അമ്പിളിടീച്ചര്‍ പരിചയപ്പെടുത്തിയ രണ്ട് കുട്ടികള്‍ . അവര്‍ എറണാകുളം ജില്ലയില്‍ പട്ടിമറ്റത്തുള്ള MAR COORILOSE
MEMMORIAL HIGHER SECONDARY SCHOOL വിദ്യാര്‍ത്ഥിനികളാണ് . ഗണിതശാസ്ത്രമേളയില്‍ പ്രോജക്ട് അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഗണിതചിന്തകളുടെ പുതിയ വാതായനങ്ങള്‍ തുറക്കാന്‍ ഒരുങ്ങുകയാണ് . ഒരു മെട്രിക്സിനെ മറ്റൊന്നുകൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള ശ്രമമാണ് അവരുടെത് . കണക്കുപഠിച്ചവരും പഠിപ്പിക്കുന്നവരും ഇവര്‍ക്കുവേണ്ടി വിലയേറിയ സമയം അല്പം നീക്കിവെച്ച് ,ഇവര്‍മുന്നോട്ടുവെയ്ക്കുന്ന ചിന്തകളെ പരിപോഷിപ്പിക്കാന്‍ താല്പര്യപ്പെടുന്നു.
ദിവ്യ എന്‍ .വി , അനു ജോണ്‍സന്‍ എന്നീ കുട്ടികള്‍ ആലുവ ഉപജില്ലയില്‍ ഗ്രുപ്പ് പ്രോജക്ടായി ഇത് മുന്നോട്ടുവെച്ചു. പ്രോജക്ടിന്റെ പ്രസക്തഭാഗങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് ഇവിടെ ലേടെക്കില്‍ ടൈപ്പ് ചെയ്ത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് . ഈ കുട്ടികള്‍ അവതരിപ്പിച്ച പ്രോജക്ടിന്റെ പ്രസക്തി ഹയര്‍സെക്കന്റെറിക്ലാസിലെ പഠനപ്രവര്‍ത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരേ ക്രമത്തിലുള്ള രണ്ട് മെട്രിക്സുകളെ കൂട്ടുന്നതിനും ,അനുയോജ്യമായ ഓഡറിലുള്ള രണ്ട് മെട്രിക്സുകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനും നമുക്കറിയാം . എന്നാല്‍ ഹരണം അത്രയ്ക്ക് പരിചിതമല്ല. ഹരണചിന്ത ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെന്നുതന്നെ പറയാം . ഒരു കൂട്ടം ഏകകാലസമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്തുകൊണ്ട് ദിവ്യയും അനുവും ഇത് സാധ്യമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
ഒരു ഗണിതചിന്തയുടെ തുടക്കവും ,അതിന്റെ അനുക്രമമായ വളര്‍ച്ചയും വളരെ എളുപ്പത്തില്‍ സാധ്യമാകുന്നതല്ല. അതിന് കൃത്യതയുള്ള സൈദ്ധാന്തിക വിചിന്തനങ്ങള്‍ ആവശ്യമാണ് . മാത്രവുമല്ല ഇതിന്റെ പ്രായോഗികതയും പൂര്‍ണ്ണതയും പരിരക്ഷിക്കപ്പെടണം .ഇതിനായാണ് മാന്യവായനക്കാരുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നത്. കുട്ടികളെ ക്രീയാത്മകമായി വിമര്‍ശിക്കുയും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ പകര്‍ന്നുകൊടുക്കുകയും ചെയ്യുമെന്ന പ്രതീക്ഷയോടെ ....
Click here to get the paper presented by Divya and Anu
15 comments:
First of all I wish to congratulate Divya and Anu for their work in matrices.
Here you are stating that if A, B,and C are matrices and AC=B then C=B/A.
Now let us examine the meaning of B/A if B and A are matrices. B/A means matrix B multiplied by the inverse of A.
