സമാന്തരശ്രേണികള്‍-1
>> Tuesday, May 10, 2011
സംഖ്യാശ്രേണികള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന വിവിധ സാഹചര്യങ്ങള്‍ നല്‍കിക്കൊണ്ട് പാഠം തുടങ്ങുന്നു.കുട്ടിയുടെ സ്വതന്ത്രചിന്തകളാണ് പ്രധാനപ്പെട്ടത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ, എല്ലാം തുറന്നുകാട്ടുന്ന തരത്തില്‍ ഒരു അധ്യാപനരീതി നല്ലതല്ല.ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകളിലും ഭൗതീക സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒളിഞ്ഞുകിടക്കുന്ന സംഖ്യാശ്രേണികളെ കുട്ടി വെളിച്ചത്തുകൊണ്ടുവരട്ടെ. അത് മൂന്നോ നാലോ പേര്‍ ചേര്‍ന്നുള്ള പ്രവര്‍ത്തനമാകുമ്പോള്‍ സൃഷ്ടിപരമായ ചില കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഉണ്ടാകും. അവ പൊതു ചര്‍ച്ചയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ശ്രേണികളില്‍ പലതും സമാന്തരശ്രേണികളായിരിക്കും.അവ ലിസ്റ്റ് ചെയ്ത് പൊതുസ്വഭാവം കണ്ടെത്താം.ഒരേ സംഖ്യ കൂട്ടുക എന്ന നിര്‍വചനം ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിലും ശ്രേണി സമാന്തരമാണോ എന്നറിയാന്‍ അടുത്തടുത്തുള്ള പദങ്ങള്‍ കുറച്ചുനോക്കണം.അതായത് ഒരു പദത്തില്‍ നിന്നും അതിന് തൊട്ടുമുന്‍പ് എഴുതിയ പദം കുറക്കണം.അത് പൊതുവ്യത്യാസം എന്ന ആശയത്തിലേയ്ക്ക് എത്തിക്കുന്നു.സമാന്തരശ്രേണിയുടെ രണ്ടുപദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണിതമാണെന്നും ,പൊതുവ്യത്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നുമൊക്കെ പറയാം.നിശ്ചിത സ്ഥാനത്തുള്ള രണ്ടു പദങ്ങള്‍ തന്നാല്‍ ശ്രേണിതന്നെ എഴുതാന്‍ പറ്റുന്നതാണ് ഇത്.
ഇനി സമാന്തരശ്രേണിയുടെ തനതായ ഒരു പ്രത്യേകത വെളിച്ചത്തുകൊണ്ടുവരാനുള്ള ശ്രമമാണ്. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളെല്ലാം ക്രമത്തില്‍ ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യ കൂട്ടിയാണ് ഒരു സമാന്തരശ്രേണി ഉണ്ടാകുന്നത്. ബീജഗണിതത്തിലെ ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദവുമായി സമാന്തരശ്രേണി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ചിന്ത സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത്തിലേയ്ക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയില്‍ പദങ്ങള്‍ എഴുതാന്‍ സ്വീകരിക്കുന്ന ക്രമമാണ് (നിയമം)അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം വെളിവാക്കുന്നത്. ഒരു പദത്തില്‍ നിന്നും തൊട്ടടുത്ത പദത്തിലേയ്ക്കുള്ള വളര്‍ച്ചയെ കാണിക്കുന്നതാണ് അതിന്റെ നേര്‍രൂപം. ഒരു ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങള്‍ക്ക് എണ്ണല്‍ അവയുടെ പദസ്ഥാനങ്ങളായ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുമായുള്ള ബന്ധമാണ് ശ്രേണിയുടെ തുടര്‍രൂപം.
1, 3, 5, 7 ,9... എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കാം. ഇതിന്റെ നേര്‍രൂപം,തുടര്‍രൂപം എന്നിവ താഴെ കാണാം
നേര്‍രൂപം x1 = 1, xn = xn-1 +2, n>1
തുടര്‍രൂപം xn = 2n-1
തുടര്‍രൂപത്തിന്റെ പ്രസക്തി എന്താണ്?
3,5,7 ... എന്ന ശ്രേണിയാണോ ? എന്ന് ചോദിക്കുന്നു.മൂന്നു പദങ്ങള്‍ മാത്രമേ ഇവിടെയുള്ളൂ. ശ്രേണി എഴുതിയ ആളുടെ മനസിലെ സംഖ്യാബന്ധം നമുക്കറിയില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഒറ്റസംഖ്യകളായ അഭാജ്യസംഖ്യകളാണെങ്കിലോ? അപ്പോള്‍ അടുത്തപദം 11 ആകും. തുടര്‍രൂപം തന്നാല്‍ ഈ പ്രശ്നം ഉണ്ടാകില്ലല്ലോ? തുടര്‍രൂപം ശ്രേണിയുടെ generating source ആണെന്നുപറയാം. കുട്ടികളെ വിവിധ സംഘങ്ങളാക്കി ഓരോ സംഘത്തിലേയും ഓരോ കുട്ടിയും അഞ്ച് സമാന്തരശ്രേണികള്‍ വീതം തെരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതട്ടെ. ശ്രേണി ആദ്യപദം പൊതുവ്യത്യാസം, n-ാമത്തെ പദം, n ന്റെ ഗുണകം, ഗുണകങ്ങളുടെ തുക എന്നിവ എഴുതി അപഗ്രഥിച്ച് നിഗമനത്തിലെത്തട്ടെ.
n ന്റെ ഗുണകം ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസമാണ്. ഗുണകങ്ങളുടെ തുക ശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദമാണ്. ഇവയുടെ കണ്ടെത്തലുകളില്‍ ചിലതാണ
സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ക്കും ബീജഗണിതരീതികള്‍ക്കും അമിതപ്രാധാന്യം പാഠപുസ്തകത്തിലില്ല. ഇവ തീരെ ഒഴിവാക്കിയിട്ടുമില്ല. സമാന്തരശ്രേണിയുടെ n മത്തെ പദം f+(n-1)d എന്നും dn +(f-d) എന്നും എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അത് വളരെ സ്വാഭാവികമായി രൂപംകൊള്ളുന്നവ തന്നെയാണ്.
