ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും
>> Monday, November 21, 2011
ഭൗതിക പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഗണിതപരിഹാരം കാണുന്നതിന് ജ്യാമിതീയരീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സര്‍വ്വസാധാരണമാണ്. പത്താംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ 'ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും' എന്ന പാഠഭാഗത്തിന്റെ സൈഡ്ബോക്സില്‍ നിറഞ്ഞുനില്‍ക്കുന്നതും ഇതുതന്നെയാണ്. ഗണിതചിന്തകളുടെ പ്രായോഗികത നിറഞ്ഞുനില്‍ക്കുന്ന ഭൗതികശാസ്ത്രം രസതന്ത്രം എന്നിവയുടെ പഠനത്തിലും ആസ്വാദനത്തിലും ചിട്ടയായ ഗണിതപഠനം അനിവാര്യമത്രേ. ചലനസമവാക്യങ്ങള്‍ ജ്യാമിതീയമായി തെളിയിക്കുകയും ഒപ്പം ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും എന്ന പാഠഭാഗത്തുനിന്ന് പരിശീലനചോദ്യങ്ങള്‍ നല്‍കുകയുമാണ് ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ലക്ഷ്യം. പോസ്റ്റിനൊടുവില്‍ പരിശീലനചോദ്യങ്ങളുടെ പി.ഡി.എഫ് ഫയല്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്.
x സൂചകാക്ഷത്തില്‍ സമയവും y സൂചകാക്ഷത്തില്‍ പ്രവേഗവും(velocity) എടുത്തുകൊണ്ടാണ് പ്രവേഗ-സമയ ഗ്രാഫ് (velocity-time graph)വരക്കുന്നത് . പ്രവേഗസമയ ഗ്രാഫിന്റെ ചരിവ് ത്വരണമായിരിക്കും(acceleration). $t_1$ സമയത്തിലെ പ്രവേഗം $v_1$ , $t_2$ സമയത്തിലെ പ്രവേഗം $v_2$ആയാല്‍ $\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$എന്നത് ത്വരണമാണ്. നേര്‍രേഖയില്‍ സമാനത്വരണത്തോടെ(uniform acceleration) സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ചലനം പരിഗണിച്ചുകൊണ്ട് വരക്കുന്ന v-t ഗ്രാഫ് ഒരു നേര്‍രേഖയായിരിക്കും. x അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ നേര്‍രേഖയുടെ പ്രസക്തി അതിന്റെ ചരിവ് (slope)പൂജ്യമാണെന്നതാണ് . അതായത് ത്വരണം പൂജ്യമായ ചലനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ്. കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാല്‍ ഇത് സമാനചലനത്തിന്റെ പ്രവേഗ-സമയ ഗ്രാഫാണ്.
ഇനി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് നോക്കാം. ഇവിടെ AB എന്ന വര സമാനത്വരണത്തോടെ ചലിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ V-T ഗ്രാഫാണ് .ഈ വര സമയ അക്ഷവുമായി(axis) ചേര്‍ന്നുണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ലംബകം (trapezium)കാണാം. ഈ ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവാണ്(area) വസ്തു സഞ്ചരിച്ച ദൂരം അഥവാ സ്ഥാനാന്തരം (distance or displacement). ഈ പരപ്പളവ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ചില ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകള്‍(coordinates) എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്ന AB എന്ന വര ആദ്യപ്രവേഗം(initial velocity) u , ത്വരണം a ആയ ചലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫാണ് . ഈ വര സമയ അക്ഷവുമായി രൂപീകരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് വസ്തു സഞ്ചരിച്ച ദൂരമാണ് . ഈ പരപ്പളവ് ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണുന്ന രീതിയില്‍ കണ്ടെത്തിയാല്‍ നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ചലനസമവാക്യമായിരിക്കും (equation of mation)കിട്ടുന്നത് .
