കൊല്ലം ജില്ലയിലെ ചാത്തന്നൂര്‍, കോട്ടയം ജില്ലയിലെ കുറുവിലങ്ങാട്, കോഴിക്കോട് ജില്ലയിലെ താമരശ്ശേരി, മലപ്പുറം ജില്ലയിലെ മഞ്ചേരി, അരീക്കോട് ഉപജില്ലാ കലോത്സവ ഫലങ്ങള്‍ "Results" പേജില്‍...

സംസ്ഥാന സ്കൂള്‍ ശാസ്ത്രോത്സവ ഫലങ്ങള്‍

MID DAY MEAL - Monitoring : Directions for online entry | Website

ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ നിന്നു തന്നെ..!

>> Friday, June 4, 2010

ഒന്‍പതാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തില്‍ , ഒന്നാംപാഠത്തിലെ അവസാന സൈഡ് ബോക്സ് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ? ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയാണ് വിഷയം. കോമ്പസസ്സും അങ്കനം ചെയ്യാത്ത ഒരു ദണ്ഡും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍മ്മിതി. ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ഇനമാണിത്. അളവെടുക്കാതെയും അളന്നെടുക്കാതെയും നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക.....


കോമ്പസസ്സും റുളറും ( compass and straight edge) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമപഞ്ചഭുജം വരക്കുന്ന രീതിയെക്കുറിച്ച് പ്രത്യേകപരാമര്‍ശം നല്‍കുന്ന സൈഡ് ബോക്സ്, പഠനത്തില്‍ ICT സാധ്യതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ നിര്‍മ്മിതി നോക്കാം.

AB എന്ന ഒരു വരയിടുക. A കേന്ദ്രമായി, Bയിലേക്കുള്ള അകലം ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക. B കേന്ദ്രമായി, Aയിലേക്കുള്ള അകലം ആരമായി മറ്റൊരു വൃത്തം വരക്കുക. ഈ രണ്ടുവൃത്തങ്ങളും AB യുടെ താഴെ P യില്‍ ഖണ്ഢിക്കുന്നു.
ഇനി P കേന്ദ്രമായി Aയിലേക്കുള്ള ദൂരം ആരമായി ഒരു അര്‍ദ്ധവൃത്തം വരക്കുക. ഈ അര്‍ദ്ധവൃത്തം P യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലായി ആദ്യം വരച്ച വൃത്തത്തെ Q യിലും രണ്ടാമത്ത വൃത്തത്തെ R ലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
ഈ രണ്ടുവൃത്തങ്ങളും ഖണ്ഢിക്കുന്ന P യും മറ്റേ ബിന്ദുവും യോജിപ്പിച്ചാല്‍ AB യുടെ ലംബ സമഭാജി കിട്ടുമല്ലോ. ഈ വര അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ S ല്‍ ഖണ്ഢിക്കുന്നു.
Q യില്‍ നിന്ന് Sലൂടെ വരച്ചാല്‍ രണ്ടാമത്ത വൃത്തത്തെ C യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും.R ല്‍ നിന്ന് S ലൂടെ വരച്ചാല്‍ ആദ്യവൃത്തത്തെ E യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും
BC വരക്കുക, AE വരക്കുക. ഇപ്പോള്‍ സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ മൂന്നു വശങ്ങളായി. ഇനിയുള്ള രണ്ടുവശങ്ങള്‍ വരക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ...?ഈ ചിത്രം വരച്ചിരിക്കുന്നത് Geogebra യിലാണ്


ഇനി ഒരു കുട്ടി എന്നോട് ഇന്നലെ ചോദിച്ച ഒരു ചോദ്യം.

മുന്നു കോണ്‍ ഉള്ളതിനാലാണല്ലോ ത്രികോണം എന്നു വിളിക്കുന്നത്. നാലു കോണുള്ളതിനെ എന്താണ് ചതുര്‍കോണം എന്നു വിളിക്കാത്തത്? അതുപോലെ പഞ്ചകോണം എന്നും വിളിക്കുന്നില്ല. അവിടെയോക്കെ വശങ്ങള്‍ക്ക് പ്രധാന്യം നല്‍കിയിരിക്കുന്നത് എന്തിനാണ്?

നമ്മുടെ നിത്യസന്ദര്‍ശകയായ ഗായത്രി കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ തരാമെന്നു പറഞ്ഞിരുന്നല്ലോ. mathsekm@gmail.com ലെക്ക് അയച്ചാല്‍ നാളെ ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഭാഗമാക്കാം. ഇതുപോലെ മറ്റുള്ളവരില്‍ നിന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

55 comments:

Janardanan c m June 4, 2010 at 11:18 PM  

ഇതെന്താണ് പാതിരക്കു മുന്പൊരു പോസ്റ്റ്. വളരെ നേരമായി കമന്റുകള്‍ ൊന്നു ഇല്ലാതിരിക്കുകയായിരുന്നു.
ജ്യാമിതി നിര്‍മാണം നന്നായി.ഞാന്‍ കഴിഞ്ഞ ദിവസം ഒരു ചോദ്യമിട്ടിട്ടാരും പ്രതികരിച്ചില്ല.അത് ഇതാ

സമ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് ചില കമ്പനികള്‍ ഫുട്ബോള്‍ (foot ball)ഉണ്ടാക്കുന്നത്.
ബഹുഭുജ രൂപങ്ങള്‍ ഏതൊക്കെ?
നിര്‍മ്മിക്കുന്നത് എങ്ങനെ?

