15 ഡിഗ്രിയുടെ ത്രികോണമിതി അളവുകള്
>> Tuesday, May 17, 2011
കോട്ടയം കാഞ്ഞിരപ്പിള്ളിയിലെ ഗവണ്മെന്റ് ടെക്നിക്കല് ഹൈസ്ക്കൂളിലെ അധ്യാപകനായ എം.ഡി വിജയകുമാര് സാറാണ് ഈ ലേഖനം തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. 30°, 45°, 60°, 90° കോണുകളുടെ വില ചിത്ര സഹായത്തോടെ കണ്ടെത്താന് കുട്ടികള്ക്കറിയാം. ഉയര്ന്ന നിലവാരം പുലര്ത്തുന്നവര്ക്ക് 15° കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി വിലകള് കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരു അസൈന്മെന്റ് നല്കിയാലോ? അസൈന്മെന്റിനൊടുവില് അവര്ക്കു വേണ്ടിത്തന്നെ മറ്റൊരു പ്രവര്ത്തനവും നല്കിയിട്ടുണ്ട്. ഈ അസൈന്മെന്റ് പൂര്ത്തിയാക്കാന് ഉപയോഗിച്ച രീതി മനസ്സിലാക്കിക്കൊണ്ട് ഈ പ്രവര്ത്തനത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താമോ?
15° കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി അളവുകള് കണ്ടെത്തുന്ന വിധം.
സമപാര്ശ്വത്രികോണം ABC യില് ∠B= 90°, BD=1 യൂണിറ്റ്, ∠BAD = 30° ആകത്തക്ക വിധത്തില് BCയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് D. Dയില് നിന്ന് AC യ്ക്ക് DE എന്ന ലംബം വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതില് നിന്നും sin 15° എത്രയെന്ന് കണ്ടെത്താം.
സമപാര്ശ്വമട്ടത്രികോണം ABC യില് ∠BAC = ∠BCA = 45°
Δ ADB യുടെ കോണുകള് 30°, 60°, 90° ആയതുകൊണ്ട് വശങ്ങള് 1: √3 : 2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലാണ്.
∴AB = √3, AD = 2
BC = AB ആയതിനാല് BC=√3
∴ DC = BC – BD = √3 – 1
Δ DEC യിലെ ∠C= 45°, ∠DEC= 90° ആയതുകൊണ്ട് ∠CDE=45°
അതായത് CDE ഒരു സമപാര്ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്.
അതിന്റെ കര്ണ്ണം, DC = √3-1
ΔCDE യുടെ വശങ്ങള് 1:1:√2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലായതു കൊണ്ട്
$$CE = DE =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$$
∠DAE = ∠BAC - ∠DAB=45°- 35°=15°
മട്ടത്രികോണം ADE യില് നിന്ന്
$$sin 15° = \frac{DE}{AD} = \frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\div 2 = \frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$$
15° കോണിന്റെ മറ്റ് ത്രികോണമിതി അളവുകള് ഈ രീതിയില് കണ്ടെത്താമല്ലോ?
Work corner
sin 22.5° ന്റെ വില കണ്ടെത്താമോയെന്ന് ശ്രമിച്ചു നോക്കുക. (State Syllabus ന് അനുസരിച്ചുള്ള ഉത്തരം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.)
