Tessellation patterns!
>> Friday, June 18, 2010
കഴിഞ്ഞദിവസം ബഹുഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് തുടക്കമിട്ടുകൊണ്ട് ജനാര്‍ദ്ദനന്‍മാസ്റ്റര്‍ ഫുട്ബോള്‍ പ്രശ്നം അവതരിപ്പിച്ചു. അത് വലിയോരു തുടക്കമായിരുന്നു. കനമുള്ള ഗണിതചിന്തകളുമായി കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ , അഞ്ജനടീച്ചര്‍ ,ഫിലിപ്പ് സാര്‍, ഗായത്രി മുതലായവര്‍ പ്രതികരിച്ചു. ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ നിലവാരമുയര്‍ത്താനുള്ള നിതാന്ത പരിശ്രമത്തില്‍ ഇവരുടെ ഇടപെടലുകള്‍ക്ക് അതുല്യമായ സ്ഥാനമുണ്ട്. ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം വീണ്ടും വായിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെബാഹ്യകോണുകളുടെ (Exterior angles) തുക 360 ഡിഗ്രിയാണ്. ആക്യതി മാറിയാലും, വലുപ്പം മാറിയാലും ,ആന്തരകോണുകള്‍ (Interior angles)മാറിയാലും, ബാഹ്യകോണുകള്‍ മാറിയാലും ,മാറാതെ നില്‍ക്കുന്ന തുക. മാറ്റത്തിലും മാറാത്തത് ! ഇവിടെ നിന്നുതന്നെയാകാം ഇന്നത്തെ ചിന്ത......
ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന് n വശങ്ങളുണ്ട്. ഒരു ബാഹ്യകോണ്‍ 360 / n ആണല്ലോ...? ഓരോ ആന്തരകോണും
(180 — 360/n) ആണ്. ഇത്തരം m ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിനുചുറ്റും വയ്ക്കുന്നു.
അപ്പോള്‍ m(180 ― 360/n) = 360 ആണ്. അതായത് m(1 ―2/ n) = 2 ആണ്.
ഈ ചിന്ത ഒരു പ്രോജക്ടിനു തുടക്കമിടുന്നു.
ആസൂത്രണത്തിന്റെ വിവിധ ഘട്ടങ്ങളില്‍കുട്ടികളെ പലതരം ടൈലിങ്ങ് പാറ്റണുകളിലൂടെ നയിക്കാന്‍ അധ്യാപികയ്ക്ക് കഴിയും.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കും വിധം ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്താലോ?
(1 ― 2/n1) + (1 ― 2/n2) + (1 ― 2/n3) + ..... = 2
ഇതോക്കെ തിയറിറ്റിക്കലായവ മാത്രമല്ല. ഗണിതവും കലയും ഒത്തുചേരുമ്പോള്‍ മനോഹരങ്ങളായ പാറ്റേണുകള്‍ ഉണ്ടാകും.
n=3, m=6
n=4, m=4
n=6, m=3
n1=6, n2=6, n3=3, n4=3
n1=4,n2=8,n3=8
n1=3, n2=12, n3=12
n1=4, n2=6, n3=12
n1=, n2=4, n3=3, n4=6
n1=3, n2=3, n3=3, n4=4
n1=3, n2=3, n3=3, n4=4, n5=4
നമ്മുടെ ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളിലെ ജോമട്രിക്ക് ചാര്‍ട്ടുകള്‍ ഗണിതചിന്തകളുടെ നേര്‍സാക്ഷ്യങ്ങളാകുന്നത് എന്നാണ്?
ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിന് ഈ വിശകലനം മതിയോ?
58 comments:
വീടുകളില്‍ മുറ്റങ്ങള്‍ മോടികൂട്ടാനുപയോഗിക്കുന്ന വ്യത്യസ്ത ആകൃതികളിലുളള ഇഷ്ടികകളുടെ ആത്മകഥയിലും വരും ഇതേ ഗണിതം.
സമബഹുഭുജാകൃതിതില്‍ നിന്നും രൂപപ്പെടുത്തിയെടുക്കുന്നതാണ് ഇവടെന്ന് അറിയാമോ?
ഇതുവരെ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടില്ലെങ്കില് കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കു.
ഇടക്കാലത്ത് ചൂടിനെ പ്രതിരോധിക്കാന്‍ എന്ന കാരണം പറഞ്ഞ് ഒരു ഫാഷനായി വീടിന്‍റെ വാര്‍ക്കയുടെ ഏറ്റവും താഴത്തെ പാളിയില്‍ പാകിയിരുന്ന ഓടുകളും ഇത്തരമൊരു ഗണിതമുണ്ടായിരുന്നില്ലേ? വാര്‍ക്കയ്ക്ക് തട്ട് അടിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ കോണ്‍ക്രീറ്റിങ്ങിനു മുമ്പേ ആദ്യം ഇവ വിരിക്കും. വാര്‍ക്ക കഴിഞ്ഞ് തട്ട് പൊളിച്ച് മാറ്റുമ്പോള്‍ ഈ ഓടുകള്‍ മാത്രമേ മുറികളില്‍ നിന്നു നോക്കുമ്പോള്‍ നാം കാണൂ. വിവിധ സമബഹുഭുജങ്ങളും അവയുടെ മൂലകളിലെ രൂപങ്ങളും ചേര്‍ന്ന് ഒരു മനോഹരക്കാഴ്ചയാണ് സൃഷ്ടിക്കുക. വശങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തു വെക്കുന്നതിലുള്ള അപാകത എളുപ്പം തിരിച്ചറിയാനാകും എന്നതിനാല്‍ നല്ല സൂക്ഷ്മതയും ഇവിടെ ആവശ്യമാണ്. ഇതിനു പിന്നിലും നല്ല ഗണിതമുണ്ടെന്നത് പോസ്റ്റിന് അനുബന്ധമായി സൂചിപ്പിക്കട്ടെ.