JOHN P A June 5, 2010 at 6:00 AM  

ഝനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ ചോര്യത്തില്‍നിന്നും ഒരു പുതിയ പോസ്ററിനുള്ള സാധ്യത കാണുന്നു.ചില ബീജഗണിതചിന്തകളും ആവശ്യമാണ്. ഉടനെ ആകാം

bhama June 5, 2010 at 8:36 AM  

ശുദ്ധജ്യാമിതിയ നിര്‍മ്മിതി രസകരം തന്നെ.


ഷഡ്ഭുജം ആണ് സാധാരണ foot ball ല്‍ കാണുന്നത്. tessalations ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.

revima June 5, 2010 at 7:03 PM  

പരിസ്ഥിതിദിന തിരക്കുമൂലമാണോ ബ്ളോഗില്‍ ആരും കമന്‍റു ചെയ്യാത്തത്.

MURALEEDHARAN.C.R June 5, 2010 at 9:01 PM  

ജ്യാമിതി നിര്‍മാണം നന്നായി
ശുദ്ധജ്യാമിതിയ നിര്‍മ്മിതി സമ പഞ്ചഭുജങ്ങള്‍ക്ക് മാത്രമല്ല
​​എല്ലാ തരം സമ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കും പററുമെന്ന് തോന്നുന്നു

Janardanan c m June 5, 2010 at 9:22 PM  

സ്ക്കൂള്‍ ഡയറി 3 അബ്ദുറഹിമാന്‍ മാഷും ഓട്ടവും
ജനവാതിലില്‍
********************************
കമന്റ് ബോള്‍ഡ് ലറ്ററില്‍ കാണാനുള്ള സൂത്രമെന്താണ്?

JOHN P A June 5, 2010 at 9:56 PM  

Janadranan sir
b എന്ന് എഴുതുക. < > എന്നതിനുള്ളിലായിരിക്കണം b എഴുതേണയത്.എന്നിട്ട് മാറ്റര്‍ എഴുതുക .പിന്നെ < > നുള്ളില്‍ /b ഇടുക

ഗായത്രി June 5, 2010 at 10:01 PM  

സ്നേഹം നിറഞ്ഞ ജോണ്‍ സാറിന്

ഞാന്‍ അന്ന് ചോതിച്ചപ്പോള്‍ ആരും ഒന്നും പറഞ്ഞില്ല മറുപടി കാണാതിരുന്നപ്പോള്‍ ഞാന്‍ ആ ശ്രമം ഉപേക്ഷിച്ചു.തിങ്കളാഴ്ച മുതല്‍ എനിക്ക് Final sem Exam ആണ് .അത് കൊണ്ട് കുറച്ചു തിരക്കില്‍ ആണ് .ഒരാഴ്ച കഴിഞ്ഞാല്‍ ഞാന്‍ ഫ്രീ ആണ് .റിസള്‍ട്ട്‌ വരുന്നത് വരെ പിന്നെ ഒരു പണിയും ഇല്ല .അപ്പോള്‍ ഞാന്‍ ശ്രമിക്കാം .

പിന്നെ സര്‍ ഹിതക്ക് C.S.R മാഗസിനില്‍ വന്ന ഒരു മത്സരത്തില്‍ പങ്കെടുത്തു ഒന്നാം സമ്മാനം കിട്ടി.

Janardanan c m June 5, 2010 at 10:08 PM  

ഞാനൊന്നു നോക്കട്ടെ ജോണ്‍ മാഷെ
ഗായത്രിക്ക് പരീക്ഷ നന്നായി എഴുതാന്‍ കഴിയട്ടെ
ഹിതയ്ക്ക് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍

JOHN P A June 5, 2010 at 10:11 PM  

I know Hitha is one of the most talented students of the state .Convey my wishes to Hitha for her extraordinary achievement.
I request GAYATRI to prepare the questions for our blog and teachers

JOHN P A June 5, 2010 at 10:13 PM  

ജനാരദ്ദനന്‍ സാറിന് A+

ഗായത്രി June 5, 2010 at 10:20 PM  

ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിനും ജോണ്‍ സാറിനും നന്ദി .തീര്‍ച്ചയായും ഞാന്‍ ശ്രമിക്കാം സര്‍.

Anjana June 5, 2010 at 11:38 PM  

"ശുദ്ധജ്യാമിതിയ നിര്‍മ്മിതി സമ പഞ്ചഭുജങ്ങള്‍ക്ക് മാത്രമല്ല എല്ലാ തരം സമ ബഹുഭുജങ്ങള്‍ക്കും പററുമെന്ന് തോന്നുന്നു"

ശരിയല്ല ഇത്.

p ഒരു അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യയാണെങ്കില്‍ p വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജം റൂളറും കോമ്പസ്സും ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കും എന്ന് ഗോസ്സ് തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

നേരെമറിച്ച് p ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യ ആണെന്നു കരുതുക, കൂടാതെ p വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജം റൂളറും കോമ്പസ്സും ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കും എന്നും കരുതുക. അങ്ങനെയെങ്കില്‍ p ഒരു അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഇത് (1837 - ല്‍) Pierre Laurent Wantzel എന്ന ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രന്‍ ആണ് തെളിയിച്ചത്.

ഇതിന്റെ കുറേക്കൂടി സാമാന്യവല്‍ക്കരിക്കപ്പെട്ട രൂപം (Gauss- Wantzel theorem) ഇനീപറയുന്ന പ്രകാരമാണ്:

n വശങ്ങളുള്ള ഒരുസമബഹുഭുജം റൂളറും കോമ്പസ്സും ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കുകയാണെങ്കില്‍ n ഒരു അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യയോ, അല്ലെങ്കില്‍ 2^m എന്ന രൂപത്തില്‍ എഴുതാവുന്ന സംഖ്യയോ, അതുമല്ലെങ്കില്‍ 2^m - ന്റെയും വ്യത്സ്തങ്ങളായ അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനഫലമോ ആയിരിക്കും.

