാവുന്ന ഒരു കാര്യം (ഉദാ: ദശാംശചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്ന സംഖ്യകളുടെ അർത്ഥം) ഏതെങ്കിലും തരത്തിൽ അപരിമിതമായ രൂപത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ (ഇവിടെ: അവസാനത്തെ അക്കം അനന്തമായി ആവർത്തിക്കുന്ന ദശാംശസംഖ്യകൾ) അതിന്മേൽ "സ്വാഭാവികമായി തോന്നുന്ന" അർത്ഥം ആരോപിച്ചാൽ അത് തെറ്റാൻ നല്ല സാധ്യതയുണ്ട്. ഇവിടത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ: ഒന്നിൽ ചെറുതാണെന്ന് കണ്ടാൽ തോന്നുന്ന ഒരു സംഖ്യാരൂപത്തിന്റെ (0.999...) വില ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് ക്രിയചെയ്ത്കിട്ടുന്നത്. അനന്തതയുടെ ഈ പ്രത്യേകതയുടെ, ആർക്കും മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിലൂടെ വെളിപ്പെട്ടത്.
ഇങ്ങനെ തെറ്റുകൾ വരാതിരിക്കാൻ ചെയ്യേണ്ടത് ഇതാണ്: "അനന്തമായ" എന്തുകണ്ടാലും---അത് പരിമിതരൂപത്തിൽ പരിചിതമാണെങ്കിൽ പ്രത്യേകിച്ച്---അതിന്റെ അർത്ഥം എന്താണെന്ന് കിറുകൃത്യമായി നിർവചിച്ചതിനുശേഷം മാത്രം അത് ഉപയോഗിക്കുക. താങ്കളുടെ ചോദ്യത്തിൽ ആദ്യത്തെ അനന്തത വരുന്നത് 0.999... എന്ന സംഖ്യാരൂപത്തിന്റെ രൂപത്തിലാണ്(!). അപ്പോൾ നാം ആദ്യം ചോദിക്കേണ്ടത് 0.999... എന്നതിന്റെ അർത്ഥം എന്താണ് എന്നതാണ്. വിശാലമായി ചോദിച്ചാൽ:
0.99 എന്നതിന്റെ അർത്ഥം 99/100 എന്നാണ്
0.999 എന്നതിന്റെ അർത്ഥം 999/1000 എന്നാണ്
0.9999 എന്നതിന്റെ അർത്ഥം 9999/10000 എന്നാണ്
പക്ഷേ 0.999... എന്നതിന്റെ അർത്ഥം എന്താണ്?
ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാതെ 0.999... എന്ന രൂപം ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ കാര്യമുണ്ടോ?
-- ഫിലിപ്പ്
സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കാണുവാനുള്ള പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് ആരും കമന്‍റ്റ് ചെയ്തില്ലല്ലോ........
ഇങ്ങിനെയാണേല്‍ ഈ കളിക്ക് ഞമ്മളില്ലാട്ടോ കോയാ....
സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കാണുവാനുള്ള പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് ആരും കമന്‍റ്റ് ചെയ്തില്ലല്ലോ........
ഇങ്ങിനെയാണേല്‍ ഈ കളിക്ക് ഞമ്മളില്ലാട്ടോ കോയാ....
അനന്യ
.999......ഉം 1ഉം 2സംഖ്യകളാണെങ്കില്‍
ഇവയ്ക്കിടയിലെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കണ്ടുപിടിയ്ക്കാന്‍ പറ്റുമോ
0.9 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്
(10/10) ഒന്നിനും 8/10 (0.8)നും കൃത്യം ഇടയില്‍ വരുന്ന സംഖ്യ
0.99 എന്നതും ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്.ഒന്നിനും(100/100) നും 98/100(0.98)
നും കൃത്യം ഇടയില്‍ വരുന്ന സംഖ്യ
0.999 എന്നതും ഒരു സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രൂപമാണ്.ഒന്നിനും(1000/1000) നും 998/1000(0.998)
നും കൃത്യം ഇടയില്‍ വരുന്ന സംഖ്യ
ഇത് പോലെ കണക്കിയാല്‍ 0.99999......എന്നിങ്ങനെ അപരിമിതമായ എണ്ണം 9-കൾ എഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യക്കും 1 നും ഇടയില്‍ കൃത്യം ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയില്ല
@ Murali Sir
.999......ഉം 1ഉം 2സംഖ്യകളാണെങ്കില്‍
ഇവയ്ക്കിടയിലെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കണ്ടുപിടിയ്ക്കാന്‍ പറ്റുമോ ?
