Higher Secondray : Trigonometry
>> Monday, October 6, 2014
ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ത്രികോണമിതി ശാസ്ത്രപഠനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനശിലയാണ്. എല്ലാ ആശയങ്ങളും മനസിലാക്കി പഠിക്കണമെന്ന് നിര്‍ബന്ധമുള്ള കുട്ടികള്‍ക്ക് ഒത്തിരി സമയമെടുത്ത് പഠിക്കേണ്ട പാഠം തന്നെയാണിത്. സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ കാണാതെ പഠിച്ച് അതുപയോഗിച്ച് കണക്കുചെയ്യുന്ന രീതി തീര്‍ച്ചയായും മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സൂത്രവാക്യം ഓര്‍മ്മവന്നില്ലെങ്കില്‍ അത് പെട്ടന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയണമെങ്കില്‍ അതിന്റെ സൈദ്ധാന്തികതലം മനസിലാക്കിയിരിക്കണം. $\sin(A+B)=\sin A.\cos B+\cos A.\sin B$ എന്ന് അടിസ്ഥാനപാഠങ്ങളുപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കുന്നതാണ് പോസ്റ്റ്. അതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായി ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ത്രികോണമിതിയുടെ നോട്ട്സ് ഡൗണ്‍ലോഡായി ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട്. പാഠഭാഗങ്ങളുടെ വളര്‍ച്ചയും തുടര്‍ച്ചയും പോസ്റ്റില്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നു.
ഒരു ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥിയ്ക്ക് മനസിലാക്കാന്‍ സാധിക്കുന്ന തെളിവാണ് ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്. നമ്മുടെ ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ക്ലാസുകളില്‍ നല്‍കുന്ന തുര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയ വിഷയങ്ങള്‍ ഹൈസ്ക്കൂളുകളിലെ രീതികളില്‍നിന്നും വിഭിന്നമാണ് . തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം അതിന്റെ ശരിയായ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അവിടെ നടക്കുന്നുണ്ടോ എന്നുതന്നെ സംശയം . മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തെളിവ് ഒരു നല്ല അസൈന്‍മന്റൊയി നല്‍കാവുന്നതാണ് . എന്നാല്‍ ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ നല്‍കുന്ന ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ക്ക് വ്യക്തമായി വിഭാവനചെയ്യുന്ന ലക്ഷ്യങ്ങള്‍ വേണം .
ഈ പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ നിന്നും ആരംഭിച്ച് പാഠത്തിന്റെ എല്ലാമേഖലയിലേയ്ക്കും ചിന്തയെ വിന്യസിപ്പിക്കുന്നതായിരിക്കണം അസൈന്‍മെന്റ് .സത്യത്തില്‍ ഈ യൂണിറ്റില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചുള്ള എല്ലാ സമീകരണങ്ങളും $\sin (A-B) = \sin A. \cos B +\cos A.\sin B $ , $ \cos(A-B) =\cos A\cos B+\sin A \sin B$ എന്നിവയില്‍നിന്നും രൂപീകരിക്കാം . താഴെ കൊടുത്തുരിരിക്കുന്ന ചിന്തകള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക
Notes of Trigonometry
- step 1: $OX, OY,OZ$എന്നീ രശ്മികള്‍ $\angle XOZ, \angle YOZ, \angle XOY$എന്നിവ രൂപീകരിക്കുന്നു.$\angle XOZ=A, \angle YOZ=B$ ആയാല്‍ $\angle XOY= A-B$ ആയിരിക്കും.
- step 2: $OY$ എന്ന രശ്മിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവായി $P$ എടുക്കുക. $P$യില്‍നിന്നും $ OZ$ ലേയ്ക്ക് $PQ$ എന്ന ലംബവും , $P$ യില്‍നിന്നും $ OX$ ലേയ്ക്ക് $ PR$ എന്ന ലംബവും , $Q$ എന്ന ബിന്ദുവില്‍നിന്നും $OX$ ലേയ്ക്ക് $QS$ എന്ന ലംബവും , $P$ യില്‍നിന്നും $ QS$ ലേയ്ക്ക് $PT$ എന്ന ലംബവും വരക്കുക
- step 3: ഇപ്പോള്‍ $ \triangle ORP, \triangle OSQ, \triangle OQP, \triangle PQT$ എന്നീ മട്ടത്രികോണങ്ങള്‍ കാണാമല്ലോ? ഇതില്‍ $\angle PQT = A$ തന്നെയാണെന്ന് വളരെ എളുപ്പത്തില്‍ കണാം.
- step 4: $\sin (A-B)= \frac{PR}{OP}$ആണല്ലോ. $\sin (A-B)= \frac{PR}{OP} = \frac{ST}{OP} =\frac{QS-QT}{OP} $ എന്ന് എഴുതാം . ശരിയല്ലേ?
- step 5: $\sin (A-B)=\frac{QS}{OP}-\frac{QT}{OP}$ എന്നെഴുതാം.