The inverse of A is the 2 x 2 matrix with first row -2 1 and second row 3/2 -1/2.
When you multiply matrix B by the inverse of A you won't get matrix C.
Therefore it is wrong to write C= B/A.
But, if you multiply the inverse of A with matrix B you will get matrix C.
Your statement goes against the way in which B/A has been defined in matrices.
പുസ്തകച്ചിട്ട മാത്രം നല്ലതെന്ന് കരുതി പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുകയും, മറ്റു രീതികളെ നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്ന നമ്മുടെ വിദ്യാഭ്യാസ വ്യവസ്ഥക്കുള്ളിൽനിന്ന്, ഇത്തരത്തിലുള്ള വേറിട്ട ചിന്തകളുമായി മുന്നോട്ടുവന്ന ദിവ്യയ്ക്കും അനുവിനും, അവരെ പ്രോത്സാഹിപ്പിച്ച അന്പിളി ടീച്ചർക്കും (മാത്‌സ് ബ്ലോഗിനും!) അഭിനന്ദനങ്ങൾ.
മാട്രിക്സുകളുടെ ഹരണത്തെ അന്വേഷിച്ച് നിങ്ങൾ എത്തിച്ചേർന്നത് മാട്രിക്സുകളുടെ വ്യുൽക്രമം (inverse) എന്ന ആശയത്തിലാണ്. $A$ എന്നത് ഒരു $n \times n$ സമചതുര മാട്രിക്സും $I$ എന്നത് $n\times n$ തത്സമക (Identity) മാട്രിക്സും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. $AB=I$ എന്നും $BA=I$ എന്നും വരുന്നതരത്തിലുള്ള ഒരു $n\times n$ മാട്രിക്സ് $B$ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, $B$-യെ $A$-യുടെ മാട്രിക്സ് വ്യുൽക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് എഴുതുന്നത് $B=A^{-1}$ എന്നാണ്; "ബി സമം വ്യുൽക്രമം എ" ("B equals A inverse") എന്ന് വായിക്കുന്നു.
മാട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനം എന്ന ക്രിയ, ക്രമനിയമം (commutative law) പാലിക്കുന്ന ഒന്നല്ല എന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമല്ലോ. ഇതുകാരണം, $X, Y$ എന്നിവ മാട്രിക്സുകളാണെങ്കിൽ $XY=YX$ എന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും (രണ്ടു ഗുണനഫലങ്ങളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽപ്പോലും) വരണമെന്നില്ല. $A$ എന്ന മാട്രിക്സിന്റെ വ്യുൽക്രമം നിലവിലുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. $\frac{B}{A}$ എന്ന് എഴുതിയാൽ അതിനെ ത്$B\times\frac{1}{A}$ എന്നോ $\frac{1}{A}\times{}B$ എന്നോ വായിക്കാമല്ലോ. ഈ രണ്ട് ഗുണനഫലങ്ങളും സമമാകണമെന്നില്ല. അതുകൊണ്ടുതന്നെ $\frac{B}{A}$ എന്നത് സുനിർവചിതം (well-defined) അല്ല. $A$-യുടെ വ്യുൽക്രമത്തെ (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) $\frac{1}{A}$ എന്ന് എഴുതാത്തതിന്റെ പ്രധാന കാരണം ഇതാണ്. $A$-യുടെ വ്യുൽക്രമത്തിന് $A^{-1}$ എന്ന് എഴുതിയാൽ, $A^{-1}B$ എന്നും $BA^{-1}$ എന്നും രണ്ടുതരം ഗുണനങ്ങളെ എഴുതാൻ കഴിയുന്നതുകൊണ്ട്, ഈ ആശയക്കുഴപ്പം ഉദിക്കുന്നില്ല.
