ബഹുഭുജവും ഒരു പസിലും
>> Thursday, July 8, 2010
നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലെ നിത്യസന്ദര്‍ശകനായ ജയശങ്കര്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ ഒരു പസിലാണ് ഇന്ന് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. ഒരിടയ്ക്ക് ഗംഭീരമായ പസില്‍ ചര്‍ച്ചകള്‍ നടന്നു കൊണ്ടിരിക്കെ പസിലുകളുടെ ആധിക്യം വര്‍ദ്ധിക്കുന്നു എന്ന പരാതി വന്നതു കൊണ്ടാണ് ഒരു ഇടവേള പസിലുകള്‍ക്ക് നല്കിയത്. വീണ്ടുമിതാ പസിലുകള്‍ക്ക് വേണ്ടി ഒരു പോസ്റ്റ്. അതോടൊപ്പം തന്നെ ജയശങ്കര്‍ സാറിനെ വായനക്കാര്‍ക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുക എന്ന ഒരു ഉദ്ദേശം കൂടി ഈ പോസ്റ്റിനുണ്ട്. എറണാകുളം ജില്ലയിലെ പറവൂരിനടുത്ത് ചേന്ദമംഗലം എന്ന സ്ഥലത്താണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ താമസം. കൊച്ചി യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ മാത്തമാറ്റിക് ഒളിമ്പ്യാഡുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വെബ്പേജ് ഡിസൈന്‍ ചെയ്തതും അദ്ദേഹമായിരുന്നുവത്രെ. നന്നേ ചെറുപ്രായത്തിലേ തന്നെ പറവൂര്‍ സമൂഹം ഹൈസ്ക്കൂളിലെ ഗണിതാധ്യാപകനായി അദ്ദേഹം ജോലിയില്‍ പ്രവേശിച്ചു. ഇരുപത്തിരണ്ടാം വയസ്സില്‍ ഡി.ആര്‍.ജിയായ അദ്ദേഹം തുടര്‍ന്നങ്ങോട്ട് ഒട്ടേറെ കോഴ്സുകള്‍ നയിച്ചു. ഒരുകാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളുടെ സജീവ സാന്നിധ്യമായിരുന്ന അദ്ദേഹം കുറച്ചു നാളുകളായി സ്ക്കൂളില്‍ നിന്നും ലീവെടുത്തിരിക്കുകയാണ്. എങ്കിലും ദിവസവും മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് സന്ദര്ശിക്കുകയും അതിരാവിലേ തന്നെ ഡിസ്ക്കഷനുകള്‍ക്ക് തുടക്കമിടുകയും ചെയ്യാറുണ്ട്. അഞ്ജന ടീച്ചറും ഫിലിപ്പ് സാറും ഗായത്രിയും ഒഴുകുന്നനദിയുമൊക്കെക്കൂടി ഗണിതചര്‍ച്ചയുടെ ഉന്നതമായ ചില തലങ്ങളിലേക്കൊക്കെ പോയപ്പോള്‍ മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ടീമിനു പോലും പല സമയത്തും നിശബ്ദരാകേണ്ടി വന്നു. ജയശങ്കര്‍ സാര്‍ സ്വയം ടൈപ്പ് ചെയ്ത് നമുക്ക് അയച്ചു തന്ന പസിലാണ് താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ളത്. ആരാണ് ആദ്യം ഉത്തരത്തിലേക്കെത്തുന്നതെന്നറിയാന്‍ ഞങ്ങള്‍ കാത്തിരിക്കുന്നു.
ഹേമ ടീച്ചര്‍ നല്‍കിയ ഇംഗ്ലീഷ് പ്രോജക്ട് ചെയ്യാന്‍ ആവശ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിക്കാനായി ഫയര്‍ ഫോക്‌സ് ബ്രൗസര്‍ തുറന്നപ്പോളാണ് രാജു തന്റെ ഡീഫാള്‍ട്ട് ഹോം പേജ് ആയ മാത് സ് ബ്ലോഗിലെ പുതിയ പ്രഹേളിക (puzzle) കണ്ടത്. ഗണിതത്തില്‍ മിടുക്കനായ രാജുവിന്റെ ശ്രദ്ധ സ്വാഭാവികമായും അതിലേക്കു തിരിഞ്ഞു. ഒരു കുഴക്കുന്ന പ്രശ്‌നം തന്നെ.... പ്രോജക്ട് റിപ്പോര്‍ട്ട് എഴുതാന്‍ വച്ചിരുന്ന ഒരു പേപ്പര്‍ എടുത്ത് പ്രഹേളികയുടെ ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാനായി പിന്നത്തെ ശ്രമം. ചിന്ത കാടു കയറിയപ്പോള്‍ അവന്‍ അശ്രദ്ധമായി കയ്യിലിരുന്ന കടലാസിന്റെ നാലു മൂലയും അടുത്തിരുന്ന കത്രിക കൊണ്ടു മുറിച്ചു. ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ സന്തോഷത്തില്‍ അതെഴുതാനായി നോക്കിയപ്പോള്‍ അവന്‍ അമ്പരന്നു. ഏങ്കിലും കയ്യിലിരുന്ന രൂപം അവനെ ആകര്‍ഷിച്ചു. അതു വിശകലനം ചെയ്തപ്പോള്‍ അത് ആന്തര കോണുകള്‍ എല്ലാം തുല്യമായതും വശങ്ങള്‍ ക്രമരഹിതമായി 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , 6 , 7 , 7, 8 യൂണിറ്റ് വീതമുള്ള ഒരു ബഹുഭുജം ആണെന്ന് മനസ്സിലായി. എങ്കില് 8 യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള വശതിന്റെ നേരെ എതിരെയുള്ള വശത്തിന്റെ നീളമെന്ത് ? ഉത്തരം കിട്ടിയ മാര്‍ഗം വിശദീകരിക്കുക.
178 comments:
ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ നിന്ന് നല്ല ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനം തന്ന ജയശങ്കര്‍ സാറിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.
അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ക്രമത്തില്‍ ക, ഖ, ഗ, ഘ, ച, ഛ, ജ, ഝ എന്ന് വിളിക്കുക. ആന്തരകോണുകളെല്ലാം തുല്യമായതിനാല്‍ അവയോരോന്നും 135 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും (ബാഹ്യകോണുകള്‍ 45 ഡിഗ്രി)
കോണളവുകള്‍ ഇപ്രകാരമായതിനാല്‍ വിപരീതവശങ്ങള്‍ സമാന്തരവും ഒന്നിടവിട്ടുള്ള വശങ്ങള്‍ ലംബവുമായിരിക്കും. അതിനാല്‍ വശങ്ങളെല്ലാം വലിച്ചുനീട്ടിയാല്‍ രണ്ട് ചതുരങ്ങള്‍ ലഭിക്കും (ചിത്രം കാണുക)
ക=8 എന്ന് കരുതുക
ച എന്ന വശത്തിന്റെ നീളമാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
ചതുരങ്ങളുടെ ആന്തരകോണുകളെല്ലാം 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും, ചതുരത്തിന്റെ വിപരീതവശങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും എന്നീ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ വശങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ബന്ധം ലഭിക്കും (രണ്ടിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ എളുപ്പത്തിനായി അ എന്ന് വിളിക്കുക):
ക + (ഝ+ഖ)/അ = ച + (ഘ+ഛ)/അ
(ഇതിന് സമാനമായി വേറെ മൂന്ന് ബന്ധങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ട്)
അതായത്,
(ക-ച)അ = (ഘ+ഛ-ഝ-ഖ)
ച ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ വലതുഭാഗം ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയുടെ അ ഗുണിതമാണെന്നുവരും. എന്നാല്‍
* പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളുടെ അ ഗുണിതങ്ങളായുള്ള വശങ്ങള്‍ 2അ, 4അ എന്നിവ മാത്രമാണ്.
* ക ച യെക്കാള്‍ വലുതാണ്.
* വലതുഭാഗം പൊതുവെ ട + ത.അ എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും. വലതുഭാഗം പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയുടെ അ ഗുണിതമാകണമെങ്കില്‍ (അതായത് ട = പൂജ്യം ആകണമെങ്കില്‍) വലതുഭാഗത്തുള്ള വശങ്ങളില്‍ രണ്ടെണ്ണം 7,7 ഓ മൂന്നെണ്ണം 6,4,2 ഓ ആയിരിക്കണം
ഇവയെല്ലാം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ ച പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായുള്ള ഒരേയൊരു നിര്‍ദ്ധാരണം ച = 6 ആണെന്നുകാണാം
ഇനി ച പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയല്ലെങ്കില്‍ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗം 8 അ + പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ എന്ന തരത്തിലാകും. ഇതിന് നിര്‍ദ്ധാരണമില്ല
അതിനാല്‍ ച = 6
@Razimantv.
Answer is absolutely right
"ഒരുകാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളുടെ സജീവ സാന്നിധ്യമായിരുന്ന അദ്ദേഹം കുറച്ചു നാളുകളായി സ്ക്കൂളില്‍ നിന്നും ലീവെടുത്തിരിക്കുകയാണ്."
എന്തുപറ്റി? ഗണിതത്തില്‍ വല്ല റിസര്‍ച്ചും ചെയ്യുകയാണോ?
ഇതുപോലുള്ള പ്രതിഭാധനന്മാര്‍ക്ക് ക്ഷാമമില്ലാത്തതാകാം, ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ അസൂയാര്‍ഹമായ വിജയത്തിനുള്ള പ്രധാന കാരണം.
razimantv എന്ന മറ്റൊരു പ്രതിഭകൂടി എത്തിയല്ലോ!
ഉത്തരം വിലയിരുത്താന്‍ എനിക്കു കഴിവുപോരാ..!
അഭിനന്ദനങ്ങള്‍!!
Raziman,
വളരെ ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളില്‍ത്തന്നെ ഉത്തരം പോസ്റ്റു ചെയ്തല്ലോ. അഭിനന്ദനങ്ങള്‍.
"കൊച്ചി യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ മാത്തമാറ്റിക് ഒളിമ്പ്യാഡുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വെബ്പേജ് ഡിസൈന്‍ ചെയ്തതും അദ്ദേഹമായിരുന്നുവത്രെ."
ആ വെബ്പേജിന്റെ അഡ്രസ്സ് ഒന്നു തരാമോ.?
നമ്മുടെ ഈ പസിലിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ റസിമാനെപ്പറ്റി അദ്ദേഹത്തിന്റെ ബ്ലോഗായ ഉപ്പുമാങ്ങയില്‍ നിന്നും കിട്ടിയ വിവരങ്ങള്‍.
* 2007-ല്‍ ഇന്‍ഫര്‍മാറ്റിക്സ് ഒളിമ്പ്യാഡിനുള്ള ഇന്ത്യന്‍ ടീമില്‍ അദ്ദേഹവും അംഗമായിരുന്നു.
