PURE MATHEMATICAL CONSTRUCTIONS

കാസറഗോഡ് ജില്ലയിലെ കണിയ ജിവിഎച്ച്എസ്എസ്സിലെ ഹെഡ്‌മാസ്റ്ററാണ് ശ്രീ സി മോഹനന്‍ സാര്‍. വര്‍ഷങ്ങളായി ഗണിത എസ് ആര്‍ ജിയായി പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന അദ്ദേഹം എട്ടാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകസമിതി അംഗംകൂടിയാണ്. 'പൈ'ചരിത്രവും പ്രത്യേകതകളും ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട്'പൈ മാഹാത്മ്യം'എന്നപേരില്‍ ഒരു ഓട്ടന്തുള്ളല്‍ തയ്യാറാക്കുകയും, ആയത് സിഡികളിലാക്കി പുറത്തിറക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരിനമായ 'പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷനെ'ക്കുറിച്ച് ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ അദ്ദേഹം വായനക്കാരുമായി പങ്കുവെക്കുന്നത്, വളരേ പ്രധാനപ്പെട്ട ചില വസ്തുതകളാണ്. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങളുണ്ടായേക്കാം. എങ്കിലും, പോസ്റ്റിനുതാഴേയുള്ള കമന്റുകളിലൂടെ അവ ക്രോഡീകരിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താവുന്നതല്ലേയുള്ളൂ?
 പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ (Pure Mathematical Construction)സംസ്ഥാന സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിൽ ഹൈസ്കൂൾ , ഹയർ സെക്കന്ററി വിഭാഗങ്ങളിലെ മത്സരയിനമാണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ ക്ഷൻ. ഒന്നിലധികം ആശയങ്ങളുടെ സമന്വയത്തിലൂടെ നൂതനമായ ഒട്ടേറെ നിർമിതികൾ മത്സരത്തിനെത്തുന്നുണ്ട്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള ചില നിർമിതികൾ സംസ്ഥാനതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടുകാണുന്നുണ്ട്. സകെച്ച് പേന ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതികൾ , കൈവരകൾ (free hand drawing) ഉള്‍പ്പെടുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ (eg. construction of ellipse, cycloid etc.), ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിർമിതികൾ ഇവ അത്തരത്തിലുള്ള ചില നിർമിതികളാണ്. ഇതിൽ നിന്നും , മത്സരാർത്ഥികളിലും അവരെ പരിശീലിപ്പിക്കുന്നവരിലും ജില്ലയിൽ നിന്നും അവരെ തെരഞ്ഞെടുത്തയക്കുന്ന വിധികർത്താക്കളിലും ഇത് സംബന്ധിച്ച് അവ്യക്തത നിലനിൽക്കുന്നു എന്ന് കരുതാവുന്നതാണ്. ഈ കുറിപ്പും തുടർന്നുള്ള ചർച്ചയും പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷക്ഷനെ കുറിച്ച് പരമാവധി വ്യക്തത കൈവരുത്താനുതകം എന്ന പ്രതീക്ഷയിലാണ് ഇതെഴുതുന്നത്.

 എന്താണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷൻ ?
പുസ്തകങ്ങളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്: "Pure mathematical construction is the construction of lines, angles and other geometrical figures using only an idealized ruler(straight edge) and compass". “Compass may not be directly used to transfer distances. (This is an unimportant restriction, since using multistep procedure, a distance can be transferred.)”

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്: " റൂളർ (അങ്കനം ചെയ്യാത്ത സ്കെയിൽ) , കോമ്പസ് എന്നിവ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി. നിർമാണപ്രക്രിയയിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവയ്ക്ക് ഉയർന്ന പരിഗണന നൽകണം. ചാർട്ടിന്റെ വലിപ്പത്തിലായിരിക്കണം നിർമിതികൾ. പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ചാണ് വരയ്യേണ്ടത്. നിറം നൽകാൻ പാടില്ല. ഒരേ ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി 3 ചാർട്ടുകൾ വരേ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. " 

സ്കെച്ച് പേന ഉപയോഗിക്കരുതെന്ന് ഇതിൽ നിന്നും വ്യക്തമാണ്. റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി എന്ന് കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതു കൊണ്ട് കൈവരകൾ (free hand drawing) പറ്റില്ല. മാത്രമല്ല കൈവരകളിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ട് തന്നെ ellipse, cycloid തുടങ്ങിയ നിര്‍മ്മിതികളിലെ free hand drawing അംഗീകരിക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല. ത്രിമാന രൂപങ്ങളുടെ നിർമിതി സാധ്യമാണോയെന്നതാണ് മറ്റൊരു വിഷയം. ചതുരപ്പെട്ടിയുടെ ഒരു മുഖത്തിന് അഭിമുഖമായി നിൽക്കുമ്പോൾ , ആ മുഖം മാത്രമേ കാണുകയുള്ളൂ (അതാകട്ടെ ദ്വിമാന രൂപമായ ചതുരമാണ്). 3 മുഖങ്ങൾ കാണത്തക്കവിധത്തിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരാളുടെ കാഴ്ചയിൽ വരയ്ക്കുമ്പോൾ ഒരു മുഖം ചതുരമായും രണ്ട് മുഖങ്ങൾ സാമാന്തരികമായും (യഥാർത്ഥത്തിൽ ചതുരമായ മുഖങ്ങൾ) മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കുകയുള്ളൂ. മാത്രമല്ല സാമാന്തരികങ്ങളുടെ ചരിവ് വരുന്നത് . നോക്കുന്നയാളുടെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ചാണ് ഇവിടെയും നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ല. ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിര്‍മ്മിതി സാധ്യമല്ലെങ്കില്‍ "doubling the cube" (construction of a cube with twice the volume of a given cube) എന്ന പ്രശ്നത്തിന് എന്താണ് പ്രസക്തി എന്ന് ചോദിക്കുന്നവരുണ്ട്. പൊതുവായി പരാമർശിക്കുമ്പോൾ construction of a cube എന്ന് പറയാറുണ്ടെങ്കിലും അതേക്കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ വ്യക്തമായി ഇങ്ങിനെ പറയുന്നു: “It is impossible to construct a side of a cube that has twice the volume of a cube with a given side" (This is impossible because we cannot construct a line of length cube root of 2, ) അതായത്, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമോയെന്നതാണ് പരിശോധിക്കപ്പെടേണ്ടുന്ന മറ്റൊരു വിഷയം. ഇതേ കുറിച്ച് മാന്വലിൽ ഒന്നും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. 

പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷനെ കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ , Compass may not be directly used to transfer distances എന്നും, This is an unimportant restriction എന്നുമാണ് പറഞ്ഞിട്ടുള്ളത്. അപ്രധാനമായ നിബന്ധന എന്ന് പറയാൻ കാരണം, റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നിലധികം വരകളിലൂടെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നതാണ് (അതായത് പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷന്റെ മാനദണ്ഡങ്ങൾക്കനുസൃതമായിത്തന്നെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നർത്ഥം). അങ്ങിനെ മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കാര്യത്തിൽ നിർബന്ധം പിടിക്കാതിരിക്കുന്നതിലൂടെ വരകളിലെ സങ്കീർണ്ണത ഒഴിവാക്കാൻ സാധിക്കും എന്ന മെച്ചമുണ്ട്. മാത്രമല്ല മാന്വലിൽ ഒന്നും പരാമർശിച്ചിട്ടുമില്ല. ആയതിനാൽ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമെന്നത് അംഗീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

പലപ്പോഴും സബ് ജില്ലാതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയുടെ എണ്ണം കുറവായതുകൊണ്ടും ഒന്നും രണ്ടും സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുകൊണ്ടും രണ്ടെണ്ണം സെലക്ട് ചെയ്യുകയും ഓരോന്നിനും A grade നൽകുകയുമാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഒന്നാലോചിച്ചാൽ ഇങ്ങിനെ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ തെറ്റായ സന്ദേശം നൽകുകയാണ്. മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള നിർമിതികൾ അംഗീകരിക്കപ്പെടുകയാണ്. ഈ തെറ്റ് ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കുന്നതിനിടയാക്കുകയാണ്. ഇങ്ങിനെ സെലക്ട് ചെയ്യപ്പെട്ടുവരുന്നവയിൽ ചിലത് ജില്ലാതലത്തിൽ നിന്നും സ്ഥാനം നേടി സംസ്ഥാനതലത്തിലുമെത്തുന്നു. ചിലതിനൊക്കെ A gradeലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് വളരെ നിർഭാഗ്യകരമായ ഒരു അവസ്ഥയാണ് എന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. ഇനിയുള്ള വർഷങ്ങളിൽ അപാകതകൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ടുള്ള മത്സരവും വിധിയെഴുത്തും ഉണ്ടാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

SSLC 2014 - Maths - Video Tutorials

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വീഡിയോയില്‍ പകര്‍ത്തിയത് അയച്ചു തന്നിരിക്കുകയാണ് സെഫുദ്ദീന്‍ സാര്‍....

• തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരകള്‍ വശങ്ങളായുള്ള ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്(തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തം അന്തര്‍വൃത്തമായി വരുന്ന ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്)
• തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ തന്നിരിക്കുന്ന കോണുകളുള്ള ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്(തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തം പരിവൃത്തമായി വരുന്ന ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്)
• തന്നിരിക്കുന്ന അളവിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ തുല്ല്യ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്
• തന്നിരിക്കുന്ന അളവിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തര്‍ വൃത്തം വരയ്ക്കുന്നത്
• ബാഹ്യ ബിന്ദുവില്‍നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് തൊടുവരകള്‍ വരയ്ക്കു്ന്നത്

ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ വീഡിയോ ദൃശ്യങ്ങളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റില്‍... മാര്‍ക്കുകള്‍ നേടുന്നതില്‍ പിന്നോക്കം നില്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ക്ക് ഇതേറെ പ്രയോജനപ്പെടുമെന്നു കരുതുന്നു...

1. തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരകള്‍ വശങ്ങളായുള്ള ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്(തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തം അന്തര്‍വൃത്തമായി വരുന്ന ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്)
2. തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തത്തില്‍ തന്നിരിക്കുന്ന കോണുകളുള്ള ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്(തന്നിരിക്കുന്ന ആരമുള്ള വൃത്തം പരിവൃത്തമായി വരുന്ന ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്)
3. തന്നിരിക്കുന്ന അളവിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ തുല്ല്യ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്
4. തന്നിരിക്കുന്ന അളവിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തര്‍ വൃത്തം വരയ്ക്കുന്നത്
5. ബാഹ്യ ബിന്ദുവില്‍നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് തൊടുവരകള്‍ വരയ്ക്കു്ന്നത്

TRIGNOMETRY Video Prepared By Sunny Thomas Sir

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Applied Construction എന്തല്ല..?