1നും 2നും ഇടയ്ക്കു കണ്ടു പിടിക്കാം.അപരിമിതമായ എണ്ണം സംഖ്യകള്‍ കണ്ടു പിടിക്കാം.എന്നാല്‍
.999......നും 1 നും ഇടയ്ക്കു രു സംഖ്യ കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയില്ല .
ഇതെന്താ പുതിയ ചാപ്റ്ററിലേക്ക് ആരും കടക്കാത്തത്?
വളരെ ഉപകാരം ഉണ്ട് ടീച്ചറെ.
ടീച്ചര്‍ ചോദിച്ച ഒന്നാമത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും എന്ന് കരുതുന്നു.
ആഴക്കടലില്‍ ഉന്നത മര്‍ദ്ദത്തിലാണ്‌ മത്സ്യങ്ങള്‍ താമസിക്കുന്നത്. അവയെ കരയില്‍ കൊണ്ടുവന്നല്‍ ശരീരത്തിനകത്തുള്ളതിനേക്കള്‍ മര്‍ദ്ദം കുറവ് പുറത്തായതിനല്‍ വയര്‍ പൊട്ടുന്നു. ഇതുപോലെ തന്നെ രണ്ടാമത്തെ ഉത്തരവും എഴുതാം.
എന്നാല്‍ മൂന്നാമത്തെ ചോദ്യത്തിന് പൂര്‍ണ്ണമായി ഉത്തരം എനിക്കറിയില്ല. സ്ട്രോ ഉപയൊഗിച്ച് കുടിക്കന്‍ പറ്റില്ല എന്ന് അറിയാം
9999........ നെ പ്പറ്റി
.9999....... വില "1"നെ ക്കാള്‍ ചെറിയസഠഖ്യയേക്കാള്‍ വലുതുഠ
"1"നെക്കാള്‍ വലിയസഠഖ്യയേക്കാള്‍ ചെറുതുഠ ആകുന്നു
അതായത് .99999......... =1
0.999.......... എന്നതിന്റെയും 1 ന്റെയും ഇടയ്കുള്ള സംഖ്യയെ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കഴിവ് നമുക്കില്ല,അല്ല, എനിക്കില്ലഎന്നാണ് ഞാന്‍ വിചാരിക്കുന്നത്. പറ്റാത്ത എത്രയോ കാര്യങ്ങളാണ് ഗണിതത്തിലുള്ളത്. (1/0, 0/0, 0 raised to 0 ....)
The limiting value of 0.999........ is 1
അതുപോലെ 9999/10000 = 0.9999 എന്നതില്‍ നിന്നും അംശവും ഛേദവും വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.
"0.999..." എന്നതുകൊണ്ട് ഏത് സംഖ്യയെയാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെന്ന് നിഷ്കർഷയോടെ ആലോചിച്ചുനോക്കാത്തിടത്തോളം---ഈ സംഖ്യ എന്തോ അവ്യക്തമായ ഒരു "അനന്തസംഭവം" മാത്രമായി മനസ്സിൽ നിൽക്കുന്നിടത്തോളം---ഇതിനെപ്പറ്റിയുള്ള സംശയങ്ങളും തുടങ്ങിയേടത്തുതന്നെ നിൽക്കും.
അ) 0.999... എന്നത് ഒന്നിനേക്കാൾ കുറവാണോ, കൂടുതലാണോ അതോ ഒന്നിന് സമമാണോ എന്നത്, "0.999..." എന്നതുകൊണ്ട് നാം എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.