31 comments:
വളരെ നല്ല സമീപനം.അഭിനന്ദനങ്ങള് വിജയകുമാര് സാര്
അസൈന്മെന്റിന് ഉത്തരം കിട്ടി
$$\sin{22 \frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി എതിര്വശത്തെ മുറിക്കുന്ന അംശബന്ധം ആ കോണ് രൂപീകരിക്കുന്ന വശങ്ങള് തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം തന്നെയാണ്
Std IX ,ജ്യമിതീയ അംശബന്ധങ്ങള്
ഇതുപയോഗിച്ച് നിര്മ്മിതി പൂര്ത്തിയാക്കി ചെയ്താല് മതി
സൈഡ് ബോക്സ് ആക്ടിവിറ്റികള് തയ്യാറാക്കാനും അതൊരു ചര്ച്ചയ്ക്കുള്ള വിധേയമാക്കാനും മുന്നോട്ടു വന്ന വിജയകുമാര് സാറിന് ബ്ലോഗ് ടീമിന്റെ പേരില് നന്ദി പറയട്ടെ. അദ്ദേഹത്തിന് മലയാളം ടൈപ്പ് ചെയ്യാനറിയില്ല. പക്ഷെ മലയാളം ടൈപ്പ് ചെയ്യാനറിയാവുന്ന മകന്റെ സഹായത്തോടെ അദ്ദേഹം ഈ പോസ്റ്റ് ടൈപ്പ് ചെയ്ത് ബ്ലോഗിന് അയച്ചു തരികയായിരുന്നു. ഈ ആര്ജ്ജവത്തെ അംഗീകരിക്കുന്നു. അഭിനന്ദിക്കുന്നു. ഇത് അധ്യാപകര്ക്കുള്ള മികച്ച മാതൃകയാണ്. സ്ക്കൂളില് എത്രയോ മലയാളം ടൈപ്പ് ചെയ്യാനറിയാവുന്ന വിദ്യാര്ത്ഥികളുണ്ടാകും. അവരെക്കൂടി ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്ക്ക് ഉത്തരം നല്കാന് ശ്രമിച്ചാല് അധ്യാപകനും കുട്ടിക്കും ഒരു പോലെ ഗുണമാണ്. ചര്ച്ചകളില് പങ്കെടുക്കാന് കുറേപ്പേര് കൂടി മുന്നോട്ട് വരണമെന്ന് അഭ്യര്ത്ഥിക്കുന്നു
സാമൂഹ്യപാഠത്തിലെ ചരിത്ര അപനിര്മ്മിതിയെക്കുറിതച്ചുകൂടി ചര്ച്ച വേണ്ടതല്ലെ?
വിജയകുമാര്സാറിന്റെ കണക്ക് നന്നായിട്ടുണ്ട്. അതുകണ്ടപ്പോള്, മറ്റൊരു ചിന്ത ഉണ്ടായി. ഏതു കോണിന്റെയും പകുതിക്കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി അളവുകള് കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം പതിനൊന്നാംക്ലാസിലുണ്ടല്ലോ. പത്താംക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങള് എന്ന പാഠത്തിലെ "കോണിരട്ടിപ്പ്" ഉപയോഗിച്ച് ഇതു ചെയ്തുകൂടേ, എന്നാണാലോചിച്ചത്. അതിന്റെ ഫലം ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു.
വിജയകുമാര്സാറിന് ഒരിക്കല്കൂടി നന്ദി
@ ജോണ് സാര്
Thanks
താങ്കള് വിവരിച്ചപ്രകാരം തന്നെ ചെയ്തു കിട്ടിയ ഉത്തരമാണോ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് ? അതോ, Sin(A/2) = root ((1-cosA)/2) എന്നതില് നിന്ന് കിട്ടിയതോ?
@ Krishnan Sir
മനോഹരമായി കണ്ടെത്തിയിരിക്കുന്നു
@ JOHN P A
\begin{equation*}
\sin 22\frac{1}{2}
\end{equation*}
എന്നെഴുതുന്നതിനേക്കാള് ഭംഗി,
\begin{equation*}
\sin 22\tfrac{1}{2}
\end{equation*}
എന്നെഴുതുന്നതല്ലേ?
വിജയകമാര് സാര്
ഞാന് ഒന്നുകൂടി വിശദമാക്കാം
$\bigtriangleup ABC $യില് കോണ് A= കോണ് C = 45 ആണ്.കോണ് B= 90
കോണ് A യുടെ സമഭാജി BC യെ Pയില് മുറിക്കുന്നു എന്നുകരുതുക
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി എതിര്വശത്തെ മുറിക്കുന്ന അംശബന്ധം ആ കോണ് രൂപീകരിക്കുന്ന വശങ്ങള് തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം തന്നെയാണ്
കോണ് BAP = $22 \tfrac{1}{2}^\circ$ ആണല്ലോ?
$ BP:PC = 1:\sqrt{2}$ തന്നെ.
$$\frac{PC}{PB}= \frac{\sqrt{2}}{1}$$
$$\frac{PC+PB}{PB}=\sqrt{2}+1$$
BC യെ a എന്നെടുത്താല്
$$PB= \frac{a}{1+\sqrt{2}} = a(\sqrt{2}-1)$$
പൈതഗോറസ് തത്വം ഉപയോഗിച്ച്
$$PA = a\sqrt{4-2\sqrt{2}}$$എന്ന് എഴുതാമല്ലോ?ഇനി
\begin{equation}
\sin22\tfrac{1}{2}
\end{equation} കാണാമല്ലോ
അഭിന്നകസംഖ്യയുടെ ചേദം ഭിന്നകമാക്കാന് അറിയുന്ന കുട്ടിക്ക്
\begin{equation}
\sin{22\tfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\end{equation}
എന്ന് എഴുതാം.