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ്  അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍ .എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് ഡ്രോയിംഗിനായി ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ സാമഗ്രികളും ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കാം. ഒന്നോ അതിലധികമോ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് നടപ്പാക്കുന്ന ജ്യാമിതീയനിര്‍മ്മിതികളാണ് ഇവ. മല്‍സരത്തെക്കുറിച്ചുപറഞ്ഞാല്‍‌ പരമാവധി മൂന്ന് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറിലായി തുടര്‍ച്ചയും വളര്‍ച്ചയും വ്യക്തമാകത്തക്കവിധം തയ്യാറാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ . ആശയവും നിര്‍മ്മിതിയും ഒരു ചാര്‍ട്ടില്‍ പൂര്‍ണ്ണമായില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടാമത്തെതും മൂന്നാമത്തേതുമായി ചാര്‍ട്ടുകള്‍ ഉപയാഗിക്കാം. പരസ്പരബന്ധമില്ലാത്ത മൂന്നുനിര്‍മ്മിതികള്‍ വളരെ മനോഹരമായി തയ്യാറാക്കിയാല്‍ അവയില്‍ ഒന്നുമാത്രമേ മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം നടത്തുകയുള്ളൂ എന്ന് സാരം. ഒരാശയം തന്നെ ഉപയാഗിച്ച് നിര്‍മ്മിക്കുന്ന മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത നിര്‍മ്മിതികളും തുടര്‍ച്ചയല്ലെന്ന് അറിയുക. ഒത്തിരി തെറ്റിദ്ധാരണകള്‍ നിറഞ്ഞ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ് Applied Construction. ഇതേക്കുറിച്ച് ജോണ്‍ സാര്‍ ചുവടെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് ഇതൊരു വസ്തുവിന്റെ നിര്‍മ്മിതിയാക്കി അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. പലപ്പോഴും അവ മോഡലുകള്‍ മാത്രമായി മാറിപ്പോകുമായിരുന്നു. ഇവ ചാര്‍ട്ടുകളില്‍ വരക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാകണം എന്ന് നിഷ്ക്ര്‍ഷിച്ചപ്പോള്‍ അവ കേവലം വീടിന്റെ പ്ലാനുകളായി പുനര്‍ജനിച്ചു.  ചിലര്‍ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരക്കുകയും തെര്‍മ്മോക്കോളില്‍ മാതൃക നിര്‍മ്മിക്കുകയും ചെയ്തു. മറ്റുചിലരാകട്ടെ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരച്ച് മുറികളുടെ പരപ്പളവും മറ്റും കണക്കുകൂട്ടി പട്ടികയിലാക്കി. ഇങ്ങനെ വ്യക്തതയില്ലാത്ത ഒരു ഇനമായിമാറി അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍.. മൂല്യനിര്‍ണ്ണയത്തിന് വ്യക്തമായ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ പ്രാബല്യത്തില്‍ വന്നപ്പോള്‍ കാഴ്ചപ്പാടുകള്‍ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതായി വന്നു. പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള നേര്‍ബന്ധം അനിവാര്യമായിത്തീര്‍ന്നു. പണ്ട് ഫിങ്ക് ട്രസുകളുടെയും കാന്റിലിവറുകളുടെയും സ്റ്റബിളിറ്റിയും മറ്റും ലിങ്ക് പോളിഗണണ്‍ നിര്‍മ്മിച്ച് ടെസ്റ്റ് ചെയ്ത് എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് നിര്‍മ്മിതികള്‍ നടത്തി സംസ്ഥാനതലത്തില്‍ സമ്മാനങ്ങള്‍ വാങ്ങാമായിരുന്നു. ഇന്ന് അത്തരം വര്‍ക്കുകള്‍ പാഴ് വേലകളാണ് .. ഇത്രയുമൊക്കെ പറഞ്ഞപ്പോള്‍ പ്രീയ വായനക്കാര്‍ ചിന്തിക്കുന്നുണ്ടാകും പിന്നെ എന്താണ് ഈ നിര്‍മ്മിതി ? വിമര്‍ശനാന്മകമായ നിലപാടുകള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു നിര്‍മ്മിതി അവതരിപ്പിക്കട്ടെ. ഒരു ഷീറ്റ് മെറ്റല്‍ ജോലിക്കാരന്‍ നേരിടുന്ന പ്രശ്നമാണ്. അയാള്‍ക്ക് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള മെറ്റല്‍ഷീറ്റുകളാണ് വാങ്ങാന്‍ കിട്ടുന്നത് . ഓരോ ത്രികോണത്തകിടില്‍നിന്നും പരമാവധി വലുപ്പത്തിലുള്ള സമചതുരങ്ങള്‍ മുറിച്ചെടുക്കണം . പല വലുപ്പത്തിലുളള , പല ആകൃതിയുള്ള ത്രികോണത്തകിടില്‍ നിന്നു സമചതുരങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാന്‍ അയാളെ ഒന്നു സാഹായിക്കാമോ?

നിര്‍മ്മിതിയുടെ ഏകദേശചിത്രമാണ് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് സമാനമായ നിര‍മ്മിതി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സ്റ്റപ്പുകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരക്കുമല്ലോ ത്രികോണം ABC വരക്കുക.AB വശത്ത് D അടയാളപ്പെടുത്തുക. D യില്‍നിന്ന് AC യിലേയ്ക്ക് AE എന്ന ലംബം വരക്കുക AE വശമായി സമചതുരം DEGF വരക്കുക AF ലൂടെ നീട്ടുന്ന വര BC യെ H ല്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു H ല്‍ നിന്നും AC യിലേയ്ക്ക് HK എന്ന ലംബം വരക്കുക HK വശമായി വരക്കുന്ന സമചതുരം ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരമായിരിക്കും ഇതിന്റെ ജ്യാമിതീയ തത്വം ഒന്നാലോചിച്ചുനോക്കാം ത്രികോണം ADF , ത്രികോണം AIH എന്നിവ സദൃസ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . അതിനാല്‍ $‌\frac{DF}{HI}=\frac{AF}{AH}$ ആയിരിക്കും . അതുപോലെ ത്രികോണം AFG , ത്രികോണം AHK എന്നിവ സദൃശ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . $‌\frac{GF}{HK}=\frac{AF}{AH}$ അതിനാല്‍ $\frac{DF}{HI}=\frac{GF}{HK}$ ആണ്.എന്നാല്‍ DF = FG ആയതുകൊണ്ട് HK = HI ആണ്ലലോ . അതിനാല്‍ HIGK സമചതരം തന്നെ . അത് ഏറ്റവും വലുതല്ലേ? ഈ നിര്‍മ്മിതി പല ആകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ശരിയാകുമെന്ന് കാണിക്കാം .വേണമെങ്കില്‍ ചാര്‍ട്ടുപേപ്പറില്‍ വെട്ടിയെടുത്ത് ഭംഗിയാക്കാം ...

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഡാന്‍സിലൂടെ 'സോര്‍ട്ടിങ് വിദ്യകള്‍.'.!

ചെന്നൈയിലെ ഒരു പ്രധാന ഐടി കമ്പനിയിലെ ടെക്നിക്കല്‍ ആര്‍ക്കിടെക്റ്റ് ഗ്രൂപ്പില്‍ ജോലിചെയ്യുന്ന ശ്രീ സന്തോഷ് തോട്ടുങ്ങലിനെ അറിയുമോ..? സ്വതന്ത്ര, ഓപണ്‍സോഴ്സ് പ്രോജക്ടുകളിലെ, പ്രത്യേകിച്ച് ഇന്ത്യന്‍ ലാങ്വേജ് കംപ്യൂട്ടിങ്ങിലെ സന്തോഷിന്റെ സംഭാവനകളെ ആര്‍ക്കാണ് മറക്കാന്‍ കഴിയുക? സ്വതന്ത്ര മലയാളം കമ്പ്യൂട്ടിങ്ങിന്റെ ഈ അമരക്കാരന്റെ ധ്വനി എന്ന ടെക്സ്റ്റ് ടു സ്പീച്ച് സിസ്റ്റത്തിനായിരുന്നു 2008 ലെ FOSS അവാര്‍ഡ്. സന്തോഷിന്റെ സംഭാവനകള്‍ വിസ്തരിച്ച് അധികം സമയം കളയുന്നില്ല. അതൊക്കെ വഴിയേ ആകാമല്ലോ..!ഇന്നത്തെ ഈ പോസ്റ്റ് കഴിഞ്ഞദിവസം അദ്ദേഹം മെയില്‍ ചെയ്ത് തന്നതാണ്. രസകരവും വിജ്ഞാനപ്രദവും അത്ഭുതകരവുമായി ഒറ്റവായനയില്‍ തോന്നിയതുകൊണ്ടാണ് മുന്‍ഗണനാക്രമങ്ങളൊക്കെ മാറ്റിവെച്ച് ഇത് പബ്ലിഷ് ചെയ്യുന്നത്. വായിച്ചു നോക്ക്..നിങ്ങളും എന്നോട് യോജിക്കാതിരിക്കില്ല.. കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ് പഠിക്കുന്ന എതൊരു വിദ്യാര്‍ത്ഥിയും അല്‍ഗോരിതങ്ങളെപ്പറ്റി പഠിക്കാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോള്‍ നിരവധി സോര്‍ട്ടിങ്ങ് വിദ്യകളെപ്പറ്റി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ടു്. ഇന്‍സേര്‍ഷന്‍ സോര്‍ട്ട്, ഹീപ് സോര്‍ട്ട്, ബബിള്‍ സോര്‍ട്ട്, ക്വിക് സോര്‍ട്ട്, ഷെല്‍ സോര്‍ട്ട് എന്നിങ്ങനെ നിരവധി.. ഇതിലെ ഷെല്‍ സോര്‍ട്ട് അല്‍ഗോരിതം വളരെ മനോഹരമായ ഒരു ഹംഗേറിയന്‍ നാടോടി നൃത്തത്തിലൂടെ താഴേ വീഡിയോയില്‍ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കൂ..

സ്കൂള്‍ക്ലാസുകളിലെ പഠനവിഷയങ്ങള്‍ മാത്രമല്ല, കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സിലെ ഇത്തരം കാര്യങ്ങളും വളരെ ലളിതമായി , മനോഹരമായി അവതരിപ്പിക്കാം.
വീഡിയോ കണ്ടവര്‍ക്കായി വളരെ ലളിതമായി ഈ സോര്‍ട്ടിങ്ങ് അല്‍ഗോരിതം(നൃത്തത്തില്‍ അവരവതരിപ്പിക്കുന്നതെന്തെന്നും) വിശദീകരിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാം.(വിക്കിപീഡിയയിലും ഇന്റര്‍നെറ്റിലുമൊക്കെ ഉണ്ടു് )
3 0 1 8 7 2 5 4 9 6 എന്ന ക്രമത്തിലുള്ള 10 അക്കങ്ങളാണു് ഈ നൃത്തത്തില്‍ 5 ആണ്‍കുട്ടികളും 5 പെണ്‍കുട്ടികളും അവതരിപ്പിക്കുന്നതു്.
5-സോര്‍ട്ട് എന്ന സ്റ്റെപ്പാണു് ആദ്യം. അതായതു്, ഈ 10 അക്കങ്ങളെ അഞ്ചെണ്ണമുള്ള രണ്ട് കൂട്ടമാക്കുക
3 0 1 8 7
2 5 4 9 6
ഇനി ഇതിലെ ഓരോ നിരകളിലെയും(കോളങ്ങള്‍) അക്കങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലാക്കുക. വീഡിയോയില്‍ ആറാമാത്തെ അംഗം ഒന്നാമത്തെ അംഗവുമായി കാണുന്ന ദൃശ്യം.
2 0 1 8 7
3 5 4 9 6
ഇങ്ങനെ ഓരോ കോളങ്ങളും മാറ്റുമ്പോള്‍
2 0 1 8 6
3 5 4 9 7
ഇതോടെ 5-സോര്‍ട്ട് എന്നെ സ്റ്റെപ്പ് കഴിഞ്ഞു. ഈ അക്കങ്ങളെ ഇനി നിരത്തി എഴുതുക
2 0 1 8 6 3 5 4 9 7
ഇനി 3-സോര്‍ട്ട് സ്റ്റെപ്പ് ആണു്. അതായതു് മൂന്നക്കങ്ങളുള്ള വരികളാക്കുന്നു
2 0 1
8 6 3
5 4 9
7
ഇനി കോളങ്ങള്‍ എടുക്കുക: ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരിയിലെ അക്കങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കുക. അവ ക്രമത്തില്‍ തന്നെയാണു്.
2 0 1
8 6 3
5 4 9
7
രണ്ടും മൂന്നും വരികള്‍ ക്രമത്തിലാക്കുക
2 0 1
5 4 3
8 6 9
7
ഈ സ്റ്റെപ്പില്‍ 5 എന്ന പെണ്‍കുട്ടി 8 നെമാറ്റി വന്ന് 2 നോടു സംസാരിച്ച് പോവാതെ നില്‍ക്കും, കാരണം 2 ഉം 5 ഉം ക്രമത്തില്‍ തന്നെയാണല്ലോ.
അങ്ങനെ എല്ലാം തീരുമ്പോള്‍ ഇങ്ങനെ കിട്ടും
2 0 1
5 4 3
7 6 9
8
ഇതോടെ 3-സ്ടെപ് തീര്‍ന്നു.
നിരത്തിയെഴുതുമ്പോള്‍
2 0 1 5 4 3 7 6 9 8

അടുത്തതു് 1-സ്ടെപ് ആണു്. ഒരു വരിയില്‍ 1 വീതം അക്കങ്ങളെഴുതും
2
0
1
5
4
3
7
6
9
8
തൊട്ടടുത്തുള്ള ഓരോ ആളും ഇടതുവശത്തുള്ളവരുമായി ക്രമീകരിച്ച് മുന്നേറുന്നതു കാണുക. അവസാനം
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
എന്ന ക്രമത്തിലെത്തുന്നു. സംഘാംഗങ്ങള്‍ വട്ടത്തില്‍ നൃത്തം വെയ്ക്കുന്നു.

ഇതു പോലെ ഈ യൂട്യൂബ് ചാനലില്‍ ബബിള്‍ സോര്‍ട്ടും സെലക്ട് സോര്‍ട്ടും ഒക്കെയുണ്ടു്. വിശദീകരിക്കാന്‍ എനിക്കു സമയമില്ല. വിക്കിപീഡിയേല്‍ പോയി വായിക്കുക :)
ഇത്രയും രസകരമായ രീതിയില്‍ ഇതു കാണുമ്പോള്‍ ഈ അല്‍ഗോരിതങ്ങള്‍ ഞാന്‍ കോളേജില്‍ പഠിച്ചതെത്ര ബുദ്ധിമുട്ടിയായിരുന്നു...
കമ്പ്യൂട്ടര്‍ സയന്‍സ് പഠിക്കുന്ന അനുജന്‍മാരോടും അനുജത്തിമാരോടും: നിങ്ങള്‍ക്കിതു കണ്ടിട്ടു് നമുക്കും ചെയ്യാമെന്നു തോന്നുന്നില്ലേ!, സോര്‍ട്ടിങ്ങ്, സെര്‍ച്ചിങ്ങ്, ഗ്രാഫ്, ട്രീ തുടങ്ങി എത്രയെത്ര അല്‍ഗോരിതങ്ങള്‍... നമ്മുടെ മനോഹരമായ നൃത്തരൂപങ്ങളും.... എന്താണാലോചിക്കുന്നതു്?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

വെളുപ്പോ, കറുപ്പോ..?

ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ മാറുന്ന പാഠപുസ്തകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിശകലനങ്ങളും പഠിപ്പിക്കേണ്ട രീതിയുമൊക്കെ വിശദമാക്കുന്ന ജോണ്‍ സാറിന്റെ പ്രതിവാര പോസ്റ്റുകളും, പൈത്തണ്‍ പ്രോഗ്രാം ലളിതമായി പഠിപ്പിക്കാനുതകുന്ന ജി. ഫിലിപ്പ് സാറിന്റെ പൈത്തണ്‍ ക്ലാസ്സുമാണ് ഉടന്‍ നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ പ്രതീക്ഷിക്കാവുന്ന മികവുകള്‍. എന്നാല്‍, പസിലുകള്‍ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന ഒരു വലിയ വിഭാഗം വായനക്കാര്‍ നമുക്കുണ്ട്. ഇടയ്ക്കിടെ, അതു കാണാതാകുമ്പോള്‍ പലര്‍ക്കും പരാതിയാണ്. ഇന്ന്, ഖത്തറില്‍ നിന്നും അസീസ് സാര്‍ അയച്ചുതന്ന ഒരു പസിലാകട്ടെ....


നിങ്ങള്‍, 100 പേരുള്ള ഒരു ബന്ധികളുടെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ നേതാവാണെന്നു കരുതുക. നിങ്ങളെ തടവിലാക്കിയ വ്യക്തി പറയുന്നു, “നാളെ നൂറുപേരേയും ഒരു വരിയായി നിര്‍ത്തും. ശേഷം നിങ്ങളോരോരുത്തരേയും വെള്ളയോ, കറുപ്പോ ആയ തൊപ്പി ധരിപ്പിക്കും.മുന്‍പിലുള്ള എല്ലാവരുടേയും തൊപ്പി കാണാന്‍ ഒരാള്‍ക്ക് കഴിയുമെങ്കിലും, തന്റേയോ തനിക്കു പിറകിലുള്ളവരുടേയോ തൊപ്പി കാണാന്‍ കഴിയില്ല. വരിയുടെ പിന്നില്‍ നിന്നും തുടങ്ങി, ഞാന്‍ നിങ്ങളോരോരുത്തരോടും തൊപ്പിയുടെ നിറം ചോദിക്കും. ശരിയുത്തരം പറയുന്നവരെ വിട്ടയക്കും.(ഉത്തരം കറുപ്പ് എന്നോ വെളുപ്പ് എന്നോ മാത്രമേ പാടുള്ളൂ!)തെറ്റിയവര്‍ക്ക് ആജീവനാന്തം കാരാഗൃഹം”

ഗ്രൂപ്പിന്റെ നേതാവെന്ന നിലയില്‍, നിങ്ങള്‍ക്ക് നാളെവരെ സമയമുണ്ട്- പരമാവധി ഗ്രൂപ്പംഗങ്ങളെ രക്ഷപ്പെടുത്താന്‍. എന്നാല്‍, അണിനിരന്നുകഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ യാതൊരു ആശയവിനിമയവും അനുവദിക്കില്ല. എന്നാല്‍ ഓരോരുത്തരുടേയും കളറിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന്റെ മറുപടി മറ്റുള്ളവര്‍ക്കു കേള്‍ക്കാം.
എന്താണ് കൂടുതല്‍പേരെ രക്ഷപ്പെടുത്താനുള്ള ഏറ്റവും മികച്ച മാര്‍ഗ്ഗം?

(ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോരുത്തരോടും അവരുടെ തൊട്ടുമുമ്പിലുള്ള തലയിലെ തൊപ്പിയുടെ കളര്‍ പറയാന്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടുവെന്നു കരുതുക. ആദ്യത്തെയാള്‍ക്ക് രക്ഷപ്പെടാനുള്ള ചാന്‍സ് 50/50. എന്നാല്‍ അയാളുടെ തൊട്ടുമുന്നിലുള്ളയാള്‍ ഉറപ്പായും രക്ഷപ്പെടും. ഇങ്ങനെ ശരാശരി 75% പേരെങ്കിലും രക്ഷപ്പെടും - പകുതി ഉറപ്പായും, ബാക്കി പകുതിക്ക് 50% സാദ്ധ്യതയും.)

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Paradox

'
പാരഡോക്സ് 'എന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടോ...? ഒരു 'കുഴഞ്ഞുമറിഞ്ഞ പ്രശ്നം' അല്ലേ? അത്രയേ എനിക്കും അറിയാമായിരുന്നുള്ളൂ ....എന്നാല്‍, പരസ്പര വിരുദ്ധമായ ഒന്നോ ഒരുകൂട്ടമോ പ്രസ്താവനകളെയാണ് ഇതുകൊണ്ട് അര്‍ഥമാക്കുന്നത്. (A paradox is a statement or group of statements that leads to a contradiction or a situation which defies intuition). 'കറി' യുടെ പാരഡോക്സ് (Curry's paradox) പോലുള്ള ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഏവര്‍ക്കും സ്വീകാര്യമായ പരിഹാരങ്ങള്‍ ഇതുവരെ ആയിട്ടില്ലായെന്നറിയുമ്പോഴാണ് നാം ഇവയുടെ മഹത്വം മനസ്സിലാക്കുന്നത്! ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിലെ ഒരു പാരഡോക്സ് കാണുക.

"The statement below is false”
"The statement above is true".

"ഇവയെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ അറിയാവുന്നവരുടെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ കൂടിയാകുമ്പോഴേ, ഈ പോസ്റ്റ് പൂര്‍ണ്ണമാവുകയുള്ളൂ. ഖത്തറില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ അസീസ് മാഷ് ഒരു പാരഡോക്സ് അയച്ചുതന്നതാണ് ഇന്നിവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത്. ഒരിക്കല്‍ നിയമം പഠിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഗുരുവിന്റെ അടുത്ത്‌ വളരെ സമര്‍ത്ഥനും പാവപ്പെട്ടവനും ആയ ഒരു വിദ്യാര്‍ത്ഥി എത്തി . നിയമങ്ങളെല്ലാം പഠിച്ചു കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവനോടു ഫീസ്‌ ചോദിച്ചു. താന്‍ വളരെ പാവപ്പെട്ടവന്‍ ആണെന്നും തന്റെ കയ്യില്‍ പണമൊന്നും ഇല്ലെന്നും പറഞ്ഞപ്പോള്‍ ഗുരു അവന്റെ മുമ്പില്‍ ഒരു നിര്‍ദ്ദേശം വെച്ചു ."സാരമില്ല, നിനക്ക് ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസിന്റെ പ്രതിഫലം എനിക്ക് തന്നാല്‍ മതി." അപ്പോള്‍ ശിഷ്യന്‍ പറഞ്ഞു. "ആദ്യമായി കിട്ടുന്ന കേസ്‌ ജയിച്ചാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരും , തോറ്റാല്‍ ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരില്ല."
ഒന്നു ഞെട്ടിയെകിലും ഗുരുവിനു സമ്മതിക്കാതെ തരമില്ലായിരുന്നു.ശിഷ്യന്‍ ഗുരുകുലം വിട്ടു തന്റെ വീട്ടിലേക്ക് പോയി. ധാരാളം പേര്‍ പല കേസുകളുമായി ശിഷ്യനെ സമീപിച്ചെങ്കിലും അവന്‍ ഒരു കേസും ഏറ്റെടുത്തില്ല. കാരണം ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കാന്‍ അവനു താല്പര്യമില്ലായിരുന്നു. ഈ സംഗതി ഗുരു അറിഞ്ഞു.അങ്ങനെ ഇരിക്കെ ഒരു ദിവസം ഗുരുവും ശിഷ്യനും പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടി .

ഗുരു :"നമ്മുടെ ഫീസ്‌ ഇതുവരെ കിട്ടിയില്ലല്ലോ ശിഷ്യാ?"

ശിഷ്യന്‍: "എന്ത് ചെയ്യാനാ ഗുരോ , എനിക്ക് ഇതുവരെ ഒരു കേസു പോലും കിട്ടിയിട്ടില്ല ."

ഗുരു: "സാരമില്ല ,നിനക്കുടനെ തന്നെ ഒരു കേസ്‌ കിട്ടും"

ശിഷ്യന്‍: "എങ്ങനെ?"

ഗുരു: "നീ എന്റെ അടുത്ത് നിന്നും നിയമം പഠിച്ചു പോയിട്ട് ഫീസ്‌ തന്നില്ല എന്നും പറഞ്ഞു ഞാന്‍ കോടതിയില്‍ കേസ്‌ കൊടുത്തിരിക്കുകയാണ്. മാത്രവുമല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ )കോടതി വിധി പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരണം .ഇനി ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കേസില്‍ നീ വിജയിക്കുകയും നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം നീ എനിക്ക് ഫീസ്‌ തരികയും വേണം..

ശിഷ്യന്‍:"അങ്ങനെയല്ല ഗുരോ ;ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ ജയിച്ചാല്‍ ( ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കേണ്ടതില്ല എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍) കോടതി വിധി പ്രകാരം ഞാന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല .അതല്ല ഈ കേസില്‍ ഞാന്‍ തോറ്റാല്‍ (ശിഷ്യന്‍ ഗുരുവിനു ഫീസ്‌ കൊടുക്കണം എന്ന് കോടതി വിധിച്ചാല്‍ ) നമ്മുടെ കരാര്‍ പ്രകാരം ഞാന്‍ ഫീസ്‌ തരേണ്ടതില്ല.

ചോദ്യം: ഇവിടെ ആര് പറഞ്ഞതാണ് ശരി?

ഇംഗ്ലീഷില്‍ വേണോ..?

Few centuries ago, a Law teacher came across a student who was
willing to learn but was unable to pay the fee. The student struck a
deal saying, "I would pay your fee the day I win my first case in
the court". Teacher agreed and proceeded with the law course. When
the course was finished and teacher started pestering the student to
pay up the fee, student reminded the deal and pushed days. Fed up
with this, the teacher decided to sue the student in the court of
law and both of them decided to argue for themselves. The teacher
put forward his argument saying: "If I win this case, as per the
court of law, student has to pay me. And if I lose the case, student
will still pay me because he would have won his first case. So
either way I will have to get the money". Equally brilliant student
argued back saying: "If I win the case, as per the court of law, I
don't have to pay anything to the teacher. And if I lose the case, I
don't have to pay him because I haven't won my first case yet. So
either way, I am not going to pay the teacher anything"

Who is telling the truth? Guru or Sishya?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഗണിതമാമാങ്കം തിരുനാവായയില്‍..!

ചരിത്രപ്രാധാന്യമുള്ള നാടാണ് നിളാതീരത്തുള്ള തിരുനാവായ. ഗണിതപരമായും തിരുനാവായയ്ക്ക് പ്രാധാന്യമുണ്ട്. പല കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ മറ്റുള്ളവരുമായി പങ്കുവച്ചിരുന്നത് നിളാതീരത്തു നടന്നിരുന്ന ഗണിതസദസ്സുകളിലായിരുന്നു. തിരുനാവായില്‍ പന്ത്രണ്ടു വര്‍ഷത്തിലൊരിക്കല്‍ നടന്നിരുന്ന മാമാങ്കമഹോത്സവത്തില്‍ എല്ലാ മേഖലകളിലേയും പ്രഗല്ഭര്‍ പങ്കെടുക്കാറുണ്ടായിരുന്നു എന്നാണ് ചരിത്രം പറയുന്നത്. എ ഡി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ തിരുനാവായില്‍ വച്ചു നടന്ന മാമാങ്കമഹോത്സവത്തിലാണ് അനേകം നൂറ്റാണ്ടുകളായി കേരളത്തില്‍ പ്രചാരമുള്ള ജ്യോതിഷഗണിത രീതിയായ പരഹിതസമ്പ്രദായം അംഗീകരിച്ചത്. ആര്യഭടീയഗണിതത്തില്‍ ചില പരിഷ്കാരങ്ങള്‍ വരുത്തി എ ഡി 683 ല്‍ ഹരിദത്തനാണ് ഈ രീതീക്ക് രൂപം നല്കിയത്.