1980 ജൂണ്‍ 18
ഈ ദിവസമാണ് ശ്രീമതി.ശകുന്തളാദേവി രണ്ട് 13 അക്ക സംഖ്യകള്‍ വെറും 28 സെക്കന്റുകള്‍ കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ പരസ്പരം ഗുണിച്ച് ശരിയുത്തരം നല്‍കി ലോകത്തെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തിയത്
THE 13 DIGIT TWO NUMBERS ARE
7,686,369,774,870 & 2,465,099,745,779.
THE PRODUCT IS
18,947,668,177,995,426,462,773,730.
ITwas on 18-06-1980 at Imperial college,L0NDON
മാലോരെ
പസിലുകളും വിദ്യാഭ്യാസ സംബന്ധിയായ സംവാദങ്ങളും തിരിച്ചു കൊണ്ടു വരണം. പഠനം പാല്‍പ്പായസമാക്കണം
ടെസ്സലേഷന്‍സ് അവതരണം വളരെ നന്നായി. ജോണ്‍ സാറെ അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
സംവാദമില്ലാത്ത മാത്സ് ബ്ലോഗ് ഉപ്പില്ലാത്ത കഞ്ഞി പോലെയായി..
ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ മാഷോട് യോജിപ്പ്!
ഗണിതശാസ്ത്തമേളയിലെ ഒകു പ്രധാന ഇനമാണ് geometric Charts.ഈ പോസ്റ്റ് ഒരുക്കമ്പോള്‍ മനസ്സില്‍ ഇതായിരുന്നു.ഒന്‍പതാം ക്ളാസിലെ ഒന്നാം പാഠം ഒരു കാരണമായി.
ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ആദ്യയുണിറ്റിലേക്ക് കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടി നല്‍കിയിട്ട് അടുത്ത യൂണിറ്റിലേക്ക് കടക്കാം.
സംവാദങ്ങള്‍ തിരിച്ചുകൊണ്ടുവരണം. ഹോംസും ജോംസും ബാബൂജേക്കബും കടവത്തും സത്യാന്വേഷി മുതല്‍പേരും..എന്തൊക്കെപ്പറഞ്ഞാലും ബ്ലോഗ് ലൈവായി സൂക്ഷിച്ചിരുന്നു.
@ ജോണ്‍ സര്‍ / അഞ്ജന ചേച്ചി / ഫിലിപ്പ് സര്‍ / ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ /കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ /രാമാനുജം സര്‍
ഞങ്ങള്‍ ബ്ലോഗില്‍ നിന്ന് എടുത്തതും അല്ലാത്തതുമായ കുറച്ചു ഗണിത വിഷയങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് ഒരു പുസ്തകം നിര്‍മിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തില്‍ ആണ് .ഞങ്ങള്‍ ചെയ്ത ഈ പ്രൊജക്റ്റ്‌ ഒന്ന് നോക്കി അതില്‍ വരുത്താവുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ തെറ്റുകള്‍ എന്നിവ പറയണം.
താഴെ കാണുന്ന ലിങ്കില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയുക
Clich here
ഗായത്രി , ഹിത ,അമ്മു
അമ്മുവിനും ഹിതയ്ക്കും ഗായത്രിക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. വിജയാശംസകള്‍
ഗായത്രി, ഹിത, അമ്മു ഇവരുടെ project ഓടിച്ചുനോക്കി. വളരെ നന്നായിട്ടുണ്ട്. Regular tessellation മൂന്നെണ്ണം മാത്രമേ ഉള്ളു എന്നതിന് ഒരു തെളിവ് നല്‍കാം എന്നു തോന്നുന്നു . n വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ k എണ്ണം, ഒരു ബിന്ദുവില്‍ overlap ചെയ്യാതെ ചേറ്ന്നിരിക്കണമെങ്കില്‍, k(n-2)180/n=360 ആകണമല്ലോ. അതായത്, kn-2k-2n=0. ഇതിനെ (k-2)(n-2)=4 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം. k, n ഇവ എണ്ണല്‍സംഖ്യകളായതിനാല്‍, (k-2,n-2) എന്ന ജോടി (1,4), (4,1), (2,2) ഇവയില്‍ ഏതെങ്കിലും ആകണം.
മറ്റൊരു രസം കൂടിയുണ്ട്. ചുറ്റളവും പരപ്പളവും ഒരേ സംഖ്യതന്നെ ആയ ചതുരങ്ങളെക്കുറിച്ച് അഞ്ചാം ക്ലാസിലും ഒന്‍പതാംക്ലാസിലും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ഇവ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുമ്പോഴും (മറ്റൊരു വഴിയിലൂടെ) ഇതേ സമവാക്യം തന്നെയാണ് വരുന്നത്.
@കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍
വിലയേറിയ ചില കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ തന്നതിന് നന്ദി
ചുറ്റളവും പരപ്പലവും തുല്യമായ (numerically ) രണ്ടു ബഹുബുജമാണ് ത്രികോണം (വസങ്ങള്‍ 5,5,6) ,ചതുരം (നീളം 6,വീതി 2).രണ്ടു ബഹുബുജങ്ങളുടെ പരപ്പലവ് 12 ഉം ചുറ്റളവ്‌ 16ഉം ആകുന്നു .ഇതുപോലെ മറ്റൊരു ജോടിയാണ് ത്രികോണം ( 25,51,52),ചതുരം (12,52).ഇതുപോലെ മറ്റു ജോഡി ബഹുബുജങ്ങള്‍ ( ചതുരവും ത്രികോണവും)കണ്ടെത്തുക.
കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,
ഏതു ത്രികോണത്തിലും ഒരു ശീര്‍ഷത്തിലെ ബാഹ്യകോണ്‍ മറ്റു രണ്ട് ശീര്‍ഷങ്ങളിലെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ബഹുഭുജങ്ങളിലെ Page 15ലെ ഈ ചോദ്യത്തിന്‍റെ ഉത്തരം ഒരു കുട്ടി പറഞ്ഞതിങ്ങനെ.
രേഖീയജോടി കോണുകളുടേയും ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണുകളുടേയും തുക 180 ഡിഗ്രി. അതുകൊണ്ടു തന്നെ ത്രികോണത്തിനകത്തെ ഒരു ശീര്‍ഷകോണ്‍ തന്ന് ബാഹ്യകോണിന്‍റേയോ മറ്റ് രണ്ട് ആന്തരകോണുകളുടെ തുകയോ കണ്ടെത്തണമെന്നാവശ്യപ്പെട്ടാല്‍ 180 ല്‍ നിന്ന് ആ ശീര്‍ഷകോണ്‍ കുറച്ച് കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഉത്തരം.
ഈ ഉത്തരത്തിന് മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും കൊടുക്കാതിരിക്കാന്‍ കാരണങ്ങള്‍ വല്ലതുമുണ്ടോ?
ടെസ്സലേഷന്റെ പാഠത്തിനൊപ്പമായ്
അസ്സലായുള്ള പ്രോജക്ടു തന്നൊരു
മിസ്സുമാരാം സഹോദരിമാര്‍ക്കിതാ
പാസ്സുമാര്‍ക്കല്ലൊരേപ്ലസ്സു നല്‍കുന്നു
Tessellation എന്ന വാക്കിന്റെ മലയാളം എന്താണെന്ന് പറയാത്തത് എന്താണ്?
Gayathri,
Try this link about Tesselations. It may be useful for ur Project.
@മന്‍മോഹന്‍ സാര്‍,
ഇവിടെ നോക്കൂ..
ശ്രീകല ടീച്ചര്‍,
മാര്‍ക്കിന്റെ കാര്യം എനിക്കറിഞ്ഞുകൂടാ. പക്ഷേ ഈ വാദത്തിന്റെ കാതലായ ഭാഗം ഇതാണ്:
"രേഖീയജോടി കോണുകളുടേയും ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണുകളുടേയും തുക 180 ഡിഗ്രി."
ഈ പ്രസ്താവം ശരിയാണെന്നു കാണിച്ചാല്‍ [1] വാദം പൂര്‍ണ്ണമായി.
-- ഫിലിപ്പ്
[1] രണ്ടു തുകകളും ഒന്നാണെന്നു കാണിച്ചാല്‍ മതി; 180 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് ഇവിടെ പ്രാധാന്യമൊന്നുമില്ല.
ഗീത ടീച്ചര്‍,
ഡിക്ഷ്ണറിയിലില്ല എന്ന് വെച്ച് ആ വാക്കിന് മലയാളപരിഭാഷയില്ലെന്നാണോ അര്‍ത്ഥമാക്കുന്നത്? തമിഴില്‍ അതിന്‍റെ தரைபாவுமை (തറൈപാവുമൈ) പദാര്‍ത്ഥം കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് കണ്ടോ? ഫിലിപ്പ് സാര്‍ വായിച്ച് അര്‍ത്ഥം പറയട്ടെ.
ഫിലിപ്പ് സാര്‍,
ശ്രീകല ടീച്ചര്‍ ചോദിച്ച പ്രശ്നം കണ്ടു.
"രേഖീയജോടി കോണുകളുടേയും ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണുകളുടേയും തുക 180 ഡിഗ്രി" ഈ രണ്ടു പ്രസ്താവ്യങ്ങളും താഴ്ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ പഠിച്ചു കഴിഞ്ഞതാണ്. ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഏതു രീതിയില്‍ ഉത്തരമെഴുതുമ്പോഴും ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണുകളുടെ തുക 180 ഡിഗ്രിയാണെന്നും രേഖീയ ജോടി കോണുകളുടെ തുക 180 ഡിഗ്രിയാണെന്നും തെളിയിക്കേണ്ടി വരുന്നില്ല. ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണത്തിനുപയോഗിച്ച സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കൂടി തെളിയിക്കേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ ഉത്തരങ്ങള്‍ വലിച്ചു നീട്ടലാകില്ലേ?
മറ്റൊരു തരത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനെ വിശന്നിരിക്കുന്ന (നോണ്‍വെജിറ്റേറിയനായ) ഒരാള്‍ക്ക് ഒരു മീന്‍ കൊടുക്കുന്നതും മീന്‍ പിടിക്കാന്‍ പഠിപ്പിച്ചുകൊടുക്കുന്നതും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തോട് ഉപമിക്കാം.
ഇതിന് കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ എന്തു പറയുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.
ശ്രീകല റ്റീച്ചര്‍ പറഞ്ഞതുപോലെ ഉത്തരമെഴുതിയ കുട്ടിക്ക് മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും കൊടുക്കണം. "ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ശീര്‍ഷത്തിലെ കോണും പുറംകോണും
രേഖീയ ജോടിയാണ് " എന്നു കൂടി പറഞ്ഞാലേ ഈ യുക്തി മുഴുവനാകൂ എന്ന ഒരു ഉപദേശവും കൊടുക്കാം.
tessellation എന്നതിന്റെ തമിഴ് വിവര്‍ത്തനം അസ്സലായിട്ടുണ്ട്. പല പദങ്ങള്‍ക്കും തമിഴര്‍ കൊടുക്കുന്ന തനി ദ്രാവിഡ പരിഭാഷ മനോഹരമാണ്. world wide web എന്നതിനെ "വൈയക വിരിവു വലൈ" ആക്കിയതു നോക്കൂ.
tessellation എന്നതിനു പറ്റിയ മലയാള വാക്ക് നമുക്ക് ആലോചിച്ചു നോക്കിയാലോ?