തുടര്‍ന്ന് 1 മുതല്‍ തുടര്‍ച്ചയായ നിശ്ചിത എണ്ണം എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അത് ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ക്കായി പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമായാണ് നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. ഇതില്‍നിന്നുതന്നെ പദങ്ങളുടെ തുക കാണാനുള്ള രീതി കണ്ടെത്തുന്നു.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായ കുറേ പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുകയെ എണ്ണം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണ് എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അവിടെ ചില ബീജഗണിത ചിന്തകളുണ്ട് . പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ തനതായ പ്രത്യേകതകളാണല്ലോ side boxകള്‍.അവ നല്ല നിലവാരമുള്ളവയും സന്ദര്‍ഭത്തിന് യോജിച്ചവയുമാണ്.
തുടരും......
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
73 comments:
can't download qus
ചോദ്യ പേപ്പറില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള്‍ ബ്ലോഗ്ഗര്‍ പേജ് ആണ് തുറന്നു വരുന്നത് പരിഹരിക്കുമല്ലോ
its ok now
ജോണ്‍ സര്‍ ,
സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു . ഇത്ര വേഗം ചോദ്യങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കി തന്ന ജോണ്‍ സാറിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
ചോദ്യം 3 . z - x =k (y -x ) എന്നല്ലേ വരുക ?
ചോദ്യം 37 വിശദമാക്കാമോ .എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളും വളരെ നിലവാരം പുലര്‍ത്തുന്നു പുതിയരീതിക്ക് യോജിച്ചവ തന്നെ .സമാന്തര ശ്രേണി എന്ന പാഠത്തിന്റെ അവതരണ രീതി വളരെ മികവുറ്റതാണ് .
വെക്കേഷന്‍ ക്ലാസ്സില്‍ തന്നെ ഉപയോഗിക്കാവുന്നവിധം ചോദ്യങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കി തന്ന ജോണ്‍ സാറിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
വര്‍ഷങ്ങളിലെ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ശ്രേണിയിലാണ്. 365,365,365,366,365,365,365,366....... എങ്കില്‍ ഇതിന് ബീജഗണിതരൂപം ഉണ്ടോ ? 2000 അധിവര്‍ഷം
To teena teacher
2d=k.(-d)
k=-2
സമാന്തരശ്രേണികള്‍ എന്ന പാഠം ഓടിച്ചു വായിച്ചു നോക്കാനേ ഐടി ട്രെയിനിങ് തിരക്കില്‍ പെട്ടതു കൊണ്ട് സാധിച്ചുള്ളു. എന്നാല്‍ ജോണ്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ചോദ്യങ്ങള്‍ കണ്ടപ്പോള്‍ ഏതാണ്ട് പാഠത്തെ ക്കുറിച്ച് ഒരു ധാരണ ലഭിച്ചു.
പോസ്റ്റിനേക്കാള്‍ ഇഷ്ടപ്പെട്ടത് താഴേയുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കിയ രീതി തന്നെ!
ലാടെക്കില്‍ മെനഞ്ഞെടുത്തത് ജോണ്‍സാര്‍ തന്നെ?
കൃഷ്ണന്‍മാഷ് പണ്ടുതന്നെ ഒരു ലാടെക് പുലിയാണെന്ന് കേട്ടിട്ടുണ്ട്!!
ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി. ഒരു കാര്യം ചൂണ്ടിക്കാട്ടട്ടെ. മുപ്പത്തിമൂന്നാം ചോദ്യത്തിനെന്താണ് അപൂര്‍ണത? പരിഹരിക്കുമല്ലോ?
നിഗമനങ്ങളിലെ അപകടം എന്ന ഭാഗം കണ്ടപ്പോഴാണ് ഒരു പഴയ ചോദ്യം വീണ്ടും പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാന്‍ തോന്നിയത് "Y=X^5-10X^4+35X^3-50X^2+25X"എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ X എന്ന ചരത്തിന് വിവിധ വില നല്‍കുമ്പോള്‍ Y എന്ന ചരത്തിന് കിട്ടുന്ന വിലയാണ് നിഗമനത്തില്‍ എത്തേണ്ടത്. X=0,Y=0;X=1,Y=1;X=2,Y=2;X=3,Y=3;X=4,Y=4;X=5,Y=?
ലേടെക് പഠിക്കുന്ന ഗീതടീച്ചറെ .ഹരിസാറും പഠിക്കുന്നുണ്ട് . കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍തന്നെ ഗുരു . തുടക്കമാണ് .
MANMOHAN SIR ,
ഇവിടത്തെ ചോദ്യം 33 ഉം ഇക്കഴിഞ്ഞ എസ്‌ എസ്‌ എല്‍ സി ചോദ്യം നമ്പര്‍ 1 ഉം തുല്യമാണ് .മാര്ക്ക് 3 .
sslc പേപ്പറില്‍ നിന്നും എടുത്തതാണ്.തിരുത്തിയിട്ടുണ്ട്
text books are very useful
thanks john sir
"നന്ദി എന്തു ചൊല്ലേണ്ടു ഞാന്‍"
വെക്കേഷന്‍ ക്ലാസ്സിനു ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ പോസ്റ്റ്‌. എല്ലാ chapter നും ഇതുപോലെ ഗുണകരമായ പോസ്റ്റുകള്‍ നമ്മുടെ സുഹൃത്തുക്കള്‍ നല്‍കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
പ്രിയപ്പെട്ട ജോണ്‍ സാര്‍,
അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
ജോണ്‍ സാറിന് വളരെയധികം നന്ദി.
തുടര്‍ന്നും ഇതുപോലെ പ്രതീക്ഷിക്കാമല്ലോ?.
very good john sir
...
@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
ചില സംശയങ്ങള്‍
1)പേജ് നമ്പര്‍ 9ലെ 1000 രൂപയ്ക്കു 6%കൂട്ടുപലിശ
കണക്കാക്കുമ്പോള്‍ ലഭിക്കുന്ന ശ്രേണി സംഖ്യാശ്രേണി ആണോ (1000,1060,1124,1191,1262,1334)
2)പേജ് നമ്പര്‍ 10ലെ 1,6 എന്നീ അക്കങ്ങളില്‍ അവസാനിക്കുന്ന തുടര്‍ച്ചയായ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ 1,6,11,16,21,26,31.........
മറ്റൊരു തരത്തില്‍ എഴുതുക എന്ന ചോദ്യം
ആദ്യപദം ഒന്നും പിന്നീട് അഞ്ചു കൂട്ടി എഴുതിയ ശ്രേണി എന്ന് ആണോ എഴുതേണ്ടത് .സമാന്തര ശ്രേണി എന്ന ആശയം രൂപപെടുത്താന്‍ ആണോ ഈ ചോദ്യം. f(n)=5n-4 എന്നും എഴുതാമല്ലോ
3)പേജ് നമ്പര്‍ 13ലെ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ സംഖ്യ 10 മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ 24ഉം ആണ്. രണ്ടാം സംഖ്യ ഏതു എന്ന ചോദ്യം
പോതുവ്യത്യാസം 'x' എന്ന് എടുത്തു
10 , 10+x , 10+2x എന്ന് എടുത്തു
10+2x = 24
2x=14
x=7
രണ്ടാം സംഖ്യ = 17
എന്ന് നേരത്തെ പുസ്തകത്തില്‍ ഉള്ള രീതിയിലും എഴുതാന്‍ കഴിയില്ലേ
നീരജ,വിസ്മയ
കണ്ണാടി ഹയര്‍ സെക്കന്ററി സ്കൂള്‍
കണ്ണാടി
പാലക്കാട്
ഗണിതത്തില്‍ പുതിയ രീതി പഴയ രീതി എന്ന് ഉണ്ടോ.കുട്ടിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ രൂപീകരണം അല്ലെ പ്രധാനം.പുതിയ പുസ്തകം വരുമ്പോള്‍ ആകെ പാടെ ഒരു ബഹളം ആണ്
ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം
പേജ് നമ്പര്‍ 16ലെ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ 12-)0 പദം 25 പൊതുവ്യത്യാസം 3 ആണ്.
ശ്രേണിയിലെ 17-)0പദം എത്ര.
ആദ്യ പദം 'a' എന്നും പൊതുവ്യത്യാസം 3
ആയാല്‍
a+11d=25
a+33=25
a= 25-33 = - 8
17-)0പദം = a+16d=-8+48=40
എന്ന് നേരത്തെ ഉള്ള രീതിയില്‍ ചെയുന്നതില്‍ എന്ത് തെറ്റ് ആണ് ഉള്ളത്
12-)0 പദം ആദ്യ പദത്തോട് പതിനൊന്നു പൊതുവ്യത്യാസം ചേര്‍ന്നതാണ് എന്നും 17-)0പദം
ആദ്യ പദത്തോട് പതിനാറു പൊതുവ്യത്യാസം ചേര്‍ന്നതാണ് എന്നും ഉള്ള ആശയ രൂപീകരണത്തിന് അല്ലെ പ്രാധാന്യം.
ഒരു കുട്ടിക്ക് പഴയ പുസ്തകം പഠിച്ച ഒരു വ്യക്തി ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞു കൊടുത്താല്‍ ഉടനെ ടീച്ചര്‍ പറയും ഇത് പഴയ രീതി ആണ് പുതിയ പുസ്തകം ഇങ്ങനെ അല്ല പറയുന്നത് . ഗണിതത്തില്‍ പുതിയ രീതി പഴയ രീതി എന്ന് ഉണ്ടോ.കുട്ടിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ രൂപീകരണം അല്ലെ പ്രധാനം
@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
1)
1, 3, 5, 7 ,9... എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കാം. ഇതിന്റെ നേര്‍രൂപം,
തുടര്‍രൂപം,ബീജഗണിത രൂപം എന്നിവ തമ്മില്‍ എന്ത് വ്യത്യാസം ആണ് ഉള്ളത് ? അതോ ഇതെല്ലം ഒന്ന് തന്നെ ആണോ ?
2)
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ n-)0 പദം f+(n-1)d
എന്ന് എടുത്തത്‌ പുതിയ പുസ്തകം പഴയതില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തം എന്ന് കാണിക്കാന്‍ വേണ്ടി ആണോ a,a+d,a+2d എന്ന് തന്നെ പരിഗണിച്ചു a+(n-1)d എന്ന് തന്നെ പറഞ്ഞാല്‍ പോരായിരുന്നോ
3)
n-)0 പദം dn+(f-d) എന്ന് എഴുതുന്നതിലെ ഔചിത്യം എന്താണ്
4)
1,1,2,2,3,3,4,4,--------എന്ന ശ്രേണിയുടെ n-)0 പദം എന്താണ്
5)
0,1,1,2,3,5,8,13---------
എന്ന ശ്രേണിയുടെ n-)0 പദം എന്താണ്
@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
പുതിയ പുസ്തകം പറയുന്ന രീതിയില്‍ തന്നെ ആശയങ്ങള്‍ നോക്കി കാണണം എന്ന് ഉണ്ടോ ?
പാഠപുസ്തകത്തെ ഒരു അടിസ്ഥാന ശിലയായി കണ്ടു കൊണ്ട് അധ്യാപകന് സ്വന്തം ആശയങ്ങളിലൂടെ മുന്നേറാനുള്ള അവകാശം ഇല്ലേ ?
കുട്ടിയിലെ ആശയ രൂപീകരണത്തിന് വേണ്ടി
സ്വന്തമായ ഒരു വഴി രൂപീകരിച്ചു കൊണ്ട് ആ വഴിയിലൂടെ കുട്ടികളിലെ നയിച്ച്‌ കുട്ടികളില്‍ ആശയ രൂപീകരണം ഉണ്ടാക്കി എടുക്കാന്‍ അധ്യാപകന് അവകാശം ഇല്ലേ ?
പുതിയ പുസ്തകത്തില്‍ ഇങ്ങനെയാണ് പറയുന്നത് അത് കൊണ്ട് കുട്ടിക്ക് ആ വഴി മാത്രമേ സ്വീകരിക്കാന്‍ കഴിയുള്ളൂ എന്ന രീതി തെറ്റല്ലേ
പേജ് നമ്പര്‍ 14
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ അടുത്തടുത്ത
മൂന്നു സംഖ്യകളില്‍ ആദ്യത്തെതിന്റെയും അവസാനത്തെതിന്റെയും തുകയുടെ പകുതി ആണ് നടുവിലത്തെത് എന്ന് തെളിയിക്കുക
സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആശയം അറിയുന്ന കുട്ടി
a , a+d , a+2d എന്ന് എടുക്കുന്നു
(a+a+2d)/2=(2a+2d)/2 =
2(a+d)/2=a+d എന്ന് എടുത്താലും സംഗതി ശരിയല്ലേ ?
കുട്ടിയുടെ ചിന്താശേഷിക്കു ഉതകുന്ന വിധത്തില്‍ കാര്യങ്ങള്‍ ചെയാമല്ലോ.?
(പുതിയ രീതി,പുതിയ പുസ്തകം,ക്ലുസ്റെര്‍ മീറ്റിംഗില്‍ അങ്ങിനെ പറഞ്ഞു എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞു കുട്ടികളെ വലക്കരുത് )
N.B : - ട്രെയിനിംഗ് നടക്കുന്ന സമയത്ത് ഇത് കൂടി ഓരോ അധ്യാപകരും ചര്‍ച്ചക്ക് വച്ചാല്‍ നന്നായിരുന്നു.
നീരജയുടെ സംശയങ്ങളോട് പ്രതികരിക്കാന്‍ അല്പം വൈകി. എനിക്ക് ചില പ്രതികരണക്കുറിപ്പുകള്‍ ആകാമല്ലോ ടീച്ചറെ
1)1000, 1060, 1124 , 1191, 1262 ,1334 .. എന്നത് സംഖ്യാശ്രേണിതന്നെയാണ്. ക്രമമായി നടക്കുന്ന എന്തും ശ്രേണിയാണ്. അതിന്റെ എന്തെങ്കിലും ഒരു സവിശേഷത സംഖ്യകള്‍കൊണ്ട് ക്രമത്തില്‍ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുമ്പോള്‍ സംഖ്യാശ്രേണിയാകും. ക്രമമായി നടക്കുന്ന ഒരു കാര്യത്തില്‍ നിന്നും ഒന്നിലധികം സംഖ്യാശ്രേണികള്‍ ഉണ്ടാകാമെന്നു സാരം
2)സമാന്തരശ്രേണി അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനു മുന്‍പാണ് പ്രസ്തുതചോദ്യം. ആശ്രേണിക്ക് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ സവിശേഷതയുണ്ട് . ഒരു തുടര്‍രൂപവും നേര്‍രൂപവും ഉണ്ട്
തുടര്‍രൂപം x1 = 1 , x_n = x_(n-1) + 5 , n>1
നേര്‍രൂപം xn = 5n -4
3) നേരത്തെയുള്ള പുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞ രീതിയിലൊന്നും ചെയ്യാന്‍ പാടില്ല എന്ന് ആരും പറയുന്നില്ല.വിഷയത്തെ കുറച്ചുകൂടി അടുത്തുതാണാനും , ആവശ്യമെങ്കില്‍ മാത്രം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാനും കുട്ടിയെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു . അത്രമാത്രം . ഇതിന്റ ഫലം ഉണ്ടാകുമന്നാണ് ഞാന്‍ കരുതുന്നത്
4)ഗണിതത്തിലല്ല, ഗണിതബോധനത്തിലാണ് രീതിശാസ്ത്രങ്ങള്‍ മാറുന്നത് .ആകെയുള്ള ബഹളം തന്നെ നല്ല ലക്ഷണമാണ്. ഉദാഹരണമായി കാണിച്ചതുതന്നെ എടുക്കാം
പുസ്തകത്തില്‍ കാണുന്നത് ചിന്തിക്കുന്ന രീതിയാണ്. പന്ത്രണ്ട് എന്ന പദസ്ഥാനത്തുനിന്നും ഇരുപത്തി അഞ്ച് എന്ന പദസ്ഥാനത്തെത്താന്‍ എത്രപൊതുവ്യത്യാസങ്ങള്‍ വേണമെന്ന് കുട്ടി സാമാന്യബുദ്ധികൊണ്ട് ചിന്തിക്കട്ടെ . ഇത് പന്ത്രണ്ടാമത്തെ പദത്തൊട് കൂട്ടിയാല്‍ മതിയെന്ന് പിന്നെ പറഞ്ഞുകൊടുക്കേണ്ട കാര്യമില്ലല്ലോ. ഇന്നുരാവിലെ ണാന്‍ അനുബവിച്ചറിഞ്ഞ സത്യമാണിത്
5)ഒരു ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങള്‍ എഴുതാന്‍ സ്വീകരിച്ച ക്രമമാണ് അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപത്തിലൂടെ പ്രകടമാകുന്നത് .ബീജഗണിതരൂപം രണ്ടുതരത്തില്‍ എഴുതാം
ഒരു ശ്രേണിയുടെ ഒരു പദത്തില്‍ നിന്നും തൊട്ടടുത്ത പദത്തിലേയ്ക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന വളര്‍ച്ചയെ കാണിക്കുന്നതാണ് തുടര്‍രൂപം
recursive form (തുടര്‍രൂപം) :x1= 1, xn= x(n-1) +2 , n>1. for the example in the question
ഒരു ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങള്‍ക്ക് അവയുടെ പദസ്ഥാനങ്ങളായ എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുമായുള്ള ബന്ധത്തെ കാണിക്കുന്നതാമ് നേര്‍രൂപം( closed form)
6) n മത്തെ പദത്തെ((n-1)d)+f എന്നുകാണുന്നതാണ് കുട്ടി ചിന്തിക്കുന്ന രീതി. അങ്ങനെ ചെയാതാല്‍ തെറ്റുവരില്ല. fn +(f-d)യും അങ്ങനെ ഒന്നു ചിന്തിച്ചുനോക്കൂ
ബാക്കിയുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം കൂടി ഒരു ചെറിയ ഉത്തരം തന്നാല്‍ മതിയല്ലോ. "കുട്ടിയുടെ ചിന്താശേഷിക്കു ഉതകുന്ന വിധത്തില്‍ കാര്യങ്ങള്‍ ചെയാമല്ലോ.? "
അതുതന്നെയാവണം. അതുമാത്രമാകണം. അതുമാത്രമേ ആകാവൂ.ആ തിരിച്ചറിവാണ് പൂതിയ രീതീശാസ്ത്രത്തിന്റെ അന്തസത്ത.ക്ലസ്റ്ററുകളിലൂടെ പകരുന്നതും ഇതുതന്നെയാണ്.
i already saved the pdf file. But i can't open that file. what i have to do sir?
sir i already downloaded the file . but i can't open that
l already downloaded the file. But i can't open
Gopu sir
സാറ് ചെയ്യുന്നത് വിന്റോസിലോ ലിനക്സിലോ?
ഏതാണ് OS
@ ജോണ്‍ സര്‍
ആദ്യമേ തന്നെ പറയട്ടെ ഞാന്‍ ടീച്ചര്‍ അല്ല പ്ലസ്‌ ടു പഠിക്കുന്ന ഒരു കുട്ടി ആണ്
1)"1000,1060,1124,1191,1262,1334 .. എന്നത് സംഖ്യാശ്രേണിതന്നെയാണ്."
ഇവിടെ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രതെയ്ക നിയമം പാലിക്കപെടുന്നതായി കാണുന്നുണ്ടോ ?
ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളെ ഒരു പ്രതെയ്ക നിബന്ധനയ്ക്ക് വിധേയമായി ക്രമീകരിക്കുമ്പോള്‍ അല്ലെ അതെ സംഖ്യശ്രേണി ആവുകയുള്ളൂ.
2)തുടര്‍രൂപവും നേര്‍രൂപവും ബീജഗണിത രൂപങ്ങള്‍ ആണ് എന്ന് മനസ്സിലാകുന്നു
3)"നേരത്തെയുള്ള പുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞ രീതിയിലൊന്നും ചെയ്യാന്‍ പാടില്ല എന്ന് ആരും പറയുന്നില്ല." അത് വളരെ സന്തോഷം തരുന്ന കാര്യം തന്നെ
4)"ആകെയുള്ള ബഹളം തന്നെ നല്ല ലക്ഷണമാണ്."
അത് ഞങ്ങള്‍ക്ക് തോന്നുന്നില്ല ബഹളം ഇല്ലാതെ കാര്യങ്ങള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതില്‍ അല്ലെ മിടുക്ക്
"സാമാന്യബുദ്ധികൊണ്ട് ചിന്തിക്കട്ടെ"
അത് നല്ലത് തന്നെ ആണ് എന്നാല്‍ എല്ലാം സാമാന്യ ബുദ്ധി കൊണ്ട് മാത്രം മനസിലാക്കാന്‍ കഴിയുകയില്ലല്ലോ.
പ്രത്യേക നിയമം ഉണ്ടല്ലോ. ആ നിയമം അനുസരിച്ചാണല്ലോ എഴുതിയത് .
ഇവിടെ ആരാണ് ബഹളം വെയ്ക്കുന്നത് . കുട്ടികള്‍ ആണോ? .ശാക്തീകരണ ക്ലാസുകളിലും കാര്യങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളാന്‍ തയ്യാറെടുക്കുന്നവരെയാണ് കാണുന്നതെന്ന് അറിയുന്നു.
പിന്നെ സാമാന്യബുദ്ധി പറ്റാതെ വരുമ്പോള്‍ ഉപയോഗിക്കാനാണല്ലോ മറ്റുരീതികള്‍ അഭ്യസിക്കുന്നത് .
Johnsir YOU are really a very sincere and responsible Maths teacher
We, the Maths teachers are really proud of you for being one among us
We, the PALA team congratulate you
for you great effort
അധ്യാപക പരിശീലനക്ലാസിലെ ആവശ്യം.
പ്രത്യേക നിയമം/ക്രമം അനുസരിച്ച് ശ്രേണികള്‍
ശ്രേണി അല്ലാത്ത ഒരു ഉദാഹരണം?
നീരജയുടെയും വിസ്മയയുടെയും ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക്, ജോണ്‍സാര്‍ വിശദമായും, വ്യക്തമായും മറുപടി പറഞ്ഞുകഴിഞ്ഞു. ചില കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ ആവാമെന്നു തോന്നി.
(1) പേജ് 9 ലെ കൂട്ടുപലിശക്കണക്കില്‍ വരുന്ന ശ്രേണി ഉണ്ടാകുന്നതിന്റെ ഗണിതനിയമം, പേജ് 19 ല്‍ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടല്ലോ. ഇത് ബീജഗണിതത്തില്‍പ്പറ യാന്‍, floor function ഉപയോഗിക്കേണ്ടി വരും. (സാധാരണഭാഷയില്‍ എളുപ്പത്തില്‍ പറയാവുന്ന ഗണിതക്രിയകള്‍ ബീജഗണിതഭാഷയില്‍ പറയാനാണ്‌, പുതിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നത്.)
(2) 1, 6 എന്നീ അക്കങ്ങളില്‍ അവസാനിക്കുന്ന എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ 1, 6, 11, 16, ... എന്നിങ്ങിനെ എഴുതിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ ഇത് മറ്റേതെല്ലാം രീതിയില്‍ എഴുതാം എന്ന് (മുന്‍വിധികളില്ലാതെ) കുട്ടികളോട് ചോദിക്കുക. പല ഉത്തരങ്ങളും കിട്ടും. ഒരേ കാര്യംതന്നെ എങ്ങിനെയെല്ലാം വിവരിക്കാം എ ന്നതിന്‌ അതൊരു പാഠമാകുകയും ചെയ്യും
(3) പേജ് 13 ലെ, സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ആദ്യസംഖ്യ 10, മൂന്നാംസംഖ്യ 24, രണ്ടാംസംഖ്യ എന്താണ് എന്ന ചോദ്യം മനക്കണക്കായി ചെയ്യാവുന്ന തേയുള്ളു. ബീജഗണിതരീതിയില്‍ ചെയ്യുന്നതിന്റെ ഉദ്ദേശം പൊതുവായ ഒരു നിഗമനത്തിനുവേണ്ടിയാണ്‌. നടുവിലത്തെ സംഖ്യ x എന്നെടുത്താല്‍ (കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട സംഖ്യയെത്തന്നെ x എന്നെടുക്കുന്നതാണല്ലോ സ്വാഭാവികം) ഒരു ഘട്ടത്തില്‍ 2x=10+24 എന്നു കിട്ടും. തുടര്‍ന്ന് x=17 എ ന്നു കണ്ടുപിടിക്കുകയും ആവാം. അതിനുശേഷം, മുന്‍പറഞ്ഞ സമവാക്യം വീണ്ടും പരിശോധിച്ച്, അതിന്റെ അര്‍ത്ഥം ആലോചിക്കാം. നടുവിലത്തെ സംഖ്യയുടെ രണ്ടുമടങ്ങാണ്‌, അപ്പുറത്തുമിപ്പുറത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നു കണ്ടുകഴിഞ്ഞാല്‍, ഇത് എല്ലാ സമാന്തരശ്രേണികളിലും ശരിയാണോ എന്നാലോചിക്കാം. ഇതുതന്നെയാണ് പാഠപുസ്തകത്തിലെ അടുത്ത ചോദ്യവും.
(4) 1, 1, 2, 2, 3, 3,.. എന്നിങ്ങനെ എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ഈരണ്ടു തവണ വരുന്ന ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം
n/2 + (1+(-1)^(n+1))/4 എന്നെഴുതാം.
1, 1, 2, 3, 5, .., എന്നു തുടരുന്ന ഫിബണോച്ചി ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം
((1+sqrt(5))^n-(1sqrt(5))^n)/(2^nsqrt(5))
(n+1)/2 -1/4{1+(-1)^n} എന്നതും 1,1,2,2,3,3............... എന്നശ്രേണിയുടെ nth term അല്ലെ ?
@ കൃഷ്ണന്‍ സര്‍
1000,1060,1120,1180.............
എന്നാ സമാന്തര ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക
1060-1000 = 60
1120-1060 = 60
1180-1120 = 60
അതായത് ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ഏതു സംഖ്യയില്‍ നിന്നും തൊട്ടു പുറകിലെ സംഖ്യ കുറച്ചാല്‍ ഒരേ സംഖ്യ കിട്ടും
ഇവിടെ തൊട്ടു പുറകിലെ എന്ന് ആണോ അതോ തൊട്ടു മുന്നിലെ എന്ന് ആണോ വേണ്ടത്
@ നീ & വി
മുന്ന് ഏതാണ് പുറക് ഏതാണ് എന്നത് ആപേക്ഷികമാണ്.നാം എങ്ങോട്ട് തിരിഞ്ഞു നില്‍ക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് അത് മാറാവുന്നതാണ്.
പിന്നെ കണക്കിലെ സംബന്ധിച്ചാണെങ്കില്‍ തൊട്ടു പുറകിലെ എന്നു തന്നെയാണ് ഉദ്ദേശിച്ചത്. ഇനി അല്ല ഒരു വാദത്തിനു േണ്ടിയാണെങ്കില്‍ സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ തൊട്ടു മുന്നിലെ സംഖ്യ കുറച്ചാലും കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും.
1000,1060,1120,1180.............
എന്നാ സമാന്തര ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക
1000-1060 =-60
1060-1120 = -60
1180-1120 = -60
ഇത്രയൊക്കെ പറയാനേ അറിയുള്ളൂ.....
സമാന്തരശ്രേണികള്‍ , പേജ് 21.
ആദ്യപദം ½,പൊതുവ്യത്യാസം 1/3,ആയ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ ഒരിക്കലും ഒരു എണ്ണല്‍സംഖ്യ പദമായിവരില്ല എന്ന്തെളിയിക്കുക.യോജിച്ച ഒരു തെളിവ് തരാമോ..
ജോസ് സാര്‍,
ഈ ശ്രേണിയിലെ n-ആം പദം എന്തായിരിക്കും? n-ന്റെ ഏത് വിലയ്ക്കാണ് ഈ പദം എണ്ണല്‍സംഖ്യ ആവുക?
-- ഫിലിപ്പ്
Dear Jose sir
1/2നോട് ഒരു നിശ്ചിത തവണ 1/3 കൂട്ടിയാല്‍ എണ്ണല്‍സംഖ്യ കിട്ടുമെമ്മ് കരുതുക
ആ എണ്ണല്‍ സംഖ്യ K ആയാല്‍ 1/2 + n* 1/3 = K
n/3 = k-1/2 എണ്ണല്‍സംഖ്യ അല്ല.
n= 3( k-1/2)
3k - 3/2
3k -1 - 1/2
(3k-1) - 1/2
ഇവിടെ 3k-1 എണ്ണല്‍ സംഖ്യ ആണ്. ഇതിനാല്‍ (3k - 1)- 1/2 എണ്ണല്‍സംഖ്യ അല്ല
അതായത് n ഒരിക്കലും എണ്ണല്‍സംഖ്യ ആകില്ല
May 12, 2011 5:26 PM
Delete
Eagerly waiting for the english medium Maths Text.
sir l read questions. there was some error in adobe reader in my system(windows).
John sir, very good questions. most of questions are so relevent to the new text book content.
sslc new text book kanunnilla
പുതിയ പത്താം ക്ലാസ് പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ ലിങ്കിന് ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകം കയ്യില്‍ക്കിട്ടി. ഡിസൈന്‍ ചെയ്തവനെ ഓടിച്ചിട്ട് തല്ലണം. പര്‍പ്പിള്‍ കളര്‍ ബക്കറ്റില്‍ വീണതു പോലെയിരിക്കുന്നു. ഒരു തവണ പുസ്തകം എടുക്കുന്നയാള്‍ക്ക് വീണ്ടും പുസ്തകം എടുക്കാന്‍ തോന്നുന്ന രീതിയിലാകേണ്ടേ പുസ്തകം? കളര്‍ മൊത്തം കലങ്ങിയിട്ട്, ത്രിഡി കണ്ണടയില്ലാതെ ത്രിഡി ചിത്രം കാണുന്നതു പോലെയിരിക്കുന്നു പേജുകള്‍. തീരെ ഗുണനിലവാരമില്ലാത്ത പ്രിന്റിങ്. ഉള്ളിലെന്തുണ്ടായാലും വായിക്കാന്‍ തോന്നേണ്ടേ? കുട്ടികളുടെ കണ്ണിന്റെ ഫിലമെന്റ് അടിച്ചു പോകുമല്ലോ? അങ്ങനെ മലയാളത്തിലെ ആദ്യ പത്താം ക്ലാസ് കളര്‍ പാഠപുസ്തകം കണ്ണീരില്‍ കുതിര്‍ന്ന പോലെയായി. ഡിസൈന്‍ ചെയ്തവന് നമോവാകം!
@നീ & വി
1000ഇല്‍ ആരംഭിച്ചു 1060 ലൂടെ 1120ഇല്‍ സ്പര്‍ശിച്ചു ആണല്ലോ നമ്മുടെ ശ്രേണിയുടെ യാത്ര. അവിടെ തൊട്ടു പുറകിലെ പദം എന്നാല്‍ ഏതാണ് ? 1060നു പുറകില്‍1000,1120നു പുറകില്‍1060,1180നു പുറകില്‍1120 . ഇപ്പോഴും സംശയം ഉണ്ടോ?
@ ജ & ക (ജനാര്ദ്ധനന്‍ സര്‍ & കവി)
"ഇനി അല്ല ഒരു വാദത്തിനു േണ്ടിയാണെങ്കില്‍ സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ തൊട്ടു മുന്നിലെ സംഖ്യ കുറച്ചാലും കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യ തന്നെയായിരിക്കും."
ഞങ്ങള്‍ വാദത്തിനു വേണ്ടി പറഞ്ഞത് അല്ല.
1000,1060,1120,1180 ......എന്ന
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം 60 ആണല്ലോ അപ്പോള്‍ പൊതുവ്യത്യാസം കിട്ടാന്‍ ഏതു സംഖ്യയില്‍ നിന്നും തൊട്ടു പുറകിലെ സംഖ്യ കുറക്കണം എന്ന് ആണോ അതോ ഏതു സംഖ്യയില്‍ നിന്നും തൊട്ടു മുന്നിലെ സംഖ്യ കുറക്കണം എന്ന് ആണോ എഴുതേണ്ടത് എന്ന് ആയിരുന്നു സംശയം
@ ജ & വി (ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍ & വിജയന്‍ സര്‍)
ഞാന്‍ 2010 മാര്‍ച്ചില്‍ ആണ് പരീക്ഷ പത്താം ക്ലാസ് എഴുതിയത് അന്നത്തെ പുസ്തകത്തില്‍
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം കണക്കാക്കാന്‍ ഏതു സംഖ്യയില്‍ നിന്നും തൊട്ടു മുന്നിലെ സംഖ്യ കുറക്കണം എന്ന് ആണ് ഉണ്ടായിരുന്നത് .അത് മാത്രമല്ല വായിച്ചപ്പോള്‍
1000,1060 എടുക്കുമ്പോള്‍ 1060നു തൊട്ടു മുന്‍പ് അല്ലെ 1000 വരുന്നത് എന്ന് സംശയവും ഉണ്ടായി
പുതുതായി ആരംഭിച്ച റിപ്പോര്‍ട്ടര്‍ ടി.വി
Satellite: Insate 2.E
Location : 83 Degree East
Format : MPEG4
Frequency - 4050 MHz
Symbol rate - 5084 Mbps
Polarisation - Vertical
FEC - 7/8
x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 25x
= x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x
എന്നെഴുതിയാല്‍, ഇതില്‍ x = 0, 1, 2, 3, 4 എന്നിങ്ങിനെ എടുക്കുമ്പോള്‍ അതേ സംഖ്യതന്നെ കിട്ടുന്നതിന്റെയും, x =5 മുതല്‍ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകള്‍ കിട്ടുന്നതിന്റെയും കാരണം വേഗം മനസിലാക്കാം.
OFFTOPIC ; BUT URGENT
@ john sir, krishan sir, ramanunni sir, hari sir , janardhanan sir ....
കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷം 10 ലേക്ക് ജയിച്ച ഒരു കുട്ടിക്ക് ഒരു മാസം ക്ലാസ്സില്‍ ഹാജരായതിനു ശേഷം മഞ്ഞപ്പിത്തം പിടി പെട്ടതുമൂലം പിന്നീട് പഠനം തുടരാനായില്ല. അടുത്ത വര്‍ഷം പഠനം തുടരാമെന്ന് അന്നത്തെ ഹെഡ്മാസ്റ്റര്‍ പറഞ്ഞിരുന്നു. ഈ വര്‍ഷം വെക്കേഷന്‍ ക്ലാസ്സുകളില്‍ കുട്ടി ഹാജരാകുകയും ചെയ്തു. എന്നാല്‍ കഴിഞ്ഞ ദിവസം പുതിയ ഹെഡ്മാസ്റ്റര്‍ തിരുവനന്തപുരത്ത് സര്‍വ്വശിക്ഷാ അഭിയാന്‍ ഓഫീസില്‍ പോയി പ്രത്യേകം അനുമതി വാങ്ങാതെ റെഗുലര്‍ ആയി SSLC എഴുതാന്‍ പറ്റില്ല എന്നും അല്ലാത്ത പക്ഷം പ്രൈവറ്റ് ആയി രജിസ്റ്റര്‍ ചെയ്യണമെന്നും രക്ഷിതാവിനെ വിളിച്ചുവരുത്തി അറിയിച്ചിരിക്കുന്നു. തിരുവനന്തപുരത്ത് പോകാതെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ലേ? CE മാര്ക്ക് പ്രശ്നമാകുമെന്നാണ് Headmaster ടെ അവകാശവാദം.
നിയമവശം ഒന്നു പറഞ്ഞുതരാമോ?
Sreejithmupliyam
John sir,thanks for the questions
Ptolemy's Theorem
very good
A.P TEXT PAGE17 QUSTNO6 HOW MANY 3 DIGIT NUMBERS WHICH LEAVES REMINDER 3 WHEN DIVIDED BY 4
ANS;103,107,111,......999
f=103 d=4
no. of terms=999-103/4+1=225
any other method
Dear Arunbabu sir
Dear Arunbabu sir
\begin{equation}
n = \frac{t_n - t_1}{d} +1
\end{equation}
എന്ന സൂത്രമാക്യം നേരിട്ട് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തോന്നുന്നു
പൊതുവ്യത്യാസം 4 ആയ സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ 103 മുതല്‍ 999 വരെ എത്രപദങ്ങളുണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തലാണല്ലോ ഇവിടെ ചെയ്യേണ്ടത്
ഒന്നാം പദത്തോട് (ആതായത് 103 നോട്) കറേ പൊതുവ്യത്യാസങ്ങള്‍ കൂട്ടിയപ്പോഴാണ് 999കിട്ടിയതെന്ന് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആശയം നന്നായി മനസിലാക്കിയ കുട്ടി തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടുണ്ടാകും
അതായത് 999-103 ചെയ്യുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന 896 നാലിന്റെ ഗുണിതമാണത്ര
896 നെ 4 കൊണ്ടുഹരിച്ച് കിട്ടു്ന്ന 224 കൂട്ടേണ്ട പൊതുവ്യത്യാസങ്ങഴുടെ എണ്ണമാണല്ലോ
ഉത്തരം 224 അല്ല 225 ആണെന്ന് കുട്ടി പറയും .അത് സാധ്യമാകണമെങ്കില്‍ സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ച് കുട്ടി സ്വയമായി അറിവുനിര്‍മ്മാണം നടത്തിയിരിക്കണം
ഇങ്ങനെ ഈ കണക്ക് പരിശീലിപ്പിക്കണമെന്നല്ല ഉദ്ദേശിക്കന്നത്.ഇങ്ങനെയും ചോദ്യത്തെ വിലയിരുത്താം എന്നുമാത്രമാണ് പറഞ്ഞത്
\begin{equation}
999 = ((n-1)\cdot d) +103
\end{equation}
എന്ന് എഴുതുമ്പോള്‍കിട്ടന്ന n ഉം
\begin{equation}
103 + n \cdot 4 = 999
\end{equation}
എന്ന് എഴുതുമ്പോള്‍ കിട്ടന്ന n ഉം രണ്ട് വ്യത്യസ്ഥ അര്‍ഥങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് കുട്ടി അറിയട്ടെ
@ Arunbabu sir
നാല് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ മൂന്ന് ശിഷ്ടം വരുന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി
103,107,111,-------------- 999
ഇവിടെ പൊതു വ്യത്യാസം 4
ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദത്തിന്റെ കൂടെ നിശ്ചിത പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടുമ്പോള്‍ ആണ് ശ്രേണിയുടെ മറ്റു ഏതൊരു പദവും കിട്ടുന്നത്
103 + 896 = 999
896 ല്‍ 224 (896/4=224) പൊതുവ്യത്യാസങ്ങള്‍ ഉണ്ടല്ലോ
103 + 224 x പൊതുവ്യത്യാസം = 999
അതായത് ആദ്യ പദത്തിന്റെ കൂടെ 224തവണ പൊതു വ്യത്യാസം കൂട്ടുമ്പോള്‍ ആണ് 999 കിട്ടുന്നത്
ആദ്യ പദത്തിന്റെ കൂടെ 224തവണ പൊതു വ്യത്യാസം കൂട്ടുമ്പോള്‍ 225-)0 പദം ആണല്ലോ കിട്ടുന്നത്
അതായത് ഈ ശ്രേണിയിലെ 225-)0 പദമാണ് 999
അതിനാല്‍ നാല് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ മൂന്ന് ശിഷ്ടം വരുന്ന 225 മൂന്നക്ക സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ട്
Dear sreejith sir
അറ്റന്റന്‍സ് റീക്കൂപ്പ്ഡ് എന്നത് ഈ പ്രശ്നം തന്നെയാണ്.
ജില്ലാവിദ്യാഭ്യാസഓഫീസറുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാല്‍ ശരിയായ നിര്‍ദ്ദേശം സ്ക്കുളിനല്‍കുമന്നു കരുതുന്നു
പോകേണ്ടത് കുട്ടിയുടെ മാതാപിതാക്കളായിരിക്കണം
thaks i like this
thanks i like this questions
19,18$\frac{1}{5}$,17$\frac{2}{5}$.......എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ എത്രാമത്തെ പദമ്ണ് ആദ്യന്യൂനസംഖ്യയാകുന്നത്.? ആദ്യത്തെ ന്യൂനസംഖ്യ ഏതാണ്.?
ഈ സമാന്തര ശ്രേണി യുടെ ഇരുപത്തഞ്ചാമത് പദമാണല്ലോ -1/5. ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ച ആദ്യത്തെ ന്യൂന സഖ്യ ഇതല്ലേ?
@ ശ്രീജിത്ത്‌ സര്‍
ശ്രേണിയുടെ ഇരുപത്തി അഞ്ചാം പദം ആദ്യന്യൂനസംഖ്യയാകുന്നത് .
ഇരുപത്തി അഞ്ചാം പദം = -1/5
ഞങ്ങള്‍ ചെയ്ത വഴി
ആദ്യം ശ്രേണിയുടെ കുറച്ചു പദങ്ങള്‍ എഴുതി നോക്കി
95/5,91/5,87/5, .....
അപ്പോള്‍ ആദ്യ പദം 95/5 = 19
ഇവിടെ പൊതു വ്യത്യാസം -4/5
അപ്പോള്‍ അഞ്ചു പൊതു വ്യത്യാസം ചേരുമ്പോള്‍ -4
അപ്പോള്‍ ആറാം പദം = 19+(-4) = 15
പതിനൊന്നാം പദം = 15+(-4) = 11
പതിനാറാം പദം = 11 + (-4) = 7
ഇരുപത്തി ഒന്നാം പദം = 11+(-4) = 3
ഇരുപത്തി ആറാം പദം = 3+(-4) = -1
ഇരുപത്തി അഞ്ചാം പദം = -1 - (-4/5)
= -1 + (4/5)
= -5/5 + 4/5
= -1/5
ഞങ്ങള്‍ കൃഷ്ണന്‍ സാറുടെ മാര്‍ഗം ആണ് സ്വീകരിച്ചത്.ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ സാമാന്യ ബുദ്ധി കൊണ്ട് ചിന്തിച്ചു എന്ന് മാത്രം .
ആദ്യപദം 19 ഉം,പൊതുവ്യത്യാസം -4/5 ഉം ആണല്ലൊ.
19 നോട് എത്ര -4/5 കള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ 0 കടക്കും എന്നറിയണം.19ല്‍ എത്ര 4/5കള്‍ ഉണ്ടെന്ന് നോക്കുബോള്‍ 23.75എന്ന് കിട്ടുന്നു.ആതായത് 24 പൊതുവ്യത്യാസങ്ങള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ ആദ്യത്തെ ന്യൂനസംഖ്യയിലെത്താം..
ഇങ്ങനെ വഴി എഴുതാന്‍ കഴിഞ്ഞത് ആതിര,അനന്യമാരുടെ വിശദീകരണം കണ്ടതുകൊണ്ടാണ്.thanks to all
@ Krishnan sir,
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായപദങ്ങളുടെതുക പ്രധാനമായും 'n 'ന് ഊന്നല്‍ കൊടുത്താണല്ലൊ കാണുന്നത്. എന്നാല്‍ 'n' നേരിട്ട് കണ്ടുപിടിക്കാതെ തുക കാണാനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗ്ഗം വിശദീകരിക്കുന്നു. സൗകര്യപ്പെടുമെന്ന് തോന്നുന്നവര്‍ക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടറ്‌ച്ചയായ പദങ്ങളുടെതുക "അവസാനപദത്തിന്റെയും ആദ്യപദത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗ വ്യത്യാസത്തെ പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഇരട്ടി കൊണ്ട് ഹരിച്ച് രണ്ട് പദങ്ങളുടേയും ശരാശരി കൂട്ടിയാല്‍ മതി.”
Sn =[{Xn)^2-(X1)^2}/2d+{(Xn+X1)/2}
eg: 1) 1 മുതല്‍ 21 വരേയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക ?
തുക = [(21^2-1^2)/2*2]+(1+21)/2= 121
2) 10 മുതല്‍ 48 വരെയുള്ള ഇരട്ട സഖ്യകളുടെ തുക കാണുക?
തുക = [(48^2-10^2)/2*2]+(10+48)/2=580
3)13,20,27,-------------97. തുക കാണുക?
തുക = [(97^2-13^2)/2*7]+(13+97)/2 =715
4)21 മുതല്‍ 31 വരെയുള്ള ഒറ്റ സഖ്യകളുചടെ തുക കാണുക?
തുക = [(31^2- 21^2)/2*2+(31+21)/2=156.
ക്ളാസ് റൂമില്‍ ഈ രീതി പ്രയോഗിച്ചാല്‍ ഗുണം ചെയ്യുമോ ?
Post a Comment