ഘനരൂപങ്ങള് - ചോദ്യപേപ്പര്
>> Friday, October 14, 2011
ലേടെക്കിന്റെ വിശാലമായ ക്യാന്വാസില് പത്താംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം കൃഷ്ണന്സാര് തന്റെ ലാപ് ടോപ്പില് ചെയ്തിരുന്നത് ഞാന് കണ്ടിട്ടുണ്ട് . അതില് എന്നെ ഏറ്റവും കൂടുതല് ആകര്ഷിച്ചത് ഘനരൂപങ്ങളാണ്. ജീവന് തുടിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളായിരുന്നു അവ. സ്തൂപികയുടെ ഉള്ളിലേയ്ക്ക് നിഴലും വെളിച്ചവും സമ്മേളിച്ചുകൊണ്ട് ത്രിമാനചിത്രങ്ങള് രൂപപ്പെട്ടിരിക്കുന്നകാഴ്ച മനോഹരമാണ്. ലേടെക്കുമായി ഇനിയും ഒത്തിരി ദൂരം യാത്രയുണ്ട്. ഘനരൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് പോസ്റ്റെഴുതവേ സാന്ദര്ഭീകമായി പറഞ്ഞതാണ് ഇത്രയും. പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ 116-ം മത്തെ പുറം വായിക്കുന്നു. ചതുരപ്പലകകളടുക്കി സമചതുരസ്തൂപികയുടെ ഏകദേശചിത്രം ഉണ്ടാക്കിയതുപോലെ വട്ടപ്പലകകളടുക്കി വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ഏകദേശരൂപങ്ങള് ചമയ്ക്കാം. തൊട്ടുപുറകിലെ പേജുകളില് ഇപ്രകാരം നിര്മ്മിച്ച സമചതുരസ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം കാണുന്ന പ്രവര്ത്തനം അനുബന്ധമായുണ്ട്. ഈ പ്രവര്ത്തനം വൃത്തസ്തൂപികയില് ഒന്നു പ്രയോഗിച്ചുനോക്കാം.
വൃത്താകൃതിയില് ധാരാളം കാഡ്ബോര്ഡ് കഷങ്ങള് മുറിച്ചെടുക്കുന്നു. അടുത്തടുത്തുള്ള രണ്ട് തകിടുകളുടെ ആരവ്യത്യാസം പരമാവധി കുറവായിരിക്കണം. ഏറ്റവും ചെറിയ വട്ടം ഏറ്റവും മുകളില് വരട്ടെ...
$\mathbf{h}$ ഉയരവും $\mathbf{r}$ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തചതുരസ്തൂപിക കാണുക.ഇതിനെ മേല്പറഞ്ഞപോലെ പരമാവധി കനം കുറച്ച് തകിടുകളാക്കുന്നു. എല്ലാതകിടിനും ഒരേ കനമാണെങ്കില് , ആകെ $\mathbf{n}$ തകിടുകളുണ്ടെങ്കില് ഏറ്റവും മുകളിലെ തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{n}}$ആണെന്ന് ഉറപ്പാണല്ലോ?
ഏറ്റവും മുകളിലെ തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{n}}$ , അതിനു താഴെയുള്ള തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{2r}}{\mathbf{n}}$, ആതിനുതാഴെയുള്ള തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{3r}}{\mathbf{n}}$ എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. എല്ലാതകിടിന്റെയും ഉയരം $\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{n}}$ആകുന്നു.
ഏറ്റവും മുകളിലുള്ള തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $\pi \times (\frac{r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
മുകളില് നിന്നും രണ്ടാമത്തെ തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $\pi \times (\frac{2r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
മുകളില് നിന്നും മൂന്നാമത്തെ തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $ \pi \times (\frac{3r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
അവസാന തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $ \pi \times (\frac{nr}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
ഇനി ഈ വ്യാപ്തങ്ങളൊക്കെ കൂട്ടി നോക്കാം. അപ്പോള് വൃത്തസ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം കിട്ടുമല്ലോ.