ആ) അതുകൊണ്ട് 0.999... , 1 എന്നിവയെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ആദ്യപടി, 0.999... എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണുദ്ദേശിക്കുന്നത് എന്ന് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ്.
മുകളിൽ (അ), (ആ) എന്നിവയിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ, ശരിയല്ലെന്ന് തോന്നുന്നതോ ആയ എന്തെങ്കിലുമുണ്ടോ?
$"0.99999............"$
$0.9999.......=\frac{9}{10}+ \frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\frac{9}{10^4}............$
$=\frac{9}{10}(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{1}{10^4}+.............)$
$=\frac{9}{10}(\frac{1}{1-\frac{1}{10}})=1$
Sum of Infinite series
Geometric series are series of the form
$a+ar+ar^2+ar^3+...............$
if |r|<1
Sum to infinity of the geometric series = $\frac{a}{1-r}$
'17n-13' എന്ന ബീജഗണിതരൂപമുള്ള സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യപദമായ 4 ഉം പതിനാലാംപദമായ 225 ഉം പൂര്‍ണവര്‍ഗ്ഗമാണ്.അടുത്തപൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം എത്രാംപദമാണ്?
ഇവിടെ അർജുൻ ചെയ്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
"0.999..." എന്ന അനന്തരൂപത്തിന്റെ അർത്ഥം എന്താണെന്ന്---അത് ഏത് സംഖ്യയെയാണ് വിവക്ഷിക്കുന്നതെന്ന്---നിർവചിക്കുകയാണ് ആദ്യം ചെയ്തത്. ഈ നിർവചനം "ഒരു അനന്ത ശ്രേണിയുടെ തുക" എന്ന മറ്റൊരു "അനന്ത വസ്തു" ഉപയോഗിച്ചാണ് ചെയ്തത്.
"0.999..." എന്ന അനന്തരൂപത്തിന്റെ അർത്ഥത്തിന് ഒരു നിർവചനം ആവശ്യമാണെന്ന്---നമുക്ക് ചിരപരിചിതമായ, പരിമിത എണ്ണം ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളോട് ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന്---മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിച്ചേക്കാവുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: $0.9999\times 0.9999$ എന്ന ക്രിയ ചെയ്യാൻ നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാം. എന്നാൽ $0.999\ldots\times 0.999\ldots$ എന്ന ക്രിയ എങ്ങനെ ചെയ്യും? അർജുന്റെ നിർവചനം കാണുന്നതിന് മുമ്പ് നമ്മുടെ മനസ്സിൽ "0.999..." എന്ന സംഖ്യയെപ്പറ്റി ഉണ്ടായിരുന്ന ആശയം വെച്ച് ഈ ഗുണനഫലം കാണാൻ കഴിയുമോ? "അനന്തത" ഏതു രൂപത്തിലായാലും കടന്നു വരുമ്പോൾ പുനർനിർവചനങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.
അർജുൻ "0.999..." എന്നതിന്റെ അർത്ഥം നിർവചിച്ച രീതിയുടെ ഒരു പ്രത്യേകത ശ്രദ്ധിക്കുക. പരിമിത എണ്ണം സ്ഥാനങ്ങളുള്ള ദശാംശസംഖ്യകളെപ്പറ്റി നമുക്കുള്ള ആശയങ്ങളെ ഖണ്ഡിക്കാത്തരീതിയിലാണ്---ഈ ആശയങ്ങളോട് ചേർന്നുനിൽക്കുന്നതും, അവയുടെ വിപുലീകരണമായി (extension) കാണാവുന്നതുമായ രീതിയിലാണ്---ഇത് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. ഇതുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഇത് സ്വാഭാവികമാണെന്ന് തോന്നുകയും ചെയ്യും.