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
$\frac{1}{2} \times OD \times (OA+BD)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+v)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+u+at)$
$\frac{1}{2} \times t \times (2u+at)$
$ut+\frac{1}{2} a t^2$
ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും ഒത്തുചേര്‍ന്ന് രണ്ടാം ചലനസമവാക്യം രുപീകരിച്ചിരിക്കുന്നതാണ് ഇത് . ഇപ്രകാരം മൂന്നാമത്തെ ചലനസമവാക്യം ജ്യാമിതീയമായി തെഴിയിക്കാന്‍ പറ്റുമോയെന്ന് നോക്കുക. മൂന്നാമത്തെ ചലനസമവാക്യം ഒന്‍പതാംക്ലാസില്‍ പഠിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലോ. $v^2=u^2+2as$എന്നതാണ് സമവാക്യം
ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും: പരിശീലനചോദ്യങ്ങള്‍"
ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ ലേഖനം
കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍
52 comments:
സര്‍ ഈ പോസ്റ്റില്‍ സമവാക്യങ്ങള്‍ എഴുതിയ സ്ഥലങ്ങളില്‍ ചില പിശകുകള്‍ പറ്റിയിട്ടുണ്ട്.അവിടെ ഫോണ്ടുകള്‍ ശരിയായി വന്നിട്ടില്ല.
അരുണ് സാര്‍
എവിടെയാണ് കുഴപ്പം . പി. ഡി എഫ് ചോദ്യങ്ങളിലാണോ ? ഇതോ പോസ്റ്റിലോ . എന്റെ സിസ്റ്റത്തില്‍ കുഴപ്പം ഒന്നും കാണുന്നില്ല
സര്‍ പോസ്റ്റില്‍ താഴെ പറയുന്ന ഭാഗം
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
$\frac{1}{2} \times OD \times (OA+BD)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+v)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+u+at)$
$\frac{1}{2} \times t \times (2u+at)$
$ut+\frac{1}{2} a t^2$
എന്റെ സിസ്റ്റം വിന്‍ഡോസ്‌ XP ആണ്,അതില്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ ഭാഗത്ത്‌ --
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac(1)(2) h (a+b)$....(ഡോളര്‍ ചിഹ്നം\ഫ്രാക്‌(1)(2) എച്ച് (എ +ബി)ഡോളര്‍ ചിഹ്നം)എന്നിങ്ങനെയാ കാണിക്കുന്നത്.ഇതിത്തിനു താഴെ ഉള്ളത്തിനും അങ്ങനെ തന്നെ.
ചിലപ്പോള്‍ സര്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഫോണ്ട് എന്റെ സിസ്ടത്ത്തില്‍ ഇല്ലാത്തത് കൊണ്ടാവും,സര്‍ ആരോടെങ്കിലും ചെക്ക്‌ ചെയ്യാന്‍ പറയൂ...
Sir ente mobililum angane thanneya kanunnath,
Arun
അരുണ് സാര്‍
പ്രശ്നം എന്താണെന്ന് ഹരി സാര്‍ നോക്കി പറയും . എനിക്ക് പരിഹരിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന പ്രശ്നമല്ല ഇത് .
Sir,enne arun sir ennonnum vilikanda,arun mathi,nhanum oru student thanneya(govt.engineering.clge kannur)
Sir,ith vayichit delete cheythekk
@ out of topic
UMAX ASTRA 4100 സ്കാനര്‍ ഉബുണ്ടു10.04 ല്‍ ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്യാന്‍ സഹായിക്കാമോ?
ചലനസമവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് ജോണ്‍മാഷ് പറഞ്ഞത് വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു ലേഖനം ഇവിടെ
കൊടുക്കുന്നു.
sir,
if x^y=y^x , y=2x,what's value x+y?
Dear Unknown SIR/ teacher
$x^y=y^x$
$y=2x$
$x^{2x}=(2x)^x$
$x^{x+x}=2^x x^x$
$x^x x^x = 2^x x^x$
$x^x=2^x$
$x=2$ $y=4$
$x+y=6$
"thanks sir"
അരുൺ,
ബ്രൌസറില്‍ ജാവാസ്ക്രിപ്റ്റ് തടയുന്ന എന്തെങ്കിലും പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നുണ്ടോ? ഇവിടെ ഗണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ കാണിക്കാന്‍ MathJax എന്ന ജാവാസ്ക്രിപ്റ്റ് അധിഷ്ടിത സോഫ്റ്റ്‌ വെയറാണ്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്ക് ഇവിടെ നോക്കുക.