ഇപ്പറഞ്ഞതുപ്രകാരം നിങ്ങളുടെ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണത്തെ, ചുരുക്കത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: If $AC=B$ then $C=A^{-1}B.$ ഇത് കിട്ടിയത് ഇങ്ങനെയാണ്: $AC=B\implies A^{-1}AC=A^{-1}B$$\implies(A^{-1}A)C=A^{-1}B\implies C=A^{-1}B$. ക്രമത്തിൽത്തന്നെ ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ദീർഘചതുര മാട്രിക്സുകളുടെ വ്യുൽക്രമവും ഇതേ ആശയം ഉപയോഗിച്ച് നിർവചിക്കാം. പക്ഷേ അവിടെ "ഇടത് വ്യുൽക്രമം, വലത് വ്യുൽക്രമം" എന്നിങ്ങനെ രണ്ടുതരം വ്യുൽക്രമങ്ങൾ വേണ്ടിവരുമെന്ന് മാത്രം.
രസകരമായ ഒരു കാര്യം, സമചതുര മാട്രിക്സുകൾക്കെല്ലാം വ്യുൽക്രമം ഇല്ല എന്നതാണ്. ഏതൊക്കെ സമചതുര മാട്രിക്സുകൾക്കാണ് വ്യുൽക്രമമുള്ളത് എന്ന് അന്വേഷിച്ചാൽ നാം എത്തുന്നത്, രേഖീയ ബീജഗണിതം (Linear Algebra) എന്ന അദ്ഭുതലോകത്താണ്. ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് തനിയെ പഠിച്ചുതുടങ്ങാവുന്നതും, അതിമനോഹരങ്ങളായ ആശയങ്ങളും തിയറങ്ങളും മറ്റും ഉൾക്കൊള്ളുന്നതും, പ്രായോഗികലോകത്ത് വളരെയധികം ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതുമായ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അതിസുന്ദരമായ ഒരു ശാഖയാണിത്.
ദിവ്യയ്ക്കും അനുവിനും അന്പിളി ടീച്ചർക്കും ഒരിക്കൽക്കൂടി അഭിനന്ദനങ്ങൾ.
"പുസ്തകച്ചിട്ട മാത്രം നല്ലതെന്ന് കരുതി പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുകയും, മറ്റു രീതികളെ നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്ന നമ്മുടെ വിദ്യാഭ്യാസ വ്യവസ്ഥക്കുള്ളിൽനിന്ന്...."
Does the education system in Kerala actually discourage other methods (not prescribed in the textbooks) of proof ?
All good teachers will encourage students for their initiative in exploring innovative methods of approaching problems.
Here both the learners deserve a pat on their backs.
The shortcoming was that they forgot that in matrices there are two ways of multiplication: pre-multiplication and post-multiplication. Pre-multiplying B by A gives the product AB and post-multiplication of B by A gives the product BA. AB is not necessarily equal to BA in matrices.
Actually division of a matrix by another matrix can only be thought of as post-multiplying the dividend matrix by the inverse of the divisor matrix.
An example of the use of matrices and matrix multiplication for transformations is this example on drawing an ellipse using python. May be a bit advanced for the young students but an example of linear algebra nevertheless.
An example of matrix multiplication that can be understood by high school students is in an alternative treatment of geometrical optics using matrices. Please see http://www2.ph.ed.ac.uk/~wjh/teaching/optics/documents/matrix.pdf and google for more examples.
ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെയും ആവനാഴിയുടെയും കമന്റുകള്‍ അനുവിനും ദിവ്യയ്ക്കും ഒരു പ്രചോദനമാകട്ടെ . ഈ പോസ്റ്റിനോട് ക്രീയാത്മകമായി പ്രതികരിച്ചതിന് ഫിലിപ്പ് സാറിനും ആവനാഴിക്കും ,ക്രിഷ് സാറിനും നന്ദി
thanks for supporting us
now i would like to present my arguments towards matrix division
we say that if there exist a matrix C such that A=BC then we can wright A/B=C we are trying to find such a matrix C here no confusion it is left hand division or right hand division that is explained in our post
u are saying division is only possible by multiplying by A-1 but in the case of rectangular matrices there exist two type inverse but by this method we can also divide rectangular matrices and square matrices with out any confusion because for higher order square matrices it is difficult to find A-1
Hi Divya,
Thanks for you comment and your excitement to divide matrix A by matrix B.