ഒരു "അനന്ത വസ്തുവിനെ" അനന്തമായ മറ്റൊന്നിന്റെ ഭാഷയിൽ മാറ്റിയെഴുതിയതുകൊണ്ട് ഗുണമുണ്ടായത് എന്തുകൊണ്ടാണ്? അനന്തം ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളുള്ള രൂപങ്ങളേക്കാൾ "കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ" അനന്ത ശ്രേണികളുടെ തുകകളെപ്പറ്റി നമുക്ക് അറിയാവുന്നതുകൊണ്ടാണിത്. ഈ അറിവ് വെറുതെ കിട്ടിയതല്ല. കാലങ്ങളോളമുള്ള ആശയക്കുഴപ്പങ്ങൾക്കും അബദ്ധങ്ങൾക്കുമൊടുവിൽ, പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഉത്തരാർദ്ധത്തിൽ മാത്രമാണ് ഈ അറിവ് ഏറെക്കുറെ സ്ഥിരപ്പെട്ടത്. ഇതിനുമുമ്പ് പല ഗണിതജ്ഞരും---ഗണിതത്തിലെ മഹാരഥന്മാരുൾപ്പടെ---അനന്ത ശ്രേണികളെ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ , ഇന്നത്തെ അറിവ് വെച്ച് നമുക്ക് "ങേ?" എന്ന് തോന്നുന്ന തരത്തിലുള്ള തെറ്റുകൾ വരുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അനന്തശ്രേണികൾ കണിശതയോടെ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ നമുക്ക് ഇന്നുള്ള കഴിവ് കിട്ടിയത്, "നമുക്കെന്താണറിയാത്തത്? നമുക്കറിയാവുന്നതിൽ എവിടെയാണ് കുഴപ്പം?" എന്ന് കർശനമായി, ആവർത്തിച്ച് ചോദിക്കാൻ കാലാകാലത്തുള്ള ഗണിതജ്ഞർ തയ്യാറായതുകൊണ്ടാണ്---"അനന്തം, അദ്ഭുതം, ഹൊ!" എന്ന് പറഞ്ഞ് ആശ്ചര്യപ്പെട്ട് ഇരുന്നതുകൊണ്ടല്ല!
"0.999... എന്ന അനന്തം സ്ഥാനങ്ങളുള്ള ദശാംശ സംഖ്യയുടെ വിലയെന്താണ്?" എന്ന് നാം ചോദിച്ചതുപോലെ, "അസംഖ്യം സംഖ്യകളെ കൂട്ടുക എന്ന ക്രിയയുടെ അർത്ഥമെന്താണ്? അനന്തം എണ്ണം സംഖ്യകളെ കൂട്ടിയാൽ പരിമിതമായ ഒരു സംഖ്യ കിട്ടുമോ?" എന്നൊക്കെ മുമ്പു പലരും (അദ്ഭുതത്തോടെയാകാം!) ചോദിച്ചതുകൊണ്ടാണ് ക്രിയ ചെയ്യാൻ അർജുൻ ഉപയോഗിച്ച "sum of infinite geometric series" എന്നിവയുൾപ്പടെയുള്ളവ തെറ്റില്ലാതെ നിർവചിക്കാനും പ്രയോഗിക്കാനും നമുക്കിന്ന് കഴിയുന്നത്!
ഇക്കാര്യങ്ങളുടെ ചരിത്രത്തിൽ താത്പര്യമുള്ളവർക്ക് വായിക്കാൻ (ഗൂഗിളിനോട് ചോദിച്ചപ്പോൾ ആദ്യം കിട്ടിയവയിൽ ചിലത്):
1. https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#History_of_the_theory_of_infinite_series
2. http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc3.html
3. http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
Defenition( in the book EXCURSIONS into MATHEMATICS)
We say that a real number M is equal to the decimal
N. a1a2a3 . . .
if and only if , for each positive integer n, the inequalities
N. a1a2a3 . . . an (l/e) M (l/e) N. a1a2a3 . . . an + 1/10^n hold
0.9 (l/e) 1 (l/e) 0.9 + 1/10
0.99 (l/e) 1 (l/e) 0.99 + 1/10^2
0.999 (l/e) 1 (l/e) 0.999 + 1/10^3
0.9999 (l/e) 1 (l/e) 0.9999 + 1/10^4
for any positive integer n,
0.9999 . . . (n times) (l/e) 1 (l/e) 0.9999. . . (n times) + 1/10^n
so we say that 1 is equal to 0.9999. . .