@ M D Vijayakumar sir and son!!!!!!
Good effort.......................
Be active like this
\begin{equation}
\sin (A-B) = \sin A \cos B-\cos A \sin B
\end{equation}
എന്നും
\begin{equation}
\cos (A-B)= \cos A \cos B + \sin A sin B
\end{equation}
എന്നും ഇപ്രകാരം ശുദ്ധജ്യാമിതീയമാര്ഗ്ഗം ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാം.
@John sir
രണ്ടു പദങ്ങളുള്ള അഭിന്നകം ഛേദത്തില് വന്നാല് നമ്മുടെ കുട്ടികള് അവിടെ നിന്നും മുന്നോട്ട് പോകില്ല എന്ന് തോന്നിയതുകൊണ്ട് sin 22.5 ന്റെ ഉത്തരം 1/(root(4+2 root2))ല് ഞാന് നിര്ത്തി.താങ്കള് പറഞ്ഞു തന്ന രീതിയില് തുടര്ന്നാല് ഇതും ആ ഉത്തരത്തിലെത്തിച്ചേരുന്നു.
വിജയകുമാര് സാര്
നമ്മള് ഇവിടെ ഈ പോസ്റ്റില് പറയുന്ന കാര്യങ്ങള് എല്ലാം തന്നെ ഉയര്ന്ന നിലവാരമുള്ള കുട്ടികള്ക്ക് നല്കാന് പറ്റുന്നതാണ്.താഴെയുള്ള അഭിന്നകസമീകരണം ലഘുവാക്കാന് പറ്റുന്ന കുട്ടികള് ഒന്പതാംക്ലാസിലുണ്ട്.
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}
\end{equation}
രണ്ടാമതൊരു കമന്റിടാന് തോന്നിയത് ശുദ്ധഗണിതരീതിയില് തന്നെയാണ് ചെയ്തതെന്ന് കാണിക്കാന് വേണ്ടിയാണ്
വളരെ ഉപകാരപ്രദമായ പോസ്റ്റ് തയ്യാറാക്കിയ വിജയകുമാര് സാറിന് നന്ദി .30°, 45°, 60°, 90° എന്നിവയുടെ ത്രികോണ മിതി അളവുകള് മാത്രമേ ഇതുവരെ ചിന്തിച്ചിരുന്നുള്ളൂ. 15° ന്റെ ത്രികോണമിതി വില ഇങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാമെന്ന് വളരെ വിലപെട്ട അറിവാണ് മത്സ് ബ്ലോഗിലുടെ കിട്ടിയത് .കൂടുതല് കഴിവുള്ള കുട്ടികള്ക്ക് പ്രേവര്ത്തനത്തിനായി കൊടുക്കാമല്ലോ .ജോണ് സാറിന്റെ ഉത്തരങ്ങളും കമന്റുകളും മികവുറ്റത് തന്നെ .മത്സ് ബ്ലോഗിനെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഞങ്ങളെ പോലുള്ളവര്ക്ക് ഇനിയും ഇതുപോലെ ഉപകാരപ്രദമായ പോസ്റ്റുകള് ബ്ലോഗില് നിന്നും ഉണ്ടാവട്ടെ നന്ദി
ജോണ് സാര് പറഞ്ഞതുപോലെ തന്നെയാണ് ഞാനും ചെയ്തത്.. എന്നാല് വിജയകുമാര് സാര് പറഞ്ഞപോലെ രണ്ടു പദങ്ങളുള്ള അഭിന്നകം ഛേദത്തില് വന്നാല് നമ്മുടെ കുട്ടികള് അവിടെ നിന്നും മുന്നോട്ട് പോകില്ല എന്നു തന്നെയാണ് എനിക്കും തോന്നുന്നത്.