തിരുനാവായ വീണ്ടും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രമാമാങ്കത്തിനായി ഒരുങ്ങുന്നു. ആദികാലങ്ങളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ മറ്റുള്ളവരുമായി പങ്കുവയ്ക്കാനാണ് മാമാങ്കത്തില്‍ പങ്കെടുത്തിരുന്നതെങ്കില്‍ ഇപ്പോള്‍ ഗണിതത്തില്‍ കഴിവും അഭിരുചിയുമുള്ള കുട്ടികളെ കണ്ടെത്താനാണ് മാമാങ്കം സംഘടിപ്പിക്കുന്നത്. കഴിഞ്ഞ ഒരു വര്‍ഷമായി കേരള ശാസ്ത്ര സാഹിത്യ പരിഷത്ത് മലപ്പുറം ജില്ലയില്‍ നടത്തി വരുന്ന പ്ര വര്‍ത്തനങ്ങളടെ തുടര്‍ച്ചയാണ് ഇത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ബോധനത്തിലെ പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുക, പരിഹാരം ആരായുക എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര മാമാങ്കത്തിന്റെ ലക്ഷ്യ ങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഈ ലക്ഷ്യ ത്തോടേ മലപ്പുറം ജില്ലയിലെ മൂന്നു വിദ്യാഭ്യാസജില്ലകളിലും പാലക്കാട് ഡയറ്റിലെ അധ്യാപകനായ ശ്രീ നാരായണനുണ്ണിയുടെ നേതൃത്വത്തില്‍ ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ക്കായി എകദിന ശില്പശാല നടത്തി പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി രേഖപ്പെടുത്തി. ശില്പശാലയോടനുബന്ധിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര മാമാങ്കം എന്ന് എന്തിന്, കേരളത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പാരമ്പര്യം , ഇന്റര്‍പ്ളെ ബിറ്റ് വീന്‍ അനാലിസിസ് ആള്‍ജിബ്ര & ജ്യോമട്രി, സമകാലിക ഗണിതം ബീജഗണിതം മുതല്‍ എന്നീ വിഷയങ്ങളില്‍ സെമിനാര്‍ നടത്തി. ഡോ. എം. പി. പരമേശ്വരന്‍, ഡോ. പി.ടി. രാമചന്ദ്രന്‍, ഡോ. എം. ജെ. പരമേശ്വരന്‍ (ഡയറക്ടര്‍, കേരള സ്ക്കൂള്‍ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്), ജാതവേദന്‍( CUSAT) ഇവരാണ് സെമിനാര്‍ അവതരിപ്പിച്ചത്. കുട്ടികളില്‍ നിന്ന് പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനു വേണ്ടി വിവിധ ഉപജില്ലകളിലെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ പങ്കെടുപ്പിച്ചു കൊണ്ട് ജ്യാമിതീയ നിര്‍മിതികള്‍ ശില്പശാല നടത്തി. ശില്പശാലയ്ക്ക് രശ്മിദാസ് (ആര്‍ക്കിടെക്ട്), ബാലന്‍ (എന്‍ജിനീയര്‍), ബെന്നി അധ്യാപകന്‍, ഗവ. ഹൈസ്ക്കൂള്‍ പുലാങ്കോട് എന്നിവര്‍ നേതൃത്വം നല്കി.

ഗണിതത്തില്‍ കഴിവും അഭിരുചിയുമുള്ള കുട്ടികളെ കണ്ടെത്തുക, കോഴിക്കോട് സര്‍വകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഈ കുട്ടികള്‍ക്ക് തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്കുക, കേരളത്തിനകത്തും പുറത്തുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിദഗ്ദരുമായി സംവദിക്കുന്നതിന് അവസരമൊരുക്കുക എന്നീ ലക്ഷ്യങ്ങളോടെ കേരള പാഠ്യപദ്ധതിയില്‍ ഏഴാം ക്ളാസ്സില്‍ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്കായി ഏപ്രില്‍ 25നു അഭിരുചി പരീക്ഷ നടത്തും. ‌‌
2010 മെയ് 8,9 തിയതികളിലായി തിരുനാവായില്‍ വച്ചു നടത്തുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രമാമാങ്കത്തില്‍ പ്രധാനമായും മൂന്നു തലങ്ങളിലുള്ള സംവാദങ്ങളാണ് നടക്കുന്നത്. കേരളത്തിനകത്തും പുറത്തുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിദഗ്ദര്‍ അഭിരുചി പരീക്ഷയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്ന കുട്ടികളുമായും പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നതിനായി അധ്യാപകരുമായും ഗവേഷണത്തില്‍ താല്പര്യം വളര്‍ത്തുന്നതിന് ഗവേഷണതല്പരരായ വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ ,അധ്യാപകര്‍ എന്നിവരുമായും സംവദിക്കും.
‌‌‌
തൂണിലും തുരുമ്പിലും ഗണിതം കാണാന്‍ കഴിയുന്ന രീതിയില്‍ ഗണിതമാമാങ്കനഗരിയാകെ അലങ്കരിക്കാനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിലാണ് സംഘാടകര്‍

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഇന്ന് പൈ ദിനം

നമ്മുടെ കൊച്ചു വായനക്കാര്‍ക്കൊരു പരാതി! പോസ്റ്റുകളില്‍, അവരെ കാര്യമായി പരിഗണിക്കുന്നില്ലെന്ന്. എങ്കില്‍ ഇന്ന് അവര്‍ക്കു വേണ്ടി രസകരങ്ങളായ കുറച്ചു വിവരങ്ങളാകട്ടെ. കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ തീര്‍ച്ചയായും വേണം- അധ്യാപകരില്‍ നിന്നും, കൂട്ടുകാരില്‍ നിന്നും. ഈ വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിച്ച് അയച്ചു തന്നത് ഖത്തറില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ അസീസ് മാഷാണ്. ഇന്നത്തെ ദിവസത്തിന് എന്തെങ്കിലും പ്രത്യേകതയുള്ളതായറിയാമോ..? മാര്‍ച്ചുമാസം 14 എന്നതില്‍ കവിഞ്ഞ് , .....ഗണിതസംബന്ധിയായി..?

മാര്‍ച്ച് 14, (3.14) "പൈ ദിനം" (Pi Day) ആയി ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ഗണിതകുതുകികള്‍ ആഘോഷിക്കുന്ന ഈ ദിനത്തില്‍ നാം ആ കൊച്ചു നീണ്ട സംഖ്യയെ (πയെ) സ്മരിക്കുകയാണിവിടെ.. π യുടെ വില, ഏതു വൃത്തത്തിന്റേയും ചുറ്റളവും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമായ ഏകദേശം 3.14159 ആണ്. ഇന്നത്തെ ദിവസം ഉച്ചക്ക് 1.59 ന് (3/14/1:59) 'π മിനിറ്റ്' ആയും ആഘോഷിക്കപ്പെടുന്നു. വേണമെങ്കില്‍ 1:59കഴിഞ്ഞ് 26സെക്കന്റാകുമ്പോള്‍ 'π സെക്കന്റാ'യും ആഘോഷിക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാല്‍ ബ്രിട്ടണില്‍ ജൂലൈ 22 നാണ് π ദിനം! എന്തെന്നല്ലേ..., 22/7 എന്നതും ആര്‍ക്കിമിഡീസ് കണ്ടെത്തിയ π യുടെ ഒരേകദേശ വിലയാണല്ലോ! 22/7 എന്ന ഫോര്‍മാറ്റിലാണല്ലോ തിയ്യതിയും മാസവും അവര്‍ എഴുതുക. നമുക്കും ഈ ദിനം ജൂലൈ 22 ന് ആഘോഷിക്കുന്നതാണുചിതം എന്നു കരുതുന്നവര്‍ക്ക് അങ്ങിനെയുമാകാം. ഇന്ന്.മഹാനായ ആല്‍ബര്‍ട്ട് ഐന്‍സ്റ്റീന്റെ ജന്മദിനം കൂടിയായത് ചിലപ്പോള്‍ യാദൃച്ഛികം തന്നെയാകാം!

π യുടെ വില 400 സ്ഥാനങ്ങള്‍ക്ക് എഴുതിയാലോ?
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609

ബൈബീളില്‍ π പരാമര്‍ശിക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെന്നറിയാമോ? 3 നോടടുത്ത വിലയാണ് π യ്ക്ക് ഉള്ളതെന്ന് ബൈബിളിലെ താഴേകാണുന്ന ഉദ്ധരണിയില്‍ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാം. "And he made a molten sea, ten cubits from the one brim to the other: it was round all about, and his height was five cubits: and a line of thirty cubits did compass it about." (I Kings 7, 23).

എ.ഡി 800 നോടടുത്ത് ബാഗ്ദാദില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന അല്‍-ഖവാരിസ്മി 3.1416 എന്ന കൂടുതല്‍ കൃത്യതയാര്‍ന്ന വില കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. ആളെ മനസ്സിലായോ? അദ്ദേഹത്തിന്റെ "അല്‍-ജബര്‍ വല്‍ മുഖബ്ബല”എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ നിന്നാണ് "അല്‍ജീബ്ര”രൂപപ്പെട്ടത്. അതിനുശേഷം, ലെബനീസ്, ഡീമോര്‍ഗന്‍, ഓയ്​ലര്‍ തുടങ്ങി ധാരാളം മഹത്തുക്കള്‍ π യുടെ കൂടുതല്‍ കൃത്യമായ വിലകള്‍ക്കു വേണ്ടി ശ്രമിച്ചു. എ.ഡി. 1540 മുതല്‍ 1610 വരെ ജീവിച്ചിരുന്ന ലുഡോള്‍ഫ് വാന്‍ സ്യൂലെന്‍ (Ludolph Van Ceulen)തന്റെ ജീവിതത്തിന്റെ സിംഹഭാഗവും ഇതിനായി മാറ്റിവെയ്ക്കുകയും 35 സ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ (3.14159265358979323846264338327950288...) കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്തു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഈ അര്‍പ്പണബോധത്തെ മാനിച്ച്, ചിലപ്പോള്‍ π യെ "ലുഡോള്‍ഫ് കോണ്‍സ്റ്റന്റ്”(Ludolph's Constant) എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.പുരാതന ബാബിലോണിയക്കാര്‍ 3.125 എന്നും ഈജിപ്തുകാര്‍ 3.1605 എന്നും π യ്ക്ക് ഏകദേശ വിലകള്‍ നല്‍കിയതായി രേഖകളുണ്ട്. 1706 ലാണ് വില്യം ജോണ്‍ ഈ സംഖ്യക്ക് π എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയതത്രെ! 1737 ല്‍ ഓയ്​ലര്‍ ഇത് ഉപയോഗിച്ചതോടെ ഇവന്‍ പ്രശസ്തനായി.

മൈക്കിള്‍ കീത്ത് എഴുതിയ പ്രശസ്തമായ "Circle Digits"എന്ന കഥയൂടെ തുടക്കം ശ്രദ്ധിക്കൂ..."For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi...." എന്തെങ്കിലും പ്രത്യേകത തോന്നിയോ? ഓരോ വാക്കുകളിലേയും അക്ഷരങ്ങള്‍ എണ്ണി നോക്കൂ! അത്ഭുതപ്പെടാന്‍ വരട്ടെ, മൈക്കിളിന്റെ കഥ തീരുമ്പോഴേക്കും π യുടെ 402 ദശാംശസ്ഥാനവും കൃത്യമായി എണ്ണിയെടുക്കാം!

നമ്മുടെ ആര്യഭടന്റെ ഈ വിഷയത്തിലെ സംഭാവനകളെ പരാമര്‍ശിക്കാതെ അവസാനിപ്പിക്കുന്നതെങ്ങിനെ? ഭൂമിയുടെ ചുറ്റളവും (62382 മൈല്‍), സൂര്യവര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യവും പോലെത്തന്നെ, π യുടെ വിലയും അദ്ദേഹം ഏതാണ്ട് കൃത്യമായിത്തന്നെ കണക്കാക്കിയിരുന്നു.
“ചതുരധികം ശതമഷ്ടഗുണം
ദ്വാഷഷ്ടിസ്തഥാ ചതുര്‍ത്ഥാണാം
അയുതദ്വയവിഷ്കംഭസ്യാസന്നോ
വൃത്തപരിണാഹഃ"

ഈ ശ്ലോകത്തിന്റെ അര്‍ഥം :
100 നോട് 4 കൂട്ടി, 8 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച്, 62000 ത്തോട് കൂട്ടിയാല്‍, ഏകദേശം 20000 വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവാകും. ഇംഗ്ലീഷില്‍, Add 4 to 100, multiply by 8 and add to 62,000. This is approximately the circumference of a circle whose diameter is 20,000
അതായത്, π = 62832 / 20000 = 3.1416
ഇപ്പോള്‍ ഒരു കാര്യം മനസ്സിലായില്ലേ..., നമ്മുടെ π ആള് ചില്ലറക്കാരനല്ലെന്ന്!