* കഴിഞ്ഞ രണ്ട് വര്‍ഷം കാമ്പില്‍ അസിസ്റ്റന്റ് കോച്ചായി പോവുകയും ചെയ്തിരുന്നു.
* 2004, 2006 വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ജ്യോതിശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡ് ടീമിലും അംഗമായിരുന്നിട്ടുണ്ട്
* 2007-ല്‍ ക്യാമ്പില്‍ സഹക്യാമ്പറായ നദീം 2008-ല്‍ അദ്ദേഹത്തിന്റെ സ്റ്റുഡന്റും 2009-ല്‍ സഹഅസിസ്റ്റന്റ് കോച്ചുമായി.
Dear Shahana,
A detailed post on Olympiad will be published in this blog soon. The link to the site will be activated only a month before the screening test. This time the Preliminary test is scheduled to be conducted in December.
You can expect the details in this blog soon
പ്രിയ റസിമാന്‍ സാര്‍,
ഇപ്പോഴെന്തു ചെയ്യുന്നുവെന്ന് അറിയാന്‍ ആഗ്രഹമുണ്ട്. പഠനം തന്നെയാണോ? അതോ ഏതെങ്കിലും ജോലിയില്‍ക്കയറിയോ?
ഈ ചോദ്യം പോസ്റ്റു ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഇത്രപെട്ടന്നൊരു ഉത്തരം പ്രതീക്ഷിച്ചില്ല. സമയം കിട്ടുന്നതിനനുസരിച്ച്, മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ഒളിമ്പ്യാഡുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങള്‍ കമന്റുകളായി പ്രസിദ്ധീകരിക്കുമോ? ഒപ്പം പോസ്റ്റു ചെയ്യുന്നതിനു പറ്റിയവ അയച്ചു തരാനും ശ്രമിക്കുമോ?
Here is another problem.
I hope that Olympian Raziman will be solving it soon.
A given convex quadrilateral Q is to be cut into n triangles, whose vertices are either vertices of Q or points inside Q, sothat each of their sides is either a side of Q or a side of another triangle from these n triangles. Then,
(1) What is the condition for such a cut to exist and how is it possible?
(2) If n = 2011 such a cut is not possible?
welcome to newcomers;
"A boy found a piece of paper which is hexagonal shape.He under stood that the region determined by trisection of each side of a triangle and connecting the corresponding points with the opp.vertex.the area of hexagonal region is noted as 100.sq.cm.the remaining part of the triangle is spoilt somewhere.can you find the total area of the original triangle?"
AN old qn.posted in 2010 May .but nobody answered it. Iam also in the same boat.if any newcomer helps me it is better for our maths blog.
"ABC is a general triangle and its area is 132 sq.cm.The opposite side of A is divided in four equal parts and the opposite side of edge C in three equal parts. .Straight lines join the part A to each quarter of line BC.Like wise from point C to each third of line AB. Let DBEF is the name of quadrilateral close to B,How big is the area of the quadrilateral DBEF?"
ഒരു കമന്റുകൊണ്ട് എല്ലാരും എന്നെയങ്ങ് സാറാക്കിയോ? :-)
ഞാനിപ്പോള്‍ ഐഐടി കാന്‍പൂരില്‍ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇന്റഗ്രേറ്റഡ് എംഎസ്‌സിക്ക് പഠിക്കുകയാണ്. മൂന്നാം വര്‍ഷം കഴിഞ്ഞു.
ഞാന്‍ കണക്കു വല്ലതും ചെയ്തിട്ട് കുറേ കാലമായി. ഈ ബ്ലോഗ് കുറച്ചുദിവസം മുമ്പ് കണ്ടതായിരുന്നു. ഇവിടത്തെ വല്ല പസിലിനും ഉത്തരമിടണമെന്ന് വിചാരിച്ചിരുന്നു, പക്ഷെ ഓപ്പണായി ഒന്നും കണ്ടില്ല. ഈ ചോദ്യം കണ്ടപ്പോള്‍ ഇന്ത്യയിലിരിക്കുന്നവര്‍ ഉറക്കമുണരുന്നതിനുമുമ്പുതന്നെ ഉത്തരമിടാന്‍ ശ്രമിക്കാമെന്ന് വിചാരിച്ചൂ, അതും പൂര്‍ണ്ണമായും മലയാളത്തിലായാല്‍ കൊള്ളാമെന്നു കരുതി. അത്രയേ ഉള്ളൂ. ഏതായാലും കുറച്ച് മെനക്കെടേണ്ടി വന്നു :-)
ഇന്ത്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകളുടെ മുന്‍ വര്‍ഷങ്ങളിലെ ചോദ്യങ്ങളുള്ള ഒരു പേജ് കിട്ടിയിട്ടുണ്ട്. എളുപ്പമുള്ള വല്ല RMO ചോദ്യവും ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും. ഹൈസ്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ കൂടുതലായും ഉദ്ദേശിച്ചുള്ള ബ്ലോഗാണിതെന്ന് കരുതുന്നു, അവരുടെ ആത്മവിശ്വാസം നശിപ്പിക്കുന്നതരം ചോദ്യങ്ങള്‍ പാടില്ലല്ലോ. സമയം കിട്ടുമ്പോള്‍ വല്ലതും തിരഞ്ഞെടുത്ത് അയച്ചുതരാന്‍ ശ്രമിക്കാം.
ജയശങ്കര്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞതുപോലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡിനെക്കുറിച്ചും ഒളിമ്പ്യാഡുകളെക്കുറിച്ച് പൊതുവായും പോസ്റ്റുകളിടുന്നത് നന്നായിരിക്കും. പലരും ഈ മത്സരങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിയാത്തതുകൊണ്ടാണ് ഇവയില്‍ പങ്കെടുക്കാത്തത്. ഇവിടെ സന്ദര്‍ശകരായുള്ള ഗണിതാധ്യാപകര്‍ മുന്നിട്ടിറങ്ങിയാല്‍ ഒളിമ്പ്യാഡുകളെ കൂടുതല്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളിലേക്കെത്തിക്കാന്‍ സാധിക്കും
@Jayasankar
Jumping to English
Exactly those ns are constructible which are even
Proof:
By Induction, the construction is possible for all even n
The n = 2 case is possible trivially
So let n = 2k be possible
Put a new vertex inside any of the existing triangles and connect it to the 3 vertices of the triangle. This gives the construction for n = 2k+2
Now we prove by contradiction that construction for odd n is impossible
Assume that there exists such a construction for n = 2k +1
Now obviously k>1 as it is easily verified that construction for n=3 is impossible. ie, There exists more than 1 interior vertex in the construction
Remove a vertex that is connected to l points, say
This leaves an empty l-gon (not necessarily convex). It has l-3 diagonals completing which will give l-2 new triangles. By this procedure we have been able to make a construction with overall (2k + 1) - l + (l-2) = 2k-1 = 2(k-1)+1 triangles
Continuing this way we can reach k=1 which is our impossible base case for the contradiction
Hence proved, and n=2011 is not possible :)
@vijayan larva 1
ചോദ്യം മനസ്സിലായില്ല :(
@vijayan larva 2
ഇത് എളുപ്പമാണല്ലോ. ചിത്രം വരച്ച് നോക്കിയാല്‍ മതി.
(മുകളിലെ കമന്റ് ഡിലീറ്റ് ചെയ്തേക്കുക. ലിങ്ക് തെറ്റാണ്)
@ Vijayan sir
Total area of the original triangle = 100 * 10 =1000 sq.cm
I think it can be simply solved using Marion's Theorem
The theorem states that that the area of the central hexagonal region determined by trisection of each side of a triangle and connecting the corresponding points with the opposite vertex is given by 1/10 the area of the original triangle.
@ Vijayan sir
Area of the quadrilateral DBEF is 17 sq.cm
Here is another problem.
Suppose 27 identical cubes are glued together to form a cubical stack like a rubik’s cube (all cubes are of the same colour). If one of the small cubes is omitted, four distinct shapes are possible; one in which the omitted cube is at a corner of the stack, one in which it is at the middle of an edge of the stack, one in which it is at the middle of a side of the stack, and one in which it is at the core of the stack.
The question: If two of the small cubes are omitted rather than just one, how many distinct shapes are possible?
(ചിത്രം കാണുക)
Assume that the area of Triangle ADF be ‘x’….(1)
Area of the Quadrilateral ABEF be ‘y’….(2)
Area of triangle EFC be ‘z’….(3)
Here total area is given as 132 sq.cm
(1)+(2) gives
Area of triangle BAE = x+y= ¼*132 = 33 sq.cm
(3)+(2) gives
Area of triangle BDC = z+y= 1/3*132 = 44 sq.cm
Draw a line from B to F then y = 1/2 x + 1/3 z
So we have
x = 33-y…….(a)
z =44-y……...(b)
y = 1/2 x + 1/3 z or 6y = 3x+2z……….. (c)
Substituting (a) and (b) in (c)
6y = 3(33-y)+2(44-y)
6y= 99-3y + 88 – 2y
6y= 187 – 5y
11y = 187
y =187/11 = 17
From this we can see that area of Quadrilateral ABEF is 17 sq.cm
Happy to see Jayasanker Sir engaged in Maths blog. Expecting more from you Jayasanker sir
A small one:
" PQRS is a rectangle with point T on RS.
PT=6,QT=8 and PT is perpendicular to QT.WHAT is the area of PQRS ?"
My student answered it as ' 6*8=48 sq.units'.can l award mark to him?
Applying Pythagorean theorem on triangle PTQ
We have PQ=10cm
Take ST =x then TR=10-x
Applying Pythagorean theorem on triangle PST
PS^2 = 36-x^2
Applying Pythagorean theorem on triangle TRQ
QR^2 = -36+20x+x^2
But PS^2 =QR^2
36-x^2 = -36+20x+x^2
Solving x= 3.6
Then Breadth (PS)= Root of 23.04
PS =4.8
Area of rectangle= length * breadth
= 4.8 *10 =48sq.cm
KLMN ഒരു ചക്രീയചതുര്‍ഭുജം ആണ്.KL,MN എന്നി രേഖകള്‍ വൃത്തത്തിനു പുറത്തേക്കു നീട്ടിയപ്പോള്‍ T യില്‍ സംഗമിക്കുന്നു.ML,NK എന്നി രേഖകള്‍ വൃത്തത്തിനു പുറത്തേക്കു നീട്ടിയപ്പോള്‍ R ല്‍ സംഗമിക്കുന്നു.R ല്‍ നിന്ന് KLMN ന്റെ പരിവൃത്തതിലേക്ക് വരച്ച സ്പര്‍ശരേഖകള്‍ വൃത്തത്തെ A,B എന്നി ബിന്ദുക്കളില്‍ സ്പര്‍ശിക്കുന്നു എങ്കില് A,B,T എന്നി ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരേ രേഖയില്‍ ആണ് എന്ന് തെളിയിക്കുക.
