ദീര്‍ഘവൃത്തം വരക്കാന്‍ ഞങ്ങളുടെ മാര്‍ഗമിതാ.
>> Tuesday, August 16, 2011
കോക്കല്ലൂര്‍ സ്കൂളിലെ 9 താം തരം വിദ്യാര്‍ഥികളായ അഭിരാമും അമോഘും മാത്സ് ബ്ലോഗിനു വേണ്ടി അയച്ചു തന്ന ഒരു പ്രവര്‍ത്തനമാണിത്. ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങള്‍ പാഠത്തിലെ പേജ് നമ്പര്‍ 39 ലുള്ള സൈഡ്ബോക്‍സുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു നടത്തിയ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചിട്ടുള്ളത്. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതില്‍ നിന്നു വ്യത്യസ്തമായി ദീര്‍ഘവൃത്തം വരയ്ക്കുവാന്‍ മറ്റെന്തെങ്കിലും മാര്‍ഗങ്ങളുണ്ടോ എന്നന്വേഷിക്കുകയായിരുന്നു അവര്‍. അവര്‍ സഞ്ചരിച്ച വഴികളിലൂടെ അവരെത്തിച്ചേര്‍ന്ന നിഗമനം നമുക്കായി പങ്കുവെക്കുന്നു.കേരളത്തില്‍ അങ്ങോളമിങ്ങുള്ള അധ്യാപകര്‍ ഈ രീതി വിശകലനം ചെയ്യണമെന്ന ആഗ്രഹത്തോടെയാണ് ഈ കുട്ടികള്‍ നമുക്ക് വേണ്ടി ഈ പ്രവര്‍ത്തനം അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നത്. അവരുടെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്ക്.
ദീര്‍ഘവൃത്തം വരയ്ക്കാന്‍ എന്താ ഒരു മാര്‍ഗം? ഒരു നൂലെടുത്ത് രണ്ട് ആണിയില്‍ ഘടിപ്പിച്ച് എന്ന് പറയാന്‍ വരട്ടെ!! വേറെ എന്തെങ്കിലും മാര്‍ഗമുണ്ടോ? നൂലും കോംപസും ഒക്കെ കയ്യില്‍ പിടിച്ച് യുദ്ധത്തിനു പുറപ്പെട്ട പോലെയുള്ള ദീര്‍ഘവൃത്തം വരയ്ക്കലിന് ഒരു അവസാനം വേണ്ടേ വളരെ എളുപ്പത്തില്‍ വരയ്ക്കാന്‍ എന്താകും മാര്‍ഗം? അങ്ങനെ ആലോചിച്ചപ്പോഴാണ് ദീര്‍ഘചതുരത്തില്‍ നിന്നൊരു ദീര്‍ഘവൃത്തം വരച്ചാലെന്താ എന്ന ആശയം മനസ്സില്‍ വന്നത്. പിന്നെ ആ വഴിയ്ക്കായി ചിന്ത. പിന്നെ ഒട്ടും സമയം കളഞ്ഞില്ല. സ്കെയിലും പെന്‍സിലും എടുത്തു. അങ്ങനെ ഒരു മാര്‍ഗം കിട്ടി. പക്ഷെ ശരിയാണോ എന്നറിയില്ല.!! അത് മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ അദ്ധ്യാപകര്‍ക്കും വിട്ടു. ഞങ്ങള്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തം വരച്ച രീതി താഴെ ചിത്ര സഹിതം നല്‍കിയിരിക്കുന്നു.
ഒരു പെന്‍സിലും കോംപസും സ്കെയിലും കയ്യില്‍ കരുതിക്കോളൂ.
സ്റ്റെപ്പ് 1 : ആദ്യം 10X5 സെമീറ്ററില്‍ ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കാം.
സ്റ്റെപ്പ് 2 : ചതുരത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ ചതുരത്തെ നാലായി ഭാഗിയ്ക്കാം.