വ്യാപ്തം = $\pi\times \frac{ r^2}{6}\times h (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$
വൃത്തത്തകിടുകളുടെ എണ്ണം പരമാവധി കൂട്ടുക. അതായത് $n$ വില അനന്തമാക്കുകയെന്നൊക്കെ പറയാം .ഇപ്പോള് എന്തു സംഭവിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കാമല്ലോ. $\frac{1}{n}$ എന്നതും $\frac{2}{n}$എന്നതും പൂജ്യത്തോടടുക്കുന്നു. ആകൃതി വൃത്തസ്തൂപികയോടടുക്കുമല്ലോ. അപ്പോള് വൃത്തത്തകിടുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാകുമ്പോഴാണ് ആകൃതി വൃത്തസ്തൂപികയാകുന്നത്. വ്യാപ്തം = $ \frac{1}{3} \pi r^2 h$ ആകുന്നു
സമാന്തരശ്രേണിയില് സൈഡ് ബോക്സില് ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്സംഖ്യകളുടെ വര്ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$എന്നുതെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ ഉപയോഗം ഒരു വൃത്തസ്തൂപികയുടെയും സമചതുരസ്തൂപികയുടെയും വ്യാപ്തം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്താനാണ്. മറ്റൊരു ഉപയോഗം ഓര്ക്കുന്നു..
ചെസ്സ് ബോഡില് എത്ര സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും?
ക്വിസ്സ് മല്സരങ്ങളിലെ ഒരു സാധാരണചോദ്യമാണിത് . തിരശ്ചീനമായി എട്ട് $1 \times 1$ സമചതുരങ്ങളുണ്ട് . എതുപോലെ ലംബമായും 8 എണ്ണം ഉണ്ടാകും .ആകെ ഇത്തരം $ 8^2$
തിരശ്ചീനമായി ഏഴ് $2 \times 2 $ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി ഏഴ് $ 2 \times 2 $ സമചതുരങ്ങളും ഉണ്ടാകും .ആകെ $7^2$ എണ്ണം ഉണ്ടാകും
തിരശ്ചീനമായി ആറ് $3 \times 3 $ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി ആറ് $ 3 \times 3$ സമചതുരങ്ങളും ഉണ്ടാകും . എണ്ണം $6^2$
ഇതുപോലെ തുടര്ന്നാല് ഒരു $ 8 \times 8$ സമചതുരം ഉണ്ട് . അതാണ് ബോഡ് എണ്ണം $1^2$
ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം = $\frac{8(8+1)(2 \times 8 +1)}{6}$ = 204
ഘനരൂപങ്ങളില് നിന്നുള്ള ചോദ്യങ്ങള്ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
35 comments:
ജോണ് സാര്,
പോസ്റ്റില് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അറിവ് എന്നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം പുതിയൊരറിവാണ്. ഇന്നാണ് ത്രികോണമിതി കഴിഞ്ഞത്. ഘനരൂപങ്ങള് ആരംഭിക്കുമ്പോള് എനിക്ക് ഏറെ സഹായകമാകുന്ന ഒരു വേറിട്ട ചിന്തയാണ് ജോണ് സാര് മുന്നോട്ടു വെച്ചിരിക്കുന്നത്.
എഴുപത് ചോദ്യങ്ങളടങ്ങിയ ചോദ്യപേപ്പറിന് ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകരുടെ പേരില് നന്ദി രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.
ഘനരൂപങ്ങള് റിവിഷന് സാറിന്റെ ചോദ്യങ്ങള് സഹായകമാണ്. നന്ദി ജോണ്സാര്
ഗണിതപോസ്റ്റ് ഇടുന്നില്ല എന്നു പറഞ്ഞിരുന്നവരൊക്കെ എവിടെപ്പോയി ?
15 ചോദ്യങ്ങള് ചെയ്തുനോക്കി. 4 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില് 10 cm എന്നത് പാദവക്കല്ലേ? 6 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില് അവസാനത്തെ ഭാഗം പാര്ശ്വവക്ക് എന്നുള്ളത് പാദവക്ക് എന്നാണോ?
അര്ജുന്
ബാക്കിയുള്ളതും കൂടി ചെയ്യുക. എന്നിട്ട് തിരുത്തി അപ് ലോഡ് ചെയ്യാം. പിന്നെ , ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടെത്താന് പോസ്റ്റില് പറഞ്ഞ രീതി പറ്റുമോയെന്ന് നോക്കുക
thanks for the questions in solids the maths teachers expect more questions from the team related to the other chapters also
thanks for the questions
പുതിയ പോസ്റ്റിന് നന്ദി. ചോദ്യങ്ങളിലൂടെ കടന്ന് പോവുന്നു
ആദ്യത്തെ n എണ്ണല് സംഖ്യകളുടെ വറ്ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയാണ്
(n(n+1)(2n+1))/2
ഘനരൂപങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട Geogebra പ്രവര്ത്തനങ്ങള് തയ്യാറായിട്ടുണ്ടെങ്കില് എവിടെ കിട്ടും സര് ?
aadhya
ജോണ് സാര്,
ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങള് കണ്ടുപിടിച്ചു. പോസ്റ്റിന്റെ ആദ്യഭാഗം പിന്നീട് നോക്കാം.