പ്ലസ്‌ വണ്‍ റിസള്‍ട്ട്‌ എപ്പോള്‍ വരും ?
ABCD ഒരു സമചതുരവും M, N എന്നിവ ∟ MDN = 45˚ ആകത്തക്കവിധംയഥാക്രമംAB,BC എന്നീ വശങ്ങളിലെ ബിന്ദുക്കളും ആണ്.
M,N എന്ന വശത്തിനെ്റ മദ്ധ്യബിന്ദുവാണ്R കൂടാതെP,Qഎന്നിവ AC എന്നവശം യഥാക്രമംMD, NDഎന്നീ വശങ്ങളെ ഖണ്ഡിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളാ ണ് എങ്കില്
RP =RQ എന്ന് തെ
ളിയിക്കുക
Let ABCD be a square and M,N points on sides AB & BC respectively,such that angle MDN = 45 degrees. If R is the midoint of MN , show that RP = RQ where P ,Q are the points of intersecttion of AC with the lines MD & ND
Sudents of higher classes like Raziman and teachers,
Please try to prove this problem analytically also
@Jayasankar Sir,
ഇതല്ലേ സാര്‍ പടം?
@ Geetha sudhi,
precisely it is the figure
@ Sankar sir
Since <MAC = 45degree
We have <MDQ=<MAQ
Angles in same segments are equal
Therefore AMQD is a cyclic quadrilateral
Opposite angles of cyclic quadrilateral are supplementary
So <MQD = 90 degree
Since <MQD and <MQN are linear pairs
<MQN = 90 degree
Consider the quadrilateral MBNQ
< MQN+ <MBN=180 degree
Since opposite angle are supplementary
MBNQ is also a cyclic quadrilateral
Angle in a semi circle is right angle
So MN is the diameter
Since R is the mid point of MN
Points M,B,N,Q,P are concyclic
ie, that is RP=RQ=RM=RN
Hence the proof
Here is a worse proof :-) using trigonometry
Let angle ADM = theta and tan(theta) = x
Let AD = 1 unit
Then AM =x, MB = 1-x
CN = tan (45-theta) = (1-x)/(1+x)
Hence BN = 2x/(1+x)
MN = (1+x^2)/(1+x)
tan (BMN) = 2x/(1-x^2) => BMN = 2 theta
This gives us a lot of similar triangles
APM ~ DNM ~ DPQ ~ CNQ with angles 45, 45+theta and 90-theta
Ratio of sides opposite to these angles is sqrt(1+x^2) : 1+x : sqrt (2) [As DM = sqrt(1+x^2), DN = sqrt(2*(1+x^2))/(1+x). MN = (1+x^2)/1+x)]
Using similarity,
PM = x * sqrt(1+x^2)/(1+x)
and QN = (1-x)*sqrt((1+x^2)/2)/(1+x)
Now use cosine rule on triangles PMR and QNR to get PR = QR = (1+x^2)/(2*(1+x))
At this point I too realise that R is the centre of the cyclic quadrilateral MNQP (That it is cyclic is obvious once the angles were found) but that is not needed now. As you can see, I am pretty bad at pure geometry and try to solve such problems with trigonometry (If you have a hammer in your hand, everything looks like a nail). If I remember correctly I did something like that with a couple of questions at the RMO too
Raziman ,YOU REALLY ARE A GENIUS!!!!!
@ Sankar sir
ഞാന്‍ അവിടെ ഒരു ഉത്തരം കൊടുത്തിരുന്നു നമ്മള്‍ അത്ര ജീനിയസ് ഒന്നും എല്ല എന്നാലും ഉത്തരം ശരിയാണോ എന്ന് എങ്കിലും പറയാമായിരുന്നു
നമ്മുടെ പോസ്റ്റിലെ പസിലിന്റെ ഉത്തരം നല്ല മലയാളത്തില്‍ ആയിരുന്നതിനാല്‍ എനിക്കൊട്ടും മനസ്സിലായിട്ടില്ല. ആരെങ്കിലും അതൊന്നു വിശദീകരിച്ചു തരുമോ? എവിടെ നമ്മുടെ ജോണ്‍ സാര്‍
പ്ലസ്‌ വണ്‍,പ്ലസ്‌ ടു സെ പരീക്ഷ results പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു ലിങ്ക് കൊടുത്തു കൂടെ
http://www.keralaresults.nic.in/
@ഹരിത, നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരിയല്ല എന്ന് പറയുന്നിടത്തോളം കാലം അത് ശരിയാണ്‌ എന്ന് മാലോകര്‍ കരുതും .പ്രയാസപ്പെടെണ്ടുന്ന വിഷയമാണോ?
പിന്നീട് ജീനിയസ്സാണ് എന്ന് ഒരാളുടെ സര്ടിഫികെട്ടും വേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഉത്തരം കാണുമ്പോള്‍ കാഴ്ചക്കാര്‍ വിലയിരുത്തും. വീണ്ടും ഉത്തരവുമായി മുന്നേറുക.ഒപ്പം ചോദ്യങ്ങളും.
പക്ഷെ വിജയന്‍ സര്‍ ഒരേ ഉത്തരം തന്നെ രണ്ടു പേര്‍ പോസ്റ്റ് ചെയ്യുമ്പോള്‍ ഒരു ഉത്തരത്തെ മാത്രം പ്രശംസിച്ചപ്പോള്‍ എനിക്ക് തോന്നി എന്റെ ഉത്തരംമാത്രം തെറ്റ് ആണ് എന്ന്.ഞാന്‍ ഹരിത തന്നെ ആണോ എന്ന് ശംശയം ഉള്ള ചില ഹോംസ് മാരും ഈ കൂട്ടത്തില്‍ തന്നെ ഉണ്ട് .ഗായത്രി മാഡം പോകുമ്പോള്‍ എന്റെ കുറവ് നീ പരിഹരിക്കണം എന്നാണ് പറഞ്ഞതു .വെറും മൂന്ന് ദിവസംമാത്രം ആണ് മാഡം എന്നെ പഠിപ്പിച്ചത് .പക്ഷെ ഇത്രയും നന്നായികാര്യങ്ങള്‍ പറഞ്ഞു തന്ന ഒരു അധ്യാപികയെ ഞാന്‍ ഇതുവരെ കണ്ടിട്ടില്ല .
പിന്നെ എന്റെ സ്വഭാവം അങ്ങിനെ ആണ് എനിക്ക് ഇഷ്ടപെട്ടില്ല എങ്കില് ഞാന്‍ പിന്നെ അവരെ മൈന്‍ഡ് ചെയ്യാന്‍ പോകില്ല .
ഞങ്ങള്‍ പതിമൂന് പേര്‍ നിത്യവും ഈ ബ്ലോഗില്‍ കയറി ഇറങ്ങി പോകുനുണ്ട് .ഗായത്രി മാഡം ആണ് ഞങ്ങള്‍ക്ക് ഈ ബ്ലോഗ് പരിച്ചയപെടുതിയത്.
പഠിക്കാനുള്ള തിരക്കുകള്‍കിടയിലും ഞങ്ങള്‍ വരുന്നില്ലേ.
ഹരിത
ഞാനിവിടെത്തന്നെയുണ്ട്.
സന്തോഷം. കൂടെയുള്ള 12 പേരോടും അന്വേഷണം പറയുക
@ഹരിത, പ്രശംസിച്ച ആളും പ്രശംസ ഏറ്റു വാങ്ങിയ ആളും നമുക്ക് പുതുമുഖങ്ങള്‍ ആണ് .അവരെ യാതൊരു കാരണവശാലും പിണക്കരുത് . നമുക്ക് അവര്‍ വേണം. അവര്‍ക്ക് നാമും. അതുകൊണ്ടൊന്നും ഹരിത ചെരുതാവുന്നില്ലല്ലോ. ഹരിത സധൈര്യം മുന്നോട് പോകുക. പിന്നിലുള്ളത് നിത്യനെ ബ്ലോഗ്‌സന്ദര്‍ശിക്കുന്ന 2500 ഇല്‍ അധികം വിസിറെര്സ് ആണെന്ന് ഞാന്‍ പറയാതെ അറിയാമല്ലോ? so pl cool down.
@ ഹരിത
നാലു പേജ് dirty algebra ചെയ്തും രണ്ടുമൂന്ന് തവണ കണക്കുകൂട്ടലുകളില്‍ പൊട്ടത്തെറ്റുകള്‍ വരുത്തിയുമാണ് ഞാന്‍ എന്റെ ഉത്തരത്തിലേക്കെത്തിയത്. ഒക്കെ കഴിഞ്ഞ് ഉത്തരം ടൈപ് ചെയ്യാന്‍ നോക്കുമ്പഴാണ് ഹരിതയുടെ ഉത്തരം കണ്ടത്. സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ ഞാനാകെ ചമ്മിപ്പോയി. ഹരിത ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ രീതി എന്റേതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുകയാണെങ്കില്‍ വളരെ elegant ആണ്.
എങ്കിലും പ്രൂഫില്‍ ഒരു കാര്യം അപൂര്‍ണ്ണമായി തോന്നുന്നു.
Since R is the mid point of MN
എന്നതുകഴിഞ്ഞ് നേരിട്ട് എങ്ങനെ
Points M,B,N,Q,P are concyclic എന്ന സ്റ്റെപ്പിലെത്തി?
ഞാന്‍ നോക്കിയിട്ട് Points M,B,N,Q are concyclic with centre R എന്നേ കിട്ടുന്നുള്ളൂ
P is also concyclic എന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ ഹരിത ഉപയോഗിച്ച സ്റ്റെപ്പുകള്‍ PNCD, PNMB എന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളിലും എനിക്ക് ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരുന്നു (അപ്പോള്‍ M,B,N,P are concyclic എന്ന് കിട്ടും. മുകളിലെ റിസള്‍ട്ടുമായി കൂട്ടിവായിച്ചാല്‍ Points M,B,N,Q,P are concyclic എന്നാകും)
Obvious ആയ വല്ലതും എന്റെ കണ്ണില്‍ പെടാതെ പോയതാകാനും സാധ്യതയുണ്ട്. ഒന്ന് വിശദീകരിക്കാമോ?