സ്റ്റെപ്പ് 3 : C യ്ക്ക്കും Dയ്ക്കൂം ഇടയിലുള്ള ബിന്ദുവിന് S എന്ന് പേരു നല്‍കാം. ഇനി S ല്‍ നിന്നും A യിലേക്കുള്ള അകലത്തില്‍ A മുതല്‍ B വരെ ഒരു ചാപം വരയ്ക്കാം. അതുപോലെ M ല്‍ നിന്നും...
സ്റ്റെപ്പ് 4 : YO യുടേയും OZ ന്റെയും മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ കണ്ടുപിടിയ്ക്കാം. അവിടം കേന്ദ്രമാക്കി C യിലേയ്ക്കുള്ള അകലത്തില്‍ ചാപം വരയ്ക്കൂ.
സ്റ്റെപ്പ് 5 : ദീര്‍ഘവൃത്തം റെഡി.. ഇനി ഫോക്കസ് കാണാം. കേന്ദ്രം O യില്‍ നിന്നും ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ദൂരത്തില്‍, YZ നു ലംബമായ രേഖ ദീര്‍ഘവൃത്തത്തില്‍ കൂട്ടിമുട്ടുന്നിടത്തു നിന്നും YZ നു ലംബമായ രേഖ ദീര്‍ഘവൃത്തത്തില്‍ കൂട്ടിമുട്ടുന്നിടത്തു നിന്നും YZ ലേയ്ക്ക് ചാപം വരയ്ക്കുക. ഇങ്ങനെ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കള്‍ ഫോക്കസ്സുകളായിരിക്കും.
ഇത് ദീര്‍ഘവൃത്തമാണോയെന്നറിയാന്‍ ചില വഴികളിലൂടെ ശ്രമിച്ചു. ഇത് ദീര്‍ഘവൃത്തമാണോയെന്ന് നിങ്ങളും പരിശോധിക്കുകയില്ലേ? അതാകട്ടെ നമ്മുടെ ലക്ഷ്യം.
57 comments:
Very good very good
വളരെ നല‍ലത്
good attempt
ഇനിയും മുന്നോട്ടുപോകുക
നല്ല ഉദ്യമം.
അഭിരാമിനും അമോഘിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍
ഓര്‍മ്മകള്‍ സ്കൂള്‍ കാലഘട്ടത്തിലേക്ക് ഒന്നു മിന്നി മറഞ്ഞു.... പണ്ട് ഈ പ്രവര്‍ത്തനം (പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നല്‍കിയിട്ടുള്ളത്) ഗണിതക്ലബ്ബില്‍ ചെയ്തിട്ടിണ്ട്.
ദീര്‍ഘവൃത്തം അഥവാ എലിപ്സ്.... രണ്ട് ബിന്ദുക്കളില്‍നിന്നുമുള്ള അകലങ്ങളുടെ തുക തുല്യമായ ബിന്ദുക്കളുടെ കൂട്ടായ്മ(ലോക്കസ്)....
കൊള്ളാം, "ദീര്‍ഘചതുരത്തില്‍ നിന്നൊരു ദീര്‍ഘവൃത്തം" മനോഹരമായിട്ടുണ്ട്.... അഭിരാമിനും അമോഘിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍....
Good.
ഈ ബ്ലോഗ് സ്ഥിരമായി വായിക്കുന്നത് കൊണ്ട് ഞാനിപ്പോൾ ഒരു ജ്യോമെട്രി ബോക്സും വാങ്ങിച്ചു. എല്ലാമൊന്ന് പരീക്ഷിച്ചു നോക്കി പഴയ സ്കൂൾ ദിനങ്ങളിലേയ്ക്ക് മടങ്ങാൻ....
ആശംസകൾ....
കുട്ടികളുടെ ചിന്ത നന്ന്. പക്ഷേ, ഇങ്ങിനെ വരയ്ക്കുന്നത് ദീര്‍ഘവൃത്തമല്ല. ഒരു ദീര്‍ഘവൃത്തതിന്റെ ഒരു ഭാഗവും, അതെത്ര ചെറുതായിരുന്നാലും, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്തിനോടും സര്‍വസമമാകില്ല. വ്യത്യാസം ചിലപ്പോള്‍ കണ്ണുകള്‍ക്ക് കാണാവുന്നതിനേക്കാള്‍ സൂക്ഷ്മമായിരിക്കുമെന്നു മാത്രം.