[To find the real number ( here 1) we have the method mentioned : let x = 0.999...]
0.3 (l/e) 1/3 (l/e) 0.3 + 1/10
0.33 (l/e) 1/3 (l/e) 0.33 + 1/10^2
0.333 (l/e) 1/3 (l/e) 0.333 + 1/10^3
0.3333 (l/e) 1/3 (l/e) 0.3333 + 1/10^4
for any positive integer n,
0.3333 . . . (n times) (l/e) 1/3 (l/e) 0.3333. . . (n times) + 1/10^n
so we say that 1/3 is equal to 0.3333. . .
*(l/e) - less than or equal
ഓഫ്‌ ടോപ്പിക്ക്
GeoGebra അംബാസിഡര്‍ ആയി മാത്സ് ബ്ലോഗ്‌ ടീമിലെ Sanjay Gulati സര്‍ തിരഞ്ഞെടുക്കപെട്ടിരിക്കുന്നു
ഇവിടെ നോക്കുക
@ വിജയന്‍ സാര്‍,
22 -ാം പദം 361 പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാണ്.
n ന് 1000 വരെയുള്ള വിലകള്‍ നല്കുമ്പോള്‍ ആ ശ്രേണിയിലുണ്ടാകുന്ന പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ പദം, ശ്രേണിയിലെ സ്ഥാനം എന്ന ക്രമത്തില്‍
term 4 count 1
term 225 count 14
term 361 count 22
term 1024 count 61
term 1296 count 77
term 2401 count 142
term 2809 count 166
term 4356 count 257
term 4900 count 289
term 6889 count 406
term 7569 count 446
term 10000 count 589
term 10816 count 637
term 13689 count 806
term 14641 count 862
ഇത് കണ്ടെത്തിയത് ഈ പൈത്തണ്‍ പ്രോഗ്രാമിലൂടെ
വിജയന്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ എഴുതിയ പ്രോഗ്രാം ഇവിടെ
Unknown:
You can use $\LaTeX$ syntax to type in mathematical expressions here: just type each $\LaTeX$ expression within a pair of dollar symbols.
For instance, the expression at the beginning of your post will look like this if you do this:
$N.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$
If you don't know $\LaTeX$ syntax, that's not a big problem. You can use this online tool to type your expressions. Use the menu there to get special stuff---like subscripts or the $\leq$ symbol---right. Once you get them right, copy the text (which you type in the box at the top on that page ---not the HTML which appears in the box on the bottom!) into your comment here within a pair of dollar signs. Normal (non-math, English) text goes outside dollar sign pairs. You can do some trial and error to get this right. It makes what you type much more readable.
-- Philip
@ ഭാമടീച്ചര്
ഉത്തരത്തിന് നന്ദി. കംപ്യൂട്ടര്‍ സഹായമില്ലാതെ 22,61 എന്നീ ഉത്തരത്തിലെത്താന്‍ വല്ല മാര്‍ഗ്ഗവും ഉണ്ടോ ?
@വിജയന്‍ സര്‍
ഉണ്ട്. ആദ്യപദമായ 4 രണ്ടിന്റെ വര്ഗ്ഗം ആണല്ലൊ. അപ്പോള്‍ അടുത്ത പൂര്ണ്ണ വര്ഗ്ഗം വരുന്നത് രണ്ടിനോട് പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടിയശേഷം അതിന്റെ വര്ഗ്ഗം കാണൂമ്പോഴാണ്‌.
അതായത് 2+17 = 19. 19 ന്റെ വര്ഗ്ഗം = 361.