25 ആമത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം കിട്ടിയില്ല.
36 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില് ആരവും ചെരിവുയരവും തമ്മിലുള്ള "അംശബന്ധം" എന്നാക്കണേ.
38, 39,42,43,44 എന്നീ നമ്പറുകളില് ചോദ്യമില്ല.
57,58 നമ്പറുകള് രണ്ട് തവണ ആവര്ത്തിച്ചിട്ടുമുണ്ട്. എന്നാല് ചോദ്യങ്ങള് വ്യത്യസ്തങ്ങളാണ്.
50 ആമത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ നമ്പറിനടുത്തുള്ള "*"ചിഹ്നം ആ ചോദ്യം ചെയ്യാനുള്ള വിഷമത്തെയാണോ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്?
65 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില് അര്ധവൃത്തത്തിനും ഉന്നതി എന്നു പ്രയോഗിക്കുന്നത് ശരിയാണോ സാര്?
70 ആമത്തെ ചോദ്യത്തില് ഒരു അളവ് തന്നെ രണ്ട് തവണ പറയുന്നുണ്ടല്ലോ?
എന്റെ സബൂര്ണ്ണ ഒന്നു കഴിയട്ടെ അര്ജുന് . തിരുത്തിയിടാം . തിരക്കുപിടിച്ച് എഴുതിയതതാണ്. വളരെ പരിശ്രമശാലിയാണ് അര്ജുന് . എന്റെ അഭിനന്ദനങ്ങള്
രസതന്ത്രപുസ്തകത്തില്
v $\propto \frac{1}{p}$,v$\propto T$ ആയതിനാല് v $\propto \frac{1}{p} \times T$ എന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.
ഇക്കാര്യം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം?
@ മാത്സ് ബ്ലോഗ് ടീം
സമാന്തരശ്രേണിയില് സൈഡ് ബോക്സില് ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്സംഖ്യകളുടെ തുക
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
എന്നുതെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്
ഇത് ശരിയല്ല.ആദ്യത്തെ എണ്ണല് സംഖ്യകളുടെ വര്ഗങ്ങളുടെ തുക ആണ് ഇത്.ഈ തെറ്റ് മുബാറക് സര് ചൂണ്ടി കാണിക്കുകയും ചെയ്തു . എന്നിട്ടും എന്താ തിരുത്താന് ഒരു താമസം
ഹിത പാലക്കാട്
"സമാന്തരശ്രേണിയില് സൈഡ് ബോക്സില് ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്സംഖ്യകളുടെ തുക n(n+1)(2n+1)/6എന്നുതെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്"
ജോണ് സാര് ടൈപ്പുചെയ്തപ്പോളുണ്ടായ ഒരു തെറ്റാണത്. വര്ഗങ്ങളുടെ തുക എന്നു തിരുത്തേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. സമ്പൂര്ണ്ണ തലയ്ക്കു പിടിച്ചിരിക്കുന്നതുകൊണ്ട് തിരുത്താന് സമയം കിട്ടിയില്ല എന്നാണ് ഞാന് കരുതുന്നത്.
കണ്ടിരുന്നു. മുബാറക്ക് സാറിന്റെ കമന്റ് എനിക്ക് മനസിലായില്ല. അതില് 2 എന്നാണല്ലോ ഇട്ടിരിക്കുന്നത് . അതാണ് തിരുത്താതിരുന്നത് .
Arjun : "രസതന്ത്രപുസ്തകത്തില് $v\propto\frac{1}{p}$, $v\propto t$ ആയതിനാല്
$v\propto\frac{t}{p}$എന്ന് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.ഇക്കാര്യം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം?"
ഒരു വാതകത്തിന്റെ വ്യാപ്തം, അതിന്റെ താപത്തേയും, മര്ദത്തേയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നതിന്റെ ഗണിതമാണല്ലോ ഇത്. താപം ഒരു നിശ്ചിത നിലയില് നിര്ത്തികൊണ്ട്, മര്ദം മാറ്റിക്കൊണ്ടിരുന്നാല്, വ്യാപ്തം, മര്ദത്തിന്റെ വിപരീതാനുപാതത്തില് മാറും എന്നാണ് ആദ്യം കണ്ടെത്തിയ നിയമം. (Boyle's Law, 1662). ഇതുപോലെ, മര്ദം മാറ്റാതെ താപം മാറ്റിയാല്, വ്യാപ്തം മാറുന്നത് താപം മാറുന്നതിന് ആനുപാതികമായാണ് എന്ന് പിന്നിട് കണ്ടെത്തി. (Charle's Law, 1678).