തിരിച്ച്, ഈ മൂന്നു രീതികളില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു രീതിയില്‍ എഴുതാവുന്ന സംഖ്യയാണ് n എങ്കില്‍, n വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജം നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കും.


ഇതുപ്രകാരം 7 വശങ്ങളുള്ള ഒരുസമബഹുഭുജം റൂളറും കോമ്പസ്സും ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല. കാരണം 7 ഒരു അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യയല്ല. 9 വശങ്ങളുള്ള ഒരുസമബഹുഭുജവും റൂളറും കോമ്പസ്സും ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മിക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല.(3 അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യ ആണ്, എന്നാല്‍ 9 = 3 x 3 വ്യത്സ്തങ്ങളായ അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമല്ല.)

( n = 0,1,2, ... ആകുമ്പോള്‍ [2^(2^n)] + 1 എന്ന സംഖ്യയെ ഫെര്‍മ സംഖ്യ എന്ന് പറയും; ഈ സംഖ്യ ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യകൂടിയാണെങ്കില്‍ അതിനെ അഭാജ്യ-ഫെര്‍മ സംഖ്യ എന്ന് പറയും )



ഫിലിപ്പ് June 5, 2010 at 11:48 PM  

മുരളീധരന്‍ സാര്‍,

എല്ലാ സമബഹുഭുജങ്ങളും ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി ഉപയോഗിച്ച് നിര്‍മ്മിക്കാം എന്ന് നമുക്ക് സ്വാഭാവികമായും തോന്നാമെങ്കിലും യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഇത് സാധ്യമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സമസപ്തഭുജത്തിനെ ഇങ്ങനെ നിര്‍മിക്കാന്‍ കഴിയില്ല. ഇവിടെ "സാധ്യമല്ല" എന്നു പറയുന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം "ഇതുവരെ നമുക്കിതിന് കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല" എന്നു മാത്രമല്ല, ഇനിയൊട്ടു കഴിയാനും പോകുന്നില്ല എന്നുകൂടിയാണ്.

ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയെപ്പറ്റിയും അതില്‍ത്തന്നെ സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കുന്നതിനെപ്പറ്റിയുമുള്ള വിക്കിപ്പീഡിയ പേജുകള്‍ നോക്കുക. സമബഹുഭുജങ്ങളെപ്പറ്റി ഇവിടെ ചുരുക്കിപ്പറയാം.

m പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോള്‍ (2^m + 1) എന്നെഴുതാവുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളെ ഫെര്‍മാ അഭാജ്യങ്ങള്‍ (Fermat Primes) എന്നു വിളിക്കുന്നു. (2^m + 1) ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ m രണ്ടിന്റെ ഘാതമായിരിക്കും (എന്തുകൊണ്ട്?). അതായത്, ഏതു ഫെര്‍മാ അഭാജ്യവും (F_n = 2^(2^n) + 1) എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും (n പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ). ഈ രൂപത്തില്‍ എഴുതാവുന്ന സംഖ്യകളെ (അഭാജ്യങ്ങളാകണമെന്നില്ല) ഫെര്‍മാ സംഖ്യകള്‍ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ കുറച്ചു ഫെര്‍മാ സംഖ്യകള്‍:

F_0 = 2^(2^0) + 1 = 2^1 + 1 = 3,
F_1 = 2^(2^1) + 1 = 2^2 + 1 = 5,
F_2 = 2^4 + 1 = 17,
F_3 = 2^8 + 1 = 257,
F_4 = 65537

കൂടുതല്‍ ഫെര്‍മാ സംഖ്യകള്‍ക്ക് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാ അനുക്രമങ്ങളുടെ ഇന്റര്‍നെറ്റ് വിജ്ഞാനകോശത്തിലെ ഫെര്‍മാ സംഖ്യകളുടെ പേജ് കാണുക.

മേല്‍ക്കൊടുത്ത അഞ്ചു ഫെര്‍മാ സംഖ്യകളും അഭാജ്യങ്ങളാണ്. ഇവയല്ലാതെ മറ്റൊരു ഫെര്‍മാ അഭാജ്യം ഉള്ളതായി അറിയില്ലതാനും.

ഗൗസ്, വാന്റ്സല്‍ എന്നിവര്‍ ചേര്‍ന്ന് താഴെപ്പറയുന്നത് തെളിയിച്ചു:

n വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമബഹുഭുജത്തെ ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിപ്രകാരം നിര്‍മ്മിക്കണമെങ്കില്‍ n രണ്ടിന്റെ ഒരു ഘാതത്തിന്റെയും (2^0 = 1-ഉം ആകാം ഈ ഘാതം) പൂജ്യമോ അതിലധികമോ വ്യത്യസ്ത ഫെര്‍മാ അഭാജ്യങ്ങളുടേയും ഗുണനഫലം ആയിരിക്കണം. തന്നെയുമല്ല, ഈ രൂപത്തിലുള്ള എല്ലാ സമബഹുഭുജങ്ങളേയും ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിപ്രകാരം നിര്‍മ്മിക്കാം.

ഇതുപ്രകാരം 3, 4, 5, 6, 8, 10, മുതലായ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളെ ഇങ്ങനെ നിര്‍മ്മിക്കാം. 7, 9, 11, 13, 14, മുതലായ വശങ്ങളുള്ളവയെ പറ്റില്ലതാനും.