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

വര്‍ഗ്ഗം കാണാന്‍..

ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ ഒരു വര്‍ഷത്തോളമെത്തുന്ന യാത്രയ്ക്കിടെ ലഭിച്ച ഒരു സുഹൃത്താണ് ആലപ്പുഴക്കാരന്‍ വി.കെ ബാല. ഗണിതത്തോടും സ്ക്കൂള്‍ ജീവിതത്തോടുമൊക്കെയുള്ള സ്നേഹം ഇപ്പോഴും മനസില്‍ കൊണ്ടു നടക്കുന്ന അദ്ദേഹത്തെ നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലെ ഒരു കമന്റിലൂടെയാണ് ഞങ്ങളാദ്യമായി കണ്ടുമുട്ടുന്നത്. തുടര്‍ന്ന് നടന്ന ഒരു ഇ-മെയില്‍ ചര്‍ച്ചയില്‍ വര്‍ഗം കാണുന്നതിന് വേണ്ടി അദ്ദേഹം കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു രീതി ഏറെ വ്യത്യസ്തത പുലര്‍ത്തുന്ന ഒന്നായി ഞങ്ങള്‍ക്കു തോന്നി. വര്‍ഗം കണ്ടെത്തുന്നതിനായി വി.കെ ബാല അവതരിപ്പിക്കുന്ന ഈ രീതി പരീക്ഷിച്ച് അഭിപ്രായം രേഖപ്പെടുത്തുമല്ലോ.

താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന രീതിയില്‍ ഏതൊരു സംഖ്യയുടേയും സ്ക്വയര്‍ കാണാവുന്നതാണ്.

ഇതൊരു നാനോ രീതി ആണ് ഉദാഹരണത്തിന് 45 എന്ന സംഖ്യ. ഇതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം ( square) കാണുന്നതിന് സാധാരണ നാം 45നെ 45കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു ഇതിന് എറ്റവും കുറഞ്ഞത് 3സ്റ്റെപ്പ് എഴുതേണ്ടിവരുന്നു. എന്നാല്‍ ഇവിടെ ഈ 45 എന്ന സംഖ്യയെ രണ്ട് ചെറിയ അക്കങ്ങളായി കണക്കാക്കുന്നു അതായത് സ്റ്റെപ്പ് 1 ല്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നപോലെ 4, 5 എന്ന് രണ്ടക്കുന്നു ഇതിന്റെ കാരണം നമുക്ക് 1 മുതല്‍ 9 വരെ ഉള്ള അക്കങ്ങളുടെ ഗുണിതങ്ങള്‍ മനഃപാഠമാണ്, അത് ഈ രീതിയുടെ മുന്നോട്ടുള്ള നീക്കത്തെ സഹായിക്കും

ഇനീ രണ്ടാമത്തെ സ്റ്റെപ്പ് .

5 എന്ന അക്കത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 25 ആണ് എന്ന് നമുക്കറിയാം അതുകൊണ്ട് ഇനീ ഉത്തരം എഴുതാന്‍ തുടങ്ങാം ഗുണിച്ച് കിട്ടിയ തുകയുടെ അദ്യത്തെ അക്കമായ 5 വലതുവശത്ത് എഴുതുന്നു. ശിഷ്ടം 2 ഓര്‍ത്തുവയ്ക്കുക, ഇനി 45 ന്റെ ആദ്യത്തെ അക്കമായ 5ന്റെ ഇരട്ടി കാണുന്നു (5*2=10‌) ഇതിന്റെ ഉത്തരമായ 10 നെ 45ന്റെ രണ്ടാമത്തെ അക്കമായ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു (10*4=40) ഈ തുകയുടെ കൂടെ 25ന്റെ ശിഷ്ടമായ 2 കൂട്ടുന്നു അതായത് 42 അപ്പോള്‍ ഉത്തരമായി എഴുതിയ 5 ന്റെ ഇടതുവശത്ത് 42 ലെ 2 എഴുതുന്നു ശിഷ്ടമുള്ള 4 ഓര്‍ത്തുവയ്ക്കുന്നു പിന്നെ ഇതിലെ അവസാന ഭാഗത്തേയ്ക്ക് നാം കടക്കുന്നു 45 ലെ രണ്ടാമത്തെ അക്കമായ 4 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കണ്ട് അതിന്റെ കൂടെ ശിഷ്ടം കൂട്ടുമ്പോള്‍ 20 എന്ന് കിട്ടുന്നു ( 4*4=16+4., 20) ഇനി ഈ ഇരുപത് ആദ്യം എഴുതിയ ഉത്തരത്തിന്റെ അക്കങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത് എഴുതുമ്പോള്‍ 45 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം 2025 എന്ന് കിട്ടും ഇങ്ങനെ 5 മുതല്‍ 15 സെക്കന്റിനകം നിങ്ങള്‍ക്ക് ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വര്‍ഗ്ഗം മനക്കണക്കില്‍ കാണാം കാണാപാഠം പഠിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല അതായത് 33 എന്ന് എഴുതി അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം അടുത്ത സെക്കന്റില്‍ തന്നെ 1089 എന്ന് നിങ്ങള്‍ക്ക് എഴുതാന്‍ കഴിയും അതുപോലെ രണ്ടക്കമുള്ള ഏതു സംഖ്യയും 1 മുതല്‍ 99 വരെ. സെക്കന്റുകള്‍ക്കുള്ളില്‍ ഉത്തരം കാണാം എന്നാല്‍ മൂന്ന് അക്കം ആകുമ്പോള്‍ ക്രീയ എഴുതേണ്ടി വരും കാരണം ഓര്‍ത്തിരിക്കുക അത്ര എളുപ്പമല്ല അതുതന്നെ.

ഒരു കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കല്‍

എന്റെ കണ്ടെത്തല്‍ ശരിയാണെന്നും ഇത്തരം കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഷെയര്‍ ചെയ്യാന്‍ താത്പര്യമുണ്ട് എന്ന് മാത്‌സ് ബ്ലോഗ് ടീം എന്ന ബ്ലോഗിന്റെ അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്ററുടെ കമന്റ് കാണാന്‍ ഇടയാതുകൊണ്ടും ഇതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായ മൂന്നക്ക സംഖ്യകളെ എങ്ങനെ എളുപ്പത്തില്‍ വര്‍ഗ്ഗം കാണാം എന്ന് പറയാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തെ ഉദ്യമത്തിന്റെ തുടര്‍ച്ചയാണ് ഇതും, 101 മുതല്‍ 999 വരെ ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗം കാണുമ്പോള്‍, അവയെ രണ്ട് സംഖ്യകള്‍ ആക്കി കാണുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 152 ആദ്യം നമ്മള്‍ ചെയ്തപ്പോള്‍ സംഖ്യകളെ അക്കങ്ങളാക്കിയാണ് ക്രിയ ചെയ്തത്, ഇവിടെ ആദ്യസ്റ്റെപ്പില്‍ 152 നെ 15 എന്നും 2 എന്നും രണ്ട് സംഖ്യകള്‍ ആക്കുന്നു പിന്നെ ഒറ്റ അക്കങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗം കണ്ടരീതി തന്നെ പിന്തുടരുന്നു, അവസാന ഭാഗത്ത് രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കാണുക (15*15=225) ഇത് മനഃപാഠമാണെങ്കില്‍ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ കൂടെ ശിഷ്ടം കൂട്ടി ഉത്തരത്തിന്റെ അവസാന ഭാഗം കടക്കാം ഇനി 15 ന്റെ വര്‍ഗ്ഗം അറിയില്ലെങ്കില്‍ ഏറ്റവും മുകളില്‍ പ്രതിപാദിച്ച രീതിയില്‍ അത് ഏളുപ്പം കണ്ടെത്താം. അങ്ങനെ വിഷമം പിടിച്ച ഈ കണക്ക് എന്ന വിഷയം പാല്‍പ്പായസമായി,

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

A MERRY X'MAS TO ALL

എല്ലാവര്‍ക്കും ഹൃദ്യമായ ക്രിസ്​മസ് ആശംസകള്‍. ഇന്ന് ക്രിസ്​മസ് ഈവ്! നാളത്തെ ക്രിസ്​മസ് ദിനത്തില്‍ മാത്​സ് ബ്ലോഗിന്റെ സ്പെഷ്യല്‍ ക്രിസ്​മസ് ആശംസ ലഭിക്കണമെന്ന് നിങ്ങള്‍ക്ക് ആഗ്രഹമുണ്ടോ? എങ്കില്‍ കോഴിക്കോട് നിന്നും എന്‍.എം.വിജയന്‍ സാര്‍ അയച്ചുതന്ന ഈ പ്രശ്നത്തിനു ക്രിസ്​മസ് ദിനം അവസാനിക്കുന്നതിനു മുന്‍പ് തന്നെ പരിഹാരം കമന്റു ചെയ്യ്. എളുപ്പമുള്ള പ്രശ്നമാണ്. ഇനി പ്രശ്നത്തിലേക്ക്........ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിന്റെ ഹെഡിംഗ് ശ്രദ്ധിച്ചോ..? A MERRY X'MAS TO ALL. അഞ്ചു വാക്കുകള്‍, പത്ത് വ്യത്യസ്ത അക്ഷരങ്ങള്‍.ഓരോ അക്ഷരത്തിനും 0 മുതല്‍ 9 വരേയുള്ള വ്യത്യസ്ത അക്കങ്ങള്‍ വിലയായി നല്‍കാം. ഓരോ വാക്കിന്റേയും അക്കങ്ങളുടെ തുക ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായിരിക്കണം.കൂടാതെ, ഓരോ വാക്കിനേയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയും ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമായിരിക്കണം. മനസ്സിലായില്ലേ? എങ്കിലിതാ ഇംഗ്ലീഷില്‍.

You can see a message with 5 words and 10 different alphabets as our heading,"A MERRY X'MAS TO ALL".Three conditions must satisfy
1) Each alphabet must have distinct digits ,(0,1,2.....9)
2) The total of digits of each word must be a perfect square
3) The integer represents each word also must be a perfect square.

ഉത്തരം കിട്ടിയാലുടനെ കമന്റു ചെയ്തോളൂ.....ആദ്യം ശരിയുത്തരം കമന്റുചെയ്യുന്ന വ്യക്തിയാണ് ഈ വര്‍ഷത്തെ മാത്​സ് ബ്ലോഗിന്റെ ക്രിസ്​മസ് ഫ്രണ്ട്. എന്താ, ഒരു കൈ നോക്കുന്നോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

മറമാടപ്പെടുന്ന പ്രഹേളികകള്‍.

നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ ഓരോ പോസ്റ്റിന്റേയും കമന്റുകളില്‍ ഇപ്പോള്‍ പസിലുകളുടെ പെരുമഴയാണ്. വിജയന്‍, ജോണ്‍, ഫിലിപ്പ്, ഉമേഷ്, അസീസ്, മുരളി,ഗീത,ജയരാജന്‍,....എന്നുവേണ്ടാ, പുലികലുടെ ഒരു നീണ്ട നിര കൊണ്ടും കൊടുത്തും തകര്‍ക്കുകയാണ്. ​എന്നാല്‍, ഉമേഷ് പറഞ്ഞതുപോലെ, പല പസിലുകളും കമന്റുകള്‍ക്കിടയില്‍ വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ കിട്ടാതെ മറമാടപ്പെടുകയാണെന്നത് ഒരു ദു:ഖസത്യം തന്നെയാണ്. അതുകൊണ്ടു തന്നെ, വിശേഷപ്പെട്ട പസിലുകള്‍ പോസ്റ്റുകളായിത്തന്നെ വരേണ്ടതല്ലേ? കമന്റുകളിലൂടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനു പകരം, അവ, (കഴിയുമെങ്കില്‍ ഭംഗിയായി ടൈപ്പ് ചെയ്ത്) നമ്മുടെ മെയിലിലേക്ക് അയക്കാവുന്നതല്ലേയുള്ളൂ? ദാ, ഖത്തറില്‍ നിന്നും, അസീസ് മാഷ് ചെയ്തതുപോലെ.....



ഒരു 8x8സമചതുരം ഇടതുവശത്തെ ചിത്രത്തിലേതു പോലെ മുറിച്ച്, വീണ്ടും ചേര്‍ത്തുവെച്ചത് വലതുവശത്തേതു പോലെയാണ്. ആദ്യ ചിത്രത്തില്‍ നിന്ന് പരപ്പളവ് = 8*8 = 64.
രണ്ടാം ചിത്രത്തിലെ പരപ്പളവ് = 13*5 = 65! ഇതെങ്ങിനെ സംഭവിച്ചു?
ഇംഗ്ലീഷില്‍,
Divide an 8x8 square into 4 pieces as shown in the left figure . Then rearrange the four pieces again as in the right figure. The area of first figure is 64 (8*8) units and area of the second figure is 65 units (13*5) . Why?
നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിനായി കാത്തിരിക്കുന്നു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഏഴിനായി ആറു മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍.