ഇവിടെ ചതുരത്തിന്റെ നാലു മൂലകളില്‍ക്കൂടി അനേകം ദീര്‍ഘവൃത്തങ്ങള്‍ വരയ്ക്കാം. ഒന്നുംതന്നെ ഇവിടെ വരച്ച (വൃത്തചാപങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ച) വക്രത്തിനോട് എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും ചേര്‍ന്നിരിക്കില്ല. ഈ വക്രത്തിന്റെ ഇടതും വലതുമുള്ള അറ്റങ്ങളോട് ചേര്‍ന്നിരിക്കുന്ന ദീര്‍ഘവൃത്തവും, മേലും കീഴുമുള്ള അറ്റങ്ങളോട് ചേര്‍ന്നിരിക്കുന്നതുമായ ദീര്‍ഘവൃത്തങ്ങളുടെ ചിത്രങ്ങള്‍ ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു. അല്പം zoom ചെയ്താല്‍ വ്യത്യാസം വ്യക്തമായി കാണാം.
ഇവിടെ മറ്റൊരു രസമുണ്ട്. പ്രാചീനകാലത്ത് ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഭ്രമണപഥം വൃത്തമാണെന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചിരുന്നു. ഇതനുസരിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ യഥാര്‍ത്ഥ നിരീക്ഷണങ്ങളുമായി ഒത്തുപോകുന്നില്ല എന്നു കണ്ടപ്പോള്‍ പല തിരുത്തലുകളും വേണ്ടിവന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടീല്‍ കെപ്ലര്‍, ഭ്രമണപഥം ദീര്‍ഘവൃത്തമാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കുന്നതുവരെ ഇതു തുടര്‍ന്നു. ഇതിനിടയ്ക്ക്, ഭാരതത്തില്‍ മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞതുപോലെ വൃത്തചാപങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ച വക്രം ശ്രമിച്ചുനോക്കിയതായി, ഇക്കാര്യത്തില്‍ ഗവേഷണം നടത്തുന്ന ഒരു സുഹൃത്ത് പറഞ്ഞുകേട്ടിട്ടുണ്ട്. ചരിത്രം ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു!
good attempt
bindusuresh
very good attempt
ഇനീയൂം മുന്നോട്ട് പോകുക
ജയരാജന്‍. എ
ജി.എച്ച്. എസ്. എസ്. കൊളത്തൂര്‍
കൃഷിണന്‍ സാര്‍ പറഞ്ഞകാര്യം എനിക്കും തോന്നിയിരുന്നു. ഒന്നുകൂടെ ആലോചിട്ട് അഭിപ്രായം എഴുതാമെന്നാ കരുതിയത്. മുന്‍ കമന്റില്‍ എലിപ്സിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകതയെ പറ്റി ഞാന്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നു. അതുമായി ഈ പുതൂയ വരക്ക് ഒരു പൊരുത്തക്കേട് ഉണ്ടെന്ന് തോന്നിയിരുന്നു.
good atempt
good atempt
അഭിരാമിനും അമോഘിനും അഭിനന്ദനങ്ങള്‍!
ഫിസിക്സ് പരിശീലന ചോദ്യപേപ്പറിന് ഈ ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശിക്കൂ..........
physicswindow.blogspot.com
നിങ്ങളുടെ ബുദ്ധിയെ ഞാന്‍ സമ്മതിച്ചിരിക്കുന്നു!
www.cmsputhupparamba.blogspot.com
Good attempt
Babu.K.U
good attempt
go ahead with smiling face
എല്ലാം നല്ല ബുദ്ധി
VERY GOOD
VERY GOOD
nalla oru sramam nadathi
സുഹൃത്തുക്കള്‍ക്ക് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍...