Remember, matrices do not behave like ordinary numbers that we are familiar with.
Matrices are another way of representing a set of linear equations.
For example, look at the two linear equations in two unknowns x and y, given below.
2x + 3y = 10
4x + 7y = 24
We can represent the above equations using matrices in the form AB=C, where A is a 2x2 matrix with first row with elements 2 and 3 and the second row with elements 4 and 7. B is a 2x1 matrix with first row having the element x and the second row formed by the element y. C is also a 2x1 matrix with two rows formed by the elements 10 and 24 respectively.
We are able to express the above linear equations as the matrix equation AB = C simply because the way multiplication of two matrices has been defined (as we know how ) actually gives rise to the two linear expressions 2x + 3y and 4x + 7y. Remember, here the order is extremely important . We can not write it as BA=C.
Now, coming back to your question,of which I quote: "we say that if there exist a matrix C such that A=BC then we can wright A/B=C "
Here lies the problem.
Let us examine, if we can actually arrive at A/B = C.
Let us start from the matrix equation A=BC
We can right-multiply both sides of the equation by B-1. We get
A B-1 = (BC)B-1
(Note here that B-1 means inverse of matrix B )
The above equation is simplified as
A/B = (BC)B-1
Now, can we simplify the product (BC)B-1 as C?
We can not replace (BC)B-1 by (B-1)(BC) because matrix multiplication is NOT COMMUTATIVE.
If it WERE COMMUTATIVE, we could have replaced (BC)B-1 by (B-1)(BC) which by associative property would have been simplified as IC and IC is equal to C. But the ABSENCE of COMMUTATIVITY with regard to matrix multiplication prevents us from going forward from the equation A/B = (BC)B-1 . In other words, WE ARE STUCK!
Therefore, it is NOT CORRECT to think that A/B = C, if A= BC as long as A, B and C are matrices.
I hope it is clear to you now.
But, I must always congratulate you for your effort and tenacity. Such thoughts are essential for the enrichment of knowledge.
Dear Divya,
we say that if there exist a matrix C such that A=BC then we can wright A/B=C we are trying to find such a matrix C
If \(B\) is a square matrix which has an inverse, then the \(C\) you are looking for is \(B^{-1}A\). Why? Because substituting \(C=B^{-1}A\) in your first equation gives \(A=B(B^{-1}A)=(BB^{-1})A=IA=A\). So, the matrix \(A/B\) which you are after is, in fact, \(B^{-1}A\). Of course, this \(A/B\) exists only if the inverse of \(B\) exists and the matrices have the correct shapes. If \(B\) has no inverse, then one of two things can happen. To illustrate these, I use the non-invertible matrix
\[
B=\begin{bmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{bmatrix}
\].
The two possibilities are:
1. There is no matrix \(C\) such that \(A=BC\). This happens, for example, with
\[
A=\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
\].
2. There are infinitely many matrices \(C\) such that \(A=BC\). This happens, for example, with
\[
A=\begin{bmatrix}
3\\
6
\end{bmatrix}
\].
It would be a good exercise for you to figure out why these statements about the existence of \(C\) are true, especially in the second (infinitely many) case. (And, in case you were wondering, coming up with these examples is trivial after you learn a tiny bit of linear algebra.)
In either case, there is no matrix \(C\) which you can take to be your \(A/B\). In the first case there is really no such matrix, and in the second case there are too many of them: which will you choose to be the value of \(A/B\)?