ഇനി 19 ഈ ശ്രേണിയിലെ എത്രാമത്തെ പദം ആണന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മതി.
a+(n-1)d = 361
4+(n-1)17 = 361(d = n ന്റെ ഗുണോത്തരമാണല്ലോ)
(n-1)17 = 361 - 4
(n-1)17 = 357
(n-1) = 357/17
n-1 = 21
so, n = 21+ 1 = 22.
ഇതുപോലെ മറ്റുള്ളവയും കാണാം.
ഇത്രയും വലിയ വാദപ്രതിവാദങ്ങള്‍ നടക്കുന്ന ഈ ബ്ലോഗില്‍ എന്റെ പോസ്റ്റിന് എത്ര പ്രസക്തി ഉണ്ടെന്ന് എനിക്കറിയില്ല. എങ്കിലും..........ഞാനൊരു +1 വിദ്യാര്‍ത്ഥിനിയാണ്.10 ല്‍ എല്ലാ subjects നും എനിക്ക് guide maths blog ആയിരുന്നു. maths blog for higher secondary students&teachers എന്നൊരെണ്ണം തുടങ്ങിക്കൂടെ. We students expect it.....................
@ BRILLIANCE
SIR, THE FIRST perfect square is 4 in the AP 17n-13. the next is 14th term ,ie 225 .then comes 22 nd term ,ie 361 (as you siad).
next is 61 st term 1024. how we get 14 and 61 ?
@ വിജയന്‍ സാര്‍ ,
$a^{2}$ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാണെങ്കില്‍ $(a\pm(d))^{2}$ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായിരിക്കും.
Latex ടെസ്റ്റ് ചെയ്തു നോക്കുന്നു
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$a^{2}$ ശ്രേണിയില്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍
$(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2}=a^{2}+d(2a+d)$
എന്നതും ശ്രേണിയില്‍ കാണും. കാരണം ശ്രേണിയില്‍ ഉള്ള പദമായ $a^{2}$ ന്റെ കൂടെ പൊതു വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണിതമായ d(2a+d) കൂട്ടുന്നതും ശ്രേണിയില്‍ കാണും.
$(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2}$ ഒരു പൂര്ണ്ണ വര്‍ഗ്ഗവുമാണ്
$a=4, d=17, $
ഒന്നാം പദം$=4$
അടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം$=n$-നാം പദം
അതായത്
$a+(n-1)d=x^2$
$4+(n-1)17=x^2$
$(n-1)17=x^2-4$
$(n-1)17=(x-2)(x+2)$
$17$ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ
ആയതിനാല്‍
$17=(x-2)$അല്ലെങ്കില്‍ $17=(x+2)$
$x=19$ അല്ലെങ്കില്‍ $x=15$
$4+(n-1)17=x^2\Rightarrow4+(n-1)17=225(15^2)$or$361(19^2)$
അതായത്
അടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം $225$
അതിനടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം $361$
$\frac{225-4}{17}+1=14$
$\frac{361-4}{17}+1=22$
അതായത് പതിനാലാം പദം$=225$
ഇരുപത്തിരണ്ടാം പദം$=361$
$4$ന്പകരം$225$ എഴുതിയാല്‍ അതിനടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം കിട്ടും
$a+(n-1)d=y^2$
$225+(n-1)17=y^2$
$(n-1)17=y^2-225$
$(n-1)17=(y-15)(y+15)$
$17=(y-15)$അല്ലെങ്കില്‍ $17=(y+15)$
$y=32$ അല്ലെങ്കില്‍ $y=2$
ആയതിനാല്‍
$32^2=1024$ , $2^2=4$ എന്നിവ ഇതിലെ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദങ്ങളാണ്.
അടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം=1024
$\frac{1024-225}{17}+1=48$
ഇവിടെ $14$ ആം പദം $=225$
$225$ ഒന്നാം പദം ആയാല്‍ $48$ ആം പദം $1024$
അതായത് $4$ ഒന്നാം പദമായ ശ്രേണിയില്‍ $48 +14 -1=61$-ആം പദം$=1024$
$225$ന്പകരം$361$ എഴുതിയാല്‍ അതിനടുത്ത പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം കിട്ടും
നന്ദി അര്‍ജുന്‍ സാര്‍.