ചിന്തകള്‍ വിപുലീകരീച്ച് പുതിയ ആശയങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചക്ക് കൊണ്ടുവരാന്‍ ശ്രമിക്കൂ...
excellent attempt
very good
എസ്.സി.ഇ.ആര്‍.ടി യുടെ സൈറ്റ് ചത്തു!!ആരെങ്കിലും അല്പം വെള്ളം കൊടുത്തോ, ആവോ..?
എന്തിനാ ഈ അറിയാന്‍ വയ്യാത്ത പണിക്കിറങ്ങുന്നു?
ഐടി സ്കൂളുകാരിത് ഭംഗിയായി ചെയ്തേനെ!!
രണ്ടുദിവസമായി, ചോദ്യപേപ്പറിനായി കഷ്ടപ്പെടുന്നു!!!
I tried your method in Geogebra. I too got a result as what Krishnan sir has said. It shows a small difference with the actual ellipse. Even though I wholeheartedly appreciate the thought of those students
Let your ideas do the talking
even though the result is different from an actual ellipse,GOOD EFFORTS
Congratulations to my friends
By,
Hemang Mohan
7 th A
KVRHS
Shornur
A simple proof for root2 is irrational
If root2 is rational
then
root2=a/b, where a and b has no common factor other than 1 or a and b are prime to each other , b≠1
Squaring both side
2=(a*a) / (b*b)
Multiplying both side by b
2b=a*a/b ----------(A)
Here left side is an integer and right side never be an integer [since a*a and b are also prime to each other]
Hence, statement (A), is false it implies that root2 is irrational
a²+b² =c² എന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആനിമേഷന്‍ നോക്കൂ.
[im]https://lh6.googleusercontent.com/-g-baP2i6Kn8/TlClV4tOZKI/AAAAAAAAA94/pJPBKcFPbws/w251/why-couldnt-i-have-been-shown-this-in-maths-class.gif[/im]
Peruthalmanna UK യുടെ തെളിവ് വായിച്ചു.അടിസ്ഥാന വസ്തുതകള്‍ തെളിയിക്കുന്നത് First Principles തന്നെ ഉപയോഗിക്കുക എന്നത് ഗണിതത്തിനു മാത്രം അവകാശപ്പെടാവുന്ന കാര്യമാണ് . സാര്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നരീതി അത്തരം ഒന്നല്ല. a , b co primes ആണ് . ശരി എന്നതുകൊണ്ട് $\frac{a^2}{b}$എന്നതിനെ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ ആക്കാതിരിക്കുന്നില്ല . a, b എന്നിവയുടെ ഈ സവിശേഷത $a^2$ , b എന്നിവയുടെ ഇത്തരം സ്വഭാവം സ്വയം വെളിവാക്കപ്പെടുന്നില്ല . അത് പ്രത്യേകം തെഴിക്കേണ്ടതുണ്ട് . ഈ തെളിവ് കൂട്ടിവായിച്ചാലെ നിഗമനത്തിന് പൂര്‍ണ്ണത കിട്ടുകയുള്ളൂ, ഇതുകൊണ്ട് മാത്രമാണ് ഇത്തരം തെളിവുകള്‍ സ്വീകാര്യമല്ലാത്തതും
Post a Comment
JOHN P A: "$a$, $b$ എന്നിവയുടെ ഈ സവിശേഷത $a^2$, $b$ എന്നിവയുടെ ഇത്തരം സ്വഭാവം സ്വയം വെളിവാക്കുന്നില്ല . അത് പ്രത്യേകം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട് "
വളരെ ശരി.
"ഇതുകൊണ്ട് മാത്രമാണ് ഇത്തരം തെളിവുകള്‍ സ്വീകാര്യമല്ലാത്തതും"
പൂര്‍ണമല്ലാത്തതും എന്നാക്കിയാല്‍ കൂടൂതല്‍ ശരിയാകും
@Respected krishnan sir,John sir.