പിന്നെ ഇതൊരു ഒളിമ്പ്യാഡ് ചോദ്യമാണെന്നു തോന്നുന്നു. മുമ്പൊരിക്കല്‍ ചെയ്യാന്‍ ശ്രമിച്ച് ഞാന്‍ പരാജയപ്പെട്ടതാണ് :-) ഹരിത സ്കൂളിലാണ് പഠിക്കുന്നതെങ്കില്‍ ഇത്തവണ തീര്‍ച്ചയായും ഗണിത, ഇന്‍ഫര്‍മാറ്റിക്സ് ഒളിമ്പ്യാഡുകളില്‍ പങ്കെടുക്കണം. വ്യക്തിപരമായ വല്ല സഹായവും വേനമെങ്കില്‍ ചോദിച്ചോളൂ (ബൈദിവേ, ഇത് ബാക്കിയുള്ളവര്‍ക്കും ആകാം)
തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണല്‍ സംഖ്യകളുടെ ഘനത്തിന്റെ വ്യത്യാസം മറ്റൊരു എണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമാണ് . കിട്ടിയ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമൂലം തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണല്‍ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ തുകയും ആകുന്നു .
8^3-7^3=169=13^2 . (13=3^2+2^2)ഇതുപോലുള്ള മറ്റു ഉതാഹരണങ്ങള്‍ സ്വാഗതംചെയ്യുന്നു.
@വിജയന്‍ സര്‍
തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ ഘനത്തിന്റെ വ്യത്യാസം മറ്റൊരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമാണ് . കിട്ടിയ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമൂലം തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു എണല്‍ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ തുകയും ആകുന്നു .
8^3-7^3=169=13^2 . (13=3^2+2^2)
1456^3- 1455^3 = 6355441 =2521^2 (2521=36^2+35^2)
105^3 - 104^3 = 32761
root of 32761 = 181
181= 10^2 + 9^2
ഒരു കോണ്‍ 70 ഡിഗ്രിയും ഒരു വശം 8 സെ.മീ. ഉം ആയ എത്ര സര്‍വ്വസമമല്ലാത്ത ത്രികോണങ്ങള്‍ വരയ്കാം എന്ന ചോദ്യത്തില്‍ ഒരു വശം / ഒരു കോണ്‍ മാത്രം എന്ന അര്ത്ഥമുണ്ടോ? വിശദീകരിക്കാമോ?
@ശ്രീജിത്ത് , ചോദ്യം എട്ടാം ക്ലാസില്‍ ഉള്ളത് .ചോദ്യത്തില്‍ സംശയം ഉണ്ട്. 8 cm ഒരു വശം വരുന്ന ,70 ഡിഗ്രീ ഒരു കോണ്‍ വരുന്ന എത്ര ത്രികോണങ്ങള്‍ വരക്കാം എന്ന് ചോദിച്ചാല്‍ ഉത്തരം റെഡി . ചോദ്യം മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു കുട്ടി അനേകം ത്രികോണങ്ങള്‍ വരക്കാം എന്ന്പറഞ്ഞാല്‍ അതും റെഡി. ഈ ചോദ്യം കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷത്തെ ക്ലസ്റെരില്‍ ഉയര്‍ന്നു വന്നിരുന്നു. എന്റെ അഭിപ്രായം ചോദ്യത്തിന്റെ കുഴപ്പം കുട്ടിയെ ബോധ്യപ്പെടുത്തി ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ശ്രമിക്കണമെന്നാണ് .ഒപ്പം അടുത്ത് വരുന്ന ക്ലസ്റെരില്‍ ഈ കാര്യം ഉന്നയിക്കണമെന്നും.
.
Here is an equation.
y= x^5-10x^4+35x^3-50x^2+25x.
here are some of the X and Y VALUES
X Y
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 -
can you predict what Y is WHEN X is 5?
നന്ദി വിജയന്‍ മാഷേ ...............
ശ്രീജിത്ത് മുപ്ലിയം
WHEN X=5, Y=125
ISNT IT?
SREEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
@ Vijayan sir
The answer is 125.
ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ ഇത് ഒരു നേര്‍ രേഖ ഗ്രാഫ് ആണ് എന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും x=5 ആകുമ്പോള്‍ ഗ്രാഫ് നേര്‍ രേഖ ബന്ധം കാണിക്കുനില്ല എന്ന് കാണാം.ഈ സമ വാക്യത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് ശരിക്കും പഠന വിഷയം തന്നെ ആണ് .
എന്തായാലും സാറെ സമ്മതിച്ചിരിക്കുന്നു ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന സര്‍ ശരിക്കും ഒരു ജീനിയസ് തന്നെ ആണ് .അന്നത്തെ Median വച്ച് ചെയ്ത ചോദ്യം ശരിക്കും വെല്ലു വിളി ഉയര്‍ത്തിയ ചോദ്യം ആയിരുന്നു.
@ Sreejith sir
സാധാരണയായി കോണുകള്‍ ഉള്‍പെടുത്തി നാം ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത് രണ്ടു വിധത്തില്‍ ആണ്
അതായതു ഒരു വശവും ആ വശത്തില്‍ ഉള്‍പെടുന്ന രണ്ടു കോണും ഉപയോഗിച്ച്
Eg:AB=7cm, <A=70,<B=60
പിന്നെ വരുന്നത് രണ്ടു വശങ്ങളും ഉള്‍കോണും ഉള്‍പെടുത്തി ആണ്
Eg:AB=7cm, AC=6cm, <A=70
ഈ ചിന്തയാണ് കുട്ടികള്‍ക്ക് പെട്ടന്ന് ഓര്മ വരുന്നത് എന്നാല്‍ ഒരു വശം 7cm ഉം ഒരു കോണ്‍ 70 degree യും എന്ന് പറയുന്നതിലൂടെ
AB=7cm ആയാല്‍ <A, <B, <C എന്നിവയില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണ്‍ (വേണം എങ്കില് കോണ്‍ C യും ആകാം ) എന്ന് ഉദ്ദേശിക്കുന്നു എന്ന്എനിക്ക് തോന്നുന്നു
മാത്രമല്ല മൂന്ന് വശങ്ങളില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് മാത്രമേ 7cm ആകുകയുള്ളൂ എന്നും മൂന്നു കോണുകളില്‍ ഒന്ന് മാത്രമേ 70degree ആകുകയുള്ളൂ എന്നും ഉദ്ദേശിക്കുന്നു എന്നാണ് എന്റെ അഭിപ്രായം.
എന്റെ അഭിപ്രായം പറഞ്ഞു എന്നെ ഉള്ളു ഇത് ശരിയാണോ എന്നും എനിക്ക് അറിയില്ല .
ഹരിത ഹരി
പ്ലസ്‌ ടു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ്
കണ്ണാടി എച് .എസ് .എസ് .
കണ്ണാടി
@ Jaya sankar sir
സര്‍ എന്നോട് ദേഷ്യം കൊണ്ട് ആണോ ഒന്നും മിണ്ടാതെ പോയത്.പെട്ടന്ന് എന്റെ ഉത്തരത്തെ പറ്റി ഒന്നും പറയാതെ പോയപ്പോള്‍ എനിക്ക് ദേഷ്യം വന്നു
അപ്പോള്‍ ഞാന്‍ എന്തൊകെയോ എഴുതി അത്ര മാത്രം.സാറിന്റെ ഫോണ്‍ നമ്പര്‍ ഇവിടെ കൊടുക്കാന്‍ പറ്റുമോ .എനിക്ക് സാറുമായി ഒന്ന് സംസാരിക്കാന്‍ ആഗ്രഹം ഉണ്ട്.എന്റെ ഭാഗത്ത്‌ നിന്ന് ഉണ്ടായ തെറ്റുകള്‍ക്ക് ഞാന്‍ ആത്മാര്‍ഥമായി ക്ഷമ ചോതിക്കുന്നു.
ത്രികോണം PQR ല്‍ PQ=8cm, R ല്‍ നിന്ന്
PQ വിലെക്കുള്ള ലംബം ആണ് RS. RS=6cm
ആയാല്‍ PS,PR എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ തമില്ലുള്ള അകലം എത്ര ?
Page not found
Sorry, the page you were looking for in the blog MATHEMATICS:- A Maths Blog for High School Teachers & Students - www.mathsblog.in does not exist.
പുതിയ പോസ്റ്റ് എന്ന പ്രതീക്ഷയില്‍ പല തവണയായി ഞാന്‍ വരുന്നു. എന്തിനാ ഫോളോവേഴ്സിനെ ഇങ്ങനെ പറ്റിക്കുന്നത്...?
Dear Haritha,
First of all let me beg your pardon for not responding to your proof. I am extremely sorry to say that when I complimented Raziman , I did not see your answer that was just above. At that time I was not doing well and was at the hospital. So my access to the internet was very limited. It is only now (see the time,its 3 O' cock)I could go through all the comments. As Raziman mentioned there is an ambiguity in your answer as to how you arrived at the conclusion that the figure is con cyclic.
Any way your line of thinking is absolutely right. But when you develop the logic it should be foolproof . Except for that your answer is correct.
Now since this is an open forum ,I cannot make my phone number public ( just as you do not reveal your identity!).If you want to talk to me personally you can very well get my contact details form our blog administrator Mr.Harikumar sir or by mailing to me directly. Once again I am sorry that I did not respond to your comment. Seethe next comment to see a simple geometrical proof of average high school standard. As I said if you study in a higher class you may try to solve it analytically.
Jayasankar
Paroof
As construction, join PM and QN.
See figure
In the figure AC is a diagonal of the quadrilateral ABCD with ∟ACB = 45˚.
Also by our hypothesis ∟MDN = 45˚.
So ∟PDN = ∟PCN = 45˚ Now since these two angles are equal angles subtended by the same line segment PN at points D and C, the quadrilateral PNCD is cyclic.
So,
∟DCN + ∟DPN = 180˚. But ∟NCD = 90˚ which implies that ∟NPD = 90˚.
So, ∟NPM = 90˚; as ∟NPD and ∟NPM are linear pair.
Now, as ∟NPM = 90˚, MN is the diameter of the circumcircle of the right triangle NPM with R as its cente, as R is the midpoint of MN by hypothesis. ................(1)
Similarly, by showing that quadrilateral QMAD is cyclic and arguing as before we conclude that MN is the diameter of the circumcircle of the right triangle NQM with ∟NQM = 90˚ and R as its centre. ...................(2)
Paragaraphs (1) & (2) imply that MNQM is a cyclic quadrilateral with R as its centre. Hence RP = RQ
NOW try this:
In triangle ABC , AB = AC and ∟BAC = 30˚; A', B', C' are the reflexions of A, B, C respectively on BC, CA, and AB. Show that triangle A"B"C" is equilateral?
The number 4544 has the property that the number formed by first two digits is one greater than the number formed by second two digits. N is a four-digit number with this property, which is a perfect square.What is the sum of the digits of N?
@ lalitha teacher;
THE NUMBER IS 8281
8281=91*91
8+1 10
8+1 =9
10 -9 =1
ഊഹിച്ചു ഉത്തരമെഴുതുക . ഊഹം ശരിയാണെങ്കില്‍ ഒരു ഊഹചോദ്യം വിക്ഷേപിക്കുക.