TESSALATIONS ന്റെ അര്‍ഥം തല്‍കാലം "തറപാവ് " എന്ന് പരിഗണിച്ചു ചര്‍ച്ച പുനരാരംഭിച്ചു കൂടെ ?
ശങ്കരന്‍ മാഷ്,
എനിക്ക് തമിഴ് അത്രയ്ക്കൊന്നും അറിഞ്ഞുകൂടാ. "തറൈപാവുമൈ" എന്നതിന് "തറ പാകുന്ന വിധം" എന്ന് അര്‍ത്ഥം വരുമെന്നാണ് എന്റെ ഊഹം. ഇതില്‍ത്തന്നെ "തറൈ" എന്നതിന് "തറ" എന്നും "പാവ്" എന്നതിന് "പാകല്‍" (പാകുക എന്നതിന്റെ നാമരൂപം (?)) എന്നും അര്‍ത്ഥമാണെന്ന് മിക്കവാറും ഉറപ്പാണ്. "മൈ" എന്ന് അവസാനം ചേര്‍ത്തത് അതിനുമുമ്പുവരെയുള്ള "തറൈപാവ്" എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥത്തിനെ എങ്ങനെ സ്വാധീനിക്കുന്നു എന്നത് അറിഞ്ഞുകൂടാ; "വിധം/തരം" എന്നാണെന്നത് ശുദ്ധമായ ഊഹം മാത്രം. അറിയാവുന്നവര്‍ തിരുത്തട്ടെ.
രേഖീയജോടി കോണുകളുടേയും ത്രികോണത്തിനകത്തെ കോണുകളുടേയും തുക ഒന്നുതന്നെയാണെന്നതിന്റെ തെളിവ് കുട്ടിക്ക് അറിയാമെന്ന് (ഓര്‍മ്മയുണ്ടാകണമെന്നില്ല, ആലോചിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അറിഞ്ഞാല്‍ മതി) ടീച്ചര്‍ക്കുറപ്പുണ്ടെങ്കില്‍ കുട്ടിയുടെ വാദത്തില്‍ പഴുതൊന്നുമുണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നില്ല.
-- ഫിലിപ്പ്
"ഒരേയിനം അടിസ്ഥാന രൂപങ്ങള്‍ കൊണ്ട് പ്രകൃതിയോ മനുഷ്യനോ അറിഞ്ഞോ അല്ലാതെയോ കൃത്യമായി യോജിച്ചിരിക്കത്തക്കവിധം തലങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന അസ്സല്‍ ചിത്രങ്ങളാണ് ടെസ്സിലേഷന്‍സ് അഥവാ 'തറ'പാകല്‍. ലളിതമായ ഷഡ്ഭുജങ്ങളുപയോഗിച്ചുള്ള തേനീച്ചക്കൂട് അല്ലെങ്കില്‍ തറയോടുകള്‍ മുതല്‍ പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ സ്പെയിനിലെ 'മൂറുകള്‍' ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന സങ്കീര്‍ണ്ണങ്ങളായ അലങ്കാരങ്ങള്‍ അല്ലെങ്കില്‍ ഈ നൂറ്റാണ്ടില്‍ 'മോര്‍ട്ടിസ് ഈഷര്‍' നിര്‍മ്മിക്കുന്ന കലാപരമായ നാനാവര്‍ണ്ണങ്ങളിലുള്ള ചിത്രരൂപങ്ങള്‍ വരെ ഈ ഇനങ്ങളില്‍ പെടുന്നു."
അമ്മു,ഹിത,ഗായത്രിമാരുടെ പ്രോജക്ട് മലയാളത്തിലാക്കാനുള്ള ഒരെളിയ ശ്രമം നടത്തിനോക്കിയതാണ്. കൊള്ളാമെങ്കില്‍ മാത്രം, മൂവരും അനുവാദം തന്നാല്‍ മുഴുമിപ്പിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാം, എന്താ?
Tessellations = തറവിക്രിയകള്‍ എന്നായാലോ?
വേണ്ട, ബാബൂജേക്കബോ മറ്റോ കണ്ടാല്‍ ഹോംസിനു പറ്റിയ അര്‍ഥമെന്നു പറയും..!
ഹോംസ് -ന്റെ പരിഭാഷ നന്നായിരിക്കുന്നു.
ഇഷ്ടപ്പെട്ടു.
ഹോംസിനു തുല്യം ഹോംസ് മാത്രം.
എന്തായാലും മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ സംവാദം വേണം.
അടുത്ത സംവാദ വിഷയം സംവാദം വേണമോ വേണ്ടയോ എന്നായാലോ ഹോംസ്?
ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിനെ ഓര്‍ത്തുകൊണ്ട് "ഫുഡ്ബോള്‍ പ്രശ്നം "എന്നാണ് ആദ്യം പേരുന്ലകിയത്.
പിന്നെ നിസ്സാര്‍ നാര്‍ വായിച്ചുനോക്കി അഭിപ്രായം പറഞ്ഞു.അപ്പോള്‍ Tessellations എന്നാക്കി.അതുനന്നായി എന്ന് ഇപ്പോല്‍ തോന്നുന്നു.
മലയാളഅധ്യാപകര്‍ തീരുമാനിച്ച്ു പറയുമായിരിക്കും. DRG പരിശീലനത്തിനിടെ "ഇലൂഷന്‍ ഇന്‍ ജോമട്രി" എന്നതിന്റെ മലയാളം കിട്ടാന്‍ ത്യശ്ശൂനടന്നിരുന്ന മലയാളം ക്യാഭിലേക്കു ഞാന്‍ വിളിച്ചു.