Thanks for comments
if a,b are coprime, a^2/b never an integer, proof
@perinthalmannaUK
താങ്കളുടെ വിശദീകരണം ശരിയെങ്കില്‍ ഞാനെഴുതുന്നതിന്റെ പൊരുളെന്ത് ?A simple proof for root4 is irrational
If root4 is rational
then
root4=a/b, where a and b has no common factor other than 1 or a and b are prime to each other , b≠1
Squaring both side
4=(a*a) / (b*b)
Multiplying both side by b
4b=a*a/b ----------(A)
Here left side is an integer and right side never be an integer [since a*a and b are also prime to each other]
Hence, statement (A), is false it implies that root4 is irrational !!!
@chera
If n is an integer in the form
$n=p1^{2n1}* p2^{2n2} *p3^{2n3}*.$-------------- (1)
where p1,p2,p3,------prime numbers and n1,n2,n3,-------positive integers ,
then root n =an integer =a/b ,where b=1
since 4 satisfying (1),so root4=a/b,where b=1
hence your statement (A) is true, no contradiction
Dear Perunthalmanna Uk sir
If gcd(a,b)=1 then gcd(a^2 , b} is also 1 എന്നത് സത്യമാണ് . സംശയമില്ല . അത് തെളിയിക്കാന്‍ സാധിക്കം . സാര്‍ നല്‍കിയ തെളിവ് നന്നായിരിക്കുന്നു. പക്ഷെ ,First priciples ലൂടെ root 2 അഭിന്നകമാണന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ ഇതുമതിയോ ? Analytical Number theory യില്‍ തെളിവ് കണ്ടിട്ടുണ്ട്
തെളിവ് എന്ത്, എപ്പോള്‍ , എങ്ങനെ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഒരുപാട് ആശയക്കുഴപ്പങ്ങള്‍ നിലനില്‍ക്കുന്നു എന്ന് തോന്നുന്നു; 'കുടയില്‍ പേരെഴുതിക്കൊടുക്കും' എന്ന് പറയുന്നതുപോലെ 'എന്തും തെളിയിച്ചു കൊടുക്കും' എന്ന അവസ്ഥ ഇപ്പോഴും നിലനില്‍ക്കുന്നത് നിരാശാജനകം തന്നെ.
ജിയോജിബ്രയില്‍ ഓണ്‍ലൈന്‍ ക്ളാസ് കിട്ടുമോ?
@ John sir, Krishnan sir, perinthalmannaUK sir
If $a$ and $b$ are coprimes then $a^2$ and $b$ are co primes
Let $a$ and $b$ are prime to each other b not equal to 1
Let $a^{2}$ and $b$ are not prime to each other
then
there exist a common factor m such that $a^{2}=mk$ , $b=ml$,
implies
$a=root{mk}$
$b=ml$
This shows that a and b has a common factor root(m)
here a common factor root(m) arises this makes a contradiction to the first statement that a and b are co primes
This Shows that if $a$ and $b$ are prime to each other then $a^2$ and $b$ are also prime to each other
തെറ്റുണ്ടെങ്കില്‍ അറിയിക്കണേ
If $n^{2}$<$k$<$(n+1)^{2}$ then root(k) is irrational
(if k denotes a non square positive integer, there exists no rational number whose square is k)
ie,
$1^{2}$<$2$<$2^{2}$
$1^{2}$<$3$<$2^{2}$
So root(2) and root(3) are irrationals
there exists 2n non square numbers between $n^{2}$ and $(n+1)^{2}$
root of these 2n numbers are irrationals
Example:
Is root 987654 irrational
$993^{2}$<$987654$<$994^{2}$ therefore root 987654 is irrational
അര്‍ജുന്‍ തന്ന മുകളിലെ കമന്റ് സ്ക്കുള്‍ സാഹചര്യത്തില്‍ വളരെ നല്ലതാണ്. ഒരു പ്രോജക്ടിനുള്ള വിഭവമുണ്ട് അതില്‍ . NCERT യുടെ എട്ടാംക്ലാസ് പുസ്തകത്തില്‍ ഇത് നന്നായി പറയുന്നുണ്ട് . ഒപ്പം കുറേ പാറ്റേണുകളും.