-- ഫിലിപ്പ്

ഗായത്രി June 6, 2010 at 6:40 AM  
This comment has been removed by the author.
ഗായത്രി June 6, 2010 at 6:42 AM  

Any regular polygon can be drawn using a straightedge, compass, and protractor. In ancient Greece, it was the custom to attempt to draw regular polygons using only a straightedge and compass. Since the Mira is equivalent to a compass for many of its functions, we shall also include the Mira. Gauss found that any regular polygon of n sides can be constructed with an unmarked ruler and a compass if all of the following conditions are met:
Each odd factor of n is unique.
Each odd factor of n is prime.
Each odd factor of n is of the form
2^2 k + 1, for some integer k
This expression takes on the following values for different substitutions for k.
k 0 1 2 3 4 5
2^2 k + 1 3 5 17 257 65537 4294967297
Of the six numbers shown, all but the last are prime. Therefore, the numbers 3, 5, 17, 257, and 65537 can all be factors of n, where n is the number of sides of a regular polygon. However, there can be no other odd factors of n.
It would be possible to construct a regular 60-sided polygon with a compass and a straightedge, since the only odd factors of 60 are 3 and 5, and each different odd factor is unique. On the other hand, it is impossible to construct a regular 100-sided polygon with a compass and a straightedge, since 100 has more than one factor of 5. A 21-sided regular polygon cannot be constructed with compass and straightedge because 21 has an odd factor of 7, which is not in the table above.
The values of n less than 100 for which a regular n-sided polygon can be constructed using only a compass and straightedge are listed below:
3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24
30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96
If a regular polygon has the number of its sides other than in the above list, it can be constructed by using a protractor in addition to the compass and straightedge. In each case, a circle is drawn, the circle is divided into a number of arcs equal to the number of sides of the regular polygon, and the endpoints of the arcs are connected together with segments. To construct a regular nonagon (9 sides) mark off 40 degrees of arc around the circle for each side and connect the mark

MURALEEDHARAN.C.R June 6, 2010 at 7:37 AM  

സമസപ്തഭുജ ഉള്‍പ്പെടെയുള്ള
​​എല്ലാ തരം സമ ബഹുഭുജങ്ങളുടേയും ിര്മ്മിതി
ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഒരു training (DRG at pala )ല്‍ മോഹനന്‍ മാസ്ററര്‍ (കണ്ണൂര്‍) പറഞ്ഞു തന്നിരുന്നു (സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണംനിര്‍മ്മിച്ച്...........)
സമചതുരം,സമപഞ്ചഭുജം,സമഷഡ്ഭുജം എന്നിവ വരച്ചുനോക്കിയപ്പോള്‍ ശരിയായി കിട്ടി സമസപ്തഭുജം വരച്ചുനോക്കിയിട്ടില്ല ശരിയാകും എന്നാണ് പറഞിരുന്നത് എന്തായാലും വരച്ചു നോക്കട്ടെ

June 6, 2010 7:34 AM

JOHN P A June 6, 2010 at 9:28 AM  

ഗണിതത്തെ അതിന്റെ സമഗ്രതയില്‍ തന്നെ നോക്കിക്കാണുന്ന അഞ്ചന ടീച്ചര്‍ ബ്ലോഗിന്റെ ഒരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാണ്.
ഗവേഷകനായ ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ കമന്റുകള്‍ ഓരോ പഠനപ്രോജക്ടുള്‍ തന്നെ.കണ്ണന്‍ സാര്‍ കൂടി വന്നേ പറ്റു. ഞങ്ങളുടെ ആഗ്രഹമാണു
Let me see the construction of a regular heptagon. This is not an independent one. We can inscribe it in a circle
With centre O draw a circle.Draw a diameter AB .With center A and radius AO draw an arc cutting the circle at E and F.Draw a line EF cutting AO in G.Then EF or FG is the length of the side of the heptagon
Therefore ,from any point on the circle say A,step off divisions equal to EG around the circle
Join the points and obtain the figure

Janardanan c m June 6, 2010 at 5:43 PM  

@ John sir

In your comment
Then EF or FG is the length of the side of the heptagon

I think you mean
Then EG or FG is the length of the side of the heptagon

Janardanan c m June 6, 2010 at 6:01 PM  

@ bhama teacher

"ഷഡ്ഭുജം ആണ് സാധാരണ foot ball ല്‍ കാണുന്നത്. tessalations ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്"

Please look the answer given by vijayan sir in the previous post

Krishnan June 6, 2010 at 6:02 PM  

Straightedge (unmarked ruler) ഉം compass ഉം മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരയ്ക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് അഞ്ജന, ഗായത്രി, ഫിലിപ്പ് ഇവരുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അസ്സലായി--വിശദവും, സമഗ്രവും. ഒരേയൊരു കാര്യം കൂടി: ഈ ഉപകരണങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുക എന്ന നിയന്ത്രണത്തിനു കാരണം, യൂക്ലിദിന്റെ axioms ല്‍ വരയും വൃത്തവും വരയ്ക്കുന്ന കാര്യം മാത്രമേ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളു എന്നതാണ്. (യൂക്ലിദിന്റെ Elements നോക്കുക.)