Dear John sir,
Very good work
Please go through Qns 10, 22 and 42.
ജോണ്‍ സര്‍
സുചക സംഖ്യകളില്‍ നിന്നുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു . ചോദ്യങ്ങള്‍ പ്രിന്റ്‌ എടുത്തു .ചെയ്തു നോക്കിയിട്ട് സംശയങ്ങള്‍ ചോദിക്കാം .കൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റെ ചലനത്തെ കുറിച്ചുള്ള ലേഖനവും വളരെ ഉപകരപ്രദമാണ്. നന്ദി .
പരിശീലനചോദ്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആരും ചര്‍ച്ച ചെയ്തു കണ്ടില്ലല്ലോ. ചര്‍ച്ച കൂടുതല്‍ സജീവമാകുന്നത് അതും കൂടി അരങ്ങു തകര്‍ക്കുമ്പോഴാണ്. ജോണ്‍ സാര്‍ ലാടെക്കില്‍ മനോഹരമായി ചിത്രങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്തിയാണ് പേജ് സെറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. വളരെ സന്തോഷം തോന്നുന്നു.
ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി ,ചെയ്തുനോക്കിയതിനുശേഷം അഭിപ്രായം പറയാം സാര്‍.
സർ, ഈ പ്രവേഗം ത്വരണം പോലുള്ള കടുകട്ടി വാക്കുകൾക്ക്‌ ബ്രാക്കറ്റിൽ ഇംഗ്ലീഷ്‌ വാക്കു കൂടി കൊടുക്കുന്നത്‌ നന്നായിരിക്കും.
Kalavallbhavan sir
ശരിയാക്കിയിട്ടുണ്ട് . ഇപ്പോള്‍ ഒന്നു നോക്കിയേ
ജോണ്‍ സാര്‍,
10 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ AB യുടെ ചരിവ്=1=BC യുടെ ചരിവ്=AC യുടെ ചരിവ്.അതിനാല്‍ ത്രികോണം ABC ഒരു സമഭുജത്രികോണം ആകുകയില്ലല്ലോ?
വിശകലനജ്യാമിതിയിലെ ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഇവിടെ
കൊടുക്കുന്നു.
കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് പോസ്റ്റ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു
good keep it
good
ജോണ്‍ സാര്‍,
22 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ (3,3),(5,3) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വര x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായിരിക്കുമല്ലോ?ഈ വരയിലെ ബിന്ദുക്കളുടെയെല്ലാം y സൂചകസംഖ്യ 3 ആയിരിക്കണം. (1,7) എന്നത് ഇത്തരത്തിലൊരു ബിന്ദുവല്ല.അപ്പോള്‍ ഈ ബിന്ദുക്കള്‍ ഒരു വരയിലല്ലല്ലോ?
Dear Arjun
(5,-1)ലൂടെ കടന്നുപോകുമെന്ന് തെളിയിക്കുക എന്നാക്കണം
42- ആമത്തെ ചോദ്യത്തില്‍ തന്നിരിക്കുന്നത് ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ മൂലകളല്ലല്ലോ?
ജോണ്‍ സാര്‍,
(49 ആമത്തെ ചോദ്യം)(2, −3), (−5, 1) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വര(7, −1), (0, 3) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരയ്ക്ക് സമാന്തരമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.ഈ വര(4, 5), (0, −2)എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരയ്ക്ക് ലംബമാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കുക. ഇതെങ്ങനെയാണ് ചെയ്യേണ്ടത്.ചരിവുകളുടെ ഗുണനഫലം -1 ആണെന്ന് കാണിച്ചാല്‍ മതിയോ?(പുസ്തകത്തില്‍ വരകള്‍ ലംബമാണെങ്കില്‍ ചരിവുകളുടെ ഗുണനഫലം -1 ആണെന്ന് സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്.ചരിവുകളുടെ ഗുണനഫലം -1 ആണെങ്കില്‍ വരകള്‍ ലംബമാണെന്ന് പറയുവാന്‍ സാധിക്കുമോ?)
Krishnan sir's essay was very good.