2,3,4,5,6,8,9 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കോണ്ടുള്ള നിശ്ശേഷഹരണം (Divisibility) പരിശോധിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ? എന്നാല്‍ 7 കോണ്ടുള്ള നിശ്ശേഷഹരണം പരിശോധിക്കുന്നത് എങ്ങനെയാണ്? ഇക്കഴിഞ്ഞയാഴ്ച, ബ്ലോഗ് ടീമംഗവും പറവൂര്‍ സമൂഹം സ്കൂളിലെ ഗണിതാധ്യാപികയുമായ ലളിത ടീച്ചര്‍ അയച്ച മെയിലില്‍ ഇതിനുള്ള രണ്ടു മാര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ കണ്ടപ്പോഴാണ് നവംബര്‍ 7 ന് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനായി നേരത്തേ തന്നെ എന്‍.എം. വിജയന്‍ മാഷ് അയച്ചുതന്ന ലേഖനത്തെക്കുറിച്ച് ഓര്‍മ്മ വന്നത്. എന്തായാലും ഡിസംബര്‍ 7 നെങ്കിലും ഇത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്നുറപ്പിച്ചു. ആറു വ്യത്യസ്ത വഴികളാണ് അദ്ദഹം താഴേ നല്‍കുന്നത്. ഈ വഴികളില്‍ നിന്നും കുട്ടികള്‍ക്ക് എളുപ്പമുള്ളത് തെരഞ്ഞെടുക്കാം.

1. x-2l രീതി.
തന്നിട്ടുള്ള സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം l ഉം ബാക്കിയുള്ള ഗ്രൂപ്പ് x ഉം ആണെന്നു കരുതുക. സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം എടുത്ത് ഇരട്ടിയാക്കി, അത് ബാക്കിയുള്ള ഗ്രൂപ്പില്‍ നിന്നും കുറയ്ക്കുക. വലിയ സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഇത് ആവര്‍ത്തിക്കുക. ഉത്തരം പൂജ്യമോ 7 ന്റെ ഗുണിതമോ ആയാല്‍ സംഖ്യയെ 7 കോണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം!
ഉദാ 1) 357 35-14=21 21, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 357 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2)1687 168-14=154 15-8=7 7, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 1687 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
3)142857 14285-14=14271 1427-2=1425 142-10=132 13-4=9 9, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല. അതുകൊണ്ട് 142857 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2. x+5l രീതി.
ഉദാ 1) 287 28+5*7=63 63, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 287 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2) 243 24+5*3=39 39, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 243 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
3. 3x+l രീതി.
ഉദാ 1) 175 17*3+5=56 56, 7ന്റെ ഗുണിതം. അതുകൊണ്ട് 175 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.
2) 170 17*3+0=51 51, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 170 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
4. 4x-l രീതി.
ഉദാ 1) 365 36*4-5=139 13*4-9=43 43, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 365 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2) 218 21*4-8=76 76, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 218 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
5. 1,3,2,6,4,5 രീതി.
വലതുവശത്തുനിന്നും സംഖ്യയുടെ ഓരോ അക്കമെടുത്ത്, 1,3,2,6,4,5 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ആവശ്യമെങ്കില്‍ ഈ പ്രക്രിയ ആവര്‍ത്തിക്കുക. ഗുണനഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടുക. കൂട്ടിക്കിട്ടിയ സംഖ്യ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കില്‍ സംഖ്യയേയും ഹരിക്കാം.
ഉദാ 1) 3015 5*1+1*3+0*2+3*6=26 26, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 3015 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
2) 237654321 ഗുണനഫലത്തിന്റെ തുക=107 , 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 237654321 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
6. -2,-3-1,2,3,1 രീതി.
ഉദാ 1) 23456789 9*1+8*3+7*2+6*-1+5*-3+4*-2+3*1+2*3=27, 7ന്റെ ഗുണിതമല്ല അതുകൊണ്ട് 23456789 നെ 7 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല.
ചെറിയ സംഖ്യകളാണെങ്കില്‍, x-2lരീതി ആണ് നല്ലത്. സംഖ്യകള്‍ വലുതായാല്‍ 1,3,2,6,4,5 രീതിയും! വേണ്ട, ഓരോരുത്തര്‍ക്കും ഇഷ്ടപ്പെട്ടപോലെ തെരഞ്ഞെടുക്കട്ടെ.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍

ഒരു കമന്റില്‍, എളുപ്പത്തില്‍ വര്‍ഗ്ഗം കാണാനുള്ള ശ്രീ. വി.കെ. ബാലയുടെ പോസ്റ്റ് ലിങ്കായി കണ്ടപ്പോഴാണ്, മുമ്പെന്നോ ശ്രീ. എന്‍.എം. വിജയന്‍ സാര്‍ ഇ-മെയിലായി അയച്ചുതന്ന ഈ പോസ്റ്റിനെക്കുറിച്ചോര്‍മ്മവന്നത്. വൈകിയതിന്നൊരു ക്ഷമാപണത്തോടെ ഇത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണ്. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളില്‍ 625 വരെയുള്ള വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ഓര്‍ക്കാന്‍ കഴിയുന്ന കുട്ടികള്‍ക്ക് (മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കും) 10000 വരെയുള്ള വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ മനസ്സില്‍ സൂക്ഷിക്കാന്‍ ഒരു മാര്‍ഗ്ഗമാണ് ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ വെളിപ്പെടുന്നത്.

100 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ 4 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കുക. 1 മുതല്‍ 25 വരെ, 26 മുതല്‍ 50 വരെ, 51 മുതല്‍ 75 വരെ, 76 മുതല്‍ 100 വരെ. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക. ഓരോ വരിയിലും വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ അവസാനിക്കുന്ന രണ്ടക്കം തുല്യമാണെന്നു കാണാം. അതായത്, 10000 ല്‍ കുറവുള്ള 24 ല്‍ അവസാനിക്കുന്ന 4 പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങളേയുള്ളൂ.. 18,32,68,82 എന്നിവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളായ 324,1024,4624,6724. 44ല്‍ അവസാനിക്കുന്നതോ? 12,38,62,88 എന്നിവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളായ 144,1444,3844,7744. ഇതുപോലെ 4 വീതം വരുന്ന ഗ്രൂപ്പുകള്‍ ഓരോന്നും പരിശോധിച്ചാല്‍ ഒരു ബന്ധം കിട്ടും. X, 50-X, 50+X, 100-X ഇവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളിലെ അവസാനത്തെ രണ്ടക്കം ,Xന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിലെ അവസാന രണ്ടക്കം തന്നെയാണെന്നു മനസ്സിലാകും.
ഇതില്‍ നിന്ന് എന്തു മനസ്സിലായി? 96 ല്‍ അവസാനിക്കുന്ന വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ഏതൊക്കെയെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ ഉടന്‍ ഉത്തരം കിട്ടും....14,36,64,86. ആവര്‍ത്തിച്ചുനോക്കൂ. 29 ല്‍ അവസാനിക്കുന്ന 4 പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ (10000ല്‍ കുറവ്) 23,27,73,77 എന്നിവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളായ 529,729,5329,5929 മാത്രമേയുള്ളൂവെന്നു കിട്ടും.
വര്‍ഗ്ഗം കാണാന്‍ എളുപ്പവഴി
625 വരെ മനപ്പാഠമാക്കുക.
25 മുതല്‍ 75 വരെ വര്‍ഗ്ഗം
ഉദാ:
36²=(36-25)+14²=11+196=1296
48²=(48-25)+2²=23+04=2304
63²=(63-25)+13²=38+169=3969
74²=(74-25)+24²=49+576=5476
75 മുതല്‍ 100 വരെ വര്‍ഗ്ഗം
ഉദാ:
87²=(87 -13)+13 ²= 74+169=7569
94²=(94 -6)+6 ²= 88+36=8836
87 കിട്ടിയാല്‍ 13 കാണുന്നതും 94 കിട്ടിയാല്‍ 6 കാണുന്നതും വിശദീകരിക്കേണ്ടതില്ലല്ലോ?
ഇതു വലുതാക്കിയാല്‍ എന്തുകൊണ്ട് 10000000 വരെ മനസ്സില്‍ വച്ചുകൂടാ? ശ്രമിക്കുമല്ലോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഈര്‍ക്കിലുകളില്‍ നിന്നും അപ്​ലെറ്റുകളിലേക്ക്.

നിര്‍ദ്ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി ഈര്‍ക്കിലുകള്‍ കൊണ്ട് പഠിപ്പിക്കാമെന്ന കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റ് കണ്ട ഒരു സുഹൃത്തിന്റെ പ്രതികരണം, "നിങ്ങളിപ്പോഴും കാളവണ്ടി യുഗത്തിലാണോ? ടെക്നോളജിയുടെ വികാസം ഉച്ഛസ്ഥായിയിലെത്തിയ ഇക്കാലത്തും ഈര്‍ക്കിലുകളുമായി മല്ലിടുകയാണോ അധ്യാപക സമൂഹം?"
ഇതിനുള്ള മറുപടി കമന്റുകളിലൂടെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
ഏതായാലും, നിര്‍ദ്ദേശാങ്ക ജ്യാമിതി ഇന്റര്‍ ആക്ടീവായി പഠിപ്പിക്കാനുതകുന്ന ഒരു അപ്​ലെറ്റ് താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു. നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീം അംഗമായ പാലക്കാട്ടെ മുരളീകൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈ അപ്​ലെറ്റ് 'ജിയോജെബ്ര' ഉപയോഗിച്ചാണ് നിര്‍മ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
അടുത്ത ക്ലസ്റ്റര്‍ മീറ്റിങ്ങില്‍ നാം പരിചയപ്പെടാന്‍ പോകുന്ന ഈ 'ജിയോജെബ്രയുടെ' കഥയറിയാമോ? നാം മുമ്പു പരിചയപ്പെട്ട Gr.Geo, Kig എന്നീ സോഫ്ട് വെയറുകള്‍ക്ക് സമാനമായ ഒരു സോഫ്ട് വെയറാണ് GeoGebra.ആ സോഫ്ട് വെയറുകള്‍ പരിചയപ്പെട്ട ഏതൊരാള്‍ക്കും ഇത് എളുപ്പത്തില്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യാന്‍ സാധിക്കും. ഇതിലുള്ള ചില ടൂളുകള്‍ കൂടുതല്‍ ഉപകാരപ്രദമാണ്.ഇത് Java അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നത്.ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം പത്താം ക്ലാസിലെ "ത്രികോണമിതി" എന്ന പാഠഭാഗം സാധാരണയായി ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ സഹായത്തോടെയല്ലേ നാം വിശദീകരിക്കുന്നത് ?എന്നാല്‍ ഇത് ഒരു ജിയോജെബ്ര അപ്‌ലെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് വശങ്ങളുടെയും കോണുകളുടെയും അളവുകള്‍ മാറ്റാവുന്ന രീതിയില്‍ വിശദീകരിച്ചാലോ ?കൂടുതല്‍ നന്നാവില്ലേ? ഇതുപോലെ മറ്റു പാഠഭാഗങ്ങള്‍ക്കും ഇത് ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.സംശയങ്ങള്‍ നമുക്ക് ഇവിടെ ചര്‍ച്ചചെയ്യാം.നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീം അംഗമായ മുരളീകൃഷ്ണന്‍ സാറിന്റേയും ഐടി@സ്കൂള്‍ മലപ്പുറം ടീമിന്റേയും മൂന്നരമാസക്കാലത്തെ തപസ്സ്യയാണ് , ഗണിതപഠന-അധ്യാപന രംഗങ്ങളില്‍ സംസ്ഥാനത്ത് വിപ്ലവകരമായ മാറ്റത്തിനു നാന്ദി കുറിച്ചേക്കാവുന്ന ഈ സോഫ്റ്റ്​വെയറിന്റെ അനന്ത സാദ്ധ്യതകള്‍ കണ്ടെത്തിയത്! ഇതുപോലെ, ഗണിതപഠനത്തിനുതകുന്ന ധാരാളം സോഫ്റ്റ്​വെയറുകള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടുള്ള എഡ്യൂസോഫ്റ്റ് എന്ന പാക്കേജ് അടുത്ത ക്ലസ്റ്ററോടെ നമ്മിലേക്കെത്തുമെന്നാണ് പ്രതീക്ഷ. അതിലുള്ള ഗണിത സോഫ്റ്റ്​വെയറുകള്‍ ആരെങ്കിലുമൊക്കെ വിശദമായി പഠിച്ച്, അവര്‍ നേടിയ വിജ്ഞാനം പങ്കുവെക്കാന്‍ തയ്യാറായാല്‍, അതിന്റെ സത്ഗു​ണം നമ്മുടെ കുട്ടികള്‍ക്ക് എത്രമാത്രം പ്രയോജനപ്പെടില്ല!
അപ്​ലെറ്റിനായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.
ഐടി സ്കൂള്‍ ലിനക്സില്‍ അപ്​ലെറ്റ് ശരിയായി വര്‍ക്ക് ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കില്‍ ഈ പോസ്റ്റ് ഉപയോഗപ്പെടുത്തുക.
വിന്‍ഡോസ് ഉപയോഗിക്കുന്നവര്‍ ശരിയായ ജാവ പ്ലഗ്ഗിന്‍ ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്യുക.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ചന്ദ്രികയും പൈതഗോറസും

മുന്‍പൊരിക്കല്‍, സമചതുരത്തിന്റേയും ചന്ദ്രികയുടേയും പരപ്പളവ് തുല്യമെന്ന് തെളിയിക്കാമോയെന്ന ചോദ്യവുമായി വന്ന പോസ്റ്റ് ഓര്‍മ്മയിലുണ്ടോ?നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ വടകരയിലെ വിജയന്‍സാറിന്റെ ആദ്യ പോസ്റ്റുകളിലൊന്നായിരുന്നൂ അത്. ജോണ്‍ സാറും ഭാമടീച്ചറുമടക്കം ഒരുപാട് പേര്‍ അത് തെളിയിക്കുകയും നാമത് ഒരു പോസ്റ്റിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തതാണ്. എന്നാല്‍, പൈതഗോറിയന്‍ പ്രിപ്പോസിഷനിലൂടെ (Pythagorian preposition)ഒരു വ്യത്യസ്ത തെളിവുമായി രംഗത്തെത്തിയിരിക്കുകയാണ് വിജയന്‍ സാര്‍....