മലയാളം കേട്ടപ്പോള്‍ English മതിയെന്നു തീരുമാനിച്ചു.
കൂട്ടത്തില്‍ അതിനുകൂടി മലയാളം തരണേ....
ജോണ്‍ സാറിന്റെ ലേഖനവും അനുബന്ധമായി ഗായത്രി, ഹിത, അമ്മു എന്നിവരുടെ project - ഉം നന്നായി. പ്രൊജക്റ്റ്‌ മലയാളത്തിലാകാമായിരുന്നു എന്ന് തോന്നി. അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ തന്നെ ഭാവനയും ആശയവും ചിന്തയും ചേര്‍ന്ന് കുറേക്കൂടി മൌലികതയും ഒഴുക്കും എളുപ്പത്തില്‍ വന്നേനെ. (പരിഭാഷപ്പെടുത്തുമ്പോഴും നാം ഒരുപാടു പഠിക്കും - ഏതായാലും ആ ഭാഗ്യം ഗീത ടീച്ചര്‍ക്ക് ഇരിക്കട്ടെ!).
Project - ല്‍ ഈഷറിന്റെ രചനകളെ പരാമര്‍ശിച്ചത് ഉചിതമായി.ചിത്രരചനയില്‍ ഗണിതത്തെ ( അതോ തിരിച്ചോ?) ഇത്രമാത്രം ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയ മറ്റൊരു പ്രതിഭാശാലി ഇല്ലെന്നു തോന്നുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ Tiling of the plane using birds , Scrolling birds എന്നീ രചനകള്‍ പ്രകൃതിയിലെ രൂപങ്ങളുടെ വിചിത്ര വിന്യാസങ്ങളും ഒപ്പം മൂര്‍ത്തതയില്‍ നിന്നും അമൂര്‍ത്തതയിലേക്കുള്ള ഗണിതത്തിന്റെ ദര്‍ശനപരമായ ഒഴുക്കും മനോഹരമായി വരച്ചു കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
Tessellation - നു പകരം വെയ്ക്കാവുന്ന മലയാളവാക്കിനെപ്പറ്റി ഇത്രയും:
നമ്മുടെ കളമെഴുത്തിനെ ഓര്‍ത്തു കളമേളനം, കളവിന്യാസം എന്നൊക്കെ വേണമെങ്കില്‍ tessellation - നെ മലയാളത്തിലാക്കാം. കളത്തിനു കള്ളികള്‍ എന്ന അര്‍ഥം കൊടുത്താല്‍ ഇത് യോജിക്കാതില്ല എന്ന് തോന്നുന്നു. എന്തായാലും തമിഴിന്റെ മനോഹാരിത മലയാളത്തില്‍ ലഭിക്കാനിടയില്ല ( തമിഴന്റെ അഭിമാനബോധവും സ്വാശ്രയബോധവും ഭാഷാസ്നേഹവും മലയാളിക്കില്ലാത്തതുപോലെ)
Illusion in Geometry എന്നതിന് ജ്യാമിതിയിലെ കണ്‍കെട്ട് ചേരുമോ?
വാല്‍ക്കഷ്ണം:
Non-periodic tiling - നെ ക്കുറിച്ചുള്ള റോജര്‍ പെന്‍ റോസിന്റെ വിഖ്യാത ലേഖനം
ഇവിടെ
.
അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ ,
Tessellations -ലെ വിന്യാസം തറയില്‍ മാത്രം അല്ല . അതുകൊണ്ടു തറവിന്യാസം ശരിയാവുമെന്ന് തോന്നുന്നില്ല.
സമരൂപ വിന്യാസം , സമാന രൂപ വിന്യാസം എന്നൊക്കെ പറയാമെന്നു തോന്നുന്നു.
ക്ഷേത്ര ഗണിതത്തിലെ മായക്കാഴ്ചകള്‍ , ജ്യാമിതിയിലെ മിഥ്യാ രൂപങ്ങള്‍ എന്ന് രണ്ടാമത്തേത് പരിഭാഷപ്പെടുത്താം.
.
ശ്രീ ബാബു ജേക്കബ്‌ സാര്‍,
തറ വിന്യാസം എന്ന് ഞാനെഴുതിയിട്ടില്ല.കളമേളനം, കളവിന്യാസം എന്നെഴുതിയപ്പോഴും കളത്തിനു കള്ളികള്‍ എന്ന അര്‍ത്ഥമെടുക്കാന്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നു. കള്ളികളുടെ മേളനം കള്ളികളുടെ വിന്യാസം എന്ന അര്‍ത്ഥമാണ് ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത്.
കളമേളനം ഉചിതമാണ്.അതേ ഉപയോഗിക്കാം.അഞ്ചന ടീച്ചര്‍ക്ക് നന്ദി
ജോണ്‍ സര്‍ ഞാന്‍ നേരത്തെ പറഞ്ഞിരുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളുമായി ബന്ധപെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്നു .
ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയുക്ക
സര്‍ നോക്കിയശേഷം അഭിപ്രായം പറയണം .
Very Good Work Gayathry.
നല്ല നിലവാരമുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍!
ഇത് കമന്റുബോക്സില്‍ ഒതുങ്ങേണ്ടവയല്ലായിരുന്നല്ലോ ഗായത്രീ..
@ഗായത്രി
നന്നായിട്ടുണ്ട്. ഈ ചോര്യങ്ങള്‍ അടുത്ത അവ്ചതിലെ ഒരു പോസ്റ്റിനെപ്പം വരുത്താന്‍ കഴിയും .
Tessellation ന് അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ തന്ന മലയാളം എനിക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടു- കളമേളനം.
ഗീതാ സുധി ടീച്ചര്‍, ഞാന്‍ ഒരു പത്താം ക്ലാസില്‍ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥിയാണ്. എന്നെ ആരും സാര്‍ എന്നു വിളിക്കല്ലേ.