JOHN P A : "First priciples ലൂടെ root 2 അഭിന്നകമാണന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ ഇതുമതിയോ ?"
ആദ്യം, നേരത്തെ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യം ആവർത്തിക്കട്ടെ: നാം തെളിയിക്കുന്നത്, "$\sqrt{2}$ അഭിന്നകമാണ് " എന്നല്ല, "ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടേയും വർഗം $2$ അല്ല" എന്നാണ്; എന്നാൽ വർഗം $2$ ആയ ഒരു നീളം ഉണ്ട്. ഈ നീളത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ, $\sqrt{2}$ എന്നൊരു അഭിന്നകസംഖ്യ നിർമിക്കുന്നു. അതായത്, വെറുതെ $\sqrt{2}$ എന്നൊരു സംഖ്യ ഉണ്ടാക്കിയശേഷം, അത് അഭിന്നകമാണെന്നു തെളിയിക്കുകയല്ല, വർഗം $2$ ആയ ഭിന്നസംഖ്യ ഇല്ലാതിരിക്കുകയും അത്തരമൊരു സംഖ്യയുടെ ആവശ്യം വരികയും ചെയ്തപ്പോൾ, $\sqrt{2}$ എന്നൊരു സംഖ്യ ഉണ്ടാക്കുകയും, പിന്നീട് അതിനെയും ഇങ്ങിനെയുണ്ടാക്കുന്ന മറ്റു സംഖ്യകളേയും അഭിന്നകസംഖ്യകളെന്നു വിളിക്കുകയുമാണ് ചെയ്യുന്നത്.
ഇനി തെളിവിന്റെ കാര്യം. ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യയേയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി ഒരേയൊരു രീതിയിൽ എഴുതാം എന്നത് ഒരു അടിസ്ഥാനതത്വമായി എടുത്താൽ, ചുവടെപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടേയും വർഗം $2$ അല്ല എന്നു തെളിയിക്കാം:
1. ഒറ്റസംഖ്യകളുടെയെല്ലാം വർഗം ഒറ്റസംഖ്യയും, ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെയെല്ലാം വർഗം ഇരട്ടസംഖ്യയുമാണ്.
2. ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയുടെ വർഗത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതിയാൽ അതിൽ $2$ എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടാകില്ല; ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ വർഗമാണെങ്കിൽ, ഇങ്ങനെ എഴുതിയതിൽ $2$ കളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യ ആയിരിക്കും.
3. ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയുടേയും വർഗത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങ് പൂർണവർഗമല്ല
അവസാനം പറഞ്ഞ കാര്യം ഇങ്ങിനെ തെളിയിക്കാം. $x$ ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $x^2$ നെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളാക്കിയതിൽ $2$ ഉണ്ടാകില്ല; അപ്പോൾ, $2x^2$ നെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതിയതിൽ ഒരേയൊരു $2$ ഉണ്ടാകും. ഇനി $x$ ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $x^2$ നെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളാക്കിയതിലെ $2$ കളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യ ആണ്; അപ്പോൾ $2x^2$ ലെ $2$ കളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാകും. അതായത്, $x$ ഏതുതരം എണ്ണൽസംഖ്യയായാലും, $2x^2$ നെ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതിയതിൽ $2$ കളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണ്. അതിനാൽ, അതൊരു പൂർണവർഗമല്ല
Anjana : "തെളിവ് എന്ത്, എപ്പോള്‍ , എങ്ങനെ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഒരുപാട് ആശയക്കുഴപ്പങ്ങള്‍ നിലനില്‍ക്കുന്നു എന്ന് തോന്നുന്നു"
വളരെ ശരിയാണ്. സ്കൂൾ അധ്യാപകരിൽ മാത്രമല്ല, യൂണിവേഴ്സിറ്റി അധ്യാപകരിൽപ്പോലും ഇത്തരം ആശയക്കുഴപ്പങ്ങൾ ധാരാളം കണ്ടിട്ടുണ്ട്.