ഇനി ജനാദ്ദനൻ മാഷിന്റെ ഫുട്ബാള്‍ ചോദ്യം. ഈ
web-page നോക്കുക

Hari | (Maths) June 6, 2010 at 6:57 PM  

കഴിഞ്ഞ 6 ദിവസങ്ങളായി ബ്ലോഗിലേക്ക് വരാന്‍ പോലും സാധിച്ചില്ലെങ്കിലും സര്‍വ്വാദരണീയനായ കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്‍റെ സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വാര്‍ത്ത എന്നെ ഫോണില്‍ വിളിച്ച പല അധ്യാപകരില്‍ നിന്നും അറിയാന്‍ കഴിഞ്ഞു. ഞങ്ങളൊരുപാട് ആഗ്രഹിച്ചിരുന്ന ഒരു കാര്യമായിരുന്നു ഇത്. നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന് കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്‍റെ ഒരു മേല്‍നോട്ടം.. പാഠപുസ്തകത്തെക്കുറിച്ചും ചോദ്യപേപ്പറിനെക്കുറിച്ചുമൊക്കെയുള്ള നമ്മുടെ അധ്യാപകരുടെ പ്രതികരണങ്ങള്‍ പാഠപുസ്തകനിര്‍മ്മിതിയിലെ അനിഷേധ്യസ്ഥാനത്ത് വിരാജിക്കുന്ന അദ്ദേഹത്തെ അറിയിക്കാന്‍ ഇതിലും നല്ല മറ്റെന്ത് സാധ്യതയാണുള്ളത്? പലരും പറയുന്ന പ്രശ്നം, എഴുതണമെന്നുണ്ട്, പക്ഷെ, മലയാളം ടൈപ്പിങ് അറിയില്ലായെന്നുള്ളതാണ്. വിഷമിക്കേണ്ട. ഇംഗ്ലീഷിലോ മംഗ്ലീഷിലോ കമന്‍റ് ചെയ്യാമല്ലോ. അതുമല്ലെങ്കില്‍ എഴുതി സ്കാന്‍ ചെയ്ത് mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് അയച്ചു തന്നാല്‍ മതിയാകും. നമുക്ക് പ്രശ്നം നേരിടുന്ന മേഖലകളെ, വിശദീകരണം ആവശ്യമായ മേഖലകളെ കമന്റിലൂടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് വിധേയമാക്കിയാല്‍ നല്ലൊരു പരിഹാരം ലഭിക്കുമെന്നതില്‍ സംശയിക്കേണ്ടതില്ല. അതുകൊണ്ട് ഉടനെ തന്നെ ചര്‍ച്ചകളില്‍ പങ്കെടുക്കാന്‍ താല്പര്യമുള്ളവര്‍ കമന്റ് ചെയ്യുന്ന രീതി പരീക്ഷിച്ചു നോക്കുമല്ലോ.

Hari | (Maths) June 6, 2010 at 7:11 PM  

ഓരോ പോസ്റ്റിനും അനുബന്ധമായുള്ള ചര്‍ച്ചകളില്‍ കൂടുതല്‍ ചിന്തകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന കമന്റുകള്‍ നല്‍കുന്നഫിലിപ്പ് സാര്‍ , അഞ്ജന ടീച്ചര്‍ , ഗായത്രി എന്നിവരോട് എത്ര നന്ദി പറഞ്ഞാലും മതിയാവുകയില്ല. നിങ്ങളുടെ ഓരോ കമന്റും ഓരോ പ്രൊജക്ടായിട്ടാണ് പലപ്പോഴും വെറും വായനക്കാരനായി മാത്രം നില്‍ക്കേണ്ടി വരുന്ന എനിക്ക് അനുഭവപ്പെടുന്നത്. ഉയര്‍ന്ന ഗണിതചര്‍ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നവരുടെ ദാഹമകറ്റാന്‍ വിജ്ഞാനസമ്പുഷ്ടമായ ഈ കമന്റുകള്‍ മാറുന്നുവെന്നതില്‍ ഞങ്ങളും അഭിമാനിക്കുന്നു.. ഒരായിരം നന്ദി.

വി.കെ. നിസാര്‍ June 6, 2010 at 7:32 PM  

ജോണ്‍ സാര്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഹെപ്റ്റഗണിന്റെ നിര്‍മ്മിതി ഇതല്ലേ?

Hari | (Maths) June 6, 2010 at 7:40 PM  

കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്,

ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ ഒന്നാം പാഠം ക്ലാസില്‍ അവതരിപ്പിച്ചു തുടങ്ങി. ചോദ്യങ്ങളുടെ അമിതപ്രസരം എന്ന ഒറ്റക്കാരണം കൊണ്ടു തന്നെ കഴിഞ്ഞ ടെക്സ്റ്റ് ബുക്കിനോട് അധ്യാപകര്‍ക്ക് അത്രയൊന്നും താല്പര്യം ഉണ്ടായിരുന്നില്ലായെന്നുള്ളതാണ് (?) എന്‍റെ അറിവ്. നിശ്ചിത സമയപരിധിക്കുള്ളില്‍ നിന്നുകൊണ്ട് പാഠഭാഗങ്ങളെ കുട്ടികളിലേക്കെത്തിക്കുന്നതിന് ഈ ചോദ്യപ്പെരുമഴ പലപ്പോഴും കാലതാമസം വരുത്തിയിരുന്നുവെന്നുള്ളത് എന്‍റെ കൂടി ഒരു പരാതിയാണ്. പക്ഷെ ഇത്തവണ അവതരണരീതിയില്‍ പലയിടത്തും പുതുമയുണ്ട്. ഇപ്പോഴാണ് പാഠപുസ്തകം കുട്ടിയോട് സംസാരിച്ചു തുടങ്ങിയതെന്നാണ് എന്‍റെ അഭിപ്രായം. പ്രത്യേകിച്ച് ത്രികോണത്തില്‍ നിന്ന് ചതുര്‍ഭുജത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണത്തിലേക്ക് - അവിടെ നിന്ന് വീണ്ടും ത്രികോണസഹായത്തോടെ പഞ്ചഭുജത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണം... ഐ.സി.ടി സാധ്യത ഇവിടെയാണ് നമുക്ക് പരമാവധി വിനിയോഗിക്കാനാവുക. സൈഡ് ബോക്സുകള്‍ പരമാവധി കുട്ടിയെയും അധ്യാപകനെയും സഹായിക്കുന്നുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് 14, 15 പേജുകളിലെ 'ഈര്‍ക്കില്‍ക്കണക്കും', ചുരുങ്ങിച്ചുരുങ്ങി' എന്നീ തലക്കെട്ടുകളോടെ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടവ. ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയില്‍ നിന്നും ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ തുകയിലേക്കെത്തുന്നത് കുട്ടിക്ക് സ്വയം പരീക്ഷണങ്ങള്‍ക്ക് വക നല്‍കുന്നു. 8-ം തരത്തിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ വിശദീകരണങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ ഉത്തരം നല്‍കാതെ ചോദ്യങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് നല്‍കിയിരുന്നതെങ്കില്‍ ഇത്തവണ ചോദ്യത്തോടൊപ്പം പലയിടത്തും ഉത്തരങ്ങള്‍ കൂടി നല്‍കിയിരിക്കുന്നത് നാവുപിഴയൊഴിവാക്കാന്‍ ഇടനല്‍കുമെന്നതുകൊണ്ടുതന്നെ സ്വാഗതാര്‍ഹമാണ്. അനാവശ്യമായി ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ 'ലൈഫ് സിറ്റ്വേഷനുകള്‍' കുത്തിത്തിരുകല്‍ പ്രവണത ഒഴിവാക്കാനുള്ള ശ്രമം ഇത്തവണ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടെന്ന് ആദ്യപാഠത്തെ മുന്‍നിര്‍ത്തി സധൈര്യം പറയാം. ഉള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ നേരിട്ടുള്ളവയാണ്.

ഫിലിപ്പ് June 6, 2010 at 8:45 PM  

ജോണ്‍ സാര്‍,

ഇങ്ങനെ നിര്‍മ്മിച്ചുകിട്ടുന്നത് സപ്തഭുജം ആണെന്ന് തെളിയിക്കുകകൂടി വേണ്ടേ? ഉദാഹരണത്തിന്, EGക്കു തുല്യമായ നീളത്തില്‍ വൃത്തത്തില്‍ വശങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തി വന്നാല്‍ ഏഴാമത്തെ വശം ആദ്യത്തെ വശത്തിന്റെ തുടക്കത്തില്‍ത്തന്നെ വന്നു മുട്ടും എന്ന് വ്യക്തമാണോ?

-- ഫിലിപ്പ്

Shamsudeen June 6, 2010 at 9:43 PM  

പൈത്തണ്‍ സോഫ്റ്റ് വെയറല്ല, പൈതണ്‍ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയാണ് കുട്ടികള്‍ പഠിക്കുന്നത്.

JOHN P A June 6, 2010 at 10:05 PM  

ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ ചോര്യത്തെക്കുറിച്ച് അല്പം ആലോചിക്കണം , പിന്നെ പറയാം
വരച്ചുവച്ചിരിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തെ ത്രികോണീകരിച്ചല്ല
(n - 1)*180 എന്നു സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നത്.​ത്രികോണങ്ങള്‍ ചേര്‍ന്ന് ബഹുഭുജങ്ങളുണ്ടാകുന്ന കാഴ്ച.
(n - 1)വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തോട് അനുയോജ്യമായവിധം ഒരു ത്രികോണത്തെ ചേര്‍ക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ,അതിന്റെ
n - 2 വശങ്ങല്‍ നിലനില്‍ക്കുകയും ഒരുവശം ത്രികോണവശവുമായി ചേരുന്ന കാഴ്ച കുട്ടി അറിയുന്നു.അപ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്നത് (n - 2) + 2 വശം അതായത് n വശമാണ്.
ഉതിനനുക്രമമായി കോണ്‍തുകയ്ക്കുണ്ടാകുന്ന മാറ്റം, രൂപീകൃതമാകുന്ന പാറ്റേണ്‍ ...
സംശയമില്ല .ചിന്തയുടെ സ്വാഭാവികവള്‍ച്ച സാധ്യമാക്കുന്ന പാഠപുസ്തകം തന്നെ.

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:12 PM  


1) Draw a circle of suitable radius

2)Mark any one diameter on the circle

3) Draw a radius perpendicular to the diameter

4)Divide the radius in to 4 equal parts

5) Extend the radius to outside the circle to a distance equal to three of those parts.

6) Then divide the diameter to circle into the same number of equal parts as the polygon is to have sides.

7) Then from the end of the radius extended outside, as described in step 5, through the second division in the diameter, draw a line cutting the circumference

8) Join this point in the circumference to the nearest end of the diameter

9)This line thus joined in step 8 will be the side of the required regular polygon

10)Take this length in the compass and step off on the circumference of the circle the remaining number of sides and draw connecting lines, then you will get the required regular polygon

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:18 PM  

There is a simple mistake in step (6)

6) Then divide the diameter of the circle into the same number of equal parts as the polygon is to have sides.

Janardanan c m June 7, 2010 at 10:21 PM  

Gayathri please clarify the step no: 6

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:28 PM  

CLICK HERE

Janardanan c m June 7, 2010 at 10:35 PM  

Divide the diameter of the circle into the same number of equal parts as the
polygon is to have sides .Here we are constructing Regular Heptagon so
divide the diameter in to 7 equal parts

My question is how do you devide the diameter in 7 equal parts with a compas and a non marked scale-ecribe

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:49 PM  

By Use Of Compasses

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:53 PM  

@ Janardhanan sir

നാളെ പരീക്ഷ ഉണ്ട് സര്‍.ഒന്ന് ബ്ലോഗില്‍ കയറി നോക്കിയതാണ് . Good night sir

ഗായത്രി June 7, 2010 at 10:54 PM  

@ Janardhanan sir

നാളെ പരീക്ഷ ഉണ്ട്.
Good night sir

Janardanan c m June 7, 2010 at 10:56 PM  
This comment has been removed by the author.
Janardanan c m June 7, 2010 at 11:00 PM  

ഗായത്രിക്ക് പരീക്ഷ ആണ്. വേറെ ആരും ഇല്ലേ ഇവിടെ.മാത്സ് ബ്ലോഗ് ടീം എവിടെ നിങ്ങളൊക്കെ

JOHN P A June 7, 2010 at 11:25 PM  

ഇപ്പോഴാണ് കറണ്ട് വന്നത് സാര്‍

Janardanan c m June 8, 2010 at 8:27 AM  

Is it by trial and error method.
I want at least one of the set squires too.

Anoop June 8, 2010 at 4:00 PM  

@Janardanan Sir

സ്കൂളില്‍ പഠിച്ച രീതി ഇത് പോലെയായിരുന്നു:

http://www.mathopenref.com/constdividesegment.html

Janardanan c m June 8, 2010 at 8:14 PM  

Thank you Mr.Anoop
ഞാന് 1970 ലാണ് സ്ക്കൂളില് പഠിച്ചത്.അന്ന് പഠിച്ച രീതി ആദ്യം ചരിച്ചു വരച്ച രേഖ കോമ്പസ്സുപയോഗിച്ച് നിശ്ചിത ഭാഗങ്ങളാക്കുകയും അവസാനത്തെ ബിന്ദുവില് നിന്ന് നമ്മുടെ രേഖയുടെ അറ്റത്തേക്ക് ഒരു രേഖ വരച്ച് പിന്നീട് ഈ രേഖക്ക് സമാന്തരമായി അടയാളപ്പെടുത്തിയ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ രേഖകള് വരയ്ക്കുക.അതു കൊണ്ടാണ് അത്തരത്തിലൊരു സംശയം വന്നത്.thank you once more

ഗായത്രി June 8, 2010 at 10:12 PM  

@ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍

ഇന്നലെ തിരക്ക് ആയിരുന്നത് കൊണ്ട് ആണ് വിശധീകരിക്കാതെ പോയത്.അനൂപേട്ടന്‍ കാണിച്ച രീതി നോക്കിയില്ലേ.അതിനു കോമ്പസും ഒരു അങ്കനം ചെയ്യാത്ത ഒരു ദണ്ഡും മാത്രം മതി .ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സില്‍ അനുപാതം ജ്യാമിതിയില്‍ എന്നാ ഒരു പാഠ ഭാഗം ഉണ്ടായിരുന്നു .അവിടെ ഒരു രേഖയെ തുല്ല്യ ഭാഗം ആക്കാന്‍ പഠിച്ചിരുന്ന രീതി ആണ്

സാറ് പറഞ്ഞ രീതിയിലും ചെയ്യാം.ശരിക്കും സാറ് പറഞ്ഞ രീതിയാണ്‌ ടെക്സ്റ്റ്‌ ബുക്ക്‌ അവലംബിച്ചിരിക്കുന്നത് .

എന്തായാലും ഒരു കാര്യം പറഞ്ഞെ മതിയാകു
സാറിന്റെ ഗണിത താല്പര്യം പ്രശംസനീയം തന്നെ.
ഓരോ കാര്യങ്ങള്‍ അറിയാന്‍ സാറ് കാണിക്കുന്ന താല്പര്യം കാണുമ്പോള്‍ കുട്ടികളെ ഓര്മ വരും .അവരില്‍ കാണുന്ന ഉല്കണ്ട സാറിലും കാണാം.
ഇന്ന് നമുടെ ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ പോസ്റ്റ്‌ കണ്ടോ .നന്നായിരിക്കുന്നു അല്ലെ .നല്ല അറിവുള്ള സാറിന്റെ ഭാഷ കണ്ടോ എത്ര വിനയത്തോടെ ആണ് അല്ലെ.അഞ്ജന ചേച്ചി , ഫിലിപ്പ് സര്‍ , ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ അങ്ങിനെ ബ്ലോഗിലെ പലരും ശരിക്കും ഒരു മുതല്‍ കൂട്ടാണ്

ഗായത്രി June 8, 2010 at 10:14 PM  

@ Anoopettan

അനൂപേട്ട എവിടെ പോയി ഇത്ര കാലം .ഞങ്ങളെ ഒക്കെ മറന്നോ ?

Janardanan c m June 8, 2010 at 10:45 PM  

Thank you Gayathri
Where is Hitha
Iam not like a student, surely i am a student who would like to learn from any body.

MADHU_haritham June 9, 2010 at 10:42 PM  

XI ,XII ക്ലാസ്സുകളിലെ പാഠഭാഗങ്ങളില്‍ ചര്‍ച്ചകള്‍ ഒന്നും ഇല്ലേ?
ഒരു ഹയര്‍ സെക്കന്ററി അധാപകന്‍(പിക ?) എന്ന നിലയില്‍ ഞങ്ങള്‍ നേരിടുന്ന പ്രശ്നം കണക്കില്‍ എ ഗ്രേഡ് കിട്ടി വരുന്ന കുട്ടിക്കും അടിസ്ഥാന ധാരണകള്‍ ഉറച്ചിട്ടില്ല എന്നതാണ്..?

പ്രോജെച്ടുകളും സെമിനാറുകളും ഒക്കെ പലപ്പോഴും ഭൂരിഭാഗം പിള്ളാരുടെ തലയ്ക്കു മുകളിലൂടെയാണോ നടക്കുന്നത്?

Maths Blog Team June 10, 2010 at 10:21 PM  

കുറച്ചുദിവസമായി ഹരി നിസാര്‍ മാഷന്മാരെ ബ്ലോഗില്‍ കാര്യമായി കാണാത്തതിനു കാരണംഇതാണ്

sha June 10, 2010 at 10:41 PM  

@മധു സാര്‍
ഹയര്‍ സെക്കന്ററി സാരെന്മാരെ ഇവിടെ തിരയുന്ന താങ്കള്ക് തെറ്റി .അടുത്തുള്ള കോച്ചിംഗ് സെന്റെറില്‍ പോയി നോക്കിയാല്‍ കാണും .പിന്നെ സ്കൂള്‍ മാഷെന്‍ മാരുടെ ബ്ലോഗ്‌ കണ്ടു ഇതിലും വലുത് ഹയര്‍ സെക്കന്ററി കാരക് ഉണ്ടാകുമെന്ന് കരുതി തപ്പിയിട്ടു ഒന്ന് പോലും തടഞ്ഞില്ല സാറേ .നിങല്ക് ഇതിലും വലിയ കാര്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടല്ലോ കൂടാതെ ഗ സ റ്റ ഡു റാങ്ക് അല്ലേ ഇതൊക്കെ മോശം പണിയല്ലേ .
അവിടെ കുറേ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ മാശന്‍ മാര്‍ ഉണ്ടല്ലോ അവര്കെല്ലാം എന്താ പണി??.ഈ സൈറ്റ് ഒന്ന് കാണിച്ചു കൊടുക്കണേ.

Janardanan c m June 10, 2010 at 10:46 PM  

ജിയോജിബ്രയില്‍ വരച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍ ആവശ്യമില്ലാത്ത ഭാഗം തൂത്ത് കളയാന്‍ എന്തെങ്കിലും മാര്‍ഗ്ഗമുണ്ടോ?

Anjana June 11, 2010 at 12:11 AM  

ശ്രീ ജനാര്ദ്ധനന്‍ സര്‍, ഒരിക്കല്‍ എനിക്കും ഇങ്ങനെയൊരു ആവശ്യം വന്നു. ഞാന്‍ പരതിയിട്ടു Eraser ടൂള്‍ എവിടെയും കണ്ടില്ല. പകരം ഞാന്‍ ഇനി പറയുന്ന വിദ്യ പ്രയോഗിച്ചു:
Move tool ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള drawing സെലക്ട്‌ ചെയ്തു; അതിനു ശേഷം File menu - ല്‍ ചെന്ന് export - ലെത്തി. തുടര്‍ന്നു graphic views to clipbord - ല്‍ click ചെയ്തു. പിന്നീട് ഒരു Image manipulation programme ( like GIMP or PAINT ) -ല്‍ paste ചെയ്തു മതിവരുവോളം മായ്ച്ചു രസിച്ചു! സര്‍, ഇത് ഒരു വളഞ്ഞ വഴിയാണ്, ഇങ്ങനെയായിരിക്കില്ല ഇത് ചെയ്യേണ്ടത് . എന്തായാലും ഇവിടെ ഒരുപാടു experts സന്ദര്‍ശിക്കുന്നതല്ലേ, ആരെങ്കിലും നമ്മെ നേര്‍വഴിക്കു നയിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം!

Krishnan June 11, 2010 at 11:42 AM  

Right clicking on any object created in GeoGebra brings up a context menu which contains the "Delete" option. The GeoGebra manual can be downloaded here

Ramanujam June 12, 2010 at 9:24 PM  

ഞാന്‍ ആദ്യമായാണ് ഈ ബ്ലോഗില്‍.
സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്താം
രാമാനുജം
ഒരു +2 അധ്യാപകന്‍
വീട് പാലക്കാട്‌
കോച്ചിംഗ് സെന്റ്റെരില്‍ പോകുന്നില്ല
ഈ ബ്ലോഗിനെക്കുറിച്ച് നേരത്തെ കേട്ടിരുന്നു, കഴിഞ്ഞദിവസം കൃഷ്ണന്‍ സരിന്റ്റെ ഒരു മെയിലില്‍ നിന്നാണ് ലിങ്ക് കിട്ടിയത്
ചര്‍ച്ചകള്‍ നന്നാവുന്നുണ്ട്
ഇനിയും കാണാം

Maths Blog Team June 13, 2010 at 7:57 AM  

ടെക്സ്റ്റ് ബുക്ക് നിര്‍മ്മാണത്തിലും കോര്‍ എസ്.ആര്‍.ജിയായും
തിളങ്ങുന്ന രാമാനുജം സാറിനെക്കുറിച്ച് ഏറെ കേട്ടിരുന്നു...
സന്തോഷമായി!
തുടര്‍ന്നും കൂടെയുണ്ടാകുമല്ലോ?

bhama June 13, 2010 at 9:20 AM  

@ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍,
ജിയോജിബ്രയില്‍ ആവശ്യമില്ലാത്തതുകളയാന്‍ ആ ഭാഗം move tool ഉപയോഗിച്ച് സെലക്ട് ചെയ്ത് കിബോര്‍ഡിലെ delete key press ചെയ്യുക.

or

select the portion with mouse by clicking on the object and press delete key.

subhash December 7, 2010 at 8:51 PM  

plz give more on the items used in the maths mela

♡ Copying is an act of love. Love is not subject to law. - 2016 | Disclaimer