- step 6: $\sin (A-B) =\frac{QS}{OQ}.\frac{OQ}{OP}-\frac{QT}{PQ}.\frac{PQ}{OP}$ എന്നെഴുതാം. ഇവിടെ അതാതുവശങ്ങളുള്ള മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ കര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു .
- step 7:$\sin(A-B)= \sin A. \cos B - \cos A. \sin B$
- step 8: $\cos (A-B) = \cos A.\cos B+\sin A.\sin B$ എന്ന് ഈ ചിത്രത്തില്‍നിന്നുതന്നെ തെളിയിക്കുക
ഒരു ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ത്ഥിയ്ക്ക് മനസിലാക്കാന്‍ സാധിക്കുന്ന തെളിവാണ് ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്. നമ്മുടെ ഹയര്‍സെക്കന്റെറി ക്ലാസുകളില്‍ നല്‍കുന്ന തുര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയ വിഷയങ്ങള്‍ ഹൈസ്ക്കൂളുകളിലെ രീതികളില്‍നിന്നും വിഭിന്നമാണ് . തുടര്‍മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം അതിന്റെ ശരിയായ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അവിടെ നടക്കുന്നുണ്ടോ എന്നുതന്നെ സംശയം . മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തെളിവ് ഒരു നല്ല അസൈന്‍മന്റൊയി നല്‍കാവുന്നതാണ് . എന്നാല്‍ ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ നല്‍കുന്ന ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ക്ക് വ്യക്തമായി വിഭാവനചെയ്യുന്ന ലക്ഷ്യങ്ങള്‍ വേണം .
ഈ പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ നിന്നും ആരംഭിച്ച് പാഠത്തിന്റെ എല്ലാമേഖലയിലേയ്ക്കും ചിന്തയെ വിന്യസിപ്പിക്കുന്നതായിരിക്കണം അസൈന്‍മെന്റ് .സത്യത്തില്‍ ഈ യൂണിറ്റില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചുള്ള എല്ലാ സമീകരണങ്ങളും $\sin (A-B) = \sin A. \cos B +\cos A.\sin B $ , $ \cos(A-B) =\cos A\cos B+\sin A \sin B$ എന്നിവയില്‍നിന്നും രൂപീകരിക്കാം . താഴെ കൊടുത്തുരിരിക്കുന്ന ചിന്തകള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക
- $\sin(-A)=-\sin A$
$\sin (-A) = \sin (0-A) $ എന്നെടുത്ത് വിപുലീകരിച്ചാല്‍ ഈ കാര്യം മനസിലാകും. - $\cos (-A) = \cos A$ ആണ് . $\cos(-A)=\cos (0-A) $ എന്നെടുത്ത് വിപൂലീകരിച്ചാല്‍ ഈ കാര്യം മനസിലാകും
- കുട്ടികള്‍ക്ക് സാധാരണ സംഭവിക്കാറുള്ള ഒരു തെറ്റ് അതിന്റെ എതിര്‍വ്യാഖ്യാനത്തിലാണ് . $ -\sin A= \sin (-A) $ എന്ന് എഴുതാം. എന്നാല്‍ $-\cos A $ എന്നതിനെ $\cos(-A)$ എന്നെഴുതാന്‍ പാടില്ല. അപ്പോള്‍ ചെയ്യേണ്ടത് $ -\cos A=\cos (\pi-A) $ എന്നതാണ് .
ഉദാഹരണമായി $\cos A= \frac{-1}{2} $ ആയാല്‍ $A$ ന്റെ ഒരു വില കാണുക . $\cos A =-\cos 60 = \cos (180-60) =\cos 120$ .അതായത് $A=120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ radian
Notes of Trigonometry
24 comments:
ഹയര്‍സെക്കന്ററി പാഠഭാഗങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള ട്രിഗണോമെട്രിയാണ് ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നത്. ഇതില്‍ നിന്നുള്ള അധിക ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടി ഇതോടൊപ്പം അറ്റാച്ച് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.
നന്ദി ജോണ്‍സാര്‍, നന്ദി മാത്‍സ് ബ്ലോഗ്!
മകള്‍ പ്ലസ് വണ്ണാണ്.
റോക്കറ്റ് വേഗതയിലാണ് അവളുടെ മാത്‍സ് ക്ലാസ് നീങ്ങുന്നത്. ഏഴാമത്തെ പാഠമായ പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനും കോമ്പിനേഷനും കഴിയാറായി!!
ആകെ ഇതുവരെ പത്തുമുപ്പത് ക്ലാസ് ലഭിച്ചെങ്കിലായി.
മലയാളം മീഡിയത്തില്‍നിന്നും വന്ന അവള്‍ക്ക് സാഹചര്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടുവരുമ്പോഴേക്കും..
എന്തിനാണാവോ ഈ പാച്ചില്‍?
റിവിഷനുകള്‍ വേഗം തുടങ്ങാനാണത്രെ!!!
ഇത്തരുണത്തില്‍ മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന്റെ സഹായങ്ങളാണ് പ്രതീക്ഷ.