ഏതാണ് വലുത്?
1) 100+99+98+----------------+2+1.
2)100^2-99^2+98^2-97^2+---------+2^2-1^2.
@Vijayan Larva,
Both are equal.
ഏതിന് പരപ്പളവ്‌ കൂടുതല്‍?
൧) ത്രികോണ വശങ്ങള്‍ 13cm,13cm,10cm.
൨) ത്രികോണ വശങ്ങള്‍ 13cm,13cm,24cm.
again both are equal
@ Lalitha
Here is a way to find the solution (Possibly jayasankar sir used it to arrive at his soln)
Let the last 2 digits of the number be x,y
Let n = 10 x + y
Then the number is 101 n + 100
We need it to be a perfect square
ie, 101 n + 100 = p^2
101 n = p^2 - 100 = (p+10)(p-10)
so 101 has to divide p+10 or p-10 (101 is prime)
Claim : 101 cannot divide p-10
Assume it does
Then p=10 or p>=111
If p=10 p^2 = 100 is not a 4 digit number
if p>=111 p^2 >12321 is also not a 4 digit number
Hence 101 divides p+10
The only number satisfying this with p^2 a 4-digit number is p=91
ie, the number we need is 91^2 = 8281
So sum of digits is 19
(Is there some other way to do this short of brute force?)
@ Jayasankar sir
In triangle ABC , AB = AC and ∟BAC = 30˚; A', B', C' are the reflexions of A, B, C respectively on BC, CA, and AB. Show that triangle A"B"C" is equilateral?
Please click here
@ Jayasankar
See figure
Let AB = 1 unit
Angle BAC = 30 degrees
Hence the altitude BE = 1/2 units
=> BB' = 2 BE = 1 unit
ABE is a right triangle with angle BAE = 30 degrees
Hence angle ABE = 60 degrees and angle EBC = 15 degrees (angle ABC = 75 degrees)
A' is the reflection of A on BC
Hence BA' = BA = 1 unit
And angle A'BC = angle ABC = 75 degrees
Hence angle A'BB'=90 degrees
ie, A'BB' is a right isosceles triangle
angle A'B'B=45 degrees
As ABC is an isosceles triangle, it is symmetric about AA'. By construction, so is A'B'C'
Hence BC || B'C'
So angle C'B'B = angle B'BC = 15 degrees
ie, angle A'B'C' = angle A'B'B + angle C'B'B = 45 + 15 = 60 degrees and by symmetry of A'B'C' about AA', angle A'C'B'=60 degrees
ie, A'B'C' is equilateral
QED
@ Jayasankar sir
In triangle ABC , AB = AC and ∟BAC = 30˚; A', B', C' are the reflexions of A, B, C respectively on BC, CA, and AB. Show that triangle A"B"C" is equilateral?
Figure
Consider
triangle ABC and Triangle ABC’
AB=AB (common side )
AC’=AC( Since the reflection of C is C’)
BC’=BC( Since the reflection of C is C’)
Since the three sides are equal triangles are congruent
In the same way we can prove
Triangles ABC, ABC’, AB’C and A’BC are congruent to each other
From
congruent triangles ABC and AB’C
<BAC =B’AC = (C.P.C.T)
Therefore
<BAB’ = 30+30 =60 degree
Consider triangle BAB’
Since BA =B’A and <BAB’ =60
BAB’ is an equilateral triangle
Consider
triangle AB’C’ and A’BB’
AC’=A’B
AB’=BB’(Since BAB’ is an equilateral triangle )
<C’AB’=30+30+30=90
Since in triangle ABC
AB=AC
<ABC=<ACB=75(Angles opposite to equal sides)
Since triangle ABC and A’BC are congruent
<ABC=<A’BC=75 (C.P.C.T)
Since BAB’ is an equilateral triangle
<ABB’=60degree
So <A’BB’=75+75-60=90degree
Therefore
Triangle C’AB’ and A’BB’ are congruent by S.A.S theorem …..(1)
From(1)
B’C’=A’B’……..(C.P.C.T)
In the similar manner we can prove
B’C’ = A’C’
Therefore A’B’= B’C’ = A’C’
From this we can see that triangle with vertices A’B’C’ is equilateral
@ ജയശങ്കര്‍ സര്‍
ഇന്ന് രാവിലെ മുതല്‍ എന്ട്രന്‍സ് കോച്ചിംഗ് ഉണ്ടായിരുന്നു അത് കൊണ്ട് ഇപ്പോള്‍ ആണ് ചോദ്യം കണ്ടത് .എന്റെ ഉത്തരം കണ്ടോ ?ഇപ്പോഴും ഇതില്‍ തെളിവുകള്‍ പോരെ ?
I cannot make my phone number public ( just as you do not reveal your identity!)
ഞാന്‍ ഹരിത പാലക്കാട്‌ കണ്ണാടി സ്കൂളില്‍ പ്ലസ്‌ ടു
പ്ലസ്‌ ടു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ് പഠിക്കുന്നു.
@Haritha
ഞാന്‍ പ്രൂഫ് മൊത്തം എഴുതിക്കഴിഞ്ഞാണ് ഇത്തവണയും ഹരിതയുടെ ഉത്തരം കണ്ടത് :-)
ഫോണ്‍ നമ്പറല്ലെങ്കില്‍ ഹരിതയുടെ ഈമെയില്‍ വിലാസം തരാമോ? എനിക്ക് കോണ്ടാക്റ്റ് ചെയ്താല്‍ കൊള്ളാമെന്നുണ്ട്. ഈമെയില്‍ വിലാസം പരസ്യമാക്കാന്‍ വിഷമമുണ്ടെങ്കില്‍ എനിക്കൊരു മെയിലിട്ടാലും മതി (razimantv[at]gmail[dot]com)
@Jayasankar
പ്രൂഫില്‍
"Then either abcd is the square of a perfect square or the square of a prime number"
എന്നൊരു വാചകം കണ്ടു. ഈ ക്രൈറ്റീരിയന്‍ എങ്ങനെ കിട്ടി? എന്തുകൊണ്ട് ഉത്തരം 46 പോലൊരു സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗമായിക്കൂട?
Thankyou Jayasankar sir & Raziman
For how many prime numbers p, pa + pb can be square of an integer, where a and b are non-negative integers?
Put a = 1 and b = p-1
pa + pb = p^2 is a square :)
പ്രിയ ഷാ സര്‍,
അങ്ങയുടേതിന് സമാനമായ ഒരു പരാതി പലര്‍ക്കുമുണ്ട്. അതിനു കാരണവും പറയട്ടെ. മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന് വേണ്ടി ഉണ്ടാക്കുന്ന പോസ്റ്റുകള്‍ എഴുതപ്പെടുന്ന സമയത്ത് തന്നെ പബ്ളിഷ് ചെയ്ത് നോക്കാറുണ്ട്. പക്ഷെ ഏതാനും സെക്കന്റുകള്‍ മാത്രം പബ്ളിഷ് ചെയ്ത പോസ്റ്റുകള്‍ അപ്പോള്‍ത്തന്നെ ഡ്രാഫ്റ്റ് ആക്കുകയും ചെയ്യും. ഈ സമയം തന്നെ ആക്ടീവായ ഫീഡ് ലിങ്കുകള്‍ ഫോളോവേഴ്സിന് പുതിയ പോസ്റ്റ് പബ്ളിഷ് ചെയ്തുവെന്ന് വിവരം നല്‍കുന്നു. ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്. അല്ലാതെ മനഃപൂര്‍വ്വം തെറ്റിദ്ധരിപ്പിക്കുന്നതല്ല.
@Raziman @Lalitha,
(The logic given below is the one applicable to average High School students and partially applies trial and error method)
Let the number be 'abcd', that is a perfect square and a+b =b+c+1 by hypothesis.
Then either abcd is the square of a perfect square((between 32 and 100; since square of 31 has only 3 digits and the square of 100 has 5 digits) or the square of a prime number or the square multiple of a prime number.
Clearly abcd is neither 81^2(=6561.)nor 100^2 (=10000). So it is the square of a prime number close to 100. since the square of 97 does not satisfy the condition,trying next lowrer prime, 91^2 = 8281 satisfies by trial and eeror method.
This is how we high school 'cheaters' make average students convinced.
Dear Raziman,
It was a typing omission. It hasbeen corrected.Sorry for making the mistake. The delay in correcting the comment was due to power failure resulting inaccessibility of internet
Dear Raziman & Haritha,
Now try to solve the same problem(projection problem) using trigonometry
Dear Haritha,
My email ID is given in my profile. If you have not so far come across that I shall publish it here.
It is ncjmath(at)gmail (dot)com.
മനപൂര്‍വ്വം അല്ലെന്നു തീര്‍ച്ചയായും എനിക്കറിയാം. പക്ഷെ, തുടര്‍ച്ചയായി ഇങ്ങനെ സംഭവിച്ചപ്പോള്‍ എനിക്ക് തോന്നിയ വികാരം നിങ്ങളെ അറിയിച്ചു എന്ന് മാത്രം. ക്ഷമി...
"പോസ്റ്റുകള്‍ എഴുതപ്പെടുന്ന സമയത്ത് തന്നെ പബ്ളിഷ് ചെയ്ത് നോക്കാറുണ്ട്"
തിരനോട്ടം (പ്രിവ്യു ബട്ടണ്‍ ) ഉപയോഗിച്ച് കൂടെ..? ഇനി ഡൊമൈന്‍ മാറിയതുകൊണ്ട് അത് പറ്റില്ലെന്നുണ്ടോ...?
(സാങ്കേതിക വശം വലിയ പിടിയില്ല.)
എന്തായാലും ഞാനിനിയും വരും. കാണാം...
@Raziman sir
എനിക്ക് സ്വന്തം ആയി മൊബൈല്‍ ഫോണ്‍ ഒന്നും ഇല്ല.സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ ഞാന്‍ മെയില്‍ ഒന്നും നോക്കാറുമില്ല.കമ്പ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗം തന്നെ വളരെ കുറവാണു .ഈ ബ്ലോഗിനെ കുറിച്ച് അറിഞ്ഞപ്പോള്‍ ആണ് സ്വന്തം ആയി ഒരു മെയില്‍ ഐ.ഡി .തന്നെ ഉണ്ടാക്കിയത്.ഏട്ടന്‍ ആണ് ഒരു മെയില്‍ ഐ.ഡി .തന്നെ ഉണ്ടാക്കി തന്നത്.ഞാന്‍ സാറിനു ഒരു മെയില്‍ നാളെ അയക്കാം.