സംഖ്യകളെ സംബന്ധിക്കുന്ന കാര്യങ്ങളിലാണ് ഇതു കൂടൂതലായി കാണുന്നത്. അതിനു കാരണവുമുണ്ട്. നിർവചനങ്ങളിലും, അടിസ്ഥാനപ്രമാണങ്ങളിലും ഊന്നിയാണല്ലോ ഏതു തെളിവും ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നത്. സംഖ്യകളേയും, അവയുടെ ക്രിയകളേയും സംബന്ധിച്ച്, എന്തൊക്കെയാണ് നിർവചനങ്ങൾ, ഏതൊക്കെയാണ് (തെളിവില്ലാതെ എടുക്കുന്ന) അടിസ്ഥാനപ്രമാണങ്ങൾ എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണകൾ, ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് രൂപപ്പെട്ടത്. (ജ്യാമിതിയുടെ കാര്യത്തിൽ, ബിസി 300 ൽത്തന്നെ യൂക്ലിഡ് ഇതു ചെയ്തുവല്ലോ.) ഇതിനെക്കുറിച്ചൊന്നും ഗണിതവിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ ഒരു തലത്തിലും ചർച്ച ചെയ്യുന്നുമില്ല. പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും, അതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ചകളിലുമെല്ലാം ഇവ എത്ര ലളിതമായി പറഞ്ഞാലും, അടുത്തകാലം വരെ തുടർന്നു വന്ന പാഠ്യപദ്ധതി ഉണ്ടാക്കിയ മാനസികാവസ്ഥ, ഇക്കാര്യങ്ങൾ ശരിയായി മനസിലാക്കാൻ തടസ്സമാകുന്നു എന്നാണ് എനിക്ക് പലപ്പോഴും തോന്നിയിട്ടുള്ളത്.
കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ ,
സംഖ്യകളെ സംബന്ധിക്കുന്ന കാര്യങ്ങളിലെ വിചിത്രമായ ആശയക്കുഴപ്പങ്ങള്‍ക്ക് ചരിത്രപരമായ കാരണങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ട് എന്നുള്ളത് സാര്‍ പറഞ്ഞപ്പോഴാണ് ആലോചിക്കുന്നത്. പൊതുവേ അഭിന്നകങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചയിലാണ് ഒട്ടും പാകതവരാത്ത പ്രസ്താവങ്ങള്‍ കാണുന്നത്; അതേസമയം ഈ വിഷയം പുതിയ ഗണിതപുസ്തകത്തില്‍ മികച്ച രീതിയില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്നും തോന്നി (ഏതേത് കാര്യങ്ങളിലാണ് അവ്യക്തത ഉണ്ടാകാന്‍ സാധ്യത എന്ന് മുന്‍കൂട്ടി അറിഞ്ഞു കൊണ്ടുതന്നെയുള്ള വിശദീകരണങ്ങളും കാണാം.) പുസ്തകം മനസ്സിരുത്തിവായിക്കാന്‍ പലരും തയ്യാറാകുന്നില്ല എന്നാണോ ഊഹിക്കേണ്ടത്? പുസ്തകത്തിലെ കണക്കുകള്‍ ചെയ്തുകൊണ്ടുപോകുവാന്‍ അധ്യാപകര്‍ ആവശ്യപ്പെടാറുണ്ട്, ഏതെങ്കിലും ഭാഗം വായിച്ചു വരൂ എന്നാരും ആവശ്യപ്പെട്ടതായി കേട്ടിട്ടില്ല. ഗണിതപുസ്തകങ്ങള്‍ വായിക്കാനുള്ളതല്ല എന്നൊരു ധാരണയും നാം പിന്തുടര്‍ന്നു പോകുന്നുണ്ട്.