ജോണ്‍ സര്‍ ഞാന്‍ കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടി ഉണ്ടാക്കുനുണ്ട് അത് നാളെ ഇവിടെ കൊടുക്കാം സാറിന് ഇഷ്ടമുള്ള നിലവാരം ഉള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ മാത്രം കൊടുത്താല്‍ മതി .ഒരു ടീച്ചര്‍ സെറ്റ് ചെയുന്ന നിലവാരത്തില്‍ എനിക്ക് ചെയ്യാന്‍ കഴിയില്ല.കുട്ടികള്‍ക്ക് ഉപകാരപ്രദം ആകുന്ന എതു കാര്യത്തിനും ഞാന്‍ ബ്ലോഗിന്റെ കൂടെ ഉണ്ടാകും
നമുടെ ഭൂരിഭാഗം കുട്ടികളും മാര്‍ക്ക്‌ ഉണ്ടാക്കാന്‍ വേണ്ടി മാത്രം പഠിക്കുന്ന രീതി ആണ് കാണുന്നത്.ഒരു വിഷയവുമായി ബന്ധപെട്ട കാര്യങ്ങള്‍ പറയുമ്പോള്‍ പാഠ പുസ്തകം പറയുന്നതിലും
അധ്യാപകന് പറയുന്നതിനും പുറമേ നിന്ന് വിഷയത്തെ നോക്കി കാണുന്ന ഒരു വിദ്യാര്‍ഥി സമൂഹം ഉണ്ടാകുന്ന സമയത്താണ് അധ്യാപകന് വിജയികുന്നത്.അതിനു കുട്ടികളെ പ്രാപ്തര്‍ ആക്കണം എങ്കില്‍ ആദ്യം കുട്ടികളില്‍ വിഷയത്തെ കുറിച്ചുള്ള പേടി അകറ്റാന്‍ അധ്യാപകന് കഴിയണം.
നാളെയുടെ പ്രതീക്ഷകള്‍ ആകേണ്ട കുട്ടികളില്‍ വിവേകം ,സംസ്കാരം ,മാന്യത എന്നിവയെല്ലാം വളര്‍ത്താന്‍ ഓരോ അധ്യാപകനും ശ്രമിക്കുമ്പോള്‍
ഒരു പുതിയ ഭാരതം തന്നെ ഉണ്ടാക്കാന്‍ നമുക്ക് കഴിയുമെന്ന് ഞാന്‍ കരുതുന്നു
നിങ്ങള്‍ ഒക്കെ അതിനു വേണ്ടി പരമാവധി ശ്രമിക്കുമോള്‍ നിങ്ങളുടെ കൂടെ ചേര്‍ന്ന് നിന്ന് പ്രവര്‍ത്തിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞത് ഒരു ഭാഗ്യം ആയി
ഞങ്ങള്‍ കരുതുന്നു
ഗായത്രി ,ഹിത ,അമ്മു എന്നിവര്‍ക്കൊപ്പം കണ്ണന്‍
ജോണ്‍ സര്‍ കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടി ഉള്‍പെടുത്തി അയക്കുന്നു .സര്‍ നോക്കിയിട്ട് നല്ലതാണെങ്കില്‍ മാത്രം കൊടുത്താല്‍ മതി.കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ കാണണ്ട എന്നെ ഓടിക്കും .സാറിന്റെ മുന്നില്‍ ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ കൊടുക്കാനെ പേടിയാണ് .
ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
ഗായത്രിയുടെ ചോദ്യങ്ങള്‍ കണ്ടൂ. നന്നായിട്ടുണ്ട്. എന്നാല്‍ ചിഹ്നങ്ങളും ചിത്രങ്ങളും ഒട്ടും നന്നായിട്ടില്ല. ഉപയോഗിച്ച software ന്റെ പോരായ്മയാണ് കാരണം. ഇതുതന്നെ LaTeX ല്‍ ചെയ്തത്
ഇവിടെ
കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്.
ഒരു കാര്യം കൂടി. ഏതു സമബഹുഭുജത്തിന്റെയും ആന്തരകോണും ബാഹ്യകോണും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം k:2 എന്ന രൂപത്തിലാക്കാമെന്നും അങ്ങിനെ എഴുതിയാല്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം k+2 ആണെന്നും തിരിച്ചറിഞ്ഞത് ഗായത്രിയുടെ മൂന്നാം ചോദ്യത്തില്‍നിന്നാണ്‌
പെര്‍മിഷന്‍ കൊടുക്കാന്‍ മറന്നതുകൊണ്ടായിരിക്കുമോ, കൃഷ്ണന്‍ സാറേ ലിങ്ക് വര്‍ക്കു ചെയ്യാത്തത്?
കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ പറയുന്നൂ...
"ഏതു സമബഹുഭുജത്തിന്റെയും ആന്തരകോണും ബാഹ്യകോണും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം k:2 എന്ന രൂപത്തിലാക്കാമെന്നും അങ്ങിനെ എഴുതിയാല്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം k+2 ആണെന്നും തിരിച്ചറിഞ്ഞത് ഗായത്രിയുടെ മൂന്നാം ചോദ്യത്തില്‍നിന്നാണ്‌"
ഗായത്രിക്ക് അഭിമാനിക്കാന്‍ ഇതില്‍പരം ഒരു പ്രശംസ കിട്ടാനുണ്ടോ?