If \(B\) is a non-square matrix, then similar statements as above should hold if we take \(B^{-1}\) to be the right-inverse of \(B\). I haven't worked this through carefully, but I think there shouldn't be many surprises there.
for higher order square matrices it is difficult to find A-1
This is only difficult if you use the painful method which is taught in schools, namely \(A^{-1}=\frac{\text{adj }A}{\det A}\). The smart way to find inverses is something called the Gauss-Jordan elimination method, which is essentially what you have stumbled upon!. This is much simpler and much faster than the "adj A" method. You can see a simple explanation of this method (with examples) here. If you work through the examples there, you will see how similar it is to what you found in your attempt to divide matrices.
sir
i know that if we wright A/B=C there exist a confusion( 1/B)xA or Ax(1/B ) but here we define right division i know that there exist some problems because matrix multiplication is not commutative by this statement A/B=C actually mean by AxB-1 =C i.e A x (1/B)=C here the multiplication of B & C take place and we get some equations and solving these equations we can find out the elements of the matrix C
THERE WE EXPLAINED SOME RULES REGARDING MATRIX DIVISION
we find these rules trough our project
there is infinitely many possibility to exist such a matrix C
if B & C are two non singular matrices
BC=A ; A/B=C but A/C !=(not equal) B but it is equal to D;D!=B but BC=A=CD
but in the case of A-1 and A
I/A-1=A & I/A=A-1 ( commutative)
jest like matrix multiplication we are defining a process for matrix division
WE KNOW THAT IN MATRIX MULTIPLICATION THERE EXIST ADDITION SO WE CAN NOT EXPLAIN A CORRECT REVERSE PROCESS FOR THIS BUT BY SOLVING THE LEANER EQUATIONS (GENERATED BY MULTIPLY MATRIX B AND MATRIX C )ACTUALLY WE ARE DOING SUBTRACTION AND DIVISION ( OPP PROCESS OF ADDITION AND MULTIPLICATION )
Ubuntu latest updates available on science4keralasyllabus.blogspot.in
Download
Hi Divya Vijayan,
Thanks for your comment.
I am trying to understand you better.
1. Do you agree that , here A/B
means Ax(1/B) and NOT (1/B)x A ?
2. Do you agree that dividing A by
B means getting the matrix
A x(1/B) and NOT (1/B)x A ?
If your answers to 1 and 2 above are both YES, then let us proceed to 3 and 4.
3. Do you agree that when we solve
for C the matrix equation A=
BC , we are getting C= (1/B) x
A and NOT A x(1/B) ?
4. Now, go back to 2 above. Can we
now call C as the matrix
obtained by dividing A by B ?
When we write 10=5x2 , 2 is the result of multiplying either on the right or left of 10 by the (multiplicative)inverse of 5.
5^(-1) times 10 = 10 times 5^(-1)=2
and we say 2 is the result of dividing 10 by 5.
But, if we write A=BC where A, B and C are matrices then C is the result of multiplying ONLY ON THE LEFT of A by the inverse of B.
B^(-1) times A = C
Therefore the matrix relation A = BC is NOT quite similar to the number relation 10=5x2
And the idea of division in the case of 10=5x2 can not be simply extended as such to the matrix relation A=BC
Division by a matrix is only interpreted in terms of multiplication by its inverse.
In other words, division by a matrix as an operation is not well defined.
I congratulate innovative thinking....In this contest i would like to comment on ganithamelas......Is the best of the best is selected in these melas? Is the participant and the judge get sufficient time to explain or understand the product? NO!! this is my experience as a judge.As a result, sometimes best products are ignored at sub district level.The problem is not with the participant or judge!!. It lies with the programme committee which does not provide sufficient number of judges with ample of time to evaluate....
I congratulate innovative thinking....In this contest i would like to comment on ganithamelas......Is the best of the best is selected in these melas? Is the participant and the judge get sufficient time to explain or understand the product? NO!! this is my experience as a judge.As a result, sometimes best products are ignored at sub district level.The problem is not with the participant or judge!!. It lies with the programme committee which does not provide sufficient number of judges with ample of time to evaluate....
Post a Comment