Here is a Flash applet, with a video on how to use it, to explore motion with constant acceleration:
http://www.physics101online.com/physics101/mechanics/motion-in-1d/motion-constant-acceleration-activities-2
ജോണ്‍ സാര്‍,
8, 9, 10 ക്ലാസുകളില്‍ ഏതെല്ലാം അദ്ധ്യായങ്ങളാണ് ക്രിസ്മസ് പരീക്ഷയ്ക്ക് വരുന്നത്?
Sreekala said...
ഇവിടെ
ഓരോ ജില്ലയ്ക്കും പ്രത്യേകം പ്രത്യേകം പേപ്പറാണ് സെറ്റ് ആണ് ഢയറ്റ് വഴി തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത് . ആലപ്പുഴ ജില്ലയിലെ കാര്യങ്ങള്‍ ആയിരിക്കാം മുകളിലെ കമന്റ് .
ചോദ്യബാങ്കിന്റെ സൈറ്റ് റെഡിയായതായി അറിഞ്ഞു.
1) ചോദ്യപേപ്പര്‍ കഴിഞ്ഞ തവണത്തെപ്പോലെയാണോ തയ്യാറാക്കേണ്ടത്?
2) ഇത്തവണ അതിന്റെ പാസ്‌വേഡ് ആര് തരും?
3) കഴിഞ്ഞ തവണത്തെ ചോദ്യപേപ്പര്‍ തയ്യാറാക്കിയതിന്റെ പൈസ എന്നു കിട്ടും?
4) അഥവാ ചോദ്യപേപ്പര്‍ സര്‍ക്കാരില്‍ നിന്നാണോ ലഭിക്കുക?
5) പരീക്ഷാ ഫീസ് പിരിക്കേണ്ടതുണ്ടോ?
6) ഏതെല്ലാം അധ്യായങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരിക്കും പരീക്ഷ നടക്കുക?
7) സ്കീം ഓഫ് വര്‍ക്കില്‍ ഡിസംബര്‍ വരെ ഒരേ ഒരു പരീക്ഷയേ ഉള്ളൂ. പക്ഷെ ഡിസംബറില്‍ രണ്ടാമത്തെ പരീക്ഷയാണല്ലോ നടക്കുന്നത്. അപ്പോള്‍ ഡിസംബറിലെ പാഠഭാഗങ്ങള്‍ ജാനുവരിയിലേക്ക് മാറ്റേണ്ടി വരും. പുതുക്കിയ സ്കീം ഓഫ് വര്‍ക്ക് പ്രസിദ്ധീകരിക്കേണ്ടതല്ലേ?
ഇതിനെല്ലാമുള്ള മറുപടിയുമായി ഏതെങ്കിലും സര്‍ക്കുലറോ അറിയിപ്പോ ഇറങ്ങിയിട്ടുണ്ടോ? എന്താണ് നമ്മുടെ വിദ്യാഭ്യാസരംഗത്ത് നടക്കുന്നത്? ഉത്തരവാദിത്തപ്പെട്ടവര്‍ ആരെങ്കിലുമുണ്ടോ?
@ ഡ്രോയിംഗ് മാഷ്
എല്ലാം മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ വരും. അത് പുറത്തു വിടുന്നതിനു തൊട്ടു പിന്നാലെ...
സ്ഥിരമായി മാത്സ് ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശിക്കുക.
"പുതുക്കിയ സ്കീം ഓഫ് വര്‍ക്ക് പ്രസിദ്ധീകരിക്കേണ്ടതല്ലേ?"
ഉം..ഇത് കേട്ടാല്‍ തോന്നും പുതുക്കാത്ത സ്കീം ഓഫ് വര്‍ക്ക് പണ്ടേ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന്..ചില സംഘടനകളുടേതായിട്ടല്ലാതെ, വകുപ്പിന്റെ സ്കീം ഇതുവരെ കണ്ടില്ല.
geetha teacher
c the link
http://www.kpsha.org/downloads
8th &9th പഴയതാണെങ്കിലും 10th ഈ വര്‍ഷത്തേതല്ലേ
മുരളിമാഷേ,
KPSHA എന്ന സംഘടനയുടെ സ്കീം എങ്ങിനെയാണ് പൊതുവിദ്യാഭ്യാസവകുപ്പിന്റേതാകുന്നത്?