ചിത്രം 1 ലെ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണത്തിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തം, ആ ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലുള്ള അര്‍ദ്ധവൃത്തങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

ചിത്രം 1

വലിയ അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ മറുവശത്തേക്കു മാറ്റിയാല്‍ നമുക്കു ലഭിക്കുന്ന രണ്ടു ചന്ദ്രികകളും കൂടിയാല്‍ ത്രികോണത്തിനു തുല്യമായി (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2

ത്രികോണം സമപാര്‍ശ്വമായാല്‍ ഓരോ ചന്ദ്രികയും അതിനു തുല്യമായി വരും (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3

ചിത്രം 4

ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണത്തില്‍ നിന്നും സമചതുരമുണ്ടാക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ? (ചിത്രം 5).

ചിത്രം 5

അതുകൊണ്ട് ചന്ദ്രികയുടെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം നിര്‍മ്മിക്കല്‍ ജ്യാമിതീയ രീതിയില്‍ സാദ്ധ്യമാണെന്നു തെളിഞ്ഞു.

സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ് = π/4*√2x*√2x= π/2 x²
സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ് = π/2*x*x=π/2 x²
AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് = ∆AMN ന്റെ പരപ്പളവ് + സെക്ടര്‍ NBMD യുടെ പരപ്പളവ്
= x²+π/2 x²
ചന്ദ്രികയുടെ പരപ്പളവ് = AMDN ന്റെ പരപ്പളവ് - സെക്ടര്‍ AMCN ന്റെ പരപ്പളവ്
= (x²+π/2 x²)- π/2 x²
= x²
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും x²ആയതിനാല്‍, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെട്ടു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പള്ളിയറയുടെ മാന്ത്രിക വൃത്തം.

തുടക്കം മുതലേതന്നെ നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ശ്രദ്ധിക്കുകയും, വേണ്ട നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ തന്നുകൊണ്ടിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പള്ളിയറ ശ്രീധരന്‍ സാര്‍ ഇത്തവണ കുട്ടികള്‍ക്കു വേണ്ടിയുള്ള ഒരു മാന്ത്രിക വൃത്തവുമായാണ് രംഗത്തെത്തിയിരിക്കുന്നത്. രസകരമായ 'കണക്കിലെ കളികളിലൂടെ', ഒരുപാട് കുട്ടികളിലെ ഭീതി മാറ്റിയെടുത്ത് അവരെ ഗണിതത്തോടടുപ്പിച്ച അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതനുറുങ്ങുകള്‍ ഇടക്കിടെ പ്രതീക്ഷിക്കാം. മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കൂ. ഒന്‍പത് ചെറിയ വൃത്തങ്ങള്‍ കാണുന്നില്ലേ? ഈ വൃത്തങ്ങളില്‍ ഒന്നുമുതല്‍ ഒന്‍പതുവരെയുള്ള ഓരോ അക്കം വീതം ചേര്‍ക്കണം. ഒരക്കം പോലും വിട്ടുകളയുകയോ ആവര്‍ത്തിക്കുകയോ ചെയ്യരുത്. ഓരോ വരിയിലേയും മൂന്നുവീതം അക്കങ്ങളുടെ തുക 18 ആയിരിക്കണം. ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ...! ഉത്തരം കമന്റുചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പത്തിനായി മാത്രമാണ് വൃത്തങ്ങള്‍ക്കു പേരുകൊടുത്തിട്ടുള്ളത്.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഖത്തറില്‍ നിന്നൊരു തേനീച്ചക്കൂടും ഗണിതപ്രശ്നവും

അരീക്കുളം കെ.പി.എം.എസ്.എം.എച്ച്.എസിലെ ഗണിതാധ്യാപകനായ അസീസ് മാഷ് ഖത്തറില്‍ നിന്നും നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യാനായി തേനീച്ചക്കൂടുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി ഒരു ഗണിതപ്രശ്നം ഇ-മെയില്‍ ചെയ്തു തന്നിരിക്കുന്നു. വിദേശത്തു നിന്ന് നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലേക്ക് ലഭിക്കുന്ന മെയിലുകള്‍ക്ക് ഒരു മുന്‍ഗണന നല്‍കേണ്ടത് അനിവാര്യമാണല്ലോ. മാത്രമല്ല, ഇവിടെ നടക്കുന്ന ചര്‍ച്ചകളില്‍ വിദേശപങ്കാളിത്തം ഊട്ടിയുറപ്പിച്ചു കൊണ്ട് എന്നും ഇടപെടുന്ന ഒരു വ്യക്തിയാണ് അദ്ദേഹമെന്ന് കമന്റുബോക്സുകള്‍ പരിശോധിച്ചാല്‍ അറിയാന്‍ കഴിയും. ഇംഗ്ലീഷില്‍ അയച്ചു തന്ന മെയിലിന്റെ മലയാള പരിഭാഷയിലൂടെ...

നിങ്ങള്‍ക്കെല്ലാവര്‍ക്കും തേനീച്ചകളുടെ ജീവിതത്തെക്കുറിച്ച് അറിയാമല്ലോ. എല്ലാ തേനീച്ചകളുടെയും മാതാവായി ഒരു റാണി തേനീച്ചയും (Queen) മടിയന്മാരായി കൂട്ടില്‍ തങ്ങുന്ന ആണ്‍ ഈച്ചകളും (Drones) ഒരു മടിയുമില്ലാതെ കഷ്ടപ്പെടുന്ന ജോലിക്കാരികളായ പെണ്‍ ഈച്ചകളും (Workers) ആണ് ഒരു കൂട്ടിലെ അന്തേവാസികള്‍. പ്രത്യുല്പാദനശേഷിയില്ലാത്ത ഈ പെണ്ണീച്ചകള്‍ വളരെ കുറച്ച് സമയമേ കൂട്ടിലുണ്ടാകൂ. ഇവരാണ് ഒരു തേനീച്ചക്കൂട്ടിലെ ഏറ്റവും ഉത്തരവാദിത്വമുള്ളയാളുകള്‍. ജോലിക്കാരി തേനീച്ച ജനിച്ചുകഴിഞ്ഞാല്‍ ആദ്യ പതിനഞ്ചു ദിവസത്തോളം തേനറകള്‍ ക്ലീന്‍ ചെയ്യുക, അറകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാനാവശ്യമായ മെഴുക് നിര്‍മ്മിക്കുക, തേന്‍ ഉണ്ടാക്കുക, പൂമ്പൊടി ശേഖരിച്ചു വെക്കുക, റാണിക്ക് ഭക്ഷണം കൊടുക്കുക, ശത്രുക്കളില്‍ നിന്ന് കൂടിനെ രക്ഷിക്കുക തുടങ്ങിയവ അതില്‍പ്പെടുന്നു. കൂട്ടിലെ ജോലി കഴിഞ്ഞാല്‍ പൂമ്പൊടി, തേന്‍, വെള്ളം ഇവ ശേഖരിക്കാനായി ഇവ പുറത്തേക്കിറങ്ങുന്നു. ഒരുപാട് പഠിക്കാനുണ്ട് നമുക്കിവയുടെ ജീവിത രീതിയെക്കുറിച്ച്.

തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ അറകളുടെ പ്രത്യേകത കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? ഓരോ അറകളും സമഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലാണ് നിര്‍മ്മിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്. എത്ര കലാപരമായിട്ടാണ് അതിന്റെ നിര്‍മ്മിതി. വൃത്തം കഴിഞ്ഞാല്‍, എറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ഥലത്ത്, ഏറ്റവുമധികം വ്യാപ്തം ഉള്‍ക്കൊള്ളാന്‍ കഴിയുക ഈ രൂപത്തിനായതിനാല്‍ കൂടിയാകണം തേനീച്ചകള്‍ അവരുടെ ഗണിതബുദ്ധി ഈ രൂപത്തില്‍ ദൃശ്യമാക്കുന്നത്! മുകളിലെ ചിത്രത്തില്‍ അതുപോലൊരു തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ ഭാഗമാണ് വരച്ച് ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നത്. ആകെ 19 അറകളാണ് ചിത്രത്തിലുള്ളത്. തിരിച്ചറിയാനായി ഓരോ അറയ്ക്കും a മുതല്‍ s വരെ പേരു നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഓരോ അറയേയും ഉള്‍​പ്പെടുത്തി മൂന്നു നിരകള്‍ കാണാന്‍ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന് h എന്ന അറയെ ആധാരമാക്കി നോക്കൂ. കുത്തനെയുള്ള നിരയില്‍ c,h,m,r കാണാനുകും. ഇടത്തോട്ടുള്ള നിരയില്‍ b,e,h,k യും വലത്തോട്ടുള്ള നിരയില്‍ f,h,j,l,n യും കാണാം. ഇങ്ങനെ ഓരോ അറയേയും ആസ്പദമാക്കി ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും കുത്തനെയുമായി മൂന്നു തരം നിരകള്‍ കാണാന്‍ കഴിയും. ഇതിനെ ആസ്പദമാക്കിയാണ് ഈ പ്രശ്നം.

ഈ 19 അറകളിലുമായി 1 മുതല്‍ 19 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ ക്രമീകരിക്കണം. ഒരു സംഖ്യയും വിട്ടുപോവുകയോ ആവര്‍ത്തിക്കുകയോ ചെയ്യരുത്. ഏത് അറയെ ആസ്പദമാക്കിക്കൊണ്ട് നിരകള്‍ കൂട്ടിയാലും തുക ഒന്നു തന്നെയായിരിക്കണം. a മുതല്‍ s വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ വില ഏതെന്ന് കണ്ടെത്താമോ?

ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റ് ചെയ്യുകയോ മെയില്‍ ചെയ്യുകയോ ആകാം. ഉത്തരങ്ങള്‍ ശനിയാഴ്ച ഇതേ പോസ്റ്റിനു താഴെ കമന്റ്സില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഒരു കോണിനെ മൂന്നായി ഭാഗിക്കാം

ഒരു കോണിനെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കാമോ എന്ന ചോദ്യവുമായി ഈ ബ്ലോഗിന്റെ ആരംഭകാലത്ത് ഒരു പോസ്റ്റ് ഇട്ടിരുന്നു. ഒരു കോണിനെ രണ്ടായി ഭാഗിക്കുന്നതിനെപ്പറ്റി നമ്മുടെ കുട്ടികള്‍ക്ക് അറിയാമെങ്കിലും മൂന്നായി മുറിക്കുന്നതിനെപ്പറ്റി പ്രത്യേകിച്ച് എവിടെയെങ്കിലും പരാമര്‍ശമുള്ളതായി കണ്ടിട്ടില്ല. അവരെ നമ്മള്‍ പഠിപ്പിച്ചിട്ടുമില്ല. നമ്മുടെ കൂട്ടത്തിലെ ചില അധ്യാപകര്‍ ഈ പ്രശ്നം ക്ലാസില്‍ നല്‍കുകയും അതിന് ചില മിടുക്കന്മാരായ കുട്ടികള്‍ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തതായി ബ്ലോഗ് ടീമിനെ അറിയിച്ചിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രമായതിനാല്‍ മെയില്‍ വഴി വരച്ച് അതയച്ചു തരാന്‍ ഒട്ടും എളുപ്പമല്ലെന്ന് നമുക്കറിയാമല്ലോ. അത് കൊണ്ട് അത് വിലയിരുത്താനുള്ള അവകാശം അതാത് അധ്യാപകര്‍ക്ക് തന്നെ നല്‍കുകയായിരുന്നു.അന്നത്തെ ആ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരവുമായി തൃശൂര്‍ പെരിങ്ങോട്ടുകരയില്‍ നിന്നും സത്യഭാമടീച്ചര്‍ ഒരു മെയില്‍ അയച്ചിരിക്കുന്നു.