@ Raziman sir
Put a = 1 and b = p-1
pa + pb = p^2 is a square
How we can we predict the answer is p^2.can it be x^2 or y^2 .....
pa+pb=p^2
p(a+b)=p^2
a+b=p
Put a = 1 and b = p-1
then how can we find ‘a’ and ‘b’
സ്ക്വയര്‍, ത്രികോണം, കോണ്‍ തുടങ്ങിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍ കമന്റില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് സംശയം ചോദിച്ച കാതറീന്‍ ടീച്ചര്‍ക്ക്,
ഇവിടെ നിന്നും കോപ്പി ചെയ്തെടുത്താല്‍ മതി.
ഉദാഹരണത്തിന് കമന്റില്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ പ്രയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് നോക്കൂ. ചിഹ്നങ്ങള്‍ വെറുതെ കോപ്പി പേസ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുകയാണിവിടെ
(a+b)² = a²+2ab+b²
4² = 16
∴ √16 = ±4
ΔABC യില്‍ ∠B = 90° ആയാല്‍ അതൊരു മട്ട ത്രികോണമാകും.
ie, AB⊥BC ആണ്.
എങ്കില് വിസ്തീര്‍ണം = ½AB * BC ആയിരിക്കും
വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 2∏r ആണ്.
Δ
∇
ƒ
π
≈
±
÷
×
¹
²
³
½
¼
¾
≤
≥
·
°
∏
∑
−
√
∞
∠
∼
∈
◊
♦
♠
♣
♥
∝
∫
∀
∃
∂
∅
∉
∩
∪
‰
∴
⊥
′
"
‘
’
‹
›
«
»
↵
←
→
↔
↑
↓
⇐
⇒
⇔
⇓
⇑
…
æ
&
°
№
™
©
®
@
†
‡
§
#
μ
Θ
¤
ഹരിയെ സമ്മതിക്കണം!
പല പ്രമുഖരും ഗണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ വേണ്ടവിധം ഉപയോഗിക്കാത്തത് ചൂണ്ടിക്കാട്ടാനുള്ള മടിമൂലം എത്ര സമര്‍ഥമായാണ് ഒരു കാതറിന്‍ ടീച്ചറുടെ പേരില്‍ ആ പ്രശ്നമങ്ങ് തീര്‍ത്തത്!
വിനയവും സാമര്‍ഥ്യവുമുള്ള അപൂര്‍വ്വം അധ്യാപകരുടെ പട്ടികയില്‍ എട്ടാമനായി ഹരിയെ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു!
ഹരി സാര്‍
എങ്കില് വിസ്തീര്‍ണം = ½AB * BC ആയിരിക്കും
എന്നുള്ളത്
എങ്കില് വിസ്തീര്‍ണം = ½AB × BC ആയിരിക്കും എന്നല്ലേ കൂടുതല്‍ ഭംഗി
"വിനയവും സാമര്‍ഥ്യവുമുള്ള അപൂര്‍വ്വം അധ്യാപകരുടെ പട്ടികയില്‍ എട്ടാമനായി ഹരിയെ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു!"
ആഹാ...
സെറ്റു പരീക്ഷയ്ക്ക് ജയിച്ചതിനേക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ ശതമാനം അധ്യാപകരെ വിനയത്തിന്റേയും സാമര്‍ഥ്യത്തിന്റേയും പട്ടികയില്‍പ്പെടുത്തിയ 'ഹോംസ് മഹാന്' അഭിനന്ദനങ്ങള്‍!!
ഗീത ടീച്ചറേ,
† ഹോംസിന്റെ ആ കമന്റ് ഞാനും കണ്ടു. ഒരു സംശയം ഇപ്പോഴും അവശേഷിക്കുന്നു. ആരാണ് മറ്റ് ഏഴ് പേര്‍??????? †
Take a rectangular sheet of paper with dimensions x < y. Fold the corner labeled "C" onto the opposite corner labeled "B".See the figure . What is the length of EF?
let EA=a , Y=SQRT(x^2+a^2)+a
AB=x
EB=SQRT(x^2+a^2).
EF= SQRT(2)*SQRT{x^2+a^2-2a*sqrt(x^2+a^2)}
@AZEEZ
Is it y-∫3 x?
@ maths blog
Thankyou for theStd IX handbook
Expecting the rest portions also
@Vijayan Sir,
Answer should be in terms of "X & Y".
@ Lalitha Teacher.
What will be EF when x=6 & y=8?
@ Azeez sir
EF = Root of(x^4+(y^2)*(x^2))/y
എന്റെ ഉത്തരം ശരിയാണോ
Here AB=x and AC= y
Let AE=DF= m then
Then CE= BF= y-m
Consider the Right angled triangle CDF
By Pythagorean theorem
CF = sqrt(x^2+m^2)
Here we can see that
CF=BF
y-m= sqrt(x^2+m^2)
m= (y^2-x^2)/2y
മുഴുവന്‍ ഉത്തരവും പോസ്റ്റ് ചെയ്തതാണ് കുറച്ചു ഭാഗം മാത്രം കാണുന്നു കുറച്ചു ഭാഗം എവിടെ എവിടെ പോയി
@azees
if length =8 and breadth=6,EF=7.5.
EF= 1/Y*SQRT(X^2*Y^2+X^4).
haritha ,you are right.
ഹരിത,കുറച്ചുഭാഗം നീരാളി തിന്നതയിരിക്കും.ഇന്ന് കാലത്ത് വന്ന രണ്ടു കമന്റുകള്‍ ഹോംസ് ന്ടെ കംമെന്റ്നു ശേഷം കാണാനില്ല. നീരാളിയുടെ പിടുത്തം ഇപ്പോഴും ബ്ലോഗ് നെ ആക്രമിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുന്നതായിതോന്നുന്നു.
@Haritha
See, the question was stated like this:
For how many prime numbers p, pa + pb can be square of an integer, where a and b are non-negative integers?
So I was not trying to find all p,a,b with the property. Just checking which all p's have this property. And the construction I made shows that a,b can be found for every prime p satisfying this property
In general you can choose
* Any prime p
* Any a>=0
* b = p*k*k - a where k>=0 is any integer such that p*k*k >= a
(This is the exhaustive list, as can be proved using Euclid's Lemma)
Here is another problem:
A four digit number has the property that the sum of the first two digits is equal to the sum of the next two digits. show that the sum of all such four digit numbers is divisible by 11?
Instead of a four digit number if we take a six digit number with same property mutatis mutandis, what would be the number that divides the sum?
ഒരു നാലക്ക സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ടക്കങ്ങളുടെ തുകയും അടുത്ത രണ്ടക്കങ്ങളുടെ തുകയും തുല്യമാണ്. ഇത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ നാലക്ക സംഖ്യകളുടേയും തുകയെ 11 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെന്ന് തെളിയിക്കുക?
നാലക്ക സംഖയകള്ക്കു പകരം (മതിയായ മാറ്റങ്ങളോടെ)ആറക്ക സംഖ്യകളാണ് എടുക്കുന്നതെങ്കില് അവയുടെ തുകയെ ഏതു സംഖ്യകൊണ്ടാണ് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാനാവുക?
@ Jayasankar
We need to consider all numbers abcd (In this post, to avoid ambiguity, multiplication will be always specified by *) such that a>=1 and a+b=c+d (Call this property P1)
Claim : Sum of all such numbers is a multiple of 11
Proof : First we note that all 4 digit palindromes satisfy P1 and are individually divisible by 11 [A palindrome is a number of the form abba. a+b=b+a and abba = 110*b + 1001*a = 11 * (10*b + 91*a)]
So we just need to consider the non-palindromes
For every such number abcd, its reverse dcba also satisfies P1
Also abcd+dcba = 1001 (d+a) + 110 (b+c) = 11 * [91*(d+a)+10*(b+c)] is divisible by 11
Hence if dcba is also a 4-digit number, we can remove the pair (abcd,dcba) from consideration as they are not equal and their sum is divisible by 11
The only case when dcba is not a 4 digit number is that d = 0
So we just need to show that the sum of all numbers of the form abc0 such that a>0 and a+b=c is divisible by 11
Which is equivalent to showing that the sum of all numbers of the form abc such that a>0 and a+b=c is divisible by 11
Then by enumeration you can show that the sum is divisible by 11 (Couldn't find anything more intelligent than that - But the enumeration is pretty easy)
@ Haritha & Vijayan Sir.
EF = Root of(x^4+(y^2)*(x^2))/y
is correct Answer.
We can write it also as
EF=(x/y)*√x²+y²
Dear Raziman,
Here we do not have to go so deep on numbers to prove this. It is very simple and even a U.P.school student can solve it. SO THINK 'LESS'
@ Jayasankar sir
A four digit number has the property that the sum of the first two digits is equal to the sum of the next two digits. show that the sum of all such four digit numbers is divisible by 11?
Just give me an example .
uIf a,b,c & d are positive integers and a/b ∠ c/d, then prove that (a+c)/(b+d) lies between a/b and. c/d.
@ Azeez sir
If a,b,c & d are positive integers and a/b ∠ c/d, then prove that (a+c)/(b+d) lies between a/b and. c/d.
Proof
(a+c/b+d)-(a/b)= (bc-ad)/b(b+d) =
d/(b+d)(c/d-a/b) since a/b ∠ c/d
d/(b+d)(c/d-a/b)>0
and
(c/d)- (a+c/b+d)=(bc-ad)/d(b+d)
=b/(b+d)(c/d-a/b)since a/b ∠ c/d
b/(b+d)(c/d-a/b)>0
Form this we can see that (a+c)/(b+d) lies between a/b and. c/d.
Here (a+c)/(b+d) i called Mediant of a/b and. c/d.
A four digit number has the property that the sum of the first two digits is equal to the sum of the next two digits. show that the sum of all such four digit numbers is divisible by 11?
ജയശങ്കര്‍ സര്‍ ചോദ്യം എനിക്ക് നേരെ മനസ്സിലായില്ല
സര്‍ ഒരു ഉദാഹരണം ഇവിടെ പോസ്റ്റ് ചെയുമോ എങ്കില് ഞാന്‍ പ്രൂഫ് കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ നോക്കാം
Different integers A,B,C,D,E Consists of the same digits.
FIND the value of A,B,C,D,E if
A+B=C
B+C=D
A+D=E
@Haritha
Look at the number 1946. 1+9=4+6
Take the sum of all such numbers and show that it is a multiple of 11
is it 1,2,3,5& 6 Respectivly
@jan sir, A,B are different intgers with same digits.( 12,21) ,(3456,6534)............
@nmv
ok, ok ചോദ്യം മനസ്സിലാവാഞ്ഞിട്ടാണ്. നാളെ ഉണര്‍ന്നാലുടനെ നോക്കാം
July 13, 2010 11:03 PM
vijayan larva ,
ഏതിന് പരപ്പളവ്‌ കൂടുതല്‍?
ത്രികോണ വശങ്ങള്‍ 13cm,13cm,24cm.
@Haritha,
I could not go through the blog last night since I am not doing well.Sorry for the delay.
As Reziman pointed out numbers like
2341, 6473, 5133 are some examples
@Raziman,
What about the second part of the probem ?