പൊതുവിദ്യാഭ്യാസവകുപ്പിന്റെ site ലും ഇതുണ്ടായിരുന്നു
"പൊതുവിദ്യാഭ്യാസവകുപ്പിന്റെ site ലും ഇതുണ്ടായിരുന്നു"
ഇല്ല സാര്‍. ഉറപ്പായിട്ടും ഇല്ല!
സര്‍ക്കാര്‍ സ്ക്കീം പ്രസിദ്ധീകരിക്കാറില്ല. അതൊക്കെ കാലാകാലങ്ങളായി സംഘടനകള്‍ തന്നെയാണ് ചെയ്യാറ്.
പൊതുവിദ്യാഭ്യാസവകുപ്പിന്റെ siteല്‍ നിന്നും ഞാന്‍ download ചെയ്തിട്ടുണ്ട്
മാത്ബ്ലൊഗിൽ കണക്കുകളുടെ സംശയം എഴുതിയാൽ മറുപടി കിട്ടുമൊ
മാത്ബ്ലൊഗിൽ കണക്കുകളുടെ സംശയം എഴുതിയാൽ മറുപടി കിട്ടുമൊ
5/2 root 5-1 how can we rationalize this?
ജോര്‍ജ് സാറെ
അതാണ് മാത്സ് ബ്ലോഗിന്റെ അവതാരലക്ഷ്യം. കൃഷ്ണന്‍ സാറിനെപ്പോലുള്ളവര്‍ വളരെ സന്തോഷത്തോടെ സ്വീകരിക്കും . ബാക്കിയുള്ളതെല്ലാം സ്ക്കുളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചെറിയ കാര്യങ്ങള്‍ മാത്രമാണ് . തികച്ചും സീസണലായ കാര്യങ്ങള്‍ . സാറില്‍ നിന്നും ചര്‍ച്ചയ്ക്കുള്ള തുടക്കം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു
ok sir
i didn't expect such a fast replay
thank u
ചേദത്തെ Rationalize ചെയ്യുന്ന കാര്യമാണോ പറയുന്നത് . എങ്കില്‍
$\frac{5}{2 \sqrt{5}-1}$=$\frac{5(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}$
=$\frac{10 \sqrt{5}+1}{19}$
നന്ദി ഉത്തരം 10+√5/19 ആണ് വിശദീകരണം മനസിലായില്ല ഞ്ഞാൻ കണ്ക്ക് മാഷ് അല്ല
ജോര്‍ജ് സാര്‍
അഭിന്നകങ്ങള്‍ എന്ന പാഠഭാഗത്തുനിന്നാണ് ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ പരീക്ഷയ്ക്ക് ചോദിക്കാറുള്ളത് . ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ അങിന്നകങ്ങള്‍ എന്ന പാഠം വായിക്കുക. അപ്പോള്‍ സാര്‍ തന്നത് ഒരു അഭിന്നകമാണെന്ന് മനസിലാകും. അതിന്റെ ചേദം $2 \sqrt{5} -1$ എന്ന അഭിന്നകത്തെ മാറ്റംവരുത്തി , തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വിലക്ക് മാറ്റം വരാത്ത വിധം എഴുതണം . കിട്ടുന്നതിന്റെ ചേദം ഭിന്നകമാകുകയും വേണം . കുട്ടി മുന്‍ക്ലാസുകള്ില്‍ പഠിച്ചിട്ടുള്ള ചില ബീജഗണിത ആശയഹ്ങളും , ലഘൂകരണരീതികളുമൊക്കെ ഉപയോഗിച്ച് മുന്നേറുമ്പോള്‍ മേല്‍ കാണിച്ച ഉത്തരം കിട്ടും.
To Krishnan Sir,
I would like to express my thanks to you for providing some thought provoking questions on every topic from class x math. sir, this query is regarding your questions on coordinates. In question no.12, asked to prove that for any t, the point (2t+1,3t+2)will lie on line passing through (2,1) and (5,3). Sir,the point should be in the form (3t+2,2t+1).
muralichathoth-ghs periya
muralichathoth : "for any t, the point (2t+1,3t+2)will lie on line passing through (2,1) and (5,3). Sir,the point should be in the form (3t+2,2t+1)"
My mistake. Thank you for pointing this out
Post a Comment