ഇനി ഈ നിയമങ്ങളുടെ ഗണിതം നോക്കാം. സാധാരണയായി, $y$ എന്ന അളവ്, $x$ എന്ന അളവിന് ആനുപാതികമാണ് എന്നതിന്റെ ബീജഗണിതവാക്യം
\begin{equation*}
y=kx
\end{equation*}
എന്നാണല്ലോ. ഇതില് $k$ മാറുന്നില്ല. വാതകത്തിന്റെ കാര്യത്തില് മൂന്നളവുകളുണ്ട്. ആദ്യത്തെ നിയമമനുസരിച്ച്,
\begin{equation*}
v=k\frac{1}{p}
\end{equation*}
എന്നാണ്. ഇതില് $k$ എന്നത്, ഓരോ നിശ്ചിത താപത്തിനും വ്യത്യസ്ഥമാണ്. മറ്റൊരു രീതിയില് പറഞ്ഞാല്, $k$ എന്നത്, $t$ യുടെ ഒരു കരണം (function) ആണ്. അപ്പോള്, സമവാക്യം ഇങ്ങിനെയാകണം:
\begin{equation*}
v=k(t)\frac{1}{p}
\end{equation*}
ഇതുപോലെ രണ്ടാമത്തെ നിയമത്തിന്റെ സമവാക്യം
\begin{equation*}
v=h(p)t
\end{equation*}
എന്നാകും. ഈ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങളില്നിന്ന്
\begin{equation*}
\frac{k(t)}{t}=h(p)p
\end{equation*}
എന്നു കിട്ടും. ഇതില് ഇടതുവശത്തുള്ളത് $t$ മാത്രം ഉള്ള കരണവും, വലതുവശത്തുള്ളത് $p$ മാത്രമുള്ള കരണവുമായതിനാല്, ഇവ തുല്യമാകണമെങ്കില്, രണ്ടും ($t$ യോ $p$ യോ ഇല്ലാത്ത) വെറും സംഖ്യയാകണം. അത് $c$ എന്നെടുത്താല്,
\begin{equation*}
k(t)=ct\qquad ph(p)=c
\end{equation*}
എന്നു കിട്ടും. ഇത് ആദ്യമെഴുതിയ സമവാക്യത്തില് ഉപയോഗിച്ചാല്
\begin{equation*}
v=c\frac{t}{p}
\end{equation*}
എന്നും കിട്ടും.
@ KRISHNAN SIR
ഇതുപോലുള്ള ചോദ്യങ്ങള് അദ്ധ്യാപകരോട് നേരിട്ടു ചോദിക്കാന് കുട്ടികള് ധൈര്യപ്പെടാറില്ല. ഇന്നലെ എന്നോട് അര്ജുന് ചോദിച്ചതാണിത്. എനിക്കറിഞ്ഞുകൂടായിരുന്നതുകൊണ്ടാണ് ബ്ലോഗില് കൊടുക്കാന് പറഞ്ഞത്. ഉത്തരം തന്നതിന് നൂറായിരം നന്ദി. മറ്റു കുട്ടികള്ക്കും ഈ സൗകര്യങ്ങള് പ്രയോജനപ്പെടുത്താന് കഴിയട്ടെ. അര്ജുന് ഉറങ്ങി. നാളെ അവന് മറുപടി അയയ്ക്കും.
ഒരിക്കല് കൂടി നന്ദി പറഞ്ഞുകൊണ്ട്
അര്ജുന്റെ പിതാവ്.
വിജയകുമാര് സാര്,
കൂടുതല് അര്ജ്ജുന്മാര് ഇതുപോലെയുള്ള സംശയങ്ങള് ബ്ലോഗിലൂടെ പങ്കുവെയ്ക്കുന്നതും കൃഷ്ണന്സാറിനെ പോലുള്ളവര് അവയ്ക്ക് മറുപടി പറയുന്നതും ഒട്ടൊരു ചാരിതാര്ത്ഥ്യത്തോടെയാണ് ബ്ലോഗ് ടീം നോക്കിക്കാണുന്നത്.
ബ്ലോഗിന്റെ ഉദ്ധ്യേശലക്ഷ്യങ്ങള് സഫലമാക്കുന്ന അങ്ങയുടെ മകന് ഞങ്ങളുടേയും അഭിമാനം തന്നെ!
വാക്കുകള്ക്കതീതമായ നന്ദി.