@sreejith ,
find the area of both triangles and make sure.
@Jayasankar
I know it is 11 again. But at a loss with the proof. Maybe I am not able to "think less" :-(
I am just going to sit back and hope that Haritha or someone else is going to come up with a proof
@Raziman
It's not unique. One answer is 11; that I agree. But.....
ഒരു മുറിയുടെ ഒരു കോണില്‍ ഒരു മീറ്റര്‍ നീളവും ഒരു മീറ്റര്‍ വീതിയും ഒരു മീറ്റര്‍ ഉയരവുമുള്ള ഒരു പെട്ടി ഉണ്ട് .ഈ പെട്ടിയുമായി സ്പര്‍ശിക്കത്തക്ക വിധം ഏഴ് മീറ്റര്‍ നീളമുള്ള ഒരു ഏണി ചുവരിന്മേല്‍ ചാരിവെചിരിക്കുന്നു.ഏണിയുടെ, ചുവരില്‍ സ്പര്ശിച്ചിരിക്കുന്ന, മുകള്‍ ഭാഗം തറയില്‍ നിന്നും എത്ര ഉയരത്തിലായിരിക്കും ? ചിത്രം ഇവിടെ
@ azeez bhai
ഏണിയുടെ, ചുവരില്‍ സ്പര്ശിച്ചിരിക്കുന്ന, മുകള്‍ ഭാഗം തറയില്‍ നിന്നും എത്ര ഉയരത്തിലായിരിക്കും ?
is it 6.90 mts
@ Janarddanan Sir,
Yes .It is ≈ 6.90M.
Now post the solution.
Let QB=’a’ and SA=’b’ then we have
AP=1+b and PB=1+a
Consider right angled ΔAPB
<APB=90
Let <A=x then <ABP=(90-x)
Consider right angled Δ ASR
<ASR=90
<A is common for both ΔAPB and ΔASR
Therefore they are similar
Sides opposite to equal angles are proportionate
1+a / 1 = 1+b / b
From this we get
b=1/a …………….(1)
Applying Pythagorean theorem in ΔAPB
(a+1)²+ (b+1)² + = 49
a²+2a+1+ b²+2b+1=49
But from (1) b=1/a
a² + 2a + 1 + 1/ a²+2/a+1=49
(a² + 2+1/ a²) + (2a+2/a)= 49
(a+1/a)² + 2 ( a+1/a) =49
Take a+1/a = m….(2)
Then
m²+2m=49
m²+2m-49=0
solving we get
m=6.07
Putting this in (2) and solving we get a=0.17
Then PB=1+0.17=1.17
Applying Pythagorean theorem in ΔAPB
PA² = AB² - PB²
PA² = 7² - (1.17)²
PA= 6.90 m
ഞാനും ഏതാണ്ട് ഹരിത ചെയ്തതുപോലെ ഒക്കെ തന്നെയാണ് ചെയ്തത്. പക്ഷെ എനിക്ക് അവസാനം
= 7² - (1.17)²എന്നതിനു പകരം
= 7² - (1.19)² എന്നാണ് കിട്ടിയത് ഗായത്രീ അല്ല സോറി ഹരിതേ.
@അസീസ് ഭായി
ഉറപ്പില്ലാത്തതിനാലാണ് സ്റ്റെപ്പ്സ് ഇടാഞ്ഞത്
@ കവി വര്യന്‍
എന്നാണ് കിട്ടിയത് ഗായത്രീ അല്ല സോറി ഹരിതേ.
ഹും മനസിലായി കേട്ടോ .സത്യമായും ഞാന്‍ ഗായത്രി അല്ല .പക്ഷെ എനിക്ക് സാറിനെയും സാറിന് എന്നെയും അറിയും അത് തീര്‍ച്ച.
@ ജയശങ്കര്‍ സര്‍ & രസിമന്‍ ചേട്ടന്‍
A four digit number has the property that the sum of the first two digits is equal to the sum of the next two digits. show that the sum of all such four digit numbers is divisible by 11?
എനിക്ക് കിട്ടുന്നില്ല ഞാന്‍ ഒരു ഉത്തരം ചെയ്തു അത് ഏകദേശം രസിമന്‍ ചേട്ടന്റെ ഉത്തരം പോലെ തന്നെ ആണ് .എന്നാലും ലോജിക് ശരിയാവില്ല.സര്‍ ഉത്തരം പോസ്റ്റ് ചെയ്യണം
@ ജയശങ്കര്‍ സര്‍
"ഒരുകാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളുടെ സജീവ സാന്നിധ്യമായിരുന്ന അദ്ദേഹം കുറച്ചു നാളുകളായി സ്ക്കൂളില്‍ നിന്നും ലീവെടുത്തിരിക്കുകയാണ്."
"I did not see your answer that was just above. At that time I was not doing well and was at the hospital"
"I could not go through the blog last night since I am not doing well."
സാറിന് എന്ത് പറ്റി .?
എന്ത് തന്നെ ആയാലും സാറിനു വേണ്ടി ഞങ്ങള്‍ പ്രാര്‍ത്ഥിക്കും.ഞാന്‍ വെറുതെ പറയുന്നതല്ല .ഞങ്ങളുടെ അടുത്ത് വലിയ ഒരു ശിവ ക്ഷേത്രം ഉണ്ട് .ചെമ്പൈ അമ്പലം അന്ന് പറയും സാറ് കേട്ട് കാണും ചെമ്പൈ വൈദ്യനാഥ ഭാഗവതര്‍ .അദ്ധേഹത്തിന്റെ നാട്ടുകാരി ആണ് ഞാന്‍ .പാലക്കാട്‌ ജില്ലയിലെ കോട്ടായി എന്ന് പറയുന്ന സ്ഥലം .സര്‍ എന്നെങ്കിലും പാലക്കാട്‌ വരുമ്പോള്‍ ഇവിടെ വരണം .നാളെ ഞാന്‍ സാറിന് വേണ്ടി അവിടെ പോയി പ്രാര്‍ത്ഥിക്കും തീര്‍ച്ച.
ഇത് വെറുതെ പറയുന്നതല്ല കേട്ടോ.സാറും നല്ലവണം പ്രാര്‍ത്ഥിക്കണം.
@Jayasankar
I wrote a program to find the sum for the 6 digit case and the sum has turned out to be 27336542310 = 2*3*3*3*5*7*11*29*45341
So I am at a loss as to what number you are expecting. Is it 11, 99 or something else?
@Haritha
ASR and RQB are similar triangles
Hence AS/SR = RQ/QB
=> b/1 = 1/a
b = 1/a
ഇതുതന്നെയല്ലേ കിട്ടുന്നത്? ഹരിത തെറ്റായ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം കണ്ടു എന്നാണെനിക്ക് തോന്നുന്നത്
@ Raziman Chettan
അയ്യോ എന്റെ തെറ്റ് തന്നെ കേട്ടോ ചേട്ടാ .ഞാന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചില്ല .
@ ഹരികുമാര്‍ സര്‍
ഹരിഗോവിന്ദ് സര്‍ എവിടെ പോയി ? എന്ന് ഒരു ദിവസത്തെ പോസ്റ്റില്‍ മാത്രമേ കണ്ടുള്ളൂ പിന്നെ കണ്ടതെ ഇല്ല .അഞ്ജന ചേച്ചിയും ഫിലിപ്പ് സാറും എവിടെ ?
@vijayan larva
(A,B,C,D,E) = (1176470588235294, 1764705882352941, 2941176470588235, 4705882352941176, 5882352941176470)
ഉദ്ദേശിച്ചത് 142857 ന്റെ സൈക്ലിക് പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളാണെന്നറിയാം, ന്നാലും കെടന്നോട്ടെ :-)
@resiman,
expected a solution of cyclic permutatation of 142857 ,which is nothing but 1/7 and i am surprised when i got the cyclic permutation of 1/17.i know you are ready with next cyclic permutation.
thank you.
എല്ലാവരും 142857-ന്റെ പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളാണ് (generated by 1/7) ഈ സ്വഭാവമുള്ളതായി കാണിക്കാറ്. മറ്റ് ചില സംഖ്യകള്‍ക്കും ഈ സ്വഭാവമുണ്ടെന്ന് ഉത്തരം കാണുന്നവര്‍ മനസ്സിലാക്കിക്കോട്ടെ എന്ന് വിചാരിച്ചാണ് 1/17 ഇട്ടത്
@razimantv,
see the old post of oct/19/2009 (magic with 19).the cyclic permutation 0f 1/19.
thank u
Dear Raziman,Haritha & all,
The six digit number problem is not at all a complex one. It is simple and at the level of eighth grade.
Raziman was at the right track in his first proof half way through and then took a deviation that made the route and the problem complex. Here we do not have to consider palindromes or permutations. All that we need is an average knowledge in arithmetic.!!!!
Part (1) of the question
We use the fact that the number ab + ba is a multiple of 11, as is the number aa.
(Here by ab I mean the number 10a + b; similarly, by aa I mean the number 10a + a, i.e., 11a.)
Combining this with a pairing idea, we get the solution.
Let a, b be distinct digits and let c, d be distinct digits. Then if abcd is a number of the given type (i.e., a+b = c+d), so are {bacd, abdc,badc}. It is easy to check that the sum of the numbers {abcd, bacd, abdc, badc} is a multiple of 11.
Similarly for the pairs {aacd,aadc} and {abcc, bacc}. And obviously,aaaa by itself is a multiple of 11.
Hence the sum of all such numbers is a multiple of 11.
Part (2) of the question
For the extension to six digits (where the sum of the first three digits equals the sum if the last three digits), the corresponding result would be that the sum is divisible by 111.
Since 111 equals 37 x 3, a more confusing way of stating the problem would be:
Show that the sum is a multiple of 37
◊
@ Anjana
In your proof, are you assuming that numbers such as 312 can be considered as 4-digit numbers? That seems to be the case
For example abcd=3012 is a valid 4 digit number with a+b=3+0=1+2=c+d. But in general we don't consider bacd=0312 as a 4 digit number. Zeroes were the main headaches while I was trying to do the analysis as well
And about the 6 digit case. If zeroes are not allowed to be padded, the sum definitely is not a multiple of 111. According to this program the sum is 27336542310 which is not a multiple of 111
Yes, indeed I have considered numbers like 312 as four digit numbers (i.e; 0312) in the present context as is obvious from my previous statement. The same assumption is there for six digit numbers also.
Without this assumption the problem seems to be uninteresting (at least to me).
ABCD is a square with side "a" and DEFG is an another square with side "b" such that DG lies on DC.
Join “AC “,”AF” & “EC”.
”AF” & “CE” meets at “H”.
Find the area of the triangle AHC?