@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
എന്റെ കൈവശം സര്‍ പറഞ്ഞ LaTeX എന്ന സോഫ്റ്റ്‌വെയര്‍ ഇല്ല .ഞാന്‍ ചിത്രങ്ങള്‍ എല്ലാം വരച്ചത്
PaintIT എന്നാ സോഫ്റ്റ്‌വെയര്‍ വച്ചാണ്.സാറിന്റെ മുന്നില്‍ ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ വക്കാന്‍ തന്നെ പേടി ഉണ്ടായിരുന്നു .ഗണിതത്തില്‍ അത്ര ഗഹനമായ അറിവൊന്നും എനിക്ക് ഇല്ല .എനിക്ക് ഏറ്റവും താല്പര്യം ഉള്ള വിഷയം PHYSICS ആണ് .ഇപ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഗണിതതെയും ഇഷ്ടപ്പെട്ടു തുടങ്ങിയിരിക്കുന്നു .
Link is now fixed.
In a Linux system, it is vary easy to install LaTex through the Net as the "texlive" package. (yum for Fedora and Red Hat users, and aptitude or Synaptic for Ubuntu users.) For those who would like to write articles on any science (especially math), I would say LaTeX is a must, since it is the global standard in scientific publishing. And there are any number of free tutorials for learning it.
This is an online editor that facilitates the creation and formatting of LaTeX equations. The editor is open source and can be easily extended and adapted to any particular need. It supports multiple languages and works across all major internet browsers, including IE, FireFox and Chrome. It can also generate graphical images and HTML code to embed any equation into any website, forum or blog.
കൃഷ്ണന്‍ സാറിനെപ്പോലെ, അഞ്ജന ടീച്ചറെപ്പോലെ, ഗായത്രിയെപ്പോലെ, ഫിലിപ്പ് മാഷെപ്പോലെ, ജോണ്‍ സാറിനെപ്പോലെ,.... കുറച്ചു പേര്‍ ഒപ്പമുള്ളതാണ് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ ഉയര്‍ച്ചയ്ക്ക് കാരണം.
ഇവിടെ ദിവസേന വരുന്നതുകൊണ്ടുതന്നെ എത്ര പുതിയ പുതിയ കാര്യങ്ങളാണ് അറിയാന്‍ കഴിയുന്നത്. ലാടെക്ക് എങ്ങനെയാണ് പ്രവര്‍ത്തിപ്പിക്കുന്നത് എന്നറിയാനും പഠിക്കാനും താല്പര്യമുണ്ട്. മാത്സ് ബ്ലോഗ് ഇതേപ്പറ്റിയൊരു പോസ്റ്റ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാമോ?
കൃഷ്ണന്‍ മാഷെപ്പോലൊരാളില്‍ നിന്നും അനുഗ്രഹാശിസ്സുകള്‍ ലഭിച്ച ഗായത്രി സ്റ്റാറായിപ്പോയല്ലോ.
@ ശങ്കരന്‍ മാഷ്
കൃഷ്ണന്‍ സാറിനെ പോലെ ഉള്ള പ്രഗല്‍ഭരായ ആളുകളില്‍ നിന്നും കിട്ടുന്ന അനുഗ്രഹം എന്റെ ജീവിതത്തിലെ വലിയ ഭാഗ്യം ആയി ഞാന്‍ കാണുന്നു.പക്ഷെ ഞാന്‍ സ്റ്റാര്‍ ഒന്നും അല്ല .എന്റെ ഫൈനല്‍ സെം എക്സാം കഴിഞ്ഞു ഇനി ഒകടോബര്‍ വരെ ഫ്രീ ആണ് .ക്യാമ്പസ്‌ സെലക്ഷന്‍ കിട്ടിയിട്ടുണ്ട് അത് വിളിക്കാന്‍ ഒകടോബര്‍ ആകും അത് വരെ ഇനി ഇപ്പോഴും ബ്ലോഗില്‍ തന്നെ കാണും.
@ Maths blog team
പ്ലസ് ടു കുട്ടികള്‍ക്ക് ഫിസിക്സ്‌ നോട്ടുകള്‍ ഞാന്‍ ഉണ്ടാക്കി തന്നാല്‍ ഇവിടെ കൊടുക്കുമോ .പ്ലസ് ടു തലത്തിലേക്ക് വേണ്ട എന്ന് ആണെങ്കില്‍ ഞാന്‍ വിട്ടു .Career blog ചെയ്തത് പോലെ പ്ലസ് ടു വിനു കൂടി സ്ഥലം ഇവിടെ കൊടുത്തു കൂടെ .അഞ്ജന ചേച്ചി ,ഫിലിപ്പ് സര്‍ ,ഭാമ ടീച്ചര്‍ ,ലളിത ടീച്ചര്‍ ,അസീസ്‌ സര്‍ ,ഉമേഷ്‌ സര്‍ ,അനൂപേട്ടന്‍ ഇവരെ പോലെ പ്രതിഭയുള്ള ആളുകള്‍ മാത്സ് കൈകാര്യം ചെയ്താല്‍ കാര്യങ്ങള്‍ എളുപ്പം ആയി.
കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,
ബഹുഭുജങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കുറച്ച് മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങള്‍ അടുത്ത പോസ്റ്റിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നു. ആദ്യപാഠം പൂര്‍ത്തിയാക്കിയ ഗണിതാധ്യാപകര്‍ മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങള്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. പി.ഡി.എഫ് രൂപത്തിലാണ് ചോദ്യങ്ങള്‍. ഈ പോസ്റ്റില്‍ ജോണ്‍മാഷും ഗായത്രിയും തയ്യാറാക്കിയ ചോദ്യങ്ങളാണ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷം പത്താം ക്ലാസിലേക്ക് വേണ്ടി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചവയില്‍ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാന്‍ പറ്റുന്ന തരത്തില്‍ ചെയ്ത പലതും ഇവിടെ കാണാം.