ടീച്ചര്‍ തന്നെയാണ് അതിന്റെ ചിത്രവും വരച്ചത്. പലപ്പോഴും അധ്യാപകര്‍ നമുക്കയച്ചു തരുന്ന മെയിലുകള്‍ ഇംഗ്ലീഷിലായിരിക്കും. അവ മലയാളത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്ന ജോലി ബ്ലോഗ് ടീം തന്നെയാണ് ചെയ്യുന്നത്. അത് കൊണ്ട് ഭാഷ പ്രശ്നമാക്കേണ്ട. ഇംഗ്ലീഷിലോ മലയാളത്തിലോ മംഗ്ലീഷിലോ നിങ്ങള്‍ക്ക് ചോദ്യവും ഉത്തരവും മെയില്‍ ചെയ്യാം. ഇതുപോലൊന്ന് ചെയ്തു തരാന്‍ നിങ്ങള്‍ക്കുമുണ്ടാകില്ലേ? കേരളം മുഴുവന്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടട്ടെ അവ. ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും വരച്ച് എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട്-682502, എറണാകുളം എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് അയക്കാം. ഇനി മെയിലിലേക്ക് ....

ഇവിടെ ABC യാണ് മൂന്നായി ഭാഗിക്കപ്പെടേണ്ട കോണ്‍ എന്ന് സങ്കല്‍പ്പിക്കുക. BD എന്ന ലംബം വരയ്ക്കുക. BD യിലെ ഒരു ബിന്ദു ആധാരമാക്കി B യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ചാപം (arc) വരയ്ക്കുക. BA യില്‍ ചാപം സൃഷ്ടിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന് L എന്ന് പേര് കൊടുക്കാം. B കേന്ദ്രമാക്കി BL എന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ നീളം BD യില്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക. ആ ചാപം BD യില്‍ സൃഷ്ടിച്ച ബിന്ദുവിന് M1 എന്ന് പേര് കൊടുക്കാം. BM1 നെ 3 തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കുക. തുടര്‍ന്ന് B കേന്ദ്രമാക്കി BM1, BM2, BM3 ഇവ ആരമായെടുത്ത് ചാപങ്ങള്‍ വരയ്ക്കുക. എവിടെ വെച്ചെല്ലാമാണോ ചാപം BL നെ മേല്‍പ്പറഞ്ഞ ചാപങ്ങള്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നത് B യില്‍ നിന്നും അതിലൂടെ രേഖകള്‍ വരയ്ക്കുക. ഇവയാണ് ആ കോണിന്റെ തുല്യമായി ഭാഗിക്കുന്ന സമഭാജികള്‍.

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നല്ല എത്ര ഭാഗമായി വേണമെങ്കിലും ഒരു കോണിനെ നമുക്ക് ഭാഗിക്കാം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

19 കൊണ്ടൊരു മാജിക്ക്

ഇന്ന് ഒക്ടോബര്‍ 19. നമുക്കൊരു കളിയാകാം. അല്ലേ? കളിയും പഠനവും ഒത്തൊരുമിപ്പിച്ച ഒരു മാജിക് എന്നും ഇതിനെ പേര് വിളിക്കാം. ഈ മനോഹരമായ ഗണിതവിസ്മയം നമുക്കയച്ചു തന്നത് കോഴിക്കോട് വടകര, അരീക്കുളം കെ.പി.എം.എസ്.എം.എച്ച്.എസിലെ അധ്യാപകനായ N.M വിജയന്‍ സാറാണ്. വിജയന്‍ സാറിന് നന്ദി പറഞ്ഞു കൊണ്ട് നമുക്കീ കളിയിലേക്ക് കടക്കാം.

19 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം കളിക്കാം...
ഇതോടൊപ്പം നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ചിത്രം കണ്ടോ? അതില്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് വിവിധ സംഖ്യകള്‍ ഉള്‍​പ്പെടുന്ന മൂന്ന് ഓര്‍ബിറ്റുകള്‍ കാണാന്‍ കഴിയും. അകത്തെ ഓര്‍ബിറ്റില്‍ 19 മാത്രമേ ഉള്ളു. അതിന് പുറത്തുള്ള രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ ഘടികാരദിശയില്‍ (Clockwise direction) 1, 10, 5, 12, 6, 3.............. എന്നും ഏറ്റവും പുറമെയുളള മൂന്നാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ 0, 5, 2, 6, 3, 1, 5........... എന്നും കണ്ടല്ലോ.

ഇനി നിങ്ങള്‍ക്ക് ഈ ചിത്രം നോക്കി 1/19, 2/19, 3/19, 4/19, .... , 18/19 എന്നിവ എളുപ്പത്തില്‍ കണ്ടെത്താം. നിങ്ങള്‍ക്ക് 1/19 ആണോ വേണ്ടത്? എഴുതിക്കോളൂ.. ..052631578947368421

6/19= .315789473684210526
14/19= .736842105263157894

ഉത്തരമെഴുതാന്‍ രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ നിന്നും അംശം (Numerator) കണ്ടെത്തുക. അതിനു നേരെ മൂന്നാം ഓര്‍ബിറ്റിലുള്ള സംഖ്യ മുതല്‍ ഘടികാരദിശയില്‍ എഴുതുക. മുകളിലെ മൂന്നുദാഹരണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ശരിയല്ലേയെന്ന് നോക്ക്യേ... വിശ്വാസമായില്ലേ? കാല്‍ക്കുലേറ്ററുണ്ടോ കയ്യില്‍. ഇല്ലെങ്കില്‍ മൊബൈലിലോ കമ്പ്യൂട്ടറിലോ നോക്കൂ. 9/19 എത്രയാണെന്ന് കാല്‍ക്കുലേറ്ററില്‍ നോക്കിയ ശേഷം 9 നു നേരെ മൂന്നാം ഓര്‍ബിറ്റിലുള്ള സംഖ്യമുതല്‍ ഘടികാരദിശയില്‍ എഴുതി നോക്കിക്കോളൂ. എങ്ങനെയുണ്ട് വിദ്യ?

എങ്ങനെയാണ് ഈ ടേബിള്‍ നിര്‍മ്മിച്ചത്? വളരെയെളുപ്പം. 1 എന്ന് രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ എവിടെയെങ്കിലും എഴുതുക. ഘടികാരവിപരീതദിശയില്‍ (Anticlockwise direction) അതിന്റെ ഇരട്ടി എഴുതുക. അതിന്റെ ഇരട്ടി തൊട്ടപ്പുറം ഇതേ പോലെ തന്നെ എഴുതുക. എപ്പോളിത് 19 ലും മുകളില്‍ പോകുന്നുവോ അപ്പോള്‍ എഴുതേണ്ടത് ആ സംഖ്യയില്‍ നിന്ന് 19 കുറച്ച ശേഷം മാത്രം. എഴുതിയതിന്റെ ഇരട്ടി തൊട്ടപ്പുറം എഴുതുക. അങ്ങനെ രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ 18 സംഖ്യകളാകുമ്പോള്‍ നിര്‍ത്തുക.

ഉദാഹരണത്തിന് 16 ന്റെ ഇരട്ടി എഴുതുമ്പോള്‍ 32. 32 ല്‍ നിന്നും 19 കുറക്കുക. ഉത്തരം 13 അത് ഓര്‍ബിറ്റില്‍ ഘടികാരവിപരീതദിശയില്‍ (ആന്റി ക്ലോക്ക്​വൈസ് ഡയറക്ഷനില്‍) എഴുതുന്നു. വീണ്ടും 13 ഇരട്ടിയാക്കുമ്പോഴോ 26. 19 കുറക്കുക, ഉത്തരം 7.

മൂന്നാം ഓര്‍ബിറ്റും വളരെയെളുപ്പം തയ്യാറാക്കാം. രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റിലുള്ളത് ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ നേര്‍പകുതിയാണ് അതിന്റെ നേരെ മൂന്നാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ എഴുതേണ്ടത്. ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിലോ, സംഖ്യയില്‍ നിന്നും 1 കുറച്ച് നേരെ പകുതി എഴുതുക. അതായത് രണ്ടാം ഓര്‍ബിറ്റില്‍ 1 ആണ് ഉള്ളതെങ്കില്‍ അതിന് നേരെ 0 എഴുതുക. 3 ആണെങ്കില്‍ 1 (മൂന്നില്‍ നിന്ന് 1 കുറച്ച് പകുതി), 11 എങ്കില്‍ 5, 12 എങ്കില്‍ 6 (ഇരട്ടസംഖ്യയ്ക്ക് നേര്‍പകുതി)

എങ്ങനെയുണ്ട് 19 നെ മെരുക്കുന്ന വിദ്യ? ഇപ്രകാരമുള്ള ടേബിളുകള്‍ 1/7, 1/29, 1/39, 1/49 എന്നിവ കണ്ടെത്താന്‍ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. ശ്രമിക്കില്ലേ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഗണിതശാസ്ത്ര ക്വിസ് ചോദ്യപേപ്പര്‍ ഇതോടൊപ്പം

ഗണിതശാസ്ത്രബ്ലോഗിനെപ്പറ്റി നിരവധി പേര്‍ പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലായി വ്യത്യസ്തമായ ഒട്ടനവധി അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. അക്കൂട്ടത്തില്‍ വന്ന വ്യത്യസ്തമായ ഒരു കമന്റ് ഞങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയെ ഹഠദാകര്‍ഷിച്ചു. ആരാണാ വ്യക്തി എന്നു ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാതെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ കമന്റിന്റെ പ്രസക്തഭാഗത്തേക്ക് മാത്രം നമുക്കൊന്നു കണ്ണോടിക്കാം. "എന്റെ ദിവസങ്ങള്‍ ഗണിത ബ്ലോഗില്‍ തുടങ്ങി ഗണിതബ്ലോഗില്‍ അവസാനിക്കുന്നു"വെന്നാണദ്ദേഹം എഴുതിയത്. അതെ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ വാക്കുകള്‍ നൂറു ശതമാനം യാഥാര്‍ത്ഥ്യമാണ് എന്നു ഞങ്ങള്‍ക്കറിയാം. ‌എല്ലാ ദിവസവും അതിരാവിലെ ബ്ലോഗ് നോക്കി ഗണിതപ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരമോ സൂചനകളോ നല്‍കാന്‍ അദ്ദേഹവുമുണ്ടാകും.

സ്ക്കൂള്‍ ടൈമിലും രാത്രി ഉറങ്ങുന്നതു വരെയും അദ്ദേഹം ബ്ലോഗില്‍ നടക്കുന്ന ചര്‍ച്ചകളില്‍ പങ്കാളിയാകും. ഇവിടെ ആ വ്യക്തിയുടെ പേര് സൂചിപ്പിക്കാത്തത് സമാനസ്വഭാവമുള്ള ഒട്ടനവധി അധ്യാപകര്‍ ബ്ലോഗിനൊപ്പമുണ്ട് എന്നുള്ളതു കൊണ്ടാണ്. അതു കൊണ്ട് തന്നെ ആ ഒരു കമന്റിലെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അഭിനന്ദനപ്പൂച്ചെണ്ടുകള്‍ എല്ലാ സജീവ വായനക്കാര്‍ക്കുമായി പങ്കുവെക്കുന്നു.

അഭിനന്ദനത്തോടൊപ്പം ഒട്ടനവധി രൂക്ഷ വിമര്‍ശനങ്ങളും നമ്മുടെ പല പോസ്റ്റുകള്‍ക്കുമുണ്ടാകാറുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ച് അവധി ദിവസങ്ങളിലാണ് സംവാദത്തിന് ചൂടേറുക. അക്കൂട്ടത്തില്‍ ഒരു രൂക്ഷവിമര്‍ശന-അഭിനന്ദനപ്രവാഹമുണ്ടായ ഒരു പോസ്റ്റിനെപ്പറ്റി ഇവിടെയൊന്ന് പരാമര്‍ശിക്കട്ടെ.

നമ്മുടെ വായനക്കാരായ അധ്യാപകരുടെ നിരന്തരമായ അഭ്യര്‍ത്ഥനയെത്തുടര്‍ന്നാണ് എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ചോദ്യപേപ്പര്‍ തയ്യാറാക്കി നമ്മുടെ ടീം ബ്ലോഗിലൂടെ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