VIJAYAKUMAR M D: "ഇതുപോലുള്ള ചോദ്യങ്ങള് അദ്ധ്യാപകരോട് നേരിട്ടു ചോദിക്കാന് കുട്ടികള് ധൈര്യപ്പെടാറില്ല."
പക്ഷേ, ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള് കുട്ടികള് ചോദിച്ചുതുടങ്ങുമ്പോഴാണ് അധ്യാപകരും ചിന്തിച്ചു തുടങ്ങുന്നത്. നല്ല ശിഷ്യന്മാരാണല്ലോ നല്ല ഗുരുക്കന്മാരെ സൃഷ്ടിക്കുന്നത്.
അര്ജുന് ഉന്നയിച്ച പ്രശ്നം, മറ്റൊരു രീതിയിലും ചിന്തിക്കാമെന്ന് ഇന്നു രാവിലെ തോന്നി.
ഒരു വാതകത്തിന് നിശ്ചിത മര്ദം $p_0$ യിലും, നിശ്ചിത താപം $t_0$ യിലുമുള്ള വ്യാപ്തം $v_0$ ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഏതോ ഒരു മര്ദം $p$ യിലും, താപം $t$ യിലും, വ്യാപ്തം $v$ എന്നും കരുതുക.
$(p_0,t_0,v_0)$ എന്ന അവസ്ഥയില്നിന്ന് $(p,t,v)$ എന്ന അവസ്ഥയിലേയ്ക്കുള്ള മാറ്റം രണ്ടു ഘട്ടങ്ങളായി കാണാം.
താപം $t_0$ ആയിത്തന്നെ നിലനിര്ത്തിക്കോണ്ട്, മര്ദം $p_0$ ല്നിന്ന് $p$ ആക്കുക. വ്യാപ്തം $v'$ ആയി മാറിയെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്, Boyle's Law അനുസരിച്ച്,
\begin{equation*}
pv'=p_0v_0
\end{equation*}
എന്നു കിട്ടും. ഇനി $(p,t_0,v')$ എന്ന ഇപ്പോഴത്തെ അവസ്ഥയില്നിന്ന്, മര്ദം മാറ്റാതെ, താപം
$t_0$ ല്നിന്ന് $t$ ആക്കിയെന്നു കരുതുക. ഇപ്പോള്, മര്ദം $p$ യും താപം $t$ യുമാണ്. അതിനാല്, മുന്പു പറഞ്ഞതനുസരിച്ച്, വ്യാപ്തം $v$ ആകും. Charle's Law അനുസരിച്ച്,
\begin{equation*}
\frac{v}{t}=\frac{v'}{t_0}
\end{equation*}
എന്നു കിട്ടും. ഈ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങളില്നിന്ന് $v'$ ഒഴിവാക്കിയാല്
\begin{equation*}
\frac{pv}{t}=\frac{p_0v_0}{t_0}
\end{equation*}
എന്നു കിട്ടും.
Downloads വളരെ ഉപകാരപ്രദമായി.കഴിഞ്ഞ ദിവസം PF Advance ന് അപേക്ഷിച്ചപ്പോഴാണ് HM ന് 50000 രൂപ വരെ മാത്രമേ sanction ചെയ്യാന് കഴിയൂ എന്ന് clerk പറഞ്ഞത്. Maths Blog നോക്കിയപ്പോഴാണ് 50000 എന്നത് 75000 ആക്കിക്കൊണ്ടുള്ള ഓര്ഡര് കാണാന് കഴിഞ്ഞത്.ഒത്തിരി നന്ദി...........
@ കൃഷ്ണന് സാര്,
കരണത്തേക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ പഠിക്കാനില്ലായിരുന്നതിനാല് ആദ്യത്തെ തെളിവ് നന്നായി മനസ്സിലായില്ല.എന്നാല് രണ്ടാമതു കൊടുത്ത തെളിവ് പൂര്ണ്ണമായും മനസ്സിലായി.
വളരെ നന്ദി
good sir
thakyou for all model questions
plz post model questions from "soochakasamghyakal"
Sir,Please give the details of installing canon 2900 laser printer in ubuntu 11.10 version.
ഘനരൂപങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ചോദ്യങ്ങള്
ഇവിടെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്.
very useful
ഘനരൂപങ്ങളിലെ ചോദ്യങ്ങള് വളരെ നന്നായിരിക്കുന്നു ..മത്സ് ബ്ലോഗിനും ജോണ് സാറിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്
All the questions from SOLIDS are very useful for revision.We expect two or three Model Question papers.
Post a Comment