ചില ആര്‍.പി മാര്‍ ആവശ്യപ്പെട്ട പ്രകാരം കൃഷ്ണന്‍ സാറിനോട് ഒരു അഭ്യര്‍ത്ഥന:
സമയം അനുവദിക്കുന്നുണ്ടെങ്കില്‍ അങ്ങയുടെ മനസ്സിലുള്ള കുറച്ച് ചോദ്യങ്ങള്‍ പി.ഡി.എഫ് ആയി അയച്ചു തരുമോ?
ഗായത്രീ,
പ്ലസ് ടൂ സിലബസ് നമുക്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്നതേയുള്ളു. പക്ഷേ അവ വേണ്ടത്ര ഫലവത്താകുമോയെന്ന് ഒരു സംശയം. സാഹചര്യങ്ങളും ചുരുങ്ങിയ നാളത്തെ അനുഭവപരിജ്ഞാനവും വെച്ചുനോക്കുമ്പോള്‍ അങ്ങനെ ആശങ്കിച്ചാലും തെറ്റുപറയാനാകില്ലെന്നത് മറ്റൊരു കാര്യം. പരീക്ഷിക്കാം. പക്ഷേ, ഹിത പോയതുപോലെ ഒക്ടോബര്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ഗായത്രിയും പോകും. പിന്നെ ആരുണ്ടാകും അതു കൈകാര്യം ചെയ്യാന്‍?
പക്ഷെ ഏതു സംരംഭവും പരീക്ഷിക്കാന്‍ ഒപ്പം ഞങ്ങളുണ്ടാകും.
ഇപ്പോള്‍ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് ചോദ്യങ്ങള്‍ ഒരുക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക നന്ദി പറയട്ടെ. കാരണം, ഒട്ടേറെ പേര്‍ അവ കാത്തിരിക്കുന്നുണ്ട്. സഹകരണമനോഭാവത്തിന് ഒരായിരം നന്ദി.
@ ഹരി സര്‍
സാറിന്റെ അഭിപ്രായം മാനിച്ചു കൊണ്ട് തല്ക്കാലം പ്ലസ് ടു വേണ്ടെന്നു വക്കുന്നു.പിന്നെ ഹിത എവിടെയും പോയിട്ടില്ല കെട്ടോ ഹരി സര്‍ .ഇപ്പോള്‍ ഞങ്ങളുടെ Bank ആണ് അവള്‍.ആദ്യത്തെ ശമ്പളം അടിച്ചു പൊളിച്ചു.ഞാന്‍ അയച്ചതില്‍ പല ചോദ്യങ്ങളും ഹിത അവളുടെ ഓര്‍മയില്‍ നിന്നും എടുത്തു തന്നതാണ് .അവള്‍ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠികുമ്പോള്‍ ഇത് രണ്ടാമത്ത പാഠം ആയിരുന്നു എന്ന് പറഞ്ഞു അവള്‍
ഓര്‍മയില്‍ നിന്നും എടുത്തു തന്നതാണ് .എല്ലാ ദിവസവും ഞങ്ങള്‍ ബ്ലോഗില്‍ വരും .അമ്മുവിന് ഇവിടെ പാലക്കാട്‌ ജില്ലയിലെ കണ്ണാടി HS സ്കൂളില്‍ പ്ലസ് ടു വിനു അഡ്മിഷന്‍ കിട്ടി.കണ്ണന്‍ സാറും ഞാനും ഹിതയും എല്ലാം അവിടെ തന്നെയാണ് പഠിച്ചത് .
പിന്നെ ഒരു കാര്യം ഞാന്‍ അടുത്ത ആഴ്ച മുതല്‍ ഇവിടെ ഒരു ടുഷന്‍ സെന്ററില്‍ മാത്സ് ക്ലാസ്സ്‌ എടുക്കാന്‍ പോകുകയാണ് .ഒക്ടോബര്‍ വരെ .ഒന്‍പതാംക്ലാസും പത്താം ക്ലാസും മാത്സും പ്ലസ് ടു വില്‍ ഫിസിക്സ്‌ ആണ് എടുക്കാന്‍ പോകുന്നത്.പിള്ളേരുടെ കഷ്ടകാലം എന്ന് പറഞ്ഞു കണ്ണന്‍ സര്‍ വെറുതെ കളിയാക്കുകയാണ് .
@ഗായത്രി ടീച്ചര്‍
കണ്ണന്‍ സാര്‍ കളിയാക്കിക്കോട്ടെ. ഗായത്രിക്ക് നല്ലൊരു ടീച്ചറാവാന്‍ കഴിയരം. പത്താം ക്ലാസ് കഴിഞ്ഞ ഉടനെ മൂന്നു കൊല്ലം ഞാന്‍ പത്താം ക്ലാസുകാര്‍ക്ക് കണക്കിനു ക്ലാസെടുത്തിട്ടുണ്ട്! പിന്നീടാണ് അധ്യാപക പരിശീലനത്തിന് പോയത്. പിന്നാണോ ഗായത്രി.
അമ്മുവിനോട് രണ്ടാം ഭാഷയായി മലയാളം തന്നെ പഠിക്കാന്‍ പറയണം. അപ്പവും അരവണയും കൊടുക്കാതിരുന്നതു കൊണ്ടാവും ഹിത ശമ്പളം കിട്ടിയിട്ട് ചെലവു ചെയ്യാതിരുന്നത്.
ബഹുഭുജങ്ങളെ സംബന്ധിക്കുന്ന രസകരമായ ചില പ്രവര്‍ത്തങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും
ഇവിടെ
കാണാം.
പ്രമോദ് സാറിന്റെ ഈ ബുക്കില്‍ നിന്നും LaTeX എളുപ്പത്തില്‍ പഠിക്കാമെന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തില്‍ തോന്നുന്നു
രേഖീയ ജോഡിയുടെ ഇംഗ്ലീഷ് വാക്കെന്താണ്‌ ?
image view akanenthucheyyanam(geometrical pattern)
Post a Comment