വീണ്ടും സംശയം..... 17n-15 ഏന്ന ബീജഗണിതരൂപമുള്ള സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ കുറേപൂര്‍ണ്ണ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുണ്ടല്ലോ .ഇവിടെ ആദ്യത്തെ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗപദം എങ്ങിനെ കണ്ടെത്താം? ആദ്യപദമായ 2 ല്‍ തുടങ്ങി ആദ്യപൂര്‍ണ്ണവര്ഗ്ഗപദമായ 36 ല്‍ എത്താന്‍ കഴിയുമോ?
വിജയൻ സാർ,
അർജുൻ പറഞ്ഞ രീതി വച്ചുതന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാമല്ലോ.
$17n-15=x^{2}$
അതുകൊണ്ട്:
$17n-51=x^{2}-36$
$17(n-3)=(x+6)(x-6)$
ഇവിടെയും 17 അഭാജ്യമായതുകാരണം: 17 എന്നത് $(x+6)(x-6)$-നെ പൂർണ്ണമായും ഹരിക്കുന്നു.
17 പൂർണ്ണമായും ഹരിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ സംഖ്യ പൂജ്യമാണ്. $(x+6)(x-6)=0$ എന്നാണെങ്കിൽ x-ന് കിട്ടാവുന്ന വിലകൾ : $x\in\{-6,6\}$. അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ പൂർണ്ണവർഗ്ഗം $36$.
17 പൂർണ്ണമായും ഹരിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ $17$ ആണ്. $(x+6)(x-6)=17$ എന്നാണെങ്കിൽ x-ന് കിട്ടാവുന്ന വിലകൾ : $x\in\{11,23\}$. അപ്പോൾ ഇനിയുള്ള രണ്ട് പൂർണ്ണവർഗ്ഗങ്ങൾ $121,529$.
ഇതുപോലെ തുടർന്നുള്ള വർഗ്ഗങ്ങളും കാണാം.
-- ഫിലിപ്പ്
മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ അശ്രദ്ധ കാരണം വന്ന രണ്ട് തെറ്റുകളെങ്കിലുമുണ്ട്.
1. $17$ പൂർണ്ണമായും ഹരിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ സംഖ്യ പൂജ്യമാണ്.
ഇത് ശരിയല്ല. $-17,-34,\ldots$ എന്ന ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളേയും $17$ ഹരിക്കുമല്ലോ.
2. $(x+6)(x-6)=17$ എന്നാണെങ്കിൽ x-ന് കിട്ടാവുന്ന വിലകൾ : $x\in\{11,23\}$.
ഇത് തെറ്റാണെന്നറിയാൻ സൂക്ഷിച്ചൊന്ന് നോക്കിയാൽ മതിയല്ലോ. "$17\in\{(x+6),(x-6)\}$ എന്നാണെങ്കിൽ x-ന് കിട്ടാവുന്ന വിലകൾ : $x\in\{11,23\}$." എന്നാക്കിയാൽ ശരിയാകും.
ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിനെ ഈ രണ്ട് തെറ്റുകളും ബാധിച്ചില്ലെങ്കിലും അടുത്ത പ്രശ്നത്തിൽ ഇങ്ങനെ വരണമെന്നില്ല ...
-- ഫിലിപ്പ്
@ ഫിലിപ്പ് സാര്‍ "17n-15"
ആദ്യപദമായ 2 ല്‍ തുടങ്ങി ആദ്യപൂര്‍ണ്ണവര്ഗ്ഗപദമായ 36 ല്‍ എത്താന്‍ കഴിയുമോ?
വിജയൻ സാർ,
താങ്കളുടെ ചോദ്യത്തിലെ "ആദ്യപദമായ 2-ൽ തുടങ്ങി" എന്നത് മനസ്സിലായില്ല. "2-ൽ തുടങ്ങി 36-ൽ എത്തുക" എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്?