ചിത്രം ഇവിടെ
Area of Δ ACE = ½ a(a+b)
Draw a perpendicular from H to AE
Let the perpendicular be HI
Then
Area of Δ AHE = ½ (a+b) * IH
Area of Δ AHC = Area of Δ ACE - Area of Δ AHE
Δ AHI and Δ AFE are similar
Then
HI\b = [(a + b) - IE]\(a + b)---(1)
Also In Δ DCE
HI\a = IE\b ….(2)
Solving (1) and (2)
HI = [(a+b)ab]\(b^2 + a^2 + ab)
Hence
Area of Δ AHE = ½ (a+b) * [(a+b)ab]\(b^2 + a^2 + ab)
Then
Area of Δ AHC = Area of Δ ACE - Area of Δ AHE
=½a(a+b)-½(a+b)*[(a+b)ab]\(b^2+ a^2+ab)
=½a(a+b)(1–[b(a+b)\(b^2+a^2+ab) ] )
Am i right Azeez sir
@ Haritha
Correct Answer.
We can write it also as
a³(a+b)/2(a²+b²+ab)
ഞാനിതിട്ട് കുറെ ഉരുട്ടി. പക്ഷെ ഹരിത പറഞ്ഞ HI ന്റെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വഴിയില്‍ എത്തിച്ചേരാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല.ഇപ്പോള്‍ സന്തോഷായി."..ത"അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
ഒന്ന് മുതല്‍ പതിനാറു വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ ഒരു വരിയില്‍ ഒരു പ്രതെയ്ക ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാല്‍ അവയില്‍ തൊട്ടടുത്ത്‌ കിടക്കുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുക ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യ ആകും എന്ന് തെളിയിക്കുക .
@ Jayasankar sir
IMO,RMO എന്നിവയില്‍ പങ്കെടുക്കുന്നതിനു സഹായകം ആയ ഒരു പോസ്റ്റ് ചെയ്യാന്‍ കഴിയുമോ?
@ഹിത
16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8
@ Hitha
ആരാണ് എപ്പോഴും tv യ്ക്ക് മുമ്പിലിരിക്കുന്ന ബ്ലോഗര്‍?
കുറച്ച് ഗണിത ഒളിമ്പ്യാഡ് ചോദ്യങ്ങള്‍ ഇവിടെ ഇടാമെന്ന് കരുതുന്നു. എളുപ്പമുള്ള ഒന്നുവച്ച് തുടങ്ങാം. 96-ലെ RMO യില്‍ നിന്നാണ്:
If A is a fifty-element subset of the set {1, 2, 3, . . . , 100} such that no two numbers from A add up to 100 show that A contains a square.
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുക ഒരിക്കലും 100 ആകാത്തവിധം {1,2..100} ല്‍ നിന്നും 50 സംഖ്യകള്‍ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതില്‍ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കുക
A എന്ന ഗണം {1,2,3,4,....99} എന്നാ ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണം ആണെന്ന് കരുതുക.
രണ്ടു വീതം അംഗങ്ങള്‍ ഉള്ള ഉപഗണം {1, 99}, {2, 98}, {3, 97} …. {49, 51}എന്നിവ പരിഗണിക്കുക അപ്പോള്‍ ഒരു അംഗം മാത്രം ഉള്ള {50} എന്നാ ഗണം കൂടി നമുക്ക് ലഭിക്കും.
ഈ ഗണങ്ങള്‍ എല്ലാം Disjoint (two sets are said to be disjoint if they have no element in common) ആണ്.മാത്രമല്ല ഇവയുടെ യോഗം {1,2,3,4,....99}ആണ് ഓരോ ഉപഗണത്തിലെയും അംഗങ്ങളുടെ തുക 100 ഉം ആണ്.
ഇതില്‍ നിന്നും നമുക്ക് കാണാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു വസ്തുത A എന്ന ഗണത്തില്‍ 50 സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ ഉപഗണങ്ങളില്‍ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും ഒരു അംഗം A എന്നാ ഗണത്തിലും ഉണ്ടാവും.അങ്ങിനെ വരുമ്പോള്‍
{36, 64} എന്നാ ഉപഗാണത്തിലെ ഒരു അംഗം A ഗണത്തില്‍ ഉണ്ടാവും എന്ന് തീര്‍ച്ച .36,64 എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗ സംഖ്യകള്‍ ആയതിനാല്‍ A എന്ന ഗണത്തില്‍ ഒരു പൂര്‍ണ വര്‍ഗം ഉണ്ടാക്കും എന്ന് കാണാം
ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സര്‍
ആരാണ് എപ്പോഴും tv യ്ക്ക് മുമ്പിലിരിക്കുന്ന ബ്ലോഗര്‍?
എനിക്ക് മനസ്സിലായില്ല .എന്താ സര്‍ ഉദ്ദേശിച്ചത് ..??
ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ പ്രാവിന്‍ കൂട് തത്വം(PHP) ആണ് എളുപ്പ മാര്‍ഗം അല്ലെ രസിമന്‍ ചേട്ടാ
ഉത്തരം സിംപിള്‍
razimantv
റസിമന്‍ tv യ്ക്ക് മുമ്പിലല്ലേ
@ഹിത & ഹരിത
കറക്റ്റ് ആന്‍സര്‍!
ഏതായാലും എന്റെ വക ഒരു പ്രൂഫ് കെടക്കട്ടെ :-)
Let A be any set that has fifty numbers from {1,2,...100} with the property that no two elements of A add up to 100. If 100 lies in A, it is a perfect square and we are done. So consider the case when 100 is not an element of A.
Consider the sets {1,99}, {2,98}, {3,97},... {49,51}, {50}
There are 50 sets in all. Now if 2 elements of the same set are in A, they will add up to 100 violating our condition. Hence there can be at most 1 element from each set in A. But as there are 50 sets in all and we need to select 50 elements, we have to take one element from each. As {36,64} is among the sets and both these numbers are perfect squares we will have one of them in A and hence we are done
QED
അത് വല്ലാതെ എളുപ്പമായിരുന്നെന്ന് തോന്നുന്നു. എങ്കില് ഇതാ ഒന്നൂടെ :-)
Consider the sequence {x_n} formed by:
* x_1 is a given positive integer
* For all n>=1, x_(n+1) is formed by adding some non-zero digit of x_n to x_n (For example, if x_2 = 23, x_3 can be 23+2=25 or 23+3=26)
Prove that the sequence {x_n} contains an infinite number of even numbers
(ഇതാര്‍ക്കെങ്കിലും മലയാളത്തില്‍ വേണമെന്നുണ്ടോ?)
@Haritha and all,
I could not go through the blog from the noon of Friday since I was not doing well.I am sorry to make a delay in responding.
First of all let me give the simplest method of roving the divisibility problem:
Consider a four digit number abcd not necessarily with distinct digits with the property that the sum of first two digits is equal to the sum of the second. Then necessarily all the numbers of the form 9999 - abcd, say the conjugate of abcd, will also have the same property; sothat we can pair every number abcd with its conjugate, the sum of which is 9999. So the sum of all the numbers with the specified property will be a multiple of 9999. Clearly 9999 is divisible by 11 . Hence the proof.
Now coming to the second part by a similar argument we can see that the Sum of all six digit numbers with the given property is a multiple of 999999.
Now 999999 is divisible by 3,7,11,13 and 37 and also by the mutual product of these primes.
Hence the complete proof.
@ Raziman,
Should I prove the question or leave it to some body else like Haritha?
Here is another question (As per Haritha's requst)
ABCD is a convex quadrilateral with AD not parallel to BC. P is the point of intersection of the diagonals AC and BD. Q is a point on AB such that PQ is parallel to to AD. R is on AC such that QR is parallel to BC. S is on DC such that RS is parallel to AD.
Show that the ratio of the area of PQRS to the area of ABCD is less than or equal to 8/27
@Jayasankar
You are also assuming that 0312 is a 4 digit number. (9687 is a valid 4 digit number satisfying the property and 9999-9687 = 0312)
About the question that I posed. Well, I suggest that you wait 24 hrs or so for students before giving out the solution.
@Raziman,
We need not assume that the 'conjugate' of the number with the property to be four digit,for the sum of all those three digit numbers is divisible by 11 !( and each such number can be paired with a similar number,the conjugate of the sum of the numbers of the pair is again an element of the set in question)
രസിമന്‍ ചേട്ടന്‍ ഞങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ തകരാറിലാണ് അത് കൊണ്ട് ഇത്ര ദിവസം ബ്ലോഗില്‍ വരാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല ഇപ്പോഴാണ്‌ ചോദ്യം കണ്ടത്
Consider the sequence {x_n} formed by:
* x_1 is a given positive integer
* For all n>=1, x_(n+1) is formed by adding some non-zero digit of x_n to x_n (For example, if x_2 = 23, x_3 can be 23+2=25 or 23+3=26)
Prove that the sequence {x_n} contains an infinite number of even numbers
എന്റെ ഉത്തരം
Proof by contradiction. Suppose not. Then there is some $x_n$ such that all $x_i$ after $x_n$ are odd numbers. In particular, this means that we add an even and non-zero number to $x_i$ for each $i \geq n$. Now define content of a natural number $m$ called $c(m)$ to be the number of non-zero even numbers when you write $m$ in its usual form. Thus $c(25) = 1$ and so is $c(20005) = 1$. Show that as $r$ increases from $x_r$ to $x_{r+1}$ the content either remains the same or decreases making it monotone decreasing. Use this to show that eventually we must get an $x_r$ with content zero forcing us to add an odd digit to $x_r$ so that the next number is even, a contradiction.
@Jayasan&ka# sir
സര്‍ കീ ബോര്‍ഡ്‌ ശരിക്കും വര്‍ക്ക്‌ ചെയുന്നില്ല .ശരിയാക്കിയിട്ട് സാറിന്റെ ചോദ്യം നോക്കാം
@ഹിത & ഹരിത
"Show that as $r$ increases from $x_r$ to $x_{r+1}$ the content either remains the same or decreases making it monotone decreasing"
ഇത് തെറ്റല്ലേ?
x_1 = 615
x_2 = 621
c(x_1)=1
c(x_2)=2
Here content has increased
ഒന്നുകൂടി ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ
(ക്ലൂ : x_r ലെ അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം നോക്കൂ)
ഗണിതത്തില്‍ ലഭ്യമായ ടാലെന്റ്റ്‌ ടെസ്ടുകളെയും ഒളിമ്പ്യദുകലെഉമ് കുറിച്ചുള്ള പോസ്റ്റിന്റെ പണിപ്പുയില്‍ ആണ് അതിന്ടയില്‍ അസുഖം മൂലം രണ്ടു മൂന്നു ദിവസമായി കിടപ്പിലായിരുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് പോസ്റ്റ് വൈകുന്നത്. ഹരിത ഹിത മാര്‍ ക്ഷമിക്കുമല്ലോ ?
Post a Comment