Fundamental axioms satisfied by the set of rational numbers/ real numbers
If a,b,c are any three rational numbers,then
1. a+b=b+a
2. a*b=b*a
3. (a+b)+c=a+(b+c)
4. (a*b)*c=a*(b*c)
5. 0 is an rational number such that
a+0=a
6. 1 is an rational number such that
1not equal0 and a*1=a
7. For each rational number a,there is rational –a such that
-a+a=0
8. For each rational number a, a not equal to 0,there is rational 1/a such that
a*(1/a) =1
9. a*(b+c)=a*b+a*c
10. a<0,a=0,a>0
11. if a>0,b>0 then a+b>0,ab>0
12. ifa<b, thena-b<0
proof for (-a) *(-b) =(ab), using above axioms,
we know
a*0= 0 --(this is a theorem or properties of real numbers, and it has proof)
a(-b+b)=0
a*(-b)+a*b =0
adding-(a*b) both side
a*(-b)+(a*b)+-(a*b)= -(a*b)
a*(-b) =-(a*b)---------(1)(because (a*b)+-(a*b)=o )
we know that
0*b =0
(-a+a)*b =0
-a*b+a*b=0
adding-(a*b) both side
(-a*b)+(a*b) +-(a*b)= 0 +-(a*b) = -(a*b)
(-a*b)= -(a*b)----------(2)
Now put a=-a in relation (1)
(-a)*(-b) =-(-a*b)----------(3)
Simplify -(-a*b) in relation(3), Using relation(2)
-(-a*b)=-(-(a*b) ---------------(4)
Thus
-(a)*(-b)=-(-(a*b) (from(3)&4------------(5)
Now-(a*b)+ –(-(a*b) =0
adding(a*b) both side
(a*b)+ -(a*b) + –(-(a*b) =0+(a*b)
–(-(a*b) =a*b------------------(6)
From(5)&(6)
(-a)*(-b) = a*b
@Krishnan sir,John sir, Anjana madam
For more axioms and for more results click here
Anjana : "ഗണിതപുസ്തകങ്ങള്‍ വായിക്കാനുള്ളതല്ല എന്നൊരു ധാരണയും നാം പിന്തുടര്‍ന്നു പോകുന്നുണ്ട്."
ഗണിതപഠനം കേവലം ക്രിയാപരം (procedural) ആകുന്നതുകൊണ്ടാണ് ഇങ്ങിനെ സംഭവിക്കുന്നതെന്നു തോന്നുന്നു. അത് കൂടുതൽ ആശയപരം (conceptual)
ആയാലേ ഇതിനൊരു മാറ്റം ഉണ്ടാകുകയുള്ളു;പരീക്ഷകളിലെ ചോദ്യങ്ങളും അതനുസരിച്ചു മാറണം. ചുവടെപ്പറയുന്നപോലുള്ള ചോദ്യങ്ങളും കണക്കുപരീക്ഷയിൽ ആയിക്കൂടെന്നുണ്ടോ?
1. പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു ആസ്വാദനക്കുറിപ്പെഴുതുക
2. അഭിന്നകസംഖ്യകൾ ആവശ്യമായിവന്ന സാഹചര്യം വിശദീകരിക്കുക
3. ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതുകൊണ്ടുള്ള രണ്ടു സൗകര്യങ്ങൾ എഴുതുക
കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ മുകളിലെ കമന്റ് കണ്ടപ്പൊഴാണ് ഓര്‍മ്മവന്നത് . കഴിഞ്ഞ ക്ലസ്റ്ററിന് അധ്യാപകരോട് അത്തരം ഒരു ചോദ്യം ചോദിച്ചിരുന്നു. ത്രികോണ ആശയത്തിന്റെ വളര്‍ച്ചയും വികാസവും
ഞാന്‍ എഴുതിയത് ചുവടെ ചേര്‍ത്തുന്നു . നോക്കുമല്ലോ?
CLICK HERE
ഇത് സംഗതി കൊള്ളാമല്ലോ!
ഇത് നല്ല ആശയമാണ്‌
ഇത് നല്ല ആശയമാണ്‌
Post a Comment