-- ഫിലിപ്പ്
@ Philip sir,
a=2,d=17 ഇത്രമാത്രം അറിയുന്ന ഒരാള്‍ക്ക് ആദ്യപൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായ 36 എങ്ങിനെ ലഭിക്കും?
17n-13 എന്ന A.P യില്‍ പൂര്ണ്ണ വര്ഗ്ഗം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ പദസ്ഥാനങ്ങള്‍ കാണുവാന്‍
ഈ FORMULA കള്‍ ഉപയോഗിക്കാം
(1)17N^2-30N+14.....(A)
(2)17N^2-4N+1 -------(B)
ഉദാ--
FORMULA (A) യില്‍ N=1,2,3,4 കൊടുത്താല്‍
പൂര്ണ്ണ വര്ഗ്ഗം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ പദസ്ഥാനങ്ങള്‍
=1, 22,77,166 എന്ന് കിട്ടും
FORMULA (B) യില്‍ N=1,2,3,4 കൊടുത്താല്‍
പൂര്ണ്ണ വര്ഗ്ഗം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ പദസ്ഥാനങ്ങള്‍ =14,61,142,257 എന്ന്കിട്ടും
"a=2,d=17 ഇത്രമാത്രം അറിയുന്ന ഒരാള്‍ക്ക് ആദ്യപൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായ 36 എങ്ങിനെ ലഭിക്കും?"
Here nth term of sequence is $17n-15$
ie,$ 2,19,36,53,80...$.
Here First Term is $2$
When we divide $2$ by $17$, we get a remainder $2$
ie,when any term of this Sequence is divided by $17$ we get a remainder 2.
If we get a number, divide it by 17, If the remainder is $2 \Rightarrow$ the number is a term of the sequence.
Perfect squares Greater than 17 are $5^2,6^2,7^2,8^2,9^2,....=25,36,49,64,81,....$
Divide these by $17$, The numbers which gives a remainder $2$, are the terms of the given sequence.
$36,121,529,...$ are leaves a remainder $2$ when divided by $17$ Therefore these are terms of the give sequence.
3n-1,4n-2,5n-3,6n-4,8n-6,9n-7,10n-8,11n-9.12n-10,13n-11,15n-13,16n-14 ,18n-16,19n-17,20n-18 തുടങ്ങിയ ബീജഗണിത രൂപമുള്ള സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ഒന്നുംതന്നെ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ പദങ്ങളായി വരുന്നില്ല.7n-5,14n-12,17n-15 എന്നിവയില്‍ ചിലപദങ്ങള്‍ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങളുമാണ്.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം കണ്ടാല്‍ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ പദങ്ങളായി വരുന്നുണ്ടോ എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വല്ല എളുപ്പമാര്‍ഗ്ഗവും ഉണ്ടോ ?
ഗണിത ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് തിയറി എന്താണ് എന്ന് അറിയണം എന്ന് ഉണ്ട് . ആരെങ്കിലും സഹായിക്കുമോ
ഗ്രാഫ് തിയറിയെ ലളിതമായി പരിചയപ്പെടുത്തുന്ന പുസ്തകം. സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്ത് വായിക്കാം.
-- ഫിലിപ്പ്
ഇതേ രീതിയില്‍ നമുക്ക് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ ഘനങ്ങ (cube) ളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകകാണുവാനുള്ള സൂത്രവാക്യവും കണ്ടു പിടിക്കാം. ഇതാ ആ സൂത്രവാക്യം
(sum of cubes) -
n(t1+tn)/4 [a(a-d)+t(t+d)]
ഇതേ രീതിയില്‍ നമുക്ക് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ ഘനങ്ങ (cube) ളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകകാണുവാനുള്ള സൂത്രവാക്യവും കണ്ടു പിടിക്കാം. ഇതാ ആ സൂത്രവാക്യം
(sum of cubes) -
n(t1+tn)/4 [a(a-d)+t(t+d)]
എനികക് ഗണിത മേളയില്‍ അവതരിപപികകാന്‍ ഒരു maths project പറഞുതരുമോ
kannan sir great!!!!!!!
Post a Comment