ദൈവം അനുഗ്രഹിക്കും മാഷേ..
There is something wrong with the codes, i think. Maths processing errors.
Please rectify
if maths blog continue this way tuition centres and even entrance coaching centres will have to be closed down
നന്ദി സാര്‍
കൂടുതല്‍ കാപ്സ്യൂള്‍സ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു
കുട്ടിമാഷേ
മോളോട് വളരെ സാവധാനത്തില്‍ പഠിക്കാന്‍ പറയുക
Prdeeps' New Course in Mathematics എന്ന പുസ്തകം ഒരെണ്ണം വാങ്ങുക . അതില്‍ കുട്ടിക്ക് മനസിലാകുവിധം കാര്യങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട് . NCERT ചോദ്യങ്ങള്‍ ളള്‍പ്പെടട എല്ലാം ചെയ്തിട്ടുണ്ട് .
ഹയര്‍ സെക്കന്ററി പാഠഭാഗങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള ചര്‍ച്ചകള്‍ തുടങ്ങിവച്ചത് വളരെ നന്നായി
സ്കൂൂളുകളില്‍ ത്രികോണമിതി ആശയതലത്തില്‍ നിന്നുകൊണ്ട് ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് സംശയമാണ്. ത്രികോണത്തില്‍ നിന്ന് വൃത്തത്തില്‍ കയറിയതെന്തിനെന്നും, ഡിഗ്രിക്കു പകരം റേഡിയന്‍ എന്തിനെന്നും പറയുന്നുണ്ടോ? പകരം കുറച്ചു സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കസര്‍ത്തു മാത്രമായി മാറുകയല്ലെ പലപ്പോഴും?
ത്രികോണമിതിയുടെ സൗന്ദര്യം ചോര്‍ന്നു പോകാതെയുള്ള ഒരു ചര്‍ച്ച മാത്‍സ് ബ്ലോഗില്‍ നിന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു
ഇവിടെ ഒരു ചർച്ചയും പ്രതീക്ഷിക്കണ്ട രാമാനുജം സർ.ലീവ് സറണ്ടർ ഇൻകം ടാക്സ് ആനുകൂല്യങ്ങൾ അങ്ങിനെ എന്തേലും ആണ് എങ്കിൽ ചർച്ച ഗംഭീരം ആകും.
Plus One English Notes:
Chapter 1: His First Flight by Liam O' Flaherty
Chapter 4: If - Poem by Rudyard Kipling
Sir Thank you
Please include notes of other subjects also
sin(o-A) is in the fourth quadrant and in the 4 th quadrant sin is negative and o is an even multiple of 9o.so sin(-A)=sin(o-A)=-sinA no need to expand sin(o-A).Similarly cos(-A)=cosA since in the 4th quadrant cos is positive
Sheela M Wellesly,Govt HSS Mangad
Trignometry basic ariyathavar ee video onnu kanuka.
https://www.youtube.com/watch?v=U_kd4bUj9xE&list=PLpp9jUXDKOfHEZW0cTPdpZca0lxiPlLzs&index=1
sir, can you add answres of those extra questions??? plssss!!!!!!!!
Thank you sir..... These uploads are the great help for us students.... :)
TRUE OR FALSE
1=√ 1
=√−1*-1
=√-1*√-1
=i*i
=i2
=-1
It is false
It is about a question given in the trigonometry note
Consider the Question:
Prove that √(2+√(2+2cos4θ)) =2cosθ.
We can prove that this question is wrong.
Put θ= π, √(2+√(2+2cos4θ )) =√(2+√(2+2cos4π)) =√(2+√(2+2(1))) =√(2+√(2+2))
=√(2+2) =√4=2 .
2cosθ=2cosπ=2(-1)=-2.We get 2= -2.How is it possible….‼‼‼‼!
If you change the question as √(2+√(2+2cos4θ )) =2|cosθ| ,it is not enough to prove it.
Put θ= π/2,√(2+√(2+2cos4θ )) =√(2+√(2+2cos2π)) =√(2+√(2+2(1))) =√(2+√((2+2))
=√(2+2) =√4=2 .
2|cosθ|=2|cos π/2|=2(O)=O.We get 2= O.Now what happened….‼‼‼‼!
Sudheesh sir,
Thank you for pointing out the error.
√(2+√(2+2cos4θ))=2cosθ for θ= 2nπ± α ,where 0≤α≤π/4 , n∈Z
= - 2cosθ for θ=2nπ ±α,where
3 π/4≤α≤π
= 2sinθ for θ=2nπ+α,where π/4<α<3π/4
= -2sinθ for θ=2nπ+α ,where5π/4≤α≤7π/4
OR
√(2+√(2+2cos4θ )) = 2|cosθ| for θ=nπ ± α ,Where 0≤ α ≤ π/4 , n∈Z
= 2 |sinθ| for θ= nπ ± α , Where π/4 ≤α≤ π/2 , n∈Z
At last You got it.
enthanu sir puthiya oru second terminal examination answer key space maths blogil kanunnilla enthanu kranam
Post a Comment