ആരെങ്കിലും ഇത്തവണത്തെ Maths SSLC SAY Paper കണ്ടിരുന്നോ. മാര്ച്ചിലെ SSLC പരീക്ഷയ്ക്കു ചോദ്യപേപ്പര് തയ്യാറാക്കിയ ആളിന്റെ ദേഹത്തു കൂടിയ ബാധ SAY പരീക്ഷയ്ക്കു ചോദ്യപേപ്പര് തയ്യാറാക്കിയ ആളിലും കൂടിയിരുന്നു. അനുഭാവപൂര്ണമായ ഒരു ചോദ്യപേപ്പര് പ്രതീക്ഷിച്ച കുട്ടികളെ നിരാശയിലാക്കുന്ന ചോദ്യപേപ്പര്. ഒഴിവാക്കിയ ഭാഗത്തു നിന്നു പോലും ചോദ്യങ്ങള് ചോദിച്ചു. അതിനാകട്ടെ അവകാശപ്പെട്ട മാര്ക്കു നല്കാന് സ്കീം ഫൈനലേസഷനിലെ എക്സ്പെര്ട്ട് അനുവദിച്ചില്ലെന്നാണ് അറിഞ്ഞത്. (എക്സ്പെര്ട്ടുകള് മനോരമയ്ക്ക് ചോദ്യമുണ്ടാക്കാനും മറ്റും പോകാറുണ്ട്.)
ചോദ്യം 8 :
If sin A= 9/41, find the Value of Cos A. Using these Values check whether Sin^2+Cos^2=1 (Marks:3)
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് (ചോദ്യം 20) ഇത്തവണയും കുഴപ്പിക്കാന് തന്നെ ചോദ്യകര്ത്താവ് തീരുമാനിച്ചു. SAY പിള്ളേര് അങ്ങനെയങ്ങ് ജയിക്കേണ്ട. Frequency ഒരെണ്ണം പൂരിപ്പിക്കാന് കൊടുത്തു. പിന്നത്തെ അവസ്ഥ പറയാനുണ്ടോ? Q.11, Q.13, Q.19, തുടങ്ങിയ ചോദ്യങ്ങള് അനാവശ്യ നിലവാരം പുലര്ത്തി. കളി SAY പരീക്ഷയെഴുതുന്നവനോടോ? മുഴുവനുമങ്ങ് വിട്ടു കളഞ്ഞു.
Q.22 Amal and Vimal have one Vessel each, of same size. Each vessel was filled with the same amount of water. Amal has immersed 6 hemispheres of radius 4 cm each in his vessel. Where as, vimal put 6 cones, each of base radius 4 cm and height 3 cm in his vessel. The figure shows the water level of each vessel, after the solids were completely immersed in water.
a) Find the volume of one hemisphere that was put by Amal in his vessel.
b) Among the vessels A and B which could be Vimal's vesse;? Give reasons.
ചോദ്യകര്ത്താവിന് വാല്ക്കഷണം :
പരാക്രമം SAYക്കാരോടും PCNഓടുമല്ല വേണ്ടൂ.
@manmohan sir
ചോദ്യ പേപ്പര് കണ്ടില്ലെങ്കിലും മന്മോഹന് സാറിന്റെ കമന്റ് കണ്ടപ്പോള് ചോദ്യ പേപ്പേര് കണ്ടത് പോലെ തോന്നി. ചോദ്യ പെപ്പെര് നിര്മാതാക്കള് ഇതില് കൂടുതല് ചെയ്തില്ലെന്കിലെ അദ്ഭുതമുള്ളൂ . എസ് എസ് എല് സി .പൊതു പരീക്ഷക്ക് ചോദ്യങ്ങള് തെറ്റിച്ചിട്ടും ഉത്തരവാദിത്തം ഏല്ക്കാന് തയ്യാറില്ലാത്ത , മാര്ക്ക് വെറുതെ കൊടുക്കാന് തയ്യാറില്ലാത്ത ഒരുപറ്റം ഏറാന് മൂളികള്ക്ക് മുമ്പില് നാം വെറും വിഡ്ഢികള് . പരീക്ഷകള് നടക്കട്ടെ . തെറ്റായ ചോദ്യങ്ങള് ഉണ്ടാക്കി കുട്ടികളെ വേദനിപ്പിക്കട്ടെ . അവര് തൃപ്തരാകട്ടെ . മാപ്പ് അര്ഹിക്കാത്ത അവരുടെ പ്രവര്ത്തനം ഇനിയും നീണാള് വാഴട്ടെ.
@ John sir
Is it equals 9
ചോദ്യപേപ്പറില് സാമര്ത്ഥ്യം തെളിയിക്കാന് ശ്രമിക്കുന്നവര് ആരെയാണ് തോല്പ്പിക്കാന് ശ്രമിക്കുന്നത്? ഈ പ്രവണത മാറ്റേണ്ട സമയം കഴിഞ്ഞു. ഈ വര്ഷത്തെ പത്താം ക്ലാസ് പൊതുപരീക്ഷാ ചോദ്യപേപ്പറിനെക്കുറിച്ചോര്ത്തിട്ട് പേടിയാകുന്നു. എന്തായിരിക്കും ഈ മഹാന്മാര് കാട്ടി വെക്കുക? 2005 ആവര്ത്തിക്കുമോ? മന്മോഹന് സാറിന്റെ കമന്റ് പ്രകാരമാണെങ്കില് സേ പരീക്ഷയില് വലിയ പ്രതീക്ഷയൊന്നും വേണ്ടല്ലോ. ആരെങ്കിലും ആ ചോദ്യപേപ്പര് നല്കുമോ?
ഫസല് സര്,
സേ പരീക്ഷയുടെ ചോദ്യപേപ്പര് ഉടനെ അപ്ലോഡ് ചെയ്യാം.
Texmaker (LaTex) ഉപയോഗിച്ച് മലയാളം ടൈപ്പു ചെയ്യു ന്നതും അത് കമന്റില് ചേര്ക്കുന്നതും എങ്ങനെയെന്ന് വിശദീകരിച്ചുതരുമോ?
ലാടെക് ഒരു പേജ് സെറ്റിങ് പ്രോഗ്രാമാണ്. എച്ച്.ടി.എം.എല്ലില് ഉപയോഗിക്കുന്നതു പോലെയുള്ള ടാഗുകള് ഇതില് ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമ്മുടെ ബ്ലോഗില് കമന്റു ചെയ്യുന്നതിന് വായനക്കാര് ആരും യാതൊരു വിധ സെറ്റിങ്ങുകളും നടത്തേണ്ടതില്ല.
ഈ പോസ്റ്റില് ഇതേക്കുറിച്ച് വിശദമായ ചര്ച്ച നടന്നിട്ടുണ്ട്. നമ്മുടെ ബ്ലോഗില് ഇതേപ്പറ്റിയുള്ള മിക്കവാറും അറിവുകള് പങ്കുവെച്ചത് ഫിലിപ്പ് സാറാണ്. അതു കൊണ്ട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ കമന്റുകള് നിരീക്ഷിക്കുക. ലാടെകില് ചെയ്ത കമന്റുകളുടെ പൊതുസ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കുക.
ഈ ഓണ്ലൈന് ലാടെക് എഡിറ്ററില് പ്രാക്ടീസിങ് നടത്താം. ഉദാഹരണങ്ങള് നോക്കാം. ഇവിടെ നിന്നും ലാടെക് ടാഗുകള് പഠിക്കുകയും ചെയ്യാം.
sir Where is plus one trial allotment
@ഭാമ ടീച്ചര്
$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}$
എങ്ങിനെയാണ് ലഘൂകരിക്കുക.text ല് എവിടെയെന്കിലും ഇത്തരം ലഘൂകരണമുണ്ടോ..
വിജയകുമാര് സര്
മലയാളം ലേ ടെക്കില് ചെയ്യാം . കുറച്ചുനാളായി പല pdf ഫയലുകളും ഇങ്ങനെയാണ് ചെയ്യുന്നത് . സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങള് ഇങ്ങനെ തയ്യാറാര്രിയതാണ്. ഇതിനായി ഒരു പോസ്റ്റ് തന്നെ പ്രതീക്ഷിക്കാം.
ഒന്നു ശ്രമിച്ചു നോക്കട്ടെ!
$ (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab $
@ John sir and Hari Sir
Thanks
@ Sreejith sir,
രണ്ടു പദങ്ങളുള്ള അഭിന്നകം ഛേദത്തില് വന്നാല് നമ്മുടെ കുട്ടികള് അവിടെ നിന്നും മുന്നോട്ട് പോകില്ല എന്നു തന്നെയാണ് എനിക്കും തോന്നുന്നത് എന്നു ഞാന് അവിടെ തന്നെ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട് . ഇപ്പോഴത്തെ ടെക്സ്റ്റില് ഇത്തരത്തിലുള്ള ലഘുകരണം വരുന്നുമില്ല.ഞാന് ലഘൂകരിച്ചത് ഇങ്ങനെ
ഭാമ ടീച്ചര് ,
ടീച്ചര് ടൈപ്പു ചെയ്തതില് ഒരു ചെറിയ പിശക് വന്നത് തിരുത്തട്ടെ: ആദ്യത്തെ സമവാക്യം
${{\left( \frac{\sqrt{2}\,-1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}{{{\left( \sqrt{4-2\sqrt{2}} \right)}^{2}}}$
എന്നിങ്ങനെ തുടങ്ങണം
@ ഭാമടീച്ചര്
thanks
Thank you Anjana Teacher
തെറ്റ് തിരുത്തി.
Post a Comment