ഉപജില്ലാ കലോത്സവ ഫലങ്ങള്‍ "Results" പേജില്‍...

സംസ്ഥാന സ്കൂള്‍ ശാസ്ത്രോത്സവ ഫലങ്ങള്‍

MID DAY MEAL - Monitoring : Directions for online entry | Website

സമാന്തരശ്രേണി പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍

>> Monday, May 16, 2011

പത്താം ക്ലാസിലെ ആദ്യ യൂണിറ്റായ സമാന്തരശ്രേണികളെക്കുറിച്ചുള്ള ആമുഖപോസ്റ്റ് വായിച്ചല്ലോ. ഇനി പത്താം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തക നിര്‍മ്മാണ സമിതി ചെയര്‍മാനായ കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ അയച്ചുതന്ന ഏതാനും ചോദ്യങ്ങളാണ് ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. ചോദ്യങ്ങളെല്ലാം സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ നിന്നാണ്. പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ സത്തയും സമീപനവും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നവയാണ് ഈ ചോദ്യങ്ങള്‍. ഇവ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാന്‍ ശ്രമിക്കുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ തന്നെ സഹായിക്കാനെത്തുമെന്ന് നമുക്കുകരുതാം. പുതിയ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും മൂല്യനിര്‍ണ്ണയ ചോദ്യങ്ങള്‍ പുസ്തകരചയിതാക്കളില്‍ നിന്നും ലഭിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടും അഭികാമ്യമാണ്. എസ്സ് ആര്‍ ജി, ഡി.ആര്‍ .ജി പരിശീലന സമയങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്ന എല്ലാവരോടും തന്നെ ഇക്കാര്യം അഭ്യര്‍ഥിച്ചിരുന്നു. അവരുടെ സഹകരണം നമുക്കുണ്ടാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം. പാഠപുസ്തകത്തിലെ ആദ്യ അധ്യായം പരിശീലിച്ചവര്‍ക്ക് ഈ പോസ്റ്റ് നന്നായിരിക്കും. കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങള്‍ ചുവടെ നിന്നും ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം.

ഈ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കൊപ്പം ചര്‍ച്ചചെയ്യേണ്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ അധ്യാപകര്‍ക്കുള്ള ഹാന്റ്ബുക്കിലുണ്ട് . അവ ഓരോന്നായി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു പോസ്റ്റിലുള്ള നാലാമത്തെ ചോദ്യം H B യില്‍ നിന്നല്ല.

  1. പദങ്ങളെല്ലാം എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളായ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ആനേകം പദങ്ങളുണ്ട് . അവയിലൊരെണ്ണം പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായാല്‍ പൂര്‍ണ്ണ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളായ അനേകം പദങ്ങള്‍ ആ ശ്രേണിയില്‍ ഉണ്ടാകുമെന്ന് സ്ഥാപിക്കുക.ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം പോലുമില്ലാത്ത പദങ്ങളെല്ലാം എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളായ ശ്രേണി ഉണ്ടാകുമോ?
  2. 2, 6, 10 ,....142 എന്ന സംഖ്യാശ്രേണിയിലെ പദങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാന്ത്രീകചതുരം നിര്‍മ്മിക്കുക. മാന്ത്രീകചതുരത്തിന് ഓരോ വരിയിലും നിരയിലും എത്ര കളങ്ങള്‍ വേണം? മാന്ത്രീക ചതുരം നിര്‍മ്മിക്കുക.
  3. ഒരു സര്‍ക്ക്യൂട്ടില്‍ ശ്രേണിയില്‍ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പതിനഞ്ചു പ്രതിരോധകങ്ങള്‍ ഇവയാണ്. 1Ω, 2Ω, 3Ω, ..... 15Ω. (യൂണിറ്റ്, Ω = ഓം). സര്‍ക്ക്യൂട്ടില്‍ ഒരു ബാറ്ററിയുണ്ട്. വോള്‍ട്ട് മീറ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ച് നോക്കിയപ്പോള്‍ 3Ω നിടയില്‍ 4 വോള്‍ട്ടും , 12Ω നിടയില്‍ 16 വോള്‍ട്ടും കണ്ടു. 1Ω നിടയിലുള്ള വോള്‍ട്ടത എത്ര? ബാറ്ററിയുടെ emf എത്ര?
  4. അഭിന്നകസംഖ്യകളായ √2 , √3 , √5 എന്നിവ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തന്നെ പദങ്ങളാകുമോ? നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായം ഗണിതപരമായി സമര്‍ഥിക്കുക

കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

ജോണ്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ചോദ്യങ്ങള്‍

161 comments:

MURALEEDHARAN.C.R May 16, 2011 at 7:32 AM  

അഭാജ്യസംഖ്യകളായ √2 , √3 , √5 എന്നിവ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തന്നെ പദങ്ങളാകുമോ? നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായം ഗണിതപരമായി സമര്‍ഥിക്കുക


അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ 2,3,5 എന്നിവ അല്ലേ
√2 , √3 , √5 എന്നിവ അഭിന്നകങ്ങളല്ലേ

jasmine May 16, 2011 at 12:44 PM  

നാലാമത്തെ ചോദ്യം കിട്ടുന്നില്ല. ഇത് തെളിയിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് പറയുമോ?

ഡ്രോയിങ്ങ് മാഷ് May 16, 2011 at 2:59 PM  

ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി. പോസ്റ്റിന്റെ ഭാഗമായുള്ള നാല് ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ സഹായിക്കാമോ?

Raziman T V | റസിമാന്‍ ടി വി May 16, 2011 at 3:12 PM  

Answer to question 1:

Let the common difference be d. Now, as all the terms of the sequence are positive, d>=0.

Let one of the terms of the sequence - say the i_th term - be a^2 (A term is square is given). Claim: (a+d)^2 is also a term of the sequence.

Proof:

(a+d)^2
= a^2 + 2ad +d^2
= a^2 + d(2a+d)
= (i+2a+d)_th term of the sequence

By induction, it is seen that for all n in N, (a+nd)^2 is a term of the sequence

QED

About the second part, consider the sequence 2,7,12,17.... The last digit of a square number cannot be 1,2,7 or 8. Hence no term of this sequence can be a square.

QED

Raziman T V | റസിമാന്‍ ടി വി May 16, 2011 at 3:22 PM  

Answer to Q2:

As there are 36 terms, the magic square has to be 6x6. The way to do this problem would be to generate a 6x6 magic square using the numbers 1,2,3...36 using any standard method (eg: http://www.grogono.com/magic/6x6.php) and then replace x by 4*x-2 in each cell. It is easily seen that this transformation leaves the original magic square as magical

Raziman T V | റസിമാന്‍ ടി വി May 16, 2011 at 3:27 PM  

Answer to Q3:

(Isn't this easy?) Voltage across resistors in a series connection is directly proportional to the resistance. S if 3 ohm -> 4 volts, 1 ohm -> 4/3 volts

Answer to Q4:

if a,b,c have to be elements of some AP, (b-a)/(c-b) has to be rational

(√3-√2)/(√5-√3)
=(√3-√2)(√5+√3)/(√5-√3)(√5+√3)
=(√15+3-√10-√6)/2
which is irrational

Hence they cannot be terms of the same AP

സോമലത ഷേണായി May 16, 2011 at 3:45 PM  

റാസിമാന്‍ സാര്‍,
രാവിലെ പബ്ളിഷ് ചെയ്ത ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് വൈകുന്നേരം മൂന്നു മണി വരെയായിട്ടും ഉത്തരങ്ങള്‍ക് കാണാത്തപ്പോള്‍ ത്തന്നെ ചോദ്യങ്ങള്‍ അല്പം ഹാര്‍ഡാണെന്നു തോന്നിയിരുന്നു. ആദ്യത്തെയും നാലാമത്തെയും ചോദ്യം ചെയ്യാന്‍ സാധിച്ചിരുന്നില്ല. ആദ്യത്തെയും നാലാമത്തെയും ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടിയിരുന്നില്ല. ഉത്തരങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി.

jasmine May 16, 2011 at 3:54 PM  

ഡ്രോയിഗ് മാഷേ, ഒരു പുലിക്കുട്ടി വന്ന് പുല്ലുപോലെ തെളിയിച്ചതുകണ്ടില്ലേ. അവനൊരു ശിങ്കം തന്നെ

JOHN P A May 16, 2011 at 4:11 PM  

സമാന്തശ്രേണി എന്ന പാഠത്തിലെ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ചോദ്യമായാണ് പ്രതിരോധകപ്രശ്നം HB യില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് .രണ്ടുപദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതുവ്യത്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നുള്ള വസ്തുത ഉപയോഗിക്കാം. പിന്നെ ഓം നിയമത്തിന്റെ പ്രസക്തി ചര്‍ച്ചചെയ്യാം . പിന്നെ.....

Hari | (Maths) May 16, 2011 at 4:17 PM  

റസിമാന്‍ ഒരു പ്രതിഭയാണെന്ന കാര്യം ആര്‍ക്കും തര്‍ക്കമില്ലാത്തതാണ്. ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ കണ്ടെത്താനും റസിമാന്‍ മിനിട്ടുകള്‍ പോലും എടുത്തിട്ടുണ്ടാകില്ല. ഈ മിടുക്കനായ കുട്ടി നമുക്കൊപ്പമുള്ളത് മാത്​സ് ബ്ലോഗിന് അഭിമാനമാണ്.ധൈര്യമാണ്.

teenatitus May 16, 2011 at 4:19 PM  

ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്‌ രാവിലെ തന്നെ കണ്ടിരുന്നെങ്കിലും നെറ്റ് പ്രോബ്ലം കാരണം കമന്റ്‌ ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയില്ല .കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ വളരെ വ്യെത്യസ്തത പുലര്‍ത്തുന്നു .നമ്മള്‍ കണ്ടു പരിചയിച്ച ചോദ്യങ്ങളില്‍ നിന്നും കൂടുതല്‍ ചിന്തിപ്പിക്കുന്ന രീതിയിലേക്ക് സമാന്തര ശ്രേണി എന്ന ആശയത്തെ കൊണ്ടുവരാന്‍ പുതിയ പുസ്തകത്തിലുടെ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. കൃഷ്ണന്‍ സാറിനും പുസ്തകത്തിന്റെ മറ്റു സില്പികള്‍ക്കും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ .കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ മികച്ച നിലവാരം ഉള്ളത് തന്നെ .എന്നാല്‍ കുറച്ചു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ട് .എങ്കിലും ചെയ്തു നോക്കി ആന്‍സര്‍ കിട്ടാന്‍ വേണ്ടി ശ്രെമിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുന്നു .ഇവ കുട്ടികള്‍ക്ക് വളരെ പ്രേയോജനപെടും എന്നതില്‍ സംശയം ഇല്ല .

സമാന്തര ശ്രേണിയില്‍ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ എളുപ്പത്തില്‍ കുട്ടികള്‍ ഉത്തരത്തിലെക്ക് എത്തുന്നു എന്നാല്‍ സ്കൂളില്‍ പല ഗണിതധ്യാപകരും പഴയ ഫോര്‍മുല തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നു . കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് നിര്‍ബന്ധം ഉണ്ടോ ?

JOHN P A May 16, 2011 at 5:13 PM  

ടീന ടീച്ചറിന്റെ കമന്റിന്റെ അവസാനഭാഗം കണ്ടപ്പോള്‍ ഒരു കാര്യം ഓര്‍മ്മവന്നു. കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ ക്ലാസില്‍ പറയുന്ന കാര്യം. ഭാസ്ക്കരാചാര്യയുടെ വാക്കുകളാണ് അദ്ദേഹം പറയാറുള്ളത്. ബുദ്ധിയും ചിന്തയും ഉള്ളവര്‍ അതുപയോഗിക്കുന്നു. അല്ലാത്തവര്‍ ബീജഗണിതവും. പിന്നെ അദ്ദേഹം കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കും. സാമാന്യബുദ്ധി പോരാതെ വരുമ്പോള്‍ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചേ പറ്റൂ. ബാക്കി കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ തന്നെ പറയട്ടെ.

Krishnan May 16, 2011 at 6:48 PM  

@teenatitus

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന്‌ ജോണ്‍ സാര്‍ ഉത്തരം പറഞ്ഞു കഴിഞ്ഞല്ലോ. സമാന്തരശ്രേണി എന്ന പാഠം നോക്കിയാല്‍, പേജ് 17 ലെ "ശ്രേണികളുടെ ബീജഗണിതം" എന്ന ഭാഗം വരെയുള്ള കാര്യങ്ങളെല്ലാംതന്നെ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെയാണ്‌ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെന്നു കാണാം അതുവരെയുള്ള കണക്കുകളെല്ലാം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെതന്നെ ചെയ്യണം എന്നാണ്‌ ഉദ്ദേശവും. ചില ശ്രേണികളെക്കുറിച്ചുള്ള പൊതുവായ കാര്യങ്ങള്‍ തെളിയിക്കാനാണ്‌ പലപ്പോഴും ബീജഗണിതം ആവശ്യമായി വരുന്നത്. ഉദാഹരണമായി, പേജ് 13 ന്റെ അവസാനംകൊടുത്തിരിക്കുന്ന കണക്ക്, രണ്ടാമത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഇടയ്ക്ക്
2x = 24 + 10 എന്നു കിട്ടുമല്ലോ. ഇത് തന്നിരിക്കുന്ന
ശ്രേണിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ വ്യാഖ്യാനിച്ചാല്‍, പുസ്തകത്തിലെ അടുത്ത കണക്കിലേയ്ക്ക് സ്വാഭാവികമായി പ്രവേശിക്കാം.

Krishnan May 16, 2011 at 7:16 PM  

@ Raziman T V

"if a,b,c have to be elements of some AP, (b-a)/(c-b) has to be rational"

That's an excellent observation! Nice going Raziman! Keep up the good work!

ഗീതാസുധി May 16, 2011 at 7:30 PM  

റസിമാന്‍ v/s കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ =
പുലിക്കുട്ടി v/s സിംഹം!!
കൗതുകമുണ്ട്, തുടരുക.

Gopu.P.S May 16, 2011 at 7:30 PM  

11

deva May 16, 2011 at 8:44 PM  
This comment has been removed by the author.
deva May 16, 2011 at 8:54 PM  

Does there exists an A P with terms from set of irrational numbers?

survey May 16, 2011 at 9:30 PM  

more about razimantv
razimantv ml.wiki
raziman

Krishnan May 16, 2011 at 9:47 PM  

deva : "Is b-a/c-b = 1 ?. Is it easier."

Please note that Raziman does not say that a, b, c are consecutive terms.

deva : "Does there exists an A P with terms from set of irrational numbers?"


How about sqrt(2), 2sqrt(2), 3sqrt(2), ... or sqrt(2), sqrt(2) + 1, sqrt(2) + 2, ...?

Krishnan May 16, 2011 at 10:08 PM  

Here's another question on sequences: the nth term of a sequence is sqrt(101^n)/factorial(n). What is the largest term of this sequence?

JOHN P A May 16, 2011 at 11:42 PM  

@Krishnan Sir
എന്റെ നിഗമനം ഒന്നു നോക്കുമോ?
Xn+1 - xn = sqrt{101^n/fact n}[sqrt 101-sqrt(n+1)/sqrt(n+1)]
When n = 100, xn+1-xn = 0
When n is greater than 100 , it becomes a monotonically decreasing sequence.up to n = 99,sequence is an increasing one.
the largest term is 100 th

ഫിലിപ്പ് May 17, 2011 at 12:11 AM  

പത്താമത്തെ പദമാണ് ഏറ്റവും വലുതെന്നാണ് എനിക്ക് കിട്ടുന്നത്. ഒന്നുകൂടെ സൂക്ഷിച്ച് നോക്കട്ടെ.

-- ഫിലിപ്പ്

Krishnan May 17, 2011 at 7:06 AM  

@ JOHN P A

ശ്രേണി എഴുതിയത് വ്യക്തമായില്ലെന്നുണ്ടോ? 101^n ന്റെ square root നെ factorial(n) കൊണ്ടു ഹരിച്ചത് എന്നാണ്‌ ഉദ്ദേശിച്ചത്.

JOHN P A May 17, 2011 at 7:16 AM  

Dear Krishnan Sir
ഞാന്‍ നേര്‍രൂപം എടുത്തത് മാറിപ്പോയി.
[root(101)-(n+1)]/n+1 പരിഗണിക്കണം
n = 10 തന്നെ
ഉത്തരം 10 മത്തെ പദം

ഫിലിപ്പ് May 17, 2011 at 8:05 AM  

ബ്ളോഗ് ടീം,

ബ്ളോഗിലും കമന്റിലും LaTeX ലഭ്യമാക്കാന്‍ ഇവിടെക്കാണുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കാം. അവിടെക്കാണുന്ന കോഡ് അടങ്ങിയ (ശീര്‍ഷകമില്ലാത്ത) പുതിയ ഒരു HTML/JavaScript Gadget ചേര്‍ത്താല്‍ മതി : Design -> Add a Gadget -> HTML/JavaSrcipt.

ഈ സംവിധാനം ഉപയോഗിച്ച് പൈത്തണ്‍ പാഠങ്ങളില്‍ എഴുതിയ ഒരു കമന്റ് ഇവിടെ.

-- ഫിലിപ്പ്

Krishnan May 17, 2011 at 7:06 PM  

@ ഫിലിപ്പ്

comments ല്‍ LaTeX ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി അല്പം കൂടി വിശദമാക്കാമോ?

വി.കെ. നിസാര്‍ May 17, 2011 at 7:10 PM  

\[
\begin{align}
\nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}
{\partial t} & = \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} & = 4 \pi \rho \\
\nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & = \vec{\mathbf{0}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0
\end{align}
\]

വി.കെ. നിസാര്‍ May 17, 2011 at 7:11 PM  

പേടിക്കേണ്ട, ഒന്നു പരീക്ഷിച്ചതാണേ...!

JOHN P A May 17, 2011 at 7:17 PM  

\[
\begin{align}
\nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}
{\partial t} & = \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} & = 4 \pi \rho \\
\nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & = \vec{\mathbf{0}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0
\end{align}
\]

JOHN P A May 17, 2011 at 7:23 PM  

oh!
successful
പരീക്ഷണം വിജയിക്കുനമെന്നാണ് തോന്നുന്നത്

JOHN P A May 17, 2011 at 7:26 PM  

‌‌‌
\begin{align}
\sqrt{\frac{101^n}{n!}}
\end{align}

ഗീതാസുധി May 17, 2011 at 7:45 PM  

$$^{\mp \frac{\mp \int _{}}{}}$$

ഗീതാസുധി May 17, 2011 at 7:48 PM  

$$^{\div \frac{_{\times \tfrac{}{}}^{}}{}}$$

ഗീതാസുധി May 17, 2011 at 7:50 PM  

$$a\times b> \geq c\times d$$

ഗീതാസുധി May 17, 2011 at 7:53 PM  

$$a+b\left ( \leq c+d \right )$$

ഫിലിപ്പ് May 17, 2011 at 7:54 PM  

ഹരി/ജോണ്‍ സാര്‍,

കൊള്ളാം :D

കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍,

ഇപ്പോള്‍ തന്നെ കമന്റില്‍ $\LaTeX$ വരുന്നുണ്ടല്ലോ.

ഇപ്പോള്‍ നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ നടപ്പില്‍ വരുത്തിയിരിക്കുന്ന ഉപാധി വച്ച് ഗണിതത്തിലെ വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍ (mathematical expressions) മാത്രമേ $\LaTeX$ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാന്‍ പറ്റൂ. നമ്മുടെ ആവശ്യവും അതു തന്നെ ആണല്ലോ.

കമന്റില്‍ (പോസ്റ്റിലും) $\LaTeX$ വരുത്താന്‍ (സാധാരണ ലാറ്റക്കില്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നതുപോലെ തന്നെ) രണ്ട് ഡോളര്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കിടയിലായി നമുക്ക് വേണ്ട ഗണിത വ്യഞ്ജകം എഴുതുക. ഉദാ:

$e^{i\pi}=-1$ എന്ന് കിട്ടാന്‍ $\$\text{e^{i\pi}=-1}\$$ എന്ന് എഴുതുക.

വ്യഞ്ജകം ഒരു പ്രത്യേക വരിയില്‍ എടുത്തുകാണിക്കാനായി ഒന്നിന് പകരം രണ്ട് ഡോളര്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കുള്ളിലായി എഴുതുക. ഉദാ:

$$e^{i\pi}=-1$$ എന്ന് കിട്ടാന്‍ $\$\$\text{e^{i\pi}=-1}\$\$$ എന്ന് എഴുതുക.
ലാറ്റക്കില്‍ ഗണിത വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍ ചെയ്തുനോക്കി ശരിയാക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ഓണ്‍ലൈന്‍ എഡിറ്റര്‍ ഇവിടെ.

കമന്റിലെ ലാറ്റക് , പോസ്റ്റിന്റെ പേജില്‍ വച്ച് മാത്രമേ വ്യഞ്ജകങ്ങളായി കാണപ്പെടുകയുള്ളൂ : കമന്റുകള്‍ മാത്രം കാണുന്ന പേജില്‍ നാമെഴുതിയ ലാറ്റക് അതുപോലെ തന്നെയേ കാണുകയുള്ളൂ (ലാറ്റക്കിനെ വ്യഞ്ജകമാക്കുന്ന ജാവാസ്ക്രിപ്റ്റ് , പോസ്റ്റും കൂടെയുള്ള പേജില്‍ മാത്രമേ വരുന്നുള്ളൂ എന്നതാണ് ഇതിന്റെ സാങ്കേതിക കാരണം).

-- ഫിലിപ്പ്

JOHN P A May 17, 2011 at 8:02 PM  

Can
\begin{align}
\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\end{align} the arbitary terms of the same AP?

വി.കെ. നിസാര്‍ May 17, 2011 at 8:06 PM  

$$\begin{align}
\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\end{align} $$എന്നിവ ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ മൂന്നുപദങ്ങളാകാമോ എന്ന്!

ഫിലിപ്പ് May 17, 2011 at 8:15 PM  

ശരിക്കും \(\LaTeX\)-ല്‍ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുപോലെ $\backslash ($ , $\backslash )$ എന്നിവയും $\backslash [$, $\backslash ]$ എന്നിവയും "ഒറ്റഡോളര്‍", "ഇരട്ടഡോളര്‍" എന്നിവയുടെ സ്ഥാനത്ത് പ്രയോഗിക്കാം.

-- ഫിലിപ്പ്

JOHN P A May 17, 2011 at 8:40 PM  

\begin{align}
\frac{a^b}{b^c}
\end{align}

Hari | (Maths) May 17, 2011 at 9:30 PM  

\begin{align}
\frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n
\end{align}

എന്നതും ലാടെക്കില്‍ ഇനി എളുപ്പത്തില്‍ എഴുതാമെന്നത് സന്തോഷകരം തന്നെ. ഇനി Postscript ഉപയോഗിച്ച് ഇതിലേക്ക് ചിത്രങ്ങള്‍ കൊണ്ടുവരാനാകുമോ ഫിലിപ്പ് സാര്‍...?

Krishnan May 17, 2011 at 9:39 PM  

നേര്‍രൂപം
\begin{equation*}
x_n=\frac{\sqrt{101^n}}{n!}
\end{equation*}
ആയ ശ്രേണിയുടെ തുടര്‍രൂപം
\begin{equation*}
x_n=\frac{\sqrt{101}}{n}x_{n-1}
\end{equation*}
ആണല്ലോ.

$10 < \sqrt{101} < 11$ ആയതിനാല്‍, $n=1,2,\dotsc,10$ വരെ $x_n$ വലുതായിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയും, തുടര്‍ന്ന് $11$ മുതല്‍ ചെറുതാകാന്‍ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യുമെന്ന്‌ കാണമല്ലോ.

bhama May 17, 2011 at 9:54 PM  

\begin{equation}
(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}
\end{equation}


പരീക്ഷണമാണേ ....

JOHN P A May 17, 2011 at 10:02 PM  

\begin{equation}
\Large
(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}
\end{equation}

bhama May 17, 2011 at 10:04 PM  

‌\begin{equation}
x=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation}

JOHN P A May 17, 2011 at 10:10 PM  

\begin{equation}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation}

Hari | (Maths) May 17, 2011 at 10:10 PM  

ഭാമ ടീച്ചറേ,
ഇതു നോക്കൂ
‌‌\begin{equation}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation}

JOHN P A May 17, 2011 at 10:18 PM  

\begin{equation*}
P=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n(x_i-x)(y_i-y)}}{\displaystyle{\left[\sum_{i=1}^n(x_i-x)^2\sum_{i=1}^n(y_i-y)^2\right]^{1/2}}}
\end{equation*}

bhama May 17, 2011 at 10:21 PM  

\pm\ ഞാനിത് കണ്ടിരുന്നില്ലല്ലോ . ഇപ്പോ പഠിച്ചു.

ഹോംസ് May 17, 2011 at 10:24 PM  

ഓ..
പണ്ട് കമന്റില്‍ ചിത്രങ്ങളാകാമെന്നായപ്പോഴും ഇതേ ഉശിര് കണ്ടിരുന്നു...
ആവേശം നിലനിന്ന് കിട്ടിയാല്‍ ഭാഗ്യം!

JOHN P A May 17, 2011 at 10:32 PM  

ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഒരു ഗതി കണ്ടിട്ട് ആശ്ചര്യം തോന്നുന്നു. എന്നാലും മലയാള ബ്ലോഗ് ചരിത്രത്തില്‍ ചെറുതല്ലാത്ത ഒരു സംഭവം തന്നെ . ഫിലിപ്പ് സാറിന് നന്ദി

Hari | (Maths) May 17, 2011 at 10:36 PM  

$$
|x| =
\left\{
\begin{array}{lr}
-x&x\le 0\\
x&x\ge 0
\end{array}
\right.
$$

വി.കെ. നിസാര്‍ May 17, 2011 at 10:40 PM  

എന്റെ ഹോംസ് സാറേ...
ഈ വിദ്യയുടെ ഗുണഫലം ഒരുപക്ഷേ താങ്കള്‍ക്ക് മനസ്സിലായി കാണില്ല!
ലാ ടെക് വിദഗ്ദനായ കൃഷ്ണന്‍ സാറിനും വിദഗ്ദരായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ജോണ്‍,ഹരി സാറന്മാര്‍ക്കും ഇതു നല്കുന്ന സന്തോഷം ഊഹിക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ..
സംഗതി സക്സസായതറിഞ്ഞ് സീറ്റില്‍ നിന്ന് ചാടിപ്പോയെന്നാണ് അല്പം മുമ്പ് ജോണ്‍ സാര്‍ വിളിച്ചുപറഞ്ഞത്!!
ഫിലിപ്പ് സാറിന് നന്ദി.

ജനാര്‍ദ്ദനന്‍.സി.എം May 17, 2011 at 11:03 PM  

$$\begin{align}
\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\end{align} $$എന്നിവ ഒരു സമാന്തര പ്രോഗ്രഷന്റെ മൂന്നുപദങ്ങളാകാമോ

ഫിലിപ്പ് May 17, 2011 at 11:08 PM  

ഹരി സാര്‍,

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാന്‍ ഇന്നത്തെ നിലയ്ക്ക് കഴിയില്ല. ഇതുംകൂടി സാധ്യമാക്കണമെന്ന ആവശ്യം നിലവിലുണ്ട്.

1. \(\LaTeX\) ഉപയോഗിച്ച് ഇവിടെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന വ്യഞ്ജകങ്ങളില്‍ റൈറ്റ്-ക്ളിക്ക് ചെയ്ത് നോക്കിയാല്‍ ഉപയോഗപ്രദമായ കുറച്ച് കാര്യങ്ങള്‍ --- വ്യഞ്ജകത്തിന്റെ \(\LaTeX\) കോഡ് ഉള്‍പ്പടെ --- കാണാം.

2. \(\LaTeX\)-ല്‍ ലഭ്യമായ ചുരുക്കങ്ങളുടെ (ഉദാ: $\pm$ എന്ന് കിട്ടാന്‍ \pm ) ഒരു ലിസ്റ്റ് ഇവിടെ കിട്ടും.

-- ഫിലിപ്പ്

anand May 18, 2011 at 8:13 AM  

@ krishnan Sir
പേജ് 10 ലെ 1000,995,990,985,.....എന്ന ശ്രേണി ആ രീതിയിലെഴുതിയാല്‍ -5,-10,.. എന്ന് രീതിയിലേക്ക് എത്തുമല്ലോ? ഭൗതികസാഹചര്യത്തില്‍ നിന്ന് ഉണ്ടായ ഈ ശ്രേണി finite ആണല്ലോ. ആ നിലക്ക് 1000,995,990,......0 എന്ന് വേണ്ടേ?

JOHN P A May 18, 2011 at 7:45 PM  

Dear anand Sir
കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ കൂടുതല്‍ വിശകലനം തരും. എനിക്കു തോന്നിയ ഒരു കാര്യം പറയട്ടെ.
പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ഈ ഉദാഹരണം തന്നത് സമാന്തരശ്രേണി എന്ന ആശയത്തിലേയ്ക്ക് കുട്ടിയെ എത്തിക്കാന്‍ വേണടിയാണെന്നു കരുതുന്നു
ഭൗതീകസാഹചര്യത്തില്‍ നിന്നും രൂപംകൊള്ളുന്ന ശ്രേണികള്‍ ന്യൂനസംഖ്യകള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതില്‍ അസ്വഭാവികത ഒന്നുമില്ല. ഭൗതീകശാസ്ത്രത്തിലും മറ്റും ഒത്തികി ഉദാഹരങ്ങളുണ്ട് . അത്തരം ശ്രേണികള്‍ പരിമിതശ്രേണികള്‍ ആകണം. ഭൗതീകസാഹചര്യങ്ങളില്‍ നിന്നും ആനന്തശ്രേണികള്‍ ഉണ്ടാകുന്നത് യുക്തിക്കുനിരക്കുന്നതല്ല.ശ്രേണിയുടെ നേരര്‍രൂപത്തില്‍ നിന്നും ഗണിതപരമായി അനന്തതയിലേയ്ക്ക് എഴുതാമെങ്കിലും സാഹചര്യംകല്പിച്ചുനല്‍കുന്ന നിബന്ധനയക്ക് വിധേയമാക്കി പദങ്ങള്‍ പരിമിതപ്പെടുത്തണമെന്നുമാത്രം

beena May 18, 2011 at 8:59 PM  

test

jamesphilip May 18, 2011 at 9:32 PM  

എന്താണ് തെങ്ങ് ?
"ചകിരിക്കുളളില്‍ കട്ടിയായ തോടോടു കൂടി, ചിരട്ട എന്നറിയ പ്പെടുന്നതും, അതിനുളളില്‍ മൃദുലവും, ഭക്ഷണയോഗമായതും, ദാഹശമിനി ഏന്ന രീതിയില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന പാനീയമുളളതുമായ, തേങ്ങ എന്നറിയ പ്പെടുന്ന സാധനങ്ങള്‍ കുലകളായി ഓലകളാല്‍ നിബിഡമായ മടലുകളുടെ കവിളുകളില്‍ തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നതിനു വേണ്ടി വളര്‍ന്നുവന്നിട്ടുള്ള വേരുകളോടുകൂടിയ ഒറ്റത്തടി മരമാണ് തെങ്ങ് "

വൃത്തം എന്നാല്‍ എന്ത് ?

ഒരു വര ഒരു വശമാകത്തക്കവിധം എതിര്‍കോണ്‍ 90 ആയതുമായ Triangles ന്റെ 90 degree ആയ ശീര്‍ഷങ്ങളെ യോജിപ്പിച്... ,,, etc ,,,,etc........................... etc ….........................
കോണ്‍ 60 ആയ ശീര്‍ഷങ്ങളെ യോജിപ്പിച്... … …... വൃത്തം രൂപീകരിക്കാം


സമാന്തര ശ്റേണിയിലും തീപ്പെട്ടിക്കോല്‍ ഉപയോഗിച്ചു് ഇത് തന്നെയാണ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്

ഇത് ഒരുതരം Reverse Approach ആണ്
ഇത് അംഗീകരിക്കാനാകില്ല
ഈ Negative Approach ശരിയാണോ
Please comment
james philip

vijayan May 18, 2011 at 9:43 PM  

എന്തുകൊണ്ട് പുതിയ 'സമാന്തരശ്രേണി 'എന്ന അധ്യായത്തില്‍ , ശ്രേണികളില്‍ നൂന സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍പെടുത്തിയില്ല ?
-5കൂട്ടുക ,-3കൂട്ടുക എന്ന് ചില സ്ഥലങ്ങളില്‍ പ്രസ്താവിക്കുക യല്ലാതെ ഇത് ഉള്‍പെടുത്തി ഒരു ഉദാഹരണവും കൊടുക്കാത്തത് ബോധപൂര്‍വമാണോ?
നൂന സംഖ്യകള്‍ കണ്ടു കുട്ടികള്‍ പേടിക്കാതിരിക്കനാണോ? അതോ ചോദ്യ പേപ്പറില്‍ മാത്രം നൂന സംഖ്യകള്‍ വരുത്തി കുട്ടികളെ പേടിപ്പിക്കാന്‍ ചോദ്യ കര്‍ത്താവിനു വിട്ടുകൊടുതതാണോ ?

deva May 18, 2011 at 9:56 PM  

what is the difference between progression and sequence?

JOHN P A May 18, 2011 at 10:27 PM  

Dear James sir

ലോകത്താരുംതന്നെ തീപ്പെട്ടിക്കോലുപയോഗിച്ച് സമാന്തരശ്രേണി പഠിപ്പിക്കാമെന്ന് വ്യാമോഹിച്ച് പുസ്തകമെഴുതില്ല, ക്ലാസില്‍പോകില്ല,ചോദ്യങ്ങളും തയ്യാറാക്കില്ല.
സാര്‍ ആ പാഠപുസ്തകം ഒന്ന് വായിച്ചുനോക്കിയിട്ട് കമന്റിടുക

JOHN P A May 18, 2011 at 10:49 PM  

Dear Deva teacher
Progression is derived from "Progress", means its a sequence which have only +ve increasing values. But the Sequence may have negative value

sreejith May 19, 2011 at 8:51 AM  

ഹരിസാര്‍,ഫിലിപ്പ്സാര്‍
letex രീതിയെപറ്റി ഒരു post ഇട്ടാല്‍ നന്നായിരുന്നു.തുടക്കക്കാര്‍ക്ക് പിടികിട്ടിയില്ല

jamesphilip May 19, 2011 at 9:01 AM  

പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠ പുസ്തകത്തിലെ ഉള്ളടക്കം വളരെ ആഴത്തിലുള്ളതും പരന്നതും ആണ് എന്നാല്‍ ചില അവതരണരീതികള്‍ അംഗീകരിക്കാനാകില്ല

വൃത്തം എന്നാല്‍ എന്ത് ?

ഒരു വര ഒരു വശമാകത്തക്കവിധം എതിര്‍കോണ്‍ 90 ആയതുമായ Triangles ന്റെ 90 degree ആയ ശീര്‍ഷങ്ങളെ യോജിപ്പിച്... ,,, etc. ,,,,etc........................... etc. ….........................
കോണ്‍ 60 ആയ ശീര്‍ഷങ്ങളെ യോജിപ്പിച്... … …... വൃത്തം രൂപീകരിക്കാം


ശ്രേണിയിലും തീപ്പെട്ടിക്കോല്‍ ഉപയോഗിച്ചു് ഇത് തന്നെയാണ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്


എന്താണ് തെങ്ങ് ?
"ചകിരിക്കുളളില്‍ കട്ടിയായ തോടോടു കൂടി, ചിരട്ട എന്നറിയ പ്പെടുന്നതും, അതിനുളളില്‍ മൃദുലവും, ഭക്ഷണയോഗമായതും, ദാഹശമിനി ഏന്ന രീതിയില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന പാനീയമുളളതുമായ, തേങ്ങ എന്നറിയ പ്പെടുന്ന സാധനങ്ങള്‍ കുലകളായി ഓലകളാല്‍ നിബിഡമായ മടലുകളുടെ കവിളുകളില്‍ തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നതിനു വേണ്ടി വളര്‍ന്നുവന്നിട്ടുള്ള വേരുകളോടുകൂടിയ ഒറ്റത്തടി മരമാണ് തെങ്ങ് "

ഒറ്റത്തടി വൃക്ഷങ്ങളെല്ലാം തെങ്ങ് ആകണമെന്നില്ല
ഓല ഉണ്ടായാല്‍ അത് തെങ്ങ് ആകണമെന്നില്ല
വിടര്‍ന്ന ഓലകള്‍ ആയാല്‍ അത് പന ആകും
വിടര്‍ന്ന ഓലകളും ചെറിയ കായ് കളോടു കൂടിയ കുലകളായാല്‍ അത് ഈന്തപ്പനയാകും
ഇങ്ങനെ മാവ് , പ്ലാവ്, മുതലായ പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ വസ്തുക്കളെയും വിവരിക്കാം

ഇത് ഒരുതരം Reverse Approach ആണ്
ഇത് അംഗീകരിക്കാനാകില്ല
ഈ Negative Approach ശരിയാണോ
സംഖ്യാ ശ്രേണിയെയും, വൃത്തത്തെയും അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഈ Negative Approach ഉപയോഗിക്കുന്നത് അംഗീകരിക്കാനാകില്ല
Please comment

Krishnan May 19, 2011 at 9:02 AM  

deva : "What is the difference between progression and sequence?"

Actually these words mean the same thing. Historically, the Roman philosopher Boethius of the sixth century AD used the Latin word "progresio" in his books on mathematics (written in Latin), which were used as textbooks for almost thousand years in Europe. In the sixteenth century, the English mathematician Robert Recorde used the terms "arithmetic progression" and "geometric progression" in his textbooks on mathematics, written in English. (Incidentally, it was he who introduced algebra in England and the first one to use the signs + and =). It was in the nineteenth century that the term "sequence" was used, by such mathematicians as Sylvester and Cathcart, to denote a general succession of numbers.

In current mathematical terminology the term "progression" is used only in such terms as "arithmetic progression", "geometric progression" and "harmonic progression", the term "sequence" used in more general contexts. But even in these three special cases, there is an increasing tendency to use the term "sequence", as we have done in our text.

Krishnan May 19, 2011 at 11:10 AM  

@ jamesphilip

പുറംകാഴ്ചകളില്‍നിന്ന്‌ അകപ്പൊരുളിലേയ്ക്ക് (സ്ഥൂലത്തില്‍നിന്നു സൂക്ഷ്മത്തിലേയ്ക്ക് എന്ന് അല്പം സംസ്കൃതം കൂട്ടിപ്പറയുകയുമാവാം)---പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലൂടെയുള്ള കണക്കു പഠനത്തിന്റെ ഒരു രീതി ഇതാണ്‌.

വൃത്തങ്ങള്‍തന്നെ ഉദാഹരണമായെടുക്കാം.

അഞ്ചാംക്ലാസില്‍ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ചു വൃത്തം വരച്ചു തുടങ്ങുന്നു. ഇങ്ങിനെ വരയ്ക്കുമ്പോള്‍, കോമ്പസിന്റെ മുന അനങ്ങുന്നില്ല, അതിന്റെ കാലുകള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലം മാറുന്നില്ല എന്നീ കണ്ടറിഞ്ഞ കാര്യങ്ങള്‍, വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവില്‍നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണെന്ന ചിന്തയിലേയ്ക്കും, കേന്ദ്രം, ആരം എന്നീ വാക്കുകളിലേയ്ക്കും നയിക്കുന്നു.

ആറാംക്ലാസില്‍, കോണുകള്‍ വിരിവിനേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു കാണുന്നതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായി, കോണ്‍ അളക്കുന്നതിന്റെ ഒരു രീതിയായി വൃത്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് പരിചയപ്പെടുന്നു. ഇതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായിട്ടാണ്‌ പത്താംക്ലാസില്‍, കോണുകളിലൂടെ വൃത്തത്തെ വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നത്. (ഇതിനിടയ്ക്ക്, നിശ്ചിത അളവുകളില്‍ ത്രികോണം വരയ്ക്കാനും, സമബഹുഭുജങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാനും, ലംബങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാനുമൊക്കെ ഉപയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ വൃത്തവിചാരം പല കൈവഴികളായി പിരിയുന്നുമുണ്ട്.) ഇങ്ങിനെ നീളം ഉപയോഗിച്ചും, കോണ്‍ ഉപയോഗിച്ചും വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതിന്റെ പരസ്പരബന്ധം ത്രികോണമിതിയിലൂടെ വ്യക്തമാക്കുകയും ചെയ്യാം. ഒരേ കാര്യംതന്നെ പലപല രീതികളില്‍ കാണുന്നത്, അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് കൂട്ടുകയല്ലേയുള്ളു?

കൂടുതല്‍ വിശദീകരണം ആവശ്യമാണെങ്കില്‍ ഇനിയും എഴുതുക.

anand May 19, 2011 at 7:06 PM  

@ krishnan Sir
പേജ് 10 ലെ 1000,995,990,985,.....എന്ന ശ്രേണി ആ രീതിയിലെഴുതിയാല്‍ -5,-10,.. എന്ന് രീതിയിലേക്ക് എത്തുമല്ലോ? ഭൗതികസാഹചര്യത്തില്‍ നിന്ന് ഉണ്ടായ ഈ ശ്രേണി finite ആണല്ലോ. ആ നിലക്ക് 1000,995,990,......0 എന്ന് വേണ്ടേ?

Krishnan May 20, 2011 at 7:02 AM  

@ anand

പാഠപുസ്തകത്തിലെ 1000, 995, 990, ... എന്ന ശ്രേണിയെക്കുറിച്ച് ജോണ്‍സാര്‍ പറഞ്ഞത് വളരെ ഭംഗിയായി. കൂടുതലെന്തെങ്കിലും പറയാനുണ്ടെന്നു തോന്നുന്നില്ല. ഈ ചര്‍ച്ച കുട്ടികളുടെയിടയിലും നടക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും.

ഫിലിപ്പ് May 20, 2011 at 9:15 AM  

ശ്രീജിത്ത് സാര്‍,

മാത്‌സ് ബ്ലോഗില്‍ \(\LaTeX\) ഉപയോഗിച്ചുള്ള എഴുത്ത് സാധ്യമാക്കേണ്ടതെങ്ങനെ എന്ന് ബ്ലോഗ് ടീമിനോടായി ഞാന്‍ പറഞ്ഞ ഈ കമന്റാണ് പ്രശ്നക്കാരന്‍ എന്ന് തോന്നുന്നു. ആ കമന്റ് ബ്ലോഗിന്റെ പിന്നണിയിലുള്ളവര്‍ക്കായി ഉള്ളതാണ്, ബ്ലോഗ് ഉപയോഗിക്കുന്ന നമുക്കുള്ളതല്ല; അതില്‍ പറഞ്ഞതൊന്നും നാം ചെയ്യേണ്ടതില്ല.

ബ്ലോഗില്‍ കമന്റ് എഴുതുമ്പോള്‍ \(\LaTeX\) ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ വരുത്താനായി ചെയ്യേണ്ടത്: ‍രണ്ട് ഡോളര്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കിടയിലായി നമുക്ക് വേണ്ട ഗണിത വ്യഞ്ജകം എഴുതുക. ഉദാ:

\(e^{i\pi}=-1\) എന്ന് കിട്ടാന്‍ \(\$\text{e^{i\pi}=-1}\$\) എന്ന് എഴുതുക.

വ്യഞ്ജകം ഒരു പ്രത്യേക വരിയില്‍ എടുത്തുകാണിക്കാനായി ഒന്നിന് പകരം രണ്ട് ഡോളര്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കുള്ളിലായി എഴുതുക. ഉദാ:

\[e^{i\pi}=-1\] എന്ന് കിട്ടാന്‍ \(\$\$\text{e^{i\pi}=-1}\$\$\) എന്ന് എഴുതുക.

\(\LaTeX\)-ല്‍ ലഭ്യമായ ചുരുക്കങ്ങളുടെ (ഉദാ: \(\pi\) എന്ന് കിട്ടാന്‍ \pi , \(\pm\) എന്ന് കിട്ടാന്‍ \pm ) ഒരു ലിസ്റ്റ് ഇവിടെ കിട്ടും. ഇത് കൂടാതെ \(\LaTeX\) ഉപയോഗിച്ച് ഇവിടെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന വ്യഞ്ജകങ്ങളില്‍ റൈറ്റ്-ക്ളിക്ക് ചെയ്ത് "Show source" എന്നത് തെരഞ്ഞെടുത്താല്‍ വ്യഞ്ജകത്തിന്റെ \(\LaTeX\) കോഡ് കാണാം. ലാറ്റക്കില്‍ ഗണിത വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍ ചെയ്തുനോക്കി ശരിയാക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ഓണ്‍ലൈന്‍ എഡിറ്റര്‍ ഇവിടെ.

ഒരു കാര്യം കൂടി: കമന്റിലെ ലാറ്റക് , പോസ്റ്റിന്റെ പേജില്‍ വച്ച് മാത്രമേ വ്യഞ്ജകങ്ങളായി കാണപ്പെടുകയുള്ളൂ : കമന്റുകള്‍ മാത്രം കാണുന്ന പേജില്‍ നാമെഴുതിയ ലാറ്റക് അതുപോലെ തന്നെയേ കാണുകയുള്ളൂ.

-- ഫിലിപ്പ്

Arunbabu May 20, 2011 at 6:38 PM  

krishnan sir.A.P yile formula paranju kodukkumbol last yearile bookile formula padippichukoode.athanu kurachu koodi easy ennu thonnunnu

Krishnan May 20, 2011 at 8:43 PM  

@ Arunbabu

സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ (formulas) ഉപയോഗം പരമാവധി കുറച്ച്, ആശയങ്ങളിലൂന്നി ഗണിതം പഠി(പ്പി)ക്കണം എന്നാണ്‌ പാഠപുസ്തകമെഴുതിയ ഞങ്ങളുടെ ആഗ്രഹം. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ്‌ പാഠപുസ്തകത്തിലെ ആദ്യഭാഗത്തുള്ള പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം ആ രീതിയില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. സമാന്തരശ്രേണികളെല്ലാം $an+b$ എന്ന ബീജഗണിതവാക്യത്തിലൊതുങ്ങും എന്ന കാര്യം തെളിയിക്കാന്‍ മാത്രമാണ്‌, $f+(n-1)d$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുനത്.

jamesphilip May 20, 2011 at 10:37 PM  

continuation from previous post …

5,6,7 ക്ലാസുകളില്‍ ഗണിതഅദ്ധ്യാപകര്‍ മററുള്ളവരുടെ ലക്ഷ്യം പൂര്‍ത്തീകരിക്കുകയും സ്വയം ലക്ഷ്യത്തിലെത്താതിരിക്കുകയുമാണ് .
ഒരു കായികാദ്ധ്യാപകന്‍ കുട്ടികള്‍ക്കു് മിഠായിയും മധുര പലഹാരങ്ങളും തരാം ഗ്രൗണ്ടിലേക്ക് വരൂ എന്നു വിളിക്കുന്നു. അവിടെയെത്തുമ്പോള്‍ ഒരു സിനിമയും കാണിച്ചു കൊടുക്കുന്നു. ഇതു തുടര്‍ന്നാല്‍ ഏതാനും കുട്ടികള്‍ മാത്രം കളിക്കളത്തില്‍ ഉണ്ടാകും. ബാക്കിയുള്ളവരെന്നും കാണികളായി ഗ്രൗണ്ടിന് പുറത്ത് നില്‍കുകയും ചെയ്യും.
ഇവടെ മിഠായിയും മധുര പലഹാരങ്ങളും നല്കുക എന്നുളളത് മാതാപിതാക്കളുടെയും മററു social agency കളുടെയും പണിയാണ്.
,5,6,7 ക്ലാസുക്ലാസുകള്‍ കഴിഞ്ഞ് 8-ാം ക്ലാസിലെത്തുന്ന ഏതാനും കുട്ടികള്‍ ഗണിതം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നവരും ബാക്കിയുള്ളവര്‍(ഭുരിപക്ഷംപേരും) കാണികളായിപുറത്ത് നില്‍കുന്നവരുമാണ്.
മനഃപാഠം എന്നു പറയുന്നത് ഒരു ശേഷിയല്ലേ?
ഇതൊരു ശേഷിയല്ല എന്നു പറയുന്നതിലൂടെ ഭാരതീയ സംസ്കാരത്തെയാണ് ആക്ഷേപിക്കുന്നത്
കാരണം വേദങ്ങളും മഹാഭാരതം രാമായണം മുതലായ ഇതിഹാസഗ്രന്ഥങ്ങളും മനഃപാഠപഠനത്തിലൂടെയാണ് നമ്മളിലെത്തിയത്.
അഞ്ചു മുതല്‍ പത്തു വരെ യുള്ള ഗണിത പുസ്തകത്തില്‍ ഗണിതത്തില്‍ കുട്ടി ആര്‍ജ്ജിക്കേണ്ട ശേഷികളായിരുന്നു ലക്ഷ്യം ഇടേണ്ടത്.
പുസ്തകം ആകര്‍ഷക മാക്കുക , ഭാഷ ആകര്‍ഷക മാക്കുക എന്നിവയലൂടെ ഭാഷാദ്ധ്യാപകന്‍റെ പണിയും , നിരീക്ഷണം ഗവേഷണം മുതലായവയിലൂടെ സയന്‍സ് അദ്ധ്യാപകന്‍റെ പണിയുമാണ് ഗണിത അദ്ധ്യാപകന്‍ ചെയ്യുന്നത്.
ഇങ്ങനെ പ്രേക്ഷകനും കര്‍മ്മശേഷിയില്ലാത്തതുമായ കുട്ടികളെയാണ് എട്ടാം ക്ലാസില്‍ ഗണിത അദ്ധ്യാപകന് കിട്ടുന്നത്.
ഡാന്‍സ്, സംഗീതം, കായകപരിശീലനം, … etc. ….etc.... എന്നിവ ഏത് പ്രായത്തില്‍ അഭ്യസിച്ചു തുടങ്ങണം എന്ന് നമുക്കേവര്‍ക്കും അറിയാം.
അതുപോലെ തന്നെ ഗണിതത്തെ ഒരു ഭാഷയായി കാണാതെ യുക്തിചിന്ത, വേഗത, കൃത്യത എന്നീ ശേഷികളായി കാണുകയും ഈ ശേഷികള്‍ കുട്ടികളില്‍ വളര്‍ത്തുകയുമാണ് ചെയ്യേണ്ടത്. ഇത് താഴ്ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ ചെയ്യാതെ വരുന്നതു കൊണ്ടാണ് എട്ടാം ക്ലാസില്‍ ഗണിത അദ്ധ്യാപകന് കിട്ടുന്നകുട്ടികള്‍ വെറും പ്രേക്ഷകനും കര്‍മ്മശേഷിയില്ലാത്തതുമായ കുട്ടികളായിത്തീരുന്നത്.
ചെറുപ്പകാലങ്ങളിലുള്ളശീലം മറക്കുമോ മാനുഷനുള്ള കാലം.
വെറും പ്രേക്ഷകനും കര്‍മ്മശേഷിയില്ലാത്തതുമായ ഈ കുട്ടികളെ ഒരു ഹൈസ്കൂള്‍ ഗണിതഅദ്ധ്യാപകന് എത്ര പരിശ്രമിച്ചാലും മുഖ്യധാരയിലെത്തിക്കുവാന്‍ കഴിയില്ല.
കളിക്കുന്നവന്‍ കളത്തില്‍ കളിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കും ബാക്കിയുള്ളവര്‍ കാണികളായി കളത്തിനു പുറത്തും നില്‍കും. ഒരു ക്രിക്കററ് കളിയില്‍ കളിക്കാരും കാണികളും പോലെ.
ആയതിനാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ ഏഴു വരെ ക്ലാസുകളിലെ പഠന രീതി മാറ്റേണ്ടതാണ്.
അതിനനുസൃതമായി 8,9,10 ക്ലാസുകളിലെ പാഠപുസ്തകവും പാഠ്യരീതിയും മാറ്റേണ്ടതാണ് എന്നാണ് എന്‍റെ അഭിപ്രായം. cont.......in next post
continuation from previous post …

കുട്ടികളില്‍ mind body interaction ഉണ്ടാകുന്നതിന് പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നത് ഗണിത പഠനമാണ്. ഇതിനെ കളിപ്പാട്ടം പോലെ സങ്കലനം ചീട്ടുകളിയിലൂടെയും, ഗുണനം ചതുരങ്ങളിലൂടെയും അവതരിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ കുട്ടിക്ക് ഒരു Theme park- ല്‍ ഇരിക്കുന്ന അനുഭവമാണ് ഉണ്ടാകുക. mind body interaction നടക്കണമെങ്കില്‍ പഠിതാവ് ഒരിക്കലും ഒരു ശ്രോതാവ് മാത്രം ആകരുത്. അതുപോലെ ഉല്ലാസ നൗകയിലെ യാത്രക്കാരനുമാകരുത്.

Repeat the dose kill the dog എന്നാണല്ലൊ ചൊല്ല്
കായിക പരിശീലനത്തിലേര്‍പ്പെടുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ വ്യായാമം ചയ്യുന്നു
ഡാന്‍സ് പഠിക്കുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ സ്റ്റെപ് ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു
സംഗീതം പഠിക്കുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ പല്ലവി പാടി പഠിക്കുന്നു.
ഗണിതം പഠിക്കുന്നവര്‍ പഠിച്ച കാര്യം ആവര്‍ത്തിച്ചാല്‍(മനഃപഠം പഠിച്ചാല്‍) ആകാശം ഇടഞ്ഞുവീഴും
SSLC Examination-ന് ഗണിതത്തിന് grade കുറയാന്‍ കാരണം ഇപ്പോള്‍ മനസ്സിലായിക്കാണുമെന്നു കരുതുന്നു

ജനാര്‍ദ്ദനന്‍.സി.എം May 21, 2011 at 12:04 AM  

Repeat the dose kill the dog എന്നാണല്ലൊ ചൊല്ല്
കായിക പരിശീലനത്തിലേര്‍പ്പെടുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ വ്യായാമം ചയ്യുന്നു
ഡാന്‍സ് പഠിക്കുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ സ്റ്റെപ് ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു
സംഗീതം പഠിക്കുന്നവര്‍ ദിവസവും ഒരേ പല്ലവി പാടി പഠിക്കുന്നു.
ഗണിതം പഠിക്കുന്നവര്‍ പഠിച്ച കാര്യം ആവര്‍ത്തിച്ചാല്‍(മനഃപഠം പഠിച്ചാല്‍) ആകാശം ഇടഞ്ഞുവീഴും
SSLC Examination-ന് ഗണിതത്തിന് grade കുറയാന്‍ കാരണം ഇപ്പോള്‍ മനസ്സിലായിക്കാണുമെന്നു കരുതുന്നു

@ jamesphilip Sir
ഒരു സംശയവും വേണ്ട ഇപ്പോള്‍ മനസ്സിലായി എന്തുകൊണ്ടാണ് ഗണിതത്തിനു ഗ്രേഡു കുറയുന്നതെന്ന!ഇതു പോലുള്ള മനസ്ഥിതിയും വിദ്യാഭ്യാസചിന്തകളുമാണ് വച്ചുപുലര്‍ത്തുന്നതെങ്കില്‍ ഗ്രേഡു കൂടിയാലേ അത്ഭുതപ്പെടേണ്ടതുള്ളു.
1. താഴ്ന്ന ക്ലാസില്‍ നിന്ന് പഠിക്കാതെ വരുന്നു. ഇത് ചിലരുടെ സ്ഥിരം പല്ലവി ആണ്. അങ്ങനെയെങ്കില്‍ അത് താണ് താണ് ചെന്ന് ഒന്നാം ക്ലാസിലെ അധ്യാപകനില്‍ച്ചെന്നു നില്‍ക്കും.
2.മന:പാഠം പഠിക്കലാണ് ഒന്നാം തരം ശേഷി. അതു ഗുരുവിന്റെ വീട്ടില്‍ താമസിച്ചുകൊണ്ടാണെങ്കില്‍ ഭാരതീയ സംസ്ക്കാരത്തിനു വലിയ മുതല്‍ക്കൂട്ടാവുകയും ചെയ്യും!
3.പാഠപുസ്തകം കുട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്ന പഠനസഹായികളില്‍ പ്രധാനപ്പെട്ടതും എപ്പോഴും കുട്ടിയോടൊപ്പമുള്ളതുമാണ്. അവയിലെ ഭാഷ മാത്രമല്ല കെട്ടും മട്ടും ആകര്‍കമായിരിക്കണം എന്നുള്ളത് ആര്‍ക്കാണറിഞ്ഞു കൂടാത്തത്. അതിന് ഭാഷയെന്നോ സയന്‍സെന്നോ ഗണിതമെന്നോ അതിര്‍വരമ്പുകളില്ലാ എന്നും അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ടതാണ്.
4. ഏതെങ്കിലും ഒരു വിഷയം ആനയാണ് കുതിരയാണ് എന്നു പറയുന്നത് പലപ്പോഴും ഒന്നുകില്‍ മിഥ്യാഭിമാനം മൂലമോ അല്ലെങ്കില്‍ മറ്റു വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അജ്ഞതമൂലമോ ആണ്.
5. പഠിതാവ് ഒരിക്കലും ഒരു ശ്രോതാവ് മാത്രം ആകരുത് എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ മാത്രം പോരാ അതെങ്ങനെയാണെന്ന് ചിന്തിക്കുകയും കൂടി വേണം.
6. കായികപരിശീലനം, ഡാന്‍സ്, സംഗീത പഠനം എന്നിവയെക്കുറിച്ചു കൂടി അങ്ങ് പഠിക്കണമെന്ന് താഴ്മയോടെ അറിയിക്കുന്നു

Krishnan May 21, 2011 at 8:04 AM  

@ jamesphilip

ഇപ്പോഴത്തെ ഗണിതപഠനം യുക്തിചിന്ത വളര്‍ത്തുന്നില്ല എന്നു പറഞ്ഞിരുന്നല്ലോ. 5, 6, 7 ക്ലാസുകളിലെ പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ശരിക്കു വായിച്ചിട്ടുതന്നെയാണോ ഈ അഭിപ്രായം പറഞ്ഞത് എന്നൊരു സംശയം. ഉദാഹരണമായി, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ചില കാര്യങ്ങള്‍ നോക്കൂ:

1. $\frac{2}{3}$ എന്നതിനെ "മൂന്നു തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കിയതില്‍ രണ്ടെണ്ണം" എന്നു മാത്രം വ്യാഖ്യാനിച്ചാല്‍, $\frac{3}{2}$ നെ എങ്ങിനെ വ്യാഖ്യാനിക്കും? (അഞ്ചാംക്ലാസ്, ആറാംക്ലാസ്)

2. $3\times5$ എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം, $5+5+5$ എന്നാണല്ലോ. അപ്പോള്‍, $\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}$ എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം എന്താണ്‌ ? (ആറാംക്ലാസ്)

3. 5 സെന്റിമീറ്റര്‍ നീളവും, 3 സെന്റിമീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള ചറ്റുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, $5\times3=15$ ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റര്‍ എന്നു പറയുന്നത്, അതി നുള്ളില്‍ വശങ്ങള്‍ 1 സെന്റിമീറ്ററര്‍ ആയ 15 സമചതുരങ്ങള്‍ അടുക്കാം, എന്നതിനാലാണല്ലോ. അപ്പോള്‍, $\frac{1}{5}$ സെന്റിമീറ്റര്‍ നീള വും $\frac{1}{3}$ സെന്റിമീറ്റര്‍ വീതിയുമുള്ള $\frac{1}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{15}$ ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റര്‍ എന്നു പറയുന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനം എന്താണ്‌ ? (ആറാംക്ലാസ്)

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ മറ്റൊരു ഭിന്നസംഖ്യകൊണ്ടു ഹരിക്കുക എന്നലെന്താണ്‌ അര്‍ത്ഥം? ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍, ഈ ഹരണം വ്യുത്ക്രമം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനം ആകുന്നതെങ്ങിനെ? (ആറാംക്ലാസ്)

ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങളോ, അവയുടെ വിശകലങ്ങളോ, പണ്ടത്തെ ഗണിതപഠനത്തില്‍ ഇല്ലായിരുന്നു. (CBSE പോലുള്ള പാഠ്യരീതിയില്‍ ഇന്നും ഇല്ല.)
ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍, അന്നത്തെ ഗണിതപഠനം കൂടുതലും ക്രിയാപരം (computational)ആയിരുന്നു. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ്‌, അവതരണത്തിന്റെ ഭാഷയില്‍ അധികം ശ്രദ്ധിക്കാതെ, കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ വേഗതയിലും കൃത്യതയിലും മാത്രം ഊന്നല്‍കൊടുത്തിരുന്നത്. അതിനുപകരം ഗണിതപഠനംകൂടുതല്‍ ആശയപരം (conceptual) ആക്കാനാണ്‌ ഇന്നത്തെ ശ്രമം. ആശയങ്ങള്‍ കൈമാറാന്‍ ഭാഷ നന്നാകേണ്ടതുണ്ടല്ലോ; ക്രിയകള്‍
നിര്‍ദ്ദേശിക്കുക മാത്രമാണ്‌ ഉദ്ദേശ്യമെങ്കില്‍, ഭാഷ അത്ര കാര്യമാക്കേണ്ടതില്ലതാനും.

ഒരു കാര്യം കൂടി, വിമര്‍ശനങ്ങള്‍ പറയുമ്പോള്‍, സാമാന്യമായ പ്രസ്താവനകളല്ലാതെ ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍കൂടി പറഞ്ഞാല്‍, ചര്‍ച്ചകള്‍ക്ക് കൂടുതല്‍ അര്‍ത്ഥമുണ്ടാകുകയും, ഉപയോഗകരമാവുകയും ചെയ്യും എന്നു തോന്നുന്നു.

JOHN P A May 21, 2011 at 8:12 AM  

ജെയിംസ് ഫിലിപ്പ് സാര്‍ പറഞ്ഞ ഒരു കാര്യത്തോട് യോജിക്കാം.ഒന്നുമാത്രം.മൊത്തത്തിലുള്ള സാറിന്റെ വീക്ഷിണത്തോട് ചേര്‍ന്നുനില്‍ക്കാന്‍ എനിക്കാവില്ല.
കുട്ടി ഉല്ലാസനൗകയിലെ യാത്രികനാവരുത്.പലപ്പോഴും അങ്ങനെ സംഭവിച്ചുപോകുന്നു.ഇതിനുകാരണം കരിക്കുലമോ,കുട്ടിയോ അല്ല.പട്ടിക പഠിപ്പിക്കരുതെന്നോ,അക്ഷരം പഠിപ്പിക്കുന്നത് അപരാധമാണെന്നോ ആരും പറഞ്ഞിട്ടില്ല.ആവര്‍ത്തനവും പരീശീലനവും രണ്ടാണ്.അത് രണ്ടായിതന്നെ കാണണം.വ്യക്തമായി ബോധ്യപ്പെടാതെ ,അന്തിമഫലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉള്‍ക്കാഴ്ചയില്ലാതെ അധ്യാപകര്‍ പലരും തയ്യാറാക്കുന്ന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ കുട്ടികളെ വെറും നൗകാസഞ്ചാരികളാക്കിയേക്കാം.അത് മാറ്റണം.

Shankar May 21, 2011 at 11:24 AM  

ഉള്‍ക്കാഴ്ചയില്ലാതെ അധ്യാപകര്‍ പലരും തയ്യാറാക്കുന്ന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ കുട്ടികളെ വെറും നൗകാസഞ്ചാരികളാക്കിയേക്കാം......

ഗണിത ശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന അധ്യാപകര്‍ തന്നെ പല സ്കൂളുകളിലും ഫിസിക്സും ഇംഗ്ലീഷും പഠിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്.അവിടെ ഒന്നും ഇല്ലാത്ത ഈ നൌകാ സഞ്ചാരം ഗണിതത്തില്‍ മാത്രം വരാന്‍ എന്താണ് കാരണം?

JOHN P A May 22, 2011 at 2:07 PM  

@Sankar sir
എല്ലാവിഷയത്തിലും ഇതൊക്കെ സംഭവിക്കുന്നുണ്തു സാര്‍.ഇല്ലെന്ന് ഉറപ്പിച്ചുപറയാന്‍ സാറിനു പറ്റുമോ? ഇവിടെ ഒരു പ്രത്യേക വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചയുടെ ഭാഗമായി പറഞ്ഞു . ഇത്രമാത്രം

Shankar May 22, 2011 at 4:11 PM  

........എല്ലാവിഷയത്തിലും ഇതൊക്കെ സംഭവിക്കുന്നുണ്തു.............

പക്ഷെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ സംഭവിക്കുന്ന അത്ര മറ്റു വിഷയങ്ങളില്‍ സംഭവിക്കുന്നില്ലല്ലോ.

കരിക്കുലമോ കുട്ടിയോ അല്ല ഇതിനു കാരണം എന്ന് സാര്‍ പറഞ്ഞു കഴിഞ്ഞു.പിന്നെ അദ്ധ്യാപകന്‍ ആണോ?

അദ്ധ്യാപകന്‍ ആണെങ്കില്‍ ഇതേ അധ്യാപകന്‍ പഠിപ്പിക്കുന്ന മറ്റു വിഷയങ്ങളില്‍ എന്ത് കൊണ്ട് ഇത് സംഭവിക്കുന്നില്ല.

GMHS PALAKUZHA May 23, 2011 at 6:24 PM  

Krishnan Sir
post-1
എന്റെ രണ്ടാം post ആദ്യം വന്നു . അതുകൊണ്ട് ഒന്നാം post രണ്ടാമതായി publish ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

School വിദ്യാഭ്യാസത്തില്‍ ഓരോ വിഷയവും പഠിക്കുന്നതിലൂടെ ഓരോ കുട്ടിയും നേടേണ്ട ശേഷികള്‍ എന്തെല്ലാമാണ് ?

1. മലയാളം പഠിക്കുന്നതിലൂടെ ഭാഷാഭിരുചി, സാഹിത്യവാസന, കലാവാസന, ആസ്വാദനം, മുതലായ കഴിവുകളാണ് വികസിക്കേണ്ടത്.
2. അതുപോലെ തന്നെ ഇംഗ്ളീഷും ഹിന്ദിയും
3. സയന്‍സ് പഠിക്കുന്നതിലൂടെ നിരീക്ഷണപാഠവം മുതലായ കഴിവുകളാണ് വികസിക്കേണ്ടത്.
4. സോഷ്യല്‍ സയന്‍സ് പഠിക്കുന്നതിലൂടെ അന്വേഷണബുദ്ധി, സാംസ്കാരിക വികസനം, വ്യക്തിത്വവികസനം മുതലായ കഴിവുകളാണ് വികസിക്കേണ്ടത് .
5. ഒരു കായികാദ്ധ്യാപകന്‍ കുട്ടികളെ പരിശീലിപ്പിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് ചിന്തിച്ചു നോക്കുക. ലക്ഷ്യത്തിലെത്തണമെന്കില്‍ യാതൊരു വിട്ടുവീഴ്ചയും പാടില്ല. ചിട്ടയോടുകൂടിയ പരിശീലനമാണ് ആരോഗ്യകരമായ ശരീരം രൂപപ്പെടുത്തിയെടുക്കാന്‍ ആവശ്യം
6. ഇനി ഗണിത പഠനത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഗണിത പഠനത്തിലൂടെ പ്രധാനമായും വികസിക്കേണ്ട കഴിവുകള്‍ ഏതൊക്കെയാണ്?
യുക്തിചിന്ത
വേഗത
കൃത്യത എന്നിവയാണ്

മറ്റെല്ലാ ശേഷികളും മററുള്ള വിഷയങ്ങള്‍ പഠിക്കുന്നതിലുടെ കുട്ടികള്‍ നേടിക്കൊള്ളും. എന്നാല്‍ ഈ മൂന്നു ശേഷികളും ഗണിതഅദ്ധ്യാപനത്തിലൂടെ കൈവരിക്കേണ്ട ശേഷികളാണ്. ഒരു മലയാളം അദ്ധ്യാപകന്‍ തങ്ങളുടെ കുട്ടികളില്‍ മേല്പറഞ്ഞ ശേഷികള്‍ വളര്‍ത്തിയെടുക്കുകയെന്ന ലക്ഷ്യത്തോടെ മാത്രമാ ണ് പഠിപ്പിക്കുന്നത്. അതുപോലെതന്നെ സയന്‍സ്, സോഷ്യല്‍ സയന്‍സ് അദ്ധ്യാപകരും. എന്നാല്‍ ഗണിത അദ്ധ്യാപകര്‍ക്ക് മാത്രം തങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുവാന്‍ കഴിയുന്നില്ല. കാരണം പാഠപുസ്തകത്തിലെ വിഷയാവതരണംതന്നെ. ഗണിതഅദ്ധ്യാപകന്‍ ഗണിതഅദ്ധ്യാപനത്തിലൂടെ ഭാഷാഭിരുചി കലാവാസന, ആസ്വാദനം നിരീക്ഷണപാഠവം അന്വേഷണബുദ്ധി, സാംസ്കാരിക വികസനം,വ്യക്തിത്വവികസനം എന്നീ ശേഷികളെല്ലാം വികസിപ്പിച്ച ശേഷം വേണം നമ്മുടെ സ്വന്തം ശേഷികളായ യുക്തിചിന്ത
വേഗത കൃത്യത എന്നിവയിലേക്ക് പ്രവേശിക്കാന്‍. നമുക്ക് നമ്മുടെ കുട്ടികളുടെ ശേഷികള്‍ നേടുന്നതിനാവശ്യമായവിധം പാഠഭാഗങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കുകയായിരുന്നു വേണ്ടിയിരുന്നത്. 5,6,7 ക്ലസുകളില്‍
കുട്ടികള്‍ ഗണിതപഠനത്തില്‍ ആസ്വാദകരും, കളിക്കളത്തിനു പുറത്തിരുന്ന് കളി കാണുന്നവനുമാണ്. പുസ്തകത്തിലെ കുട്ടിയെ പരിസരത്തോടിണക്കാനാണ് രചയിതാക്കള്‍ ശ്രമച്ചിരിക്കുന്നത്.ഇതൊന്നും ഗണിതഅദ്ധ്യാപകരുടെ പണിയല്ല. അതിന് വേറെ വിഷയങ്ങളും അദ്ധ്യാപകരും അവര്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട ശേഷികളും ഏതെന്ന് സര്‍ക്കാര്‍ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.

GMHS PALAKUZHA May 23, 2011 at 6:32 PM  

post3
krishnan Sir
ഞാന്‍ പ്രധാനമായും മൂന്നു കാര്യങ്ങളിലൂന്നിയാണ് എന്റെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പറയുന്നത്
1.ഗണിത പഠനത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.
യുക്തിചിന്ത രൂപപ്പെട്ട ഒരു കുട്ടിക്ക് വേണ്ടത് വേഗതയും കൃത്യതയും ആണ്. ഞാന്‍ ഉദാഹരണസഹിതം negative aproach എന്നു പറഞ്ഞത് അതിനെയാണ്. ആവര്‍ത്തിക്കുന്നില്ല.എങ്കിലും മറുപടി തൃപ്തികരമല്ലതാനും. രണ്ടനിലയുള്ള വീടു് പണിയുന്ന ഒരാള്‍ തറപണി കഴിഞ്ഞു എന്നു കരുതുക. അദ്ദേഹം രണ്ടാമത്തെ നില ആദ്യം പണിയുന്നു എന്നു കരുതുക. അതിനുശേഷം ഒന്നാമത്തെനില പണിയുന്നു. എങ്ങനെയിരിക്കും? ഒരുപക്ഷേ ഫ്ലാറ്റ് പണിയുന്നവര്‍ക്ക് ഇത് സാധിക്കുമായിരിക്കും.ഏറ്റവും മുകളലത്തെനില ആദ്യം പൂര്‍ത്തിയാക്കുക ,പിന്നീട് താഴേക്ക് ക്രമത്തിന്. ഈ രീതിയാണ് വൃത്തം എന്ന പാഠഭാഗത്തില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്. മട്ടകോണിനേയും, ചാപത്തിലെ കോണിനേയും, കേന്ദ്ര കോണിനേയും , എല്ലാം പറഞ്ഞ ശേഷം ഇതിനു പുറത്തു രൂപപ്പെടുന്ന ആകൃതിയാണ് വൃത്തം എന്നാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് . ഇത് ഫ്ലാറ്റ് സംസ്കാരമല്ലേ എന്ന് ഞാന്‍ സംശയിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതി , പരപ്പളവ് , രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്നിവയില്‍ സിദ്ധാന്ത ശിരോമണിയില്‍ നിന്നുള്ള രീതികളും, ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രഞന്മാരുടെ പ്രയോഗ രീതികളും ആയിരുന്നു ഉപയോഗിക്കേണ്ടിയിരുന്നത്. അതായത് നേരിട്ട് യുദ്ധം ചയ്ത് എതിരാളിയെ കീഴടക്കുന്ന രീതിയാണ് സി ദ്ധാ ന്തശിരോമണിയില്‍ ഉള്ളത് . അതുകൊണ്ടാണ് തത്വങ്ങള്‍ തെളിയിച്ചപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്തപ്പോഴും നമുക്ക് ആസ്വദിച്ച് ചെയ്യാന്‍ കഴിഞ്ഞിരുന്നത്.യുദ്ധത്തില്‍ എതിരാളിയെ പിന്നില്‍ നിന്ന് ആക്രമിച്ച് കീഴടക്കുന്ന രീതിയാണ് ഇപ്പോഴത്തെ ഗണിത പുസ്തകത്തില്‍ സ്വീകച്ചിക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ടാണ് തത്വങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും അവതരിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് പഴയമതിരി ആസ്വദിക്കാനാകാത്തത്. ടെക്സറ്റില്‍ 122,123 page കള്‍ കാണുക. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രം മാത്രമേ മൂലബിന്ദു ആകാവൂ എന്ന് എങ്ങനെ പറയാം.ചതുരത്തിന്റെ നാലു മൂലകളും മൂലബിന്ദുക്കള്‍(origin) ആയിക്കൂടേ? എത്ര കഷ്ടപ്പട്ടിട്ടാണ് മൂലബിന്ദു വിനെ ചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തില്‍ കൊണ്ടുവന്നിട്ട് അക്ഷങ്ങളെ അതിലേക്ക് പറിച്ച് നട്ടശേഷം ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനം നിര്‍ണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതുംമൂലബിന്ദു ചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദുവാണ് എന്ന തെറ്റിദ്ധാരണ ഉണ്ടാകുന്നവിധത്തില്‍. circle , sequence, trigonometry, solids ഇവയിലെല്ലാം ഈ negative aproach ഉണ്ട്. ഏത് field – ല്‍ ആണെങ്കിലും താളം കണ്ടെത്തിയ ഒരു കുട്ടിയെ പന്നോട്ട് ചിന്തിപ്പിച്ച (ചിന്തിപ്പിക്കുന്ന) ഈ രീതിയെയാണ് ഞാന്‍ എതിര്‍ക്കുന്നത്.ഈ സാഹചര്യത്തിലാണ് അദ്ധ്യാപകന്‍ വെറും driver-ഉം കുട്ടി ഉല്ലാസ നൗകയിലെ വെറുമൊരു യാത്രക്കാരനുമായിത്തീരുന്നത്.

Krishnan May 23, 2011 at 8:25 PM  
This comment has been removed by the author.
Krishnan May 24, 2011 at 6:41 AM  

GMHS PALAKUZHA (jamesphilip ?):
"മട്ടകോണിനേയും, ചാപത്തിലെ കോണിനേയും, കേന്ദ്ര കോണിനേയും, എല്ലാം പറഞ്ഞ ശേഷം ഇതിനു പുറത്തു രൂപപ്പെടുന്ന ആകൃതിയാണ് വൃത്തം എന്നാണ്
പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്."

അങ്ങിനെയല്ലെന്നും, കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ചു വരച്ചും, അതില്‍നിന്ന്‌ കേന്ദ്രം, ആരം എന്നീ ആശയങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ വ്യാഖ്യാനിച്ചും മനസിലാക്കിയ
വൃത്തത്തിനെ കോണുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലും വ്യാഖ്യാനിക്കാം എന്നതാണ്‌ പത്താംക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളുടെ ചര്‍ച്ചയുടെ കാതല്‍ എന്നുംപറഞ്ഞു കഴിഞ്ഞല്ലോ.

"അതും മൂലബിന്ദു ചതുരത്തിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദുവാണ് എന്ന തെറ്റിദ്ധാരണ ഉണ്ടാകുന്നവിധത്തില്‍."

ആദ്യം മൂലയിലും. പിന്നീട് മധ്യത്തിലും മൂലബിന്ദു എടുക്കുന്നതിലൂടെ, മൂലബിന്ദു സൗകര്യമനുസരിച്ച് എവിടെയുമാകാം എന്നല്ലേ അര്‍ത്ഥമാകുന്നത്?
മധ്യബിന്ദുവാകുമ്പോള്‍, മുറിച്ചെടുക്കേണ്ട ചതുരത്തിന്റെ മൂലകളുടെ സൂചകസംഖ്യകള്‍ ഓര്‍ക്കാന്‍ എളുപ്പമുള്ള രൂപത്തിലാകുന്നുണ്ട്.

"രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്നിവയില്‍ സിദ്ധാന്ത ശിരോമണിയില്‍ നിന്നുള്ള രീതികളും, ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രഞന്മാരുടെ പ്രയോഗ രീതികളും ആയിരുന്നു
ഉപയോഗിക്കേണ്ടിയിരുന്നത്."

ഗണിതം ഭാരതീയരുടെ മാത്രം കുത്തകയാണെന്നു ഞാന്‍ കരുതുന്നില്ല. പ്രാചീന ഭാരതത്തിലെ ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളിലെല്ലാം, യുക്തിയേക്കാള്‍ ക്രിയകളാണ്‌
വിവരിച്ചിരിക്കുന്നത്. (എട്ടാംക്ലാസിലെ സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്ന പാഠത്തില്‍ മിക്കവാറും ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയാണ്‌ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതെന്നും കാണുക.)

"ത്രികോണമിതി , പരപ്പളവ് , രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങള്‍ എന്നിവയില്‍ സിദ്ധാന്ത ശിരോമണിയില്‍ നിന്നുള്ള രീതികളും, ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രഞന്മാരുടെ പ്രയോഗ രീതികളും ആയിരുന്നു ഉപയോഗിക്കേണ്ടിയിരുന്നത്."

ഒരു ചെറിയ കാര്യം ചോദിച്ചോട്ടെ? വശങ്ങളുടെ നീളം $\frac{1}{2}$ ഉം $\frac{1}{3}$ ഉം ആയ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് $\frac{1}{6}$ എന്നെടുക്കുന്നതിന്റെയും, വശങ്ങളുടെ നീളം $\sqrt{2}$ ഉം $\sqrt{3}$ ഉം ആയ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് $\sqrt{6}$ എന്നെടുക്കുന്നതിന്റെയും യുക്തി, ഏതെങ്കിലും ഭാരതീയ ഗണിതഗ്രന്ഥം ഉപയോഗിച്ചു
വിവരിക്കാമോ?

Arunbabu May 25, 2011 at 11:44 AM  

1,0,-1 enna A.P yile 25 padangalude sum kanan last term kandupidichittano cheyyendathu.n/2{2a+(n-1)d} enna formula use cheythukoode.....puthiya bookil 2 formulaye sum kananullooo... athu matram follow cheythal mathiyo....

anjana May 25, 2011 at 11:58 AM  

Dear Krishnan sir,
'പദങ്ങളെല്ലാം എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളായ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ആനേകം പദങ്ങളുണ്ട് . അവയിലൊരെണ്ണം പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായാല്‍ പൂര്‍ണ്ണ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളായ അനേകം പദങ്ങള്‍ ആ ശ്രേണിയില്‍ ഉണ്ടാകുമെന്ന് സ്ഥാപിക്കുക.ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ പദം പോലുമില്ലാത്ത പദങ്ങളെല്ലാം എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളായ ശ്രേണി ഉണ്ടാകുമോ?'
Reply soon

ഫിലിപ്പ് May 25, 2011 at 12:24 PM  

അഞ്ജന ടീച്ചര്‍,

റസിമാന്റെ ഈ കമന്റ് നോക്കൂ.

-- ഫിലിപ്പ്

Krishnan May 25, 2011 at 1:25 PM  

@ Arunbabu

സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം കഴിയുന്നിടത്തോളം കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്‌, പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ ഒരുദ്ദേശ്യം. 1 മുതല്‍ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണല്‍സംഖ്യ വരെയുള്ള തുക, ആ എണ്ണല്‍സംഖ്യയുടേയും, തൊട്ടടുത്ത എണ്ണല്‍സംഖ്യയുടേയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്‌ എന്ന ഒറ്റ വസ്തുത ഉപയോഗിച്ച്, ഏതു സമാന്തരശ്രേണിയുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കാമല്ലോ.

ഉദാഹരണമായി, ചോദ്യത്തിലെ, $1,0,-1,\dotsc$ എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിലെ $25$ പദങ്ങളുടെ തുക
\begin{equation*}
\begin{split}
& 1+0+(-1)+(-2)+\dotsb+(-23)\\
& \qquad = 1-(1+2+\dotsb+23)\\
& \qquad = 1-\tfrac{1}{2}\times23\times24\\
& \qquad = -275
\end{split}
\end{equation*}
എന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വിഷമമില്ല. ഒരു പക്ഷേ, മനക്കണക്കായിത്തന്നെ ഇതു കുട്ടികള്‍ക്കു ചെയ്യാന്‍ കഴിഞ്ഞേയ്ക്കും

sreejith May 25, 2011 at 2:25 PM  
This comment has been removed by the author.
sreejith May 25, 2011 at 3:36 PM  
This comment has been removed by the author.
sreejith May 25, 2011 at 3:45 PM  
This comment has been removed by the author.
Arunbabu May 25, 2011 at 6:03 PM  

maths text page 15 second question answer f+2d alle...

JOHN P A May 25, 2011 at 6:24 PM  

Dear Arunbabu sir
ആദ്യത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നാംസംഖ്യ എഴുതണമത്രേ.
ഉത്തരത്തില്‍ ആദ്യസംഖ്യയും രണ്ടാംസംഖ്യയും മാത്രം കാണപ്പെടണം.
മൂന്നാം സംഖ്യ = 2* രണ്ടാംസംഖ്യ - ഒന്നാംസംഖ്യ എന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ എളുപ്പമാണ്.
x, y സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായ പദങ്ങളായാല്‍ മൂന്നാം പദം കിട്ടാന്‍ ((y-x)*2)+x എന്നെഴുതിയാല്‍ അത് 2y-x ആകുമല്ലോ.ഉത്തരത്തില്‍ തന്നിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ മാത്രമേയുള്ളൂ.
സംഖ്യാപ്രശ്നമാണെങ്കില്‍ ഇത്തരം അവ്യക്തത ഉണ്ടാകില്ലല്ലോ

Krishnan May 25, 2011 at 6:42 PM  

@ Arunbabu: "maths text page 15 second question answer f+2d alle..."


ചോദ്യം ഒന്നുകൂടി ശരിക്കു വായിക്കൂ. ആദ്യത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കുന്ന ബീജഗണിത വാചകം അല്ലേ വേണ്ടത്? ആദ്യത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ $x$, $y$ എന്നെടുത്താല്‍, വ്യത്യാസം $y-x$. മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയിലെത്താന്‍ ഇതുതന്നെയാണ്‌ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയോട് കൂട്ടേണ്ടത്. അതായത്, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ $y+(y-x)=2y-x$

കുട്ടികളോടു പറയുമ്പോള്‍, സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കുറേ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ചെയ്യിച്ചശേഷം, പതുക്കെ ബീജഗണിതത്തിലേയ്ക്ക് നീങ്ങുകയാവും നല്ലത്.

ഇനി ഇതും ഒരു സൂത്രവാക്യമാക്കി, ഇതുപയോഗിച്ച് കൂടുതല്‍ കണക്കുകള്‍ ചെയ്യിക്കേണ്ട. ബീജഗണിതവാചകങ്ങളേക്കാള്‍ പ്രധാനം, അവ ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന യുക്തിയാണ്‌. പലതരം ഗണിതസന്ദര്‍ഭങ്ങളെ ബീജഗണിതം എന്ന ഭാഷയില്‍ അവതരിപ്പിക്കാനുള്ള കഴിവു കുട്ടികളില്‍ വളര്‍ത്താനാണ്‌ ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍; അര്‍ത്ഥമറിയാത്ത ബീജഗണിതവാചകങ്ങളില്‍ സംഖ്യകള്‍ തിരുകിക്കയറ്റി എങ്ങിനെയോ ഒരു ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാനല്ല.

Anjana May 25, 2011 at 8:17 PM  

മുകളില്‍ കൃഷ്ണന്‍ സാറിനോട് സംശയം ചോദിച്ച അഞ്ജന(anjana May 25, 2011 11:58 AM) ഞാനല്ല! :-)

Legent May 25, 2011 at 8:22 PM  

thanks for the answers

Anjana May 25, 2011 at 10:54 PM  

ശ്രീ ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാര്‍ ,
നാളെ ആരെങ്കിലും ജനാര്‍ദ്ദനന്‍.സി.എം എന്ന പേരില്‍ Mathsblog - ല്‍ എഴുതി തുടങ്ങിയാല്‍ എന്തുചെയ്യും? :-)

sreejith May 26, 2011 at 5:25 AM  
This comment has been removed by the author.
PUSHPAJAN May 26, 2011 at 7:19 AM  

KRISHNAN SIR,
PAGE NO 10 le 1000,995,990,... ennathu ithinte practical application il undavumo? athu AP aakumo? because water level decrease cheyyumbol liquid pressure decrease cheyyum. athu vazhi waterfow/minute decreases. pinnengane athu AP aakum?

jamesphilip May 26, 2011 at 5:52 PM  

Krishnan sir


ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ യുക്തിചിന്തയും ക്രിയകളും ഭാര്യാ ഭര്‍ത്താക്കന്മാരും, വേഗതയും കൃത്യതയും അവരുടെ കുട്ടികളുമാണ്. ഭര്യയാല്‍ സ്വാധീനിക്കപ്പെടുന്ന ഭര്‍ത്താവുണ്ടാകാം,ഭര്‍ത്താവിനാല്‍ സ്വാധീനി ക്കപ്പെടുന്ന ഭാര്യയുണ്ടാകാം, ഭാര്യയും ഭര്‍ത്താവും അഭിപ്രായങ്ങള്‍ ഷെയര്‍ ചെയ്ത് ജീവിക്കുന്ന കുടുംബങ്ങളും ഉണ്ട്. കുടുംബമായാല്‍ കുട്ടികള്‍ വേണം. മേല്പറഞ്ഞ കുടുംബങ്ങളില്‍ കുട്ടികള്‍ ഉണ്ടാകുന്നതിന് തടസ്സമൊന്നുമില്ലതാനും. ഞാനുദ്ദേശിച്ചത് യുക്തിചിന്തയിലൂടെ ക്രിയകള്‍ രൂപപ്പെടാം ക്രിയകളിലൂടെ യുക്തിചിന്തയുംരൂപപ്പെടാം , രണ്ടും കൂടി ഒന്നിച്ചു പോകുകയുമാകാം. ഇതു രണ്ടും രണ്ടു ദിശകളില്‍ സഞ്ചരിച്ചാല്‍ കലഹിച്ചു കഴിയുന്ന ഭാര്യാ ഭര്‍ത്താക്കന്മാരുടെകുടുംബത്തിന്റെ സ്ഥിതിയിലാകും ഗണിതപഠനം. ഉദാ- 1/2,1/3,1/4,1/5,.......... സമാന്തര ശ്രേണിയാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കാന്‍ കുട്ടികളോടാവശ്യപ്പെട്ടു. കുട്ടികള്‍ 1/3 - ½ = 1/1 ,1/4 – 1/3 = 1/1 … എന്ന് കണ്ട് പടിച്ചു. സമാന്തര ശ്രേണിയാണ് എന്ന് തെളിയിച്ചു. ശരിയാണോയെന്ന് വീണ്ടും ചോദിച്ചു , ശരി എന്ന് ഒരേ സ്വരത്തില്‍ ഉത്തരം പറയുകയും ചെയ്തു. അദ്ധ്യാപക ശാക്തീകരണപരിപടിയില്‍ SRGതലം മുതല്‍ ഞങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പില്‍ വരെ അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കുണ്ടായ അനുഭവം ഏതാനും പേര്‍ വിശദീകരിച്ചു. ഞാനും എന്റെ വദ്യര്‍ത്ഥികളില്‍ ഇത് പരീക്ഷിച്ചു നോക്കി. ഏതാനും കുട്ടികള്‍ അറിയില്ല യെന്ന് പറഞ്ഞു. ബാക്കിയുള്ളവര്‍ correct ഉത്തരത്തില്‍ എത്തിച്ചേരുകയും ചെയ്തു. വിവിധ അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കുണ്ടായ അനുഭവത്തെ മുന്‍നിര്‍ത്തി ഇവിടെ പല സാദ്ധ്യതകളാണുള്ളത് . യുക്തിചിന്തയും ക്രിയകളും ഭാര്യാ ഭര്‍ത്താക്കന്മാരായ കുടുംബത്തില്‍ കുട്ടികള്‍ പിറന്നില്ല. Or ഒരു കുട്ടിയേ ജനിച്ചുള്ലു.Or കലഹം മൂലം ഭാര്യയും ഭര്‍ത്താവും രണ്ടിടത്തു താമസിക്കുന്നതിനാല്‍ കുട്ടിക്ക് കിട്ടേണ്ട സ്നേഹം യഥാസമയം കിട്ടിയിട്ടില്ല. Or കലഹംമൂലം ഭാര്യയും ഭര്‍ത്താവും നേരത്തേ തന്നേ divorce ആയി. Or തന്റേതല്ലാത്ത കാരണത്താല്‍ ഭര്‍ത്താവു് വഭാര്യനോ ഭാര്യ വിധവയോ ആയി കഴിയുക. എന്തായാലും ഭര്യാഭര്‍ത്തൃ ബന്ധം നല്ല രീതിയിലല്ല എന്ന് വ്യക്തമണ്. അതുകൊണ്ട് എന്താണ് നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ സംഭവിച്ചത് എന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അതു പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ( പാഠപുസ്തകത്തില്‍ യുക്തിചിന്ത ഉണ്ട് എന്നത് ഞാന്‍ അംഗീകരിക്കുന്നു. അടച്ചാക്ഷേപിക്കുക എന്നുള്ളതല്ല എന്റെ ലക്ഷ്യം . തെറ്റിദ്ധരിക്കരുത്). ഭാഷാപഠനം ഇന്ന് സിനിമ എഡിറ്റിങ് മുതല്‍ സംവിധാനം വരെ എത്തി നില്കുകയാണ് . ഗണിതപഠനവും ഭാഷാപഠനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ് ? ഭാഷാപഠനത്തില്‍ കുട്ടി ക്ലാസില്‍ കേള്‍ക്കുകയും കാണുകയും ചെയ്തശേഷം വീട്ടിലിരുന്ന് (ക്ലാസിനു പുറത്ത്)ചിന്തിക്കുകയും എഴുതുകയും ചെയ്താല്‍ മതി. എന്നാല്‍ ഗണിതപഠനത്തില്‍ കുട്ടി വീട്ടിലിരുന്ന് (ക്ലാസിനു പുറത്ത്) കേള്‍ക്കുകയും കാണുകയും ചെയ്തശേഷം ക്ലാസിലിരുന്ന് പ്രവര്‍ത്തിക്കണം . ഗണിതപഠനം, ഭാഷാപഠനം എന്നിവയില്‍ opposite actions ആണ് നടക്കേണ്ടത്. അതുകൊണ്ടാണ് ഭാഷാപഠനത്തെ കലാ പഠനത്തോടും ഗണിതപഠനത്തെ കായികപഠനത്തോടും താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത്. യുക്തിചിന്ത മനസ്സില്‍ ഉണ്ടായാല്‍ മാത്രം പോരാ അത് പ്രാവര്‍ത്തികമാക്കാന്‍ കൂടി അഭ്യസിക്കണം. അതിന് പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ആശയ ആവിഷ്കാരം മാത്രമല്ല ആവശ്യം ക്രിയകളുടെ കൂമ്പാരംകൂടി വേണ്ടിയിരുന്നില്ലേ?

sm kalichanadukkam May 26, 2011 at 10:49 PM  

ജെയിംസ്‌ ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ അഭിപ്രായത്തോട് നൂറു ശതമാനം യോജിപ്പ്.

JOHN P A May 26, 2011 at 11:08 PM  

Dear Pushpajan sir
ഒറ്റവായനയില്‍ ആര്‍ക്കും ചോദിക്കാവുന്ന ചോദ്യമാണ് സാര്‍ ചോദിച്ചത്
സാര്‍ ആ ചോദ്യം ഒന്നു വായിക്കൂ..
1000 ലിറ്റര്‍ സംഭരണി.മിനിറ്റില്‍ 5 ലിറ്റര്‍ വീതം പുറത്തേയ്ക്ക് ഒഴുകുന്നു.
ഇത് ചോദ്യത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകളുല്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഭാഗമാണ.
പ്രഷര്‍ വ്യത്യാസമുണ്ടാകുമെങ്കിലും ഒഴുകു്ന്ന വെള്ളത്തിന്റെ,ദ്രാവകര്രിന്റെ അളവിന് മാറ്റം വരാതെ ക്രമീകുരിക്കാനുള്ള മാഗ്ഗങ്ങള്‍ ഉണ്ട് . (principle of venturimetre)ഇതൊരു സ്വതന്ത്രപ്രവാഹമാണെന്ന് ഒരിടത്തും പറഞ്ഞിട്ടില്ല
ഞാന്‍ ഇപ്പോള്‍ ഇതൊക്കെ പറഞ്ഞത് വെറും വാദത്തിനുവേണ്ടിതന്നെയാണ്
ചോദ്യത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം സുവ്യക്തമാണ്.
അദ്യഭാഗം സംഭവിച്ചാല്‍ ഉണ്ടാകുന്നത് സമാന്തരശ്രേണി തന്നെയാണ് . സംശയമുമണ്ടോ?

JOHN P A May 26, 2011 at 11:46 PM  

Dear james Philip sir
യുക്തിചിന്തയിലൂടെ ക്രീയകള്‍ രൂപപ്പെടാം.
ശരി. അങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്ന ക്രീയകളെ നില നില്‍ക്കുന്നുള്ളൂ എന്നതിന് ഏറ്റവും നല്ല ഉദാഹരണം സാര്‍ കാണിച്ചുതന്നെ ശ്രേണിയാണോ എന്ന ചോദ്യം തന്നെയാണ്.
2 ഇവിടെ സംഭവിച്ചതെന്താണ്.( ആലങ്കാരികതയെക്കുറിച്ചല്ല)ആറാംക്ലാസില്‍ പടിക്കാന്‍ തുടങ്ങുകയും പലക്ലാസുകളിലും ,പലവിഷയങ്ങളിലും ഉപയോദൃഗിക്കുകയും ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ ഭിന്നകസംഖ്യാപഠനത്തില്‍ യുക്തിവിശകലനം നടത്തി ഉറപ്പിക്കുകയും ചെയ്ത ഒരാശയം ദയനീയമായി തെറ്റിഎന്നുമാത്രമല്ല,ശരിയേതാണെന്ന് തിരിച്ചറിയാന്‍പോലും പറ്റാത്തവിധം ക്ല്സിലെ മഹാഭൂരിപക്ഷവും നട്ടംതിരിഞ്ഞുപോയ കാഴ്ചയാണ് അങ്ങ് വരച്ചുകാട്ടിയത്
കാരണം വ്യക്തമാണ്. ആലങ്കാരികഭാഷ ഉപയോഗിക്കാതെ പറയാം
യുക്തിപരമായി ബോധ്യപ്പെടാതെ ആവര്‍ത്തനത്തിലൂടെയും ക്രീയകളിലൂടെയും എളുപ്പത്തില്‍ ഇത് സാധ്യമകാക്കാമെന്ന ധരിച്ചുവശായിപ്പോയി!
അങ്ങനെ സംഭവിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍ അതിനുത്തരവാദി പാഠപുസ്തകമാണെന്നുപറയാനുള്ള മൗഢ്യം വിരലിലെണ്ണാവുന്ന അധ്യാപകര്‍ക്കുമാത്രം അവകാശപ്പെട്ടതാണ്.
ക്രീയകളിലൂടെ യുക്കിചിന്ത ജനിക്കില്ല , വളരില്ല, ഫലംതരില്ല എന്ന് ഇത്രയ്ക്ക് ഭംഗിയായി വരച്ചുകാണിച്ച ജയിംസാറിന് നന്ദി

May 26, 2011 11:45 PM
Delete

Krishnan May 28, 2011 at 8:13 AM  

@jamesphilip

"1/2,1/3,1/4,1/5,.......... സമാന്തര ശ്രേണിയാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കാന്‍ കുട്ടികളോടാവശ്യപ്പെട്ടു. കുട്ടികള്‍ 1/3 - ½ = 1/1 ,1/4 – 1/3 = 1/1 … എന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചു"

ഇതില്‍ അത്ഭുതമില്ല. വളരെമുന്‍പ്, അര്‍ത്ഥമൊന്നും വിശദീകരിക്കാതെ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ക്രിയകള്‍ ചെയ്യിച്ചിരുന്ന കാലത്തും ഇതു തന്നെയായിരുന്നു സ്ഥിതി. സ്കൂള്‍ വിട്ടശേഷം കണക്കു പഠിക്കാത്ത പലരും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ക്രിയകളാണ്‌ ഒട്ടും ഓര്‍മിക്കാത്തത് എന്നു തോന്നിയിട്ടുണ്ട്. പക്ഷേ, ആശാരിമാര്‍, പണമിടപാടുകാര്‍ എന്നിങ്ങിനെയുള്ളവര്‍ പലപ്പോഴും മനക്കണക്കായി ഇത്തരം ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുന്നതും കണ്ടിട്ടുണ്ട്. അപ്പോള്‍ സാഹചര്യങ്ങളില്‍നിന്ന്‌ അടര്‍ത്തിമാറ്റി, കേവലസംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുന്നതാണോ ഇതിനു കാരണം എന്നാലോചിക്കണം.

മറ്റൊരു കാര്യം കൂടി. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ക്രിയകള്‍ ധാരാളം പരിചയപ്പെട്ടതിനുശേഷമാണല്ലോ കുട്ടികളെ ഭിന്നസംഖ്യകള്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നത്. അപ്പോള്‍ $\frac{1}{2}$ ന്റെയും $\frac{1}{3}$ ന്റെയും തുക $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$ എന്നു ചിന്തിച്ചുപോകുന്നതില്‍ തെറ്റില്ല. ഭൗതികസാഹചര്യങ്ങളില്‍ അങ്ങിനെയല്ല എന്ന് എത്ര ബോധ്യപ്പെടുത്തിയാലും, ശരിയായ തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലെ വിഷമം കാരണം, തുക മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞപോലെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞിരുന്നെങ്കില്‍ എന്നാശിക്കുന്നതിലും തെറ്റില്ല. (ഈ ക്രിയയ്ക്ക് mediantഎന്നാണ്‌ പേര്‌-; freshman sum എന്നും തമാശയായി പറയാറുണ്ട്. അമേരിക്കയില്‍, ഹൈസ്കൂളിലെ ആദ്യവര്‍ഷ വിദ്യാര്‍ത്ഥിയെയാണ്‌ freshman എന്നു വിളിക്കുന്നത്.) സംഖ്യകളുടെ ക്രിയകള്‍, അവ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങള്‍ക്കനുസരിച്ചാണ്‌ രൂപപ്പെടുത്തേണ്ടത് എന്ന
തിരിച്ചറിവുകൊണ്ടു മാത്രമേ ഇതിനെ മറികടക്കാന്‍ കഴിയുള്ളു എന്നു തോന്നുന്നു. ഇത്തരമൊരു ചിന്തയാകട്ടെ, പതുക്കെ മാത്രമേ ഉണ്ടാകുകയുള്ളു.അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ്‌ ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ ഭിന്നകസംഖയകളെക്കുറീച്ചുള്ള പാഠത്തിലെ ഒരു പാര്‍ശ്വചിന്തയായി ഇത് അവതരിപ്പിച്ചത് (24, 25 പേജുകളില്‍)

കൂട്ടത്തില്‍ പറയട്ടെ, $\frac{a}{b}$, $\frac{p}{q}$ എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളില്‍നിന്ന്‌ $\frac{a+p}{b+q}$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുന്ന
ക്രിയ രണ്ടു ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുക കാണുന്നതിന്‌ ഉപയോഗിക്കാന്‍ കഴിയില്ലെങ്കിലും. രണ്ടു ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഇടയിലുള്ള മറ്റൊരു ഭിന്നസംഖ്യ കാണാന്‍ ഉപയോഗിക്കാം. അപ്പോള്‍ ഹൈസ്കൂളിലെ കുട്ടികള്‍ ആദ്യം പറഞ്ഞ തെറ്റ് (?) വരുത്തുമ്പോള്‍ അതില്‍ വിഷമിക്കാതെ, അവരെ ശാസിക്കാതെ, ഇക്കാര്യങ്ങള്‍ വിശദീകരിക്കുകയും, വേണമെങ്കില്‍ Farey sequence, Stern-Brocot tree തുടങ്ങിയ രസകരമായ ശ്രേണികള്‍ പരിചയപ്പെടുത്തുകയും ആവാം.

jamesphilip May 28, 2011 at 9:31 AM  

Krishnan sir
ഗണിതം ഒരു ഭാഷയല്ല എന്നാല്‍ ഗണിതത്തിന് ഒരു ഭാഷയുണ്ട് എന്നാണ് ഞാന്‍ മനസ്സിലാക്കിയിരിക്കുന്നത്. ഈ ഭാഷയിലെ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഏത് എന്ന് ചോദിച്ചാല്‍ 1,2,3,4,5,6.............. എന്നിങ്ങനെ അക്കങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് എന്ന് നമ്മള്‍ പറയും. ഇവിടെയാണ് നമുക്ക് തെറ്റ് പറ്റിയത് എന്ന് ഞാന്‍ പറയും. സങ്കലനം,വ്യവകലനം,ഗുണനം,ഹരണം, വര്‍ഗം , വര്‍ഗമൂലം, പരപ്പളവ്, വ്യാപ്തം, വൃത്തം, വ്യാസം, ഞാണ്‍, ചാപം, ശ്രേണി, ത്രികോണം, ലംബകം, ഗ്രാഫ്, സമാന്തരം, ലംബം, മുതലായവയെല്ലാം ഗണിതത്തിലെ അക്ഷരങ്ങളാണ്. അടിസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസം നല്കുമ്പോള്‍ തന്നെ അക്ഷരവും പഠിപ്പിക്കണം. അതായത് നമ്മുടെ പാഠ്യപദ്ധതിയനുസരിച്ച് എട്ടാം ക്ലാസിലെത്തുന്ന കുട്ടി നിരക്ഷരനാണ്. ഒരു ഹൈസ്കുള്‍ ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്റെ ജോലി എത്ര ദുഷ്കരമാണെന്നു നോക്കുക. ഗണിതത്തില്‍ നിരക്ഷരനായ കുട്ടിയെ സാക്ഷരനാക്കിയശേഷം വേണം വ്യാകരണം പഠിപ്പിക്കുവാന്‍. വ്യാകരണം പഠിപ്പിച്ച ശേഷം അവനെ വക്യത്തില്‍ പ്രയോഗിക്കാന്‍ പഠിപ്പിക്കണം. എന്നിട്ടവനെ മൂന്നിലൊന്നായി(ലഘൂകരിക്കുക) ചുരുക്കിയെഴുതാനും essay (തെളിവുകള്‍)എഴുതുവാനും പഠിപ്പിക്കണം.ഓരോ പാഠം കഴിയുമ്പോഴും ഈ പ്രക്രിയ ആവര്‍ത്തിക്കേണ്ടിവരുന്നു. ചുരുക്കിപറഞ്ഞാല്‍ ഹൈസ്കുള്‍ ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്‍ ഒരു സക്ഷരതാ യജ്ഞം തന്നെ നടത്തേണ്ടിവരുന്നു. ഇത്രയുമാകുമ്പോഴേക്കും ഒരു സാധാരണ വിദ്യാര്‍ത്ഥി ഗണിതം എന്ന വിഷയത്തെയും ഗണിതാദ്ധ്യാപകനേയും വെറുക്കുന്നതില്‍ അത്ഭുതപ്പടാനില്ലല്ലൊ. അതായത് പ്രായമായവരെ ഡ്രൈവിംഗ് പഠിപ്പിക്കുന്ന ഡ്രൈവിംഗ് സ്കുള്‍മാസ്റ്ററുടെയും , വണ്ടിയുടെയും, പഠക്കുന്നയാളുടെയും സ്ഥിതിയിലാണ് ഹൈസ്കുള്‍ ഗണിതാദ്ധ്യാപകരും, ഹൈസ്കുള്‍വിദ്യാര്‍ത്ഥികളും, ഗണിതം എന്ന വിഷയവും.അതേസമയം റോഡിന്റെയും, അപ്പോള്‍ റോഡിലൂടെ നടന്നു പോകുന്ന ഹതഭാഗ്യരായ മനുഷ്യര്‍ക്കും സമാനമായിരിക്കും ഇതര വിഷയങ്ങളും , അത് പഠിപ്പിക്കുന്ന അദ്ധ്യാപകരും.
പരിഹാരമാര്‍ഗം
ഒന്നു മുതല്‍ പത്ത് വരെ ക്ലാസുകളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ അക്ഷരങ്ങളും( ചതുഷ് ക്രിയകള്‍, വര്‍ഗം , വര്‍ഗമൂലം, പരപ്പളവ്,വ്യാപ്തം, വൃത്തം, വ്യാസം, ഞാണ്‍, ചാപം, ശ്രേണി, ത്രികോണം, ലംബകം, ഗ്രാഫ്, സമാന്തരം,ലംബം, മുതലായവയെല്ലാം) ഒന്നു മുതല്‍ ഏഴ് വരെ ക്ലാസുകളില്‍ പഠിപ്പിക്കുക. ഭാഷയിലെന്നപോലെ ടി അക്ഷരങ്ങള്‍ വക്യത്തില്‍ പ്രയോഗിക്കാനുള്ള ശേഷി കുട്ടിക്ക് ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കുക. നഴ്സറി ക്ലാസുകളില്‍ അക്ഷരം പഠിപ്പിക്കുന്ന ലാഘവത്തോടെ ചെയ്യാവുന്ന ഒരു കാര്യമാണിത്. ഗണിത സാക്ഷരതയുടെ അഭാവമാണ് കാലഘട്ടത്തിലെ ഗണിതപഠനത്തിലുണ്ടായിട്ടുള്ള ഏറ്റവും വലിയ പ്രതസന്ധി. ഹൈസ്കുള്‍ക്ലാസുകളില്‍ എത്തിയ ശേഷമാണ് കുട്ടികള്‍ പലപ്പോഴും ഗണിതവരോധികളായി കാണപ്പെടുന്നത്. കംപ്യൂട്ടര്‍ സാക്ഷരതയിലൂടെ കംപ്യൂട്ടര്‍ എന്ന ഭൂതത്തെ അദ്ധ്യാപകരുടെയും വിദ്യാര്‍ത്ഥികളുടെയും കൈപിടിയില്‍ ഒതുക്കിയതുപോലെ ഗണിതസാക്ഷരതയിലൂടെ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തെയും വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്ക് താല്പര്യ മുള്ള വിഷയങ്ങളുടെ ഗണത്തിലേക്ക് വളര്‍ത്താമല്ലോ? ഇതല്ലേ പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ ചെയ്യേണ്ടിയിരുന്നത്? ഹൈസ്കുള്‍ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ ഇപ്പോള്‍ കഴുതകളെപ്പോലെ ഭാരം ചുമക്കുന്നവരാണ് എന്ന വസ്തുത മനസ്സിലാക്കുക.

Krishnan May 28, 2011 at 7:57 PM  

@ jamesphilip

ഇപ്പോഴത്തെ ഗണിതപുസ്തകങ്ങള്‍ യുക്തിചിന്ത വളര്‍ത്തുന്നില്ല എന്നതായിരുന്നു താങ്കളുടെ ആദ്യത്തെ വിമര്‍ശനം. അതു ശരിയല്ല എന്നതിന്‌ ഞാന്‍ ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ പറഞ്ഞപ്പോള്‍, ക്രിയകള്‍ വേണ്ടവണ്ണം ഉറപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നായി. അതിനും മറുപടി പറഞ്ഞുകഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗണിതസാക്ഷരതയായി പ്രശ്നം. ഇനി നാം തമ്മില്‍ ഈ സംവാദം തുടരുന്നതില്‍ കാര്യമില്ലെന്നു തോന്നുന്നു. കാരണം, സാക്ഷാല്‍ വികെഎന്‍ എഴുതിയതുപോലെ നാം വിഭിന്നതരംഗനീളങ്ങളിലാണ്‌ ചിന്തിക്കുന്നത്. കൂടാതെ നീണ്ടുപോകുന്ന ആലങ്കാരികതകള്‍ക്കിടയില്‍നിന്ന്‌ അര്‍ത്ഥം ചികഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള ക്ഷമയും കുറഞ്ഞുവരുന്നു. അതിനാല്‍ ദയവുചെയ്ത്, ഇനിയുള്ള അഭിപ്രായങ്ങള്‍, എന്റെ പേരു വയ്ക്കാതെ പൊതുവായി ബ്ലോഗിനെ സംബോധന ചെയ്ത് എഴുതുക. താത്പര്യമുള്ളവര്‍ ചര്‍ച്ച തുടരട്ടെ.

അവസാനമായി ഒരു കാര്യം. "കഴുതകളെപ്പോലെ ഭാരം ചുമക്കുന്ന" ഹൈസ്കൂള്‍ ഗണിതാധ്യാപകരുണ്ടോ എന്നെനിക്കറിയില്ല; അഭിമാനമുള്ള മനുഷ്യരായി ഭാരം ഏറ്റെടുക്കുന്നവരാണ്‌ എന്റെ സുഹൃത്തുക്കളായ അനേകം ഗണിതാധ്യാപകര്‍.

ജനാര്‍ദ്ദനന്‍.സി.എം May 28, 2011 at 9:18 PM  

ഹൈസ്കുള്‍ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ ഇപ്പോള്‍ കഴുതകളെപ്പോലെ ഭാരം ചുമക്കുന്നവരാണ് എന്ന പ്രസ്താവനയോട് പൂര്‍ണ്ണമായും വിയോജിക്കുന്നു. ഭാരം ചുമക്കുന്നവരില്‍ ചില കഴുതകള്‍ ഉണ്ടായേക്കാം. താന്‍ ചുമക്കുന്ന ഭാരം കുങ്കുമമാണോ അതോ കുമ്മായമാണോ എന്നറിയാത്ത പാവം മരക്കഴുതകള്‍

മ്യാവൂ- മാഷേ ഞങ്ങളെ വേണമെങ്കില്‍ എന്തും പറഞ്ഞോ. പക്ഷെ പാവം കഴുതകളെ എന്തെങ്കിലും പറഞ്ഞാല്‍ ഞങ്ങളതു പൊറുക്കുകില്ലാ.

sreejith May 29, 2011 at 7:05 PM  

ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യപദവും രണ്ടാംപദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 2:3 എന്കില്‍ മൂന്നാംപദവും അന്ചാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കാണുക...

ഇവിടെ 2നേയും 3 നേയും ഒരു നിശ്‍ചിത സംഖ്യ (k) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാല്‍ ആദ്യപദവും രണ്ടാംപദവും
കിട്ടുമല്ലൊ.
so x1=2k
x2=3kപൊതുവ്യത്യാസം=k
x3=4k
x4=5k
x5=6k
അതുകൊണ്ട് മൂന്നാം പദവും അന്ചാംപദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 4k:6k
=2:3
പക്ഷെ എട്ടാം ക്ളാസിലെ അംശബന്ധവും അനുപാദവും എന്ന unitല്‍ ഒരു പ്രശ്നത്തില്‍ പോലും ഈമാര്‍ഗം
ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടില്ല.മാറിപോയ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ഈ method ഉണ്ടായിരുന്നു.മിക്കവാറും എല്ലാ അംശബന്ധപ്രശ്നങ്ങളും ഈ മാര്ഗത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമായിരുന്നു.

JOHN P A May 29, 2011 at 8:39 PM  

ശ്രീജിത്ത് സാര്‍
സാര്‍ ഉപയോഗിച്ച രീതി ന്ല്ലതുതന്നെ. എളുപ്പഴുമാണ്.
എട്ടാംക്ലാസിലും പൊതുവെ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും അര്‍ഥം അതിന്റെ പ്രാഥമീക തലത്തില്‍ തന്നെ ഉള്‍ക്കൊണ്ടുകൊണ്ട് പ്രശ്നം നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതിയാണ് അവലംബിച്ചിരിക്കുന്നത്
സാര്‍ പരാമര്‍ശിച്ച ചോദ്യം HB യില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത് നേര്‍രൂപം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു ബീജഗണിതരീതിയിലാണ്
‌\begin{equation}
x_n=an+b
\end{equation}
ഇത് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപമാണല്ലോ
ഇതില്‍നിന്ന് ഒന്നാംപദവും രണ്ടാംപദവും എഴുതാമല്ലോ. ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളൊക്കെ ശ്രേണീപഠനത്തിന്റെ ഭാഗമായി ചെയ്തിരിക്കമല്ലോ
എന്നാല്‍ ‌$\frac{a+b}{2a+b}=\frac{2}{3}$ എന്നെഴുതാമല്ലോ.അങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോള്‍ പ്രശ്ന നിര്‍ദ്ധാരണത്തിനപ്പുറം ശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപത്തിന്റെ ഒരുപയോഗം കൂടിയായിത്തീരുന്നു
ഇതില്‍ നിന്നും $a=b$ കിട്ടും . ഉത്തരവും.

HB യില്‍ ഇതിനു താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവ ഇപ്രകാരം തന്നെ ചെയ്ത്താലോ
ഇതോന്നുമില്ലാതെ തന്നെ ആദ്യപദത്തിന്റെ ഒന്നര മടങ്ങാണ് രണ്ടാംപദമെന്ന എട്ടാംക്ലാസ് ഭാഷയില്‍ ചിന്തിച്ചും ഉത്തരത്തിലെത്താം. അത് രസകരമാണെന്നുമാത്രമല്ല ഭാവിയില്‍ കുട്ടിക്ക് പ്രയോജനം ചെയ്യും
ചോദ്യവും അഭിപ്രായവും പറഞ്ഞതിന് നന്ദി സാര്‍

Krishnan May 30, 2011 at 8:02 AM  

@ sreejith : "പക്ഷെ എട്ടാം ക്ളാസിലെ അംശബന്ധവും അനുപാതവും എന്ന unitല്‍ ഒരു പ്രശ്നത്തില്‍ പോലും ഈ മാര്‍ഗം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടില്ല."

ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ "ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍" എന്ന പാഠത്തില്‍ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഈ രീതിയില്‍ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അംശബന്ധങ്ങളുടെ തുല്യത എന്നതിനു പകരം, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുല്യത എന്നാണ്‌ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത് എന്നുമാത്രം. (പേജ് 27--28).

ഏതായാലും, നല്ലൊരു മാര്‍ഗം പറഞ്ഞതിന്‌ നന്ദി.

Krishnan May 30, 2011 at 8:30 AM  

@ JOHN P A : "ഇതോന്നുമില്ലാതെ തന്നെ ആദ്യപദത്തിന്റെ ഒന്നര മടങ്ങാണ് രണ്ടാംപദമെന്ന എട്ടാംക്ലാസ് ഭാഷയില്‍ ചിന്തിച്ചും ഉത്തരത്തിലെത്താം"

ഇത് ജോണ്‍ മാഷ് പറഞ്ഞതുപോലെ രസകരമായ ചിന്ത തന്നെ. ശ്രീജിത് മാഷിന്റെയും ജോണ്‍ മാഷിന്റെയും രീതികള്‍ നോക്കുമ്പോള്‍, ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചും, അല്ലാതെയും ഒരേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ നല്ല രണ്ടു മാതൃകകളായി.

sreejith May 30, 2011 at 12:04 PM  

ബീജഗണിതരീതിയിലല്ലാതെ ഈ കണക്ക് ചെയ്യുന്നവിധം വിശദീകരിക്കാമോ..

JOHN P A May 30, 2011 at 12:23 PM  

ശ്രീജിത്ത് സാര്‍
ഒന്നാംപദത്തിന്റെ ഒന്നര മടങ്ങാണ് രണ്ടാംപദമെന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട് .അതായത് പൊതുവിയതിയീസം ആദിയപദത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.മൂന്നാംപദത്തില്‍ നിനനും അഞ്ചാം പദത്തിലെത്താന്‍ രണ്ടു പ്രാവശ്യം പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടണം.മൂന്നാം പദത്തോട് ആദ്യപദം കൂട്ടണം
മൂന്നാം പദത്തോട് രണ്ടു പ്രാവശ്യം പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടുക എന്നു പറഞ്‍ാല്‍ ഒരു പ്രാവശ്യം ആദ്യപദം കൂട്ടുക എന്നതാണല്ലോ,അപ്പോള്‍ മൂന്നാംപദം ആദ്യപദത്തിന്റെ റണ്ടുമടങ്ങും , അഞ്ചാംപദം ആദ്യപദത്തിന്റെ മൂന്നുമടങ്ങുമാണ്. ആപ്പോള്‍ അശംബന്ധം 2:3 തന്നെ

sreejith May 30, 2011 at 1:11 PM  

@john sir,krishnan sir

നന്ദി

jamesphilip May 30, 2011 at 7:02 PM  

ബ്ലോഗ് സുഹൃത്തുക്കളെ,
ഞാന്‍ ഈ ബ്ലോഗില്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയത് അദ്ധ്യാപക ശാക്തീകരണ പരിപാടിയില്‍ പങ്കെടുത്തപ്പോഴുണ്ടായ ഏതാനും സംശയങ്ങളുമായാണ്. ഒരു ചോദ്യം ഒരുത്തരം എന്നനിലയില്‍ ക്വിസ് മത്സരത്തില്‍ പങ്കെടുത്ത ഒരു വിദ്യാര്‍ത്ഥിയല്ല ഞാന്‍. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠ പുസ്തകം വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നുണ്ടോ വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ പാഠ പുസ്തകത്തെ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നുണ്ടോ എന്ന ചിന്തയാണ് എന്നെ ഇത് എഴുതാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ചത്. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠ പുസ്തകം ലളിതവല്‍കരിച്ചതിലൂടെ 1000-1500 വരെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളുണ്ടായിരുന്ന സര്‍ക്കാര്‍ എയ്ഡഡ് സ്കൂളുകള്‍ പലതിന്റെയും സ്ഥിതിയെന്തെന്ന് ഞാന്‍ പറയാതെ തന്നെ എല്ലാവര്‍ക്കുമറിയാം. (ഗണിതം രാജാവാല്ലെ? . ) വിദ്യാലയങ്ങളില്‍ അദ്ധ്യായന വര്‍ഷാരംഭത്തില്‍ നിലവിലുള്ള ഏതാനും ഡിവിഷനുകള്‍ നിലനിര്‍ത്താന്‍ നെട്ടോട്ടമോടുന്ന ജീവനക്കാരെയും അധികൃതരെയും കേരളത്തിലങ്ങോളമിങ്ങോളം കാണാവുന്നതാണ്. C.B.S.E സ്കൂളുകളിലേയ്ക്കുള്ള ഒഴുക്കാണ് പ്രധാന കാരണം. രണ്ടാമതായി Un aided school കളിലേക്കുള്ള ആകര്‍ഷണവും.സര്‍ക്കാര്‍ എയ്ഡഡ്സ്കൂളുകളിലെ അദ്ധ്യാപകര്‍ 20000-30000 രൂപ (ഏകദേശം) വരെ ശമ്പളം വാങ്ങുകയും വിദഗ്ദ പരിശീലനം ലഭിക്കുകയും കഠിനപ്രയത്നത്തിലുടെ കുട്ടികളെ പരിശീലിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടും, വെറും 5000 രൂപ ശമ്പളം വാങ്ങുന്നതും യാതൊരു പരിശീലനവും ലഭിക്കാത്തതുമായ Un aided school അദ്ധ്യാപകരുടെ അടുത്തേക്ക് തങ്ങളുടെ കുട്ടികളെ ഭൂരിപക്ഷം പേരും അയയ്ക്കുന്നു. വാല്മീകി രാമായണം തുഞ്ചത്തെഴുത്തച്ഛന്റെ അധ്യാത്മരാമായണം കിളിപ്പാട്ടുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോള്‍ അധ്യാത്മരാമായണം ഋഷിപ്രോക്തമല്ല എന്നാണല്ലൊ വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നത്. എങ്കിലും അധ്യാത്മരാമായണം കിളിപ്പാട്ടു രൂപത്തില്‍ ലളിതമായ ഭാഷയീല്‍ സാധാരണക്കാരനു് മനസ്സിലാകുന്ന രീതിയിലായപ്പോള്‍ ഒരു സമൂഹം മുഴുവന്‍ അതിനെ രണ്ടു കൈയും നീട്ടി സ്വീകരിച്ചു. നല്ലതിനെ ജനം സ്വീകരിക്കുകയും ഉള്‍കൊള്ളുകയും ചെയ്യും എന്നതിനൊരുദാഹരണം പറഞ്ഞെന്നുമാത്രം. പാഠപുസ്തകം ലളിതവല്‍കരിക്കുമ്പോള്‍ അദ്ധ്യാപകര്‍, വദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍, രക്ഷകര്‍ത്താക്കള്‍ എന്നിവരുടെയിടയിലുള്ള സ്വീകാര്യത കൂടി കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതായിരുന്നു.
മഹാഭാരതത്തില്‍ അര്‍ജുനന്റെ കഥ വിവരിക്കുമ്പോള്‍ ദേവേന്ദ്രന്റെ കാര്യം പറയാതെ വയ്യ. എന്നു പറഞ്ഞതുപോലെ യുക്തിചിന്തയില്‍ തുടങ്ങി ക്രിയകളിലൂടെ ഗണിത ഭാഷവരെയെത്തി. യുക്തിചിന്തയുടെ അവതരണത്തിലെ പരമിതിയാണ് പത്താം ക്ലാസിലെ കുട്ടിയുടെ സാധാരണ ഗണിതക്രിയയിലെ പരാജയം എന്ന് ഉദാ. സഹിതം ഞാന്‍ എഴുതി . സാരമില്ല ശരിയായിക്കൊള്ളും എന്ന രീതിയിലുള്ള മറുപടിയും. വ്യക്തിപരമായി ഞാന്‍ തൃപ്തനല്ല. ഞാന്‍ എട്ടാം ക്ലാസിലെ കുട്ടി എന്ന് പറഞ്ഞിടത്ത് അമേരിക്കക്കാരന്‍ Fresh man എന്ന് പറഞ്ഞപ്പോള്‍ വലിയ കാര്യമായി. ഇപ്പോള്‍ എനിക്ക് എല്ലാം മനസ്സിലായി.
സമൂഹത്തിലുണ്ടായ മാറ്റങ്ങള്‍ക്കനുസരിച്ച് കുട്ടികളുടെ മാനസിക നിലയിലുണ്ടായ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുകൂടി എഴുതുവാനുണ്ടായിരുന്നു. പക്ഷേ ചിലര്‍ക്കെല്ലാം അസഹിഷ്ണുത ഉണ്ടാക്കുന്നതുകൊണ്ട് ഞാനിതിവിടെ അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. ഗുഡ് ബൈ

joseph June 3, 2011 at 10:32 PM  

sir plse comment about this procedure that I have done to solve this problem
"ഒരു സര്ക്ക്യൂ ട്ടില്‍ ശ്രേണിയില്‍ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പതിനഞ്ചു പ്രതിരോധകങ്ങള്‍ ഇവയാണ്. 1Ω, 2Ω, 3Ω, ..... 15Ω. (യൂണിറ്റ്, Ω = ഓം). സര്ക്ക്യൂ ട്ടില്‍ ഒരു ബാറ്ററിയുണ്ട്. വോള്ട്ട് മീറ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ച് നോക്കിയപ്പോള്‍ 3Ω നിടയില്‍ 4 വോള്ട്ടും , 12Ω നിടയില്‍ 16 വോള്ട്ടും കണ്ടു. 1Ω നിടയിലുള്ള വോള്ട്ടപത എത്ര? ബാറ്ററിയുടെ emf എത്ര?"
As the resistance are consecutive numbers in sequence ,common difference is 1ohm.there for the common difference in consecutive voltages will be 1ohm * series current ie. (4/3 or 16/12 = 1.33A)=1*1.33=1.33V .
V across R1=4v-(2*1.33) =1.33V and voltage across R15 =4v+(12*1.33) =20V
EMF of the circuit =(V1+V15)15/2=(1.33+20)*7.5 =160 V

sir I don't understand why u have given two ref.voltages of R3 and R12 where R3 was sufficient

JOHN P A June 4, 2011 at 5:48 AM  

Dear joseph sir
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ഒരു ചോദ്യമായി ഇതു കാണാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ഭംഗിയായിരിക്കും
പ്രതിരോധങ്ങള്‍ സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ആയതിനാല്‍ ആവയ്ക്കിടയിലുള്ള പൊട്ടന്‍ഷ്യല്‍ വ്യത്യാസവും സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ തന്നെയാണല്ലോ.
പ്രതിരോധകങ്ങള്‍ ശ്രേണിയിലായതിനാല്‍ ഒരേ വൈദ്യുതി എല്ലാത്തിലുംകൂടി കടന്നുപോകുമെന്നു, ഓം നിയമത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ പൊട്ടന്‍ഷ്യല്‍ വ്യത്യസങ്ങള്‍ ശ്രേണീക്രമം അനുസരിക്കുമെന്നും കുട്ടി മനസിലാത്തിയിരിക്കും.ഫിസിക്സില്‍ പഠിക്കുന്നതാണ്. ഇത് സമാന്തരശ്രേണിയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാന്‍ നമുക്ക് കഴിയണം
ഇനി ഉത്തരം
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ മൂന്നാംപദം 4 , പന്ത്രണ്ടാംപദം 16 ആയാല്‍ ആദ്യപദവും പൊതുവ്യത്യാസവും കാണുക
‌\begin{equation}
9d=12
\end{equation}
$ d= \frac{4}{3}$

ഇനി ഒന്നാം പദം കാണാം.അത് $\frac{4}{3}$ എന്നുകിട്ടും
അതു പോലെ പതിനഞ്ചാം പദവും കാണാം.അത് 20 ആണ്.
ശ്രേണിയിലെ പതിനഞ്ചുപദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടാല്‍ ബാറ്ററിയുടെ emf കിട്ടും. കാരണം ശ്രേണിയായി ബന്ധിപ്പിച്ചാല്‍ കറണ്ടിന് മാറ്റം വരില്ല, പ്രതിരോധകങ്ങള്‍ക്കിടയിലെ വോള്‍ട്ടതകളുടെ തുകയാണ് emf
\begin{equation}
S_n = \frac{\frac{4}{3}+20}{2} \cdot 15
\end{equation}
പിന്നെ , ഒരു internal resistence ഇവിടെ ഇല്ല എന്ന സൂചനയാണ് രണ്ടുകാര്യങ്ങള്‍ തന്നതില്‍ എന്ന് ഫിസിക്സ് അധ്യാപകന്റെ കാഴ്ചപ്പാടില്‍ പറയാം
ശ്രേണിയായി കണ്ട് ഉത്തരത്തിലെത്താന്‍ രണ്ടപ പദങ്ങള്‍ എടുക്കണമല്ലോ

govind June 9, 2011 at 7:48 PM  

ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി
ഇതു പോലെ ബാക്കി വിഷയങ്ങളുടെ കൂടി chodyangalum maths blogil ഇടുമെന്നു പ്രതീക്ഷീക്കുന്നു

JOHN P A June 9, 2011 at 8:16 PM  

@ govind sir
വൃത്തങ്ങളുടെ ചോദ്യങ്ങള്‍ തയ്യാറാകുന്നു.

govind June 12, 2011 at 12:51 PM  

I MEAN ANOTHER SUBJECTS Eg: PHYSICS,ENGLISH,CHEMESTRY
അതും നമ്മുടെ ബ്ലോഗി il വേണം ഇടുമ്മെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. എന്നു വിശ്വാത്തോ ഗോവിന്ദ് 

Athira & Ananya June 15, 2011 at 2:53 PM  

@ Krishnan sir

Our answers are given below


Athira & Ananya


Athira & Ananya
Palakkad

Athira & Ananya June 15, 2011 at 3:04 PM  
This comment has been removed by the author.
Athira & Ananya June 15, 2011 at 6:22 PM  

@

Respected Raziman sir

"The last digit of a square number cannot be 1,2,7 or 8."

can it be 1.

11 x 11 = 121 , 19X19 = 361 etc

I think it is a typing error from your side.

CHOWKA July 1, 2011 at 6:15 PM  

Prove that if a,b,c are positive numbers and if the equation ax*x+bx+c = o has solutions then they are negative numbers?

Athira & Ananya July 1, 2011 at 10:12 PM  

@ Chowka sir

let the equation be ax^2+bx+c=0
where a,b and c are positive numbers

ax^2+bx+c=0

bx=-ax^2-c

bx=-(ax^2+c)

x =-(ax^2+c)/b

since a , b and c are positive numbers -(ax^2+c)/b is a negative number


Athira & Ananaya
Kottayi
Palakkad

sm@rt boy July 2, 2011 at 10:46 AM  

anybody please answer these questions:
1.number of diagonals of a polygon is 77.Then how many sides are there?
2.In a room everybody shook hands with each other.total handshakes is 780.number of persons?
3.in a circle chords AB and CD meet at a ponit P.AB=27cm,CD=18cm.AP:PB=1:2,then what is CP:PD?

Krishnan July 2, 2011 at 11:42 AM  

sm@rt boy

1. First try to find a general formula for the number of diagonals of an $n$-gon. Choosing one vertex, we can join it with $n-3$ vertices to get a diagonal (how?). Doing this for every vertex gives $n(n-3)$ lines; but each line is counted twice (line $AX$ and line $XA$, for example). So, how many diagonals in all? Now try the original problem

2. If there are $n$ persons, each person shakes hand with $n-1$ persons. But this counts each hand-shake twice. So, how many hand-shakes in all?

3. Using the fact that $AB=27$ and $AP:PB=1:2$, we can compute $AP$ and $PB$. Now, using the facts that $CP\times PD=AP\times PB$ and the fact that $CP+PD=CD=18$, we can compute $CP$ and $PD$

Athira & Ananya July 2, 2011 at 8:15 PM  

@ Smart Boy

1)number of diagonals of a polygon is 77.Then how many sides are there?



Total number of diagonals in a polygon having 'n' sides is equal to n(n - 3)/2.

n(n - 3)/2 = 77
n(n - 3)= 154
n^2 - 3n = 154
n^2 - 3n - 154 = 0
(n-14)(n+11) =0
If n-14=0
n=14
If n+11=0
n=-11
Number of diagonals can't be a negative number hence
Number of diagonals = 14

somanmi July 2, 2011 at 8:29 PM  

sm@rt boy

ans q no 2: no of persons in that room is 40

Athira & Ananya July 2, 2011 at 8:49 PM  

2) In a room everybody shook hands with each other.total handshakes is 780.number of persons?

നമുക്ക് ആദ്യം തന്നെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം

ഒരു മുറിയില്‍ 50 പേര്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക
അപ്പോള്‍ ഒന്നാമത്തെ ആള്‍ ബാക്കിയുള്ള 49 പേര്‍ക്ക് shake hand നല്‍കണം അല്ലോ .
രണ്ടാമത്തെ ആള്‍ ഒന്നാമത്തെ ആള്‍ക്ക് നല്‍കേണ്ട ആവശ്യം ഇല്ലാലോ അപ്പോള്‍ രണ്ടാമത്തെ ആള്‍ ബാക്കിയുള്ള 48 പേര്‍ക്ക് shake hand നല്‍കണം.ഇത് പോലെ മൂന്നാമത്തെ ആള്‍ 47 പേര്‍ക്ക് shake hand നല്‍കണം അങ്ങിനെ നോക്കിയാല്‍ ആകെ
shake hand = 49+48+47+-----+2+1+0
ആണല്ലോ

49 x 50/ 2 = 1225

ഒരു മുറിയില് 100 പേര് ഉണ്ടെന്നു കരുതുക
അപ്പോള് ഒന്നാമത്തെ ആള് ബാക്കിയുള്ള 99 പേര്ക്ക് shake hand നല്കണം അല്ലോ .
രണ്ടാമത്തെ ആള് ഒന്നാമത്തെ ആള്ക്ക് നല്കേണ്ട ആവശ്യം ഇല്ലാലോ അപ്പോള് രണ്ടാമത്തെ ആള് ബാക്കിയുള്ള 98 പേര്ക്ക് shake hand നല്കണം.ഇത് പോലെ മൂന്നാമത്തെ ആള് 97 പേര്ക്ക് shake hand നല്കണം അങ്ങിനെ നോക്കിയാല് ആകെ shake hand = 99+98+97+-----+2+1+0 = 1+2+3+4+------+98+99
ആണല്ലോ

99 x 100 / 2 = 4950

ഒരു മുറിയില് ‘n’ പേര് ഉണ്ടെന്നു കരുതുക

അങ്ങിനെ നോക്കിയാല് ആകെ shake hand = n(n+1)/2

n(n+1)/2 = 780

39 x 40 / 2 = 780

Hence there are 40 persons.

Athira & Ananya July 2, 2011 at 9:14 PM  

.in a circle chords AB and CD meet at a ponitP.AB=27cm,CD=18cm.
AP:PB=1:2,then what is CP:PD?

Here AB = 27
AP:PB=1:2
AP = 27 x 1/3 = 9cm
PB = 27 X 2/3 = 18cm

AP x PB = PC x PD
9 x 18 = PC x PD
PC x PD = 162 also PC + PD = 18

Then if we use quadratic equation we get complex roots as 9(1+i) and 9(1-i)

വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍ July 3, 2011 at 11:18 AM  

@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍

In a circle chords AB and CD meet at a ponit P. AB=27cm,CD=18cm.
AP:PB=1:2,then what is CP:PD?

സര്‍ ഈ ചോദ്യത്തില്‍
AP = 9cm
BP = 18cm എന്ന് കിട്ടുമല്ലോ

CD=18cm
അപ്പോള്‍
CP = 'x' എന്നും PD ='18-x'എന്നും എടുത്താല്‍

x(18-x) = 162
18x -x^2 = 162
x^2 - 18x + 162 = 0

ഇതില്‍ x = 9(1+i) and 9(1-i)എന്നും അല്ലെ കിട്ടുന്നത്

വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങള്‍ ഇങ്ങനെ വരുമോ . ഇതില്‍ CP:PD കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ കഴിയുമോ ?

@ Smart Boy

ഈ ചോദ്യം എവിടെ നിന്നും ആണ് കിട്ടിയത് ? ടെക്സ്റ്റ്‌ ബുക്കില്‍ ഈ ചോദ്യങ്ങള്‍ ഒന്നും കണ്ടില്ലല്ലോ .

വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍ July 3, 2011 at 11:25 AM  

@ മാത്സ് ബ്ലോഗ്‌ ടീം

ഞങ്ങള്‍ക്ക് കൃഷ്ണന്‍ സാറുടെ ഫോണ്‍ നമ്പര്‍ വേണം .തരുമോ ?

വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍ July 3, 2011 at 11:34 AM  

@ ഹരി സര്‍ /നിസാര്‍ സര്‍ /ബോണി സര്‍

പത്താം ക്ലാസ്സിലെ ഗണിതം,ഫിസിക്സ്‌ ,കെമിസ്ട്രി എന്നിവയുടെ ഹാന്‍ഡ് ബുക്ക് ‌ കിട്ടാന്‍ എന്തെങ്കിലും വഴി ഉണ്ടോ ? പൈസ അയച്ചു തന്നാല്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഇവ തരുമോ ?

somanmi July 3, 2011 at 12:38 PM  

@Athira&amp ;Ananya
(problem July 2)


if no of persons = n
total no of shake hands=n(n-1)/2 instead of n(n+1)/2.
Am i correct?

വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍ July 3, 2011 at 1:22 PM  

@ Respected somanmi sir

if no of persons = n
total no of shake hands=n(n-1)/2

സര്‍ പറഞ്ഞത് ശരി തന്നെ.

ഞാന്‍ കൊടുത്തത് തെറ്റി പോയി
ഒരു മുറിയില്‍ 50 പേര്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക

അങ്ങിനെ നോക്കിയാല്‍ ആകെ
shake hand = 49+48+47+-----+2+1+0
ആണല്ലോ

49 x 50/ 2 = 1225

ഒരു മുറിയില് 100 പേര് ഉണ്ടെന്നു കരുതുക
അങ്ങിനെ നോക്കിയാല് ആകെ shake hand = 99+98+97+-----+2+1+0 = 1+2+3+4+------+98+99
ആണല്ലോ

99 x 100 / 2 = 4950

ഒരു മുറിയില് ‘n+1’ പേര് ഉണ്ടെന്നു കരുതുക
അങ്ങിനെ നോക്കിയാല് ആകെ shake hand = n(n+1)/2

n(n+1)/2 = 780

39 x 40 / 2 = 780

so n = 39

അപ്പോള്‍ ആകെ 40 ആളുകള്‍

ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിലെ തെറ്റ് പറഞ്ഞു തന്നതിന് നന്ദി പറയുന്നു .

ആതിര & അനന്യ
കോട്ടായി
പാലക്കാട്

വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍ July 3, 2011 at 1:28 PM  

@ Respected somanmi sir

പിന്നെ ഇല്ലേ ഞങ്ങളുടെ
In a circle chords AB and CD meet at a ponit P. AB=27cm,CD=18cm.AP:PB=1:2,
then what is CP:PD?

എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ ആന്‍സര്‍ സര്‍ നോക്കിയോ . അത് ശരി ആണോ ?

ഞങ്ങള്‍ക്ക് CP:PD കിട്ടിയില്ല .

സര്‍ മാത്സ് അദ്ധ്യാപകന്‍ ആണോ ?

MURALEEDHARAN.C.R July 3, 2011 at 1:54 PM  

ഒരു ഞാണിന്റെ നീളം 18 യൂണിറ്റ് ആണെങ്കില്‍ അതിന്റെ രണ്ടു കഷണങ്ങളുടെ അളവുകളുടെ ഗുണനഫലം പരമാവധി 81 അല്ലെ വരുള്ളൂ(18/2*18/2)

sm@rt boy July 3, 2011 at 4:08 PM  

1.The distance travelled by an object thrown upwards in t seconds is 30t-4.9t^2 metres.After how much time would it fall down?At what all times would it be 20 m above ground?
2.the initial velocity of an object is 8m/s.increases by 2m/s on every second.
then
write the sequence of velocity after each second.
when will be its velocity 40m/s?
3.a circuit has 1ohm,2 ohm...15ohm resistors connected in series.when measured it has 4v between 3 ohm and 16v between 12 ohm.then
whatis the voltage of 1 ohm?
what is the emf of battery?
4.make a magic square using the series 2,6,10,...142.what will be the magic number(sum)?

Krishnan July 3, 2011 at 4:41 PM  

@വായാടി പെണ്ണുങ്ങള്‍:

"In a circle chords AB and CD meet at a ponit P. AB=27cm,CD=18cm.
AP:PB=1:2,then what is CP:PD? ....9(1+i) and 9(1-i)എന്നും അല്ലേ കിട്ടുന്നത് ? വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങള്‍ ഇങ്ങനെ വരുമോ?"

ചാപങ്ങള്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചതുകൊണ്ടാണ്‌ ഇങ്ങിനെ സംഭവിച്ചത്. ഈ കണക്കിലെ വിവരങ്ങളനുസരിച്ച്
അവ ഖണ്ഡിക്കുന്നത് വൃത്തത്തിനു പുറത്താണ്‌. ഇനി ആലോചിച്ചുനോക്കൂ.

"ഞങ്ങള്‍ക്ക് കൃഷ്ണന്‍ സാറുടെ ഫോണ്‍ നമ്പര്‍ വേണം"

പേരുകണ്ടിട്ട് അല്പം ആശങ്കയുണ്ടെങ്കിലും നമ്പര്‍ തരാം :) 9446515116

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 6:04 PM  

@ Smart Boy

Click Here

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 6:39 PM  

പേരുകണ്ടിട്ട് അല്പം ആശങ്കയുണ്ടെങ്കിലും നമ്പര്‍ തരാം :)

യാതൊരു വിധത്തിലുള്ള ആശങ്കയും വേണ്ട .അല്ല പിന്നെ.

"ചാപങ്ങള്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചതുകൊണ്ടാണ്‌ ഇങ്ങിനെ സംഭവിച്ചത്. ഈ കണക്കിലെ വിവരങ്ങളനുസരിച്ച്
അവ ഖണ്ഡിക്കുന്നത് വൃത്തത്തിനു പുറത്താണ്‌. ഇനി ആലോചിച്ചുനോക്കൂ."

വൃത്തത്തിനു പുറത്താണ്‌ ഇവ ഖണ്ഡിക്കുന്നത് എങ്കില്‍ AP:PB=1:2 എന്ന് തന്ന സ്ഥിതിക്ക്
AP യുടെ നീളത്തെക്കാള്‍ PB യുടെ നീളം വരണ്ടേ അത് സാധ്യമാണോ

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 7:39 PM  

@ Krishnan sir

ചിത്രം വരച്ചതിലെ അപാകത ആയിരുന്നു ഇപ്പോള്‍ മനസ്സിലായി

Here

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 7:47 PM  

ഈ ബ്ലോഗിലെ ലളിത ടീച്ചര്‍,ഷെമി ടീച്ചര്‍,ഭാമ ടീച്ചര്‍ എന്നീ ഗണിത പ്രതിഭകളെ കുറെ ദിവസം ആയി ഇവിടെ ഒന്നും കാണാനേ ഇല്ല.ഇവര്‍ എത്രയും പെട്ടന്ന് മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ വന്നു റിപ്പോര്‍ട്ട്‌ ചെയണം.

ഗണിത പടുക്കള്‍ ആയ വിജയന്‍ സര്‍,അസീസ്‌ സര്‍ എന്നിവരെയും കുറച്ചു കാലമായി കാണാന്‍ ഇല്ല .എത്രയും പെട്ടന്ന് ഇവരും മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ റിപ്പോര്‍ട്ട്‌ ചെയണം ഇല്ലെങ്കില്‍ പേര് വെട്ടും എന്ന് ഹരി സര്‍ അറിയിക്കുന്നു.ഡും ഡും ഡും.

bean July 3, 2011 at 8:23 PM  

ഒരു ബ്ലോഗ്‌ തട്ടിക്കൂട്ടി മാത്സ്‌ ബ്ലോഗിലേയ്ക്ക്‌ കമന്റ് എഴുതുക .
ഓരോ കമന്റ് കഴിയുമ്പോഴും display name മാറ്റിക്കൊണ്ടിരിക്കുക .
ഇങ്ങനെയൊക്കെ ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് സ്വാഭിപ്രായത്തിനു കൂടുതല്‍ ജന പിന്തുണയുണ്ട് എന്ന് മറ്റുള്ളവരെ ബോധിപ്പിക്കാം എന്നതല്ലാതെ മറ്റൊരു അപാകതയും ഇല്ല .

JOHN P A July 3, 2011 at 8:24 PM  

ആ മിടുക്കികള്‍ തന്നെയല്ല ഈ വായാടികള്‍.ഇവരെല്ലാം ഉടനെ റിപ്പോര്‍ട്ടുചെയ്യുക

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 8:49 PM  

@ bean sir

"ഒരു ബ്ലോഗ്‌ തട്ടിക്കൂട്ടി മാത്സ്‌ ബ്ലോഗിലേയ്ക്ക്‌ കമന്റ് എഴുതുക "

സത്യം തന്നെ

"ഓരോ കമന്റ് കഴിയുമ്പോഴും display name മാറ്റിക്കൊണ്ടിരിക്കുക .ഇങ്ങനെയൊക്കെ ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് സ്വാഭിപ്രായത്തിനു കൂടുതല്‍ ജന പിന്തുണയുണ്ട് എന്ന് മറ്റുള്ളവരെ ബോധിപ്പിക്കാം.എന്നതല്ലാതെ മറ്റൊരു അപാകതയും ഇല്ല."

ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായം ആരുടെ മേലിലും അടിച്ചേല്‍പ്പിക്കാന്‍ ഞങ്ങള്‍ ശ്രമിക്കുന്നില്ല.
ഞങ്ങള്‍ എഴുതുന്ന കമന്റില്‍ കൂടുതല്‍ എണ്ണത്തിലും ആതിര അനന്യ എന്ന പേരുകള്‍ വക്കാറുണ്ട് .സ്ഥലം കൃത്യമായി വക്കാറുണ്ട്.പേര് മാറ്റി കുറച്ചു കമന്റ്‌ ചെയ്തു എന്നത് തെറ്റ് തന്നെ അത് ഞങ്ങള്‍ സമ്മതിക്കുന്നു.ഞങ്ങള്‍ ഈ പറയുന്ന ആതിട്രയും അനന്യയും തന്നെ ആണ് എന്ന് ബ്ലോഗ്‌ ടീമിന് നന്നായി അറിയാം കാരണം ഞങ്ങള്‍ ഹരി സര്‍ നിസാര്‍ സര്‍ എന്നിവരുമായി നിരന്തരം സംസാരികാറുണ്ട്.ഞങ്ങള്‍ പാലക്കാട് കണ്ണാടി സ്കൂളില്‍ പഠിക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ ആയിരുന്നു . ഇപ്പോള്‍ പ്ലസ്‌ ടു കഴിഞ്ഞു.സാറിന് വേണമെങ്കില്‍ അന്വേഷിക്കാം.വ്യക്തിപരമായി ഞങള്‍ ആരെയും കുറ്റം പറയാന്‍ ശ്രമിക്കാറുമില്ല

"സാറിനോടുള്ള ബഹുമാനം നിലനിര്‍ത്തി കൊണ്ട് തന്നെ പറയട്ടെ സാറിന്റെ പേര്‍ സത്യത്തില്‍ ബീന്‍ തന്നെ ആണോ"

Athira ---- Ananya July 3, 2011 at 8:58 PM  

@ Arjun sir

We think there is a mistake in that question . If the question is given as ""ABC എന്ന ത്രികോണത്തില്‍ AB=AC ആണ്. B,C ഇവയില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വൃത്തം AB യെ D യിലും AC യെ E യിലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു. BC,DE ഇവ സമാന്തരമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക." then it's o.k .

Click Here

അഖില്‍ പി രാജ് August 24, 2011 at 6:38 PM  

കൃഷ്ണന്‍ മാഷിന് നന്ദി...!!!

VIJAYAKUMAR M D September 21, 2011 at 1:48 PM  

Onam Eam Maths Question Bank ലെ Q.1.6 എന്ന ചോദ്യമാണ് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്. ഇതിന്റെ ഉത്തരം എന്താണ്?
"ഉയരത്തില്‍ നിന്നും താഴോട്ട് വീഴുന്ന വസ്തു n-ാം സെക്കന്റില്‍ വീഴുന്ന ദൂരം 9.8n – 4.9 മീറ്റര്‍ ആണ്.
(a) ഇപ്രകാരം വീണകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഓരോ സെക്കന്റിലും സഞ്ചരിച്ച ദൂരങ്ങളുടെ ശ്രേണി എഴുതുക.
(b) ഏത് സമയത്താണ് വസ്തു 63.7 മീറ്റര്‍ വീഴുന്നത്?”

amna rasha April 7, 2013 at 8:25 PM  

മലയാളം മീഡിയം qp അയച്ചപ്പോള്‍ എല്ലാവരും പാവം ഞങ്ങള്‍ eng. medium കാരെ മറന്നു. eng. medium qp കൂടി അധ്യാപകര്‍ അയച്ചു തരികയാണെങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ക്കു കൂടി ഉപകാരപ്രദമാകുമായിരുക്കും.

amna rasha April 7, 2013 at 8:26 PM  

മലയാളം മീഡിയം qp അയച്ചപ്പോള്‍ എല്ലാവരും പാവം ഞങ്ങള്‍ eng. medium കാരെ മറന്നു. eng. medium qp കൂടി അധ്യാപകര്‍ അയച്ചു തരികയാണെങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ക്കു കൂടി ഉപകാരപ്രദമാകുമായിരുക്കും.

vivek s April 8, 2013 at 8:17 PM  

പത്താം ക്ലാസ്സിലേക്ക് ചുവടുവയ്ക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ ആദ്യം എളുപ്പമുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ പരിശീലിക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും. അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നതു മൂലം സങ്കീര്‍ണമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവും താത്പര്യവും വര്‍ധിക്കും. അത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ ഈ ബ്ലോഗിലുണ്ട്

http://10thblogkerala.blogspot.in/2013/03/blog-post_30.html

vivek s April 8, 2013 at 8:17 PM  

പത്താം ക്ലാസ്സിലേക്ക് ചുവടുവയ്ക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ ആദ്യം എളുപ്പമുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ പരിശീലിക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും. അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നതു മൂലം സങ്കീര്‍ണമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവും താത്പര്യവും വര്‍ധിക്കും. അത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ ഈ ബ്ലോഗിലുണ്ട്

http://www.10thblogkerala.blogspot.in/2013/03/blog-post_30.html

vivek s April 8, 2013 at 9:05 PM  

സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന നോട്സ് ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്യുവാന്‍ ഈ പോസ്റ്റ് സന്ദര്‍ശിക്കുക

www.10thblogkerala.blogspot.in/2013/03/maths.html

vikram April 10, 2013 at 8:08 PM  

വളരെ നന്ദി ജോണ്‍ സര്‍,

vikram April 10, 2013 at 8:08 PM  

വളരെ നന്ദി ജോണ്‍ സര്‍,

Be positive April 10, 2013 at 9:04 PM  

നന്നായിട്ടുണ്ട്

jamesphilip April 11, 2013 at 6:19 PM  

കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ഈ പോസ്റ്റ് വീണ്ടും വന്നപ്പോള്‍ ചിലതൊക്കെ എഴുതണമെന്നു തോന്നി എഴുതി . Please visit- jamesphilip67blogspot.com

jamesphilip April 11, 2013 at 6:22 PM  

കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ഈ പോസ്റ്റ് വീണ്ടും വന്നപ്പോള്‍ ചിലതൊക്കെ എഴുതണമെന്നു തോന്നി എഴുതി . Please visit- jamesphilip67.blogspot.com

CHERUVADI KBK April 11, 2013 at 9:35 PM  

@James philip sir really appreciating read ur blog new aproch thank you for sharing ur ideas .Friends,kindly follow the blog let philip sir know about his views, thoughts

♡ Copying is an act of love. Love is not subject to law. - 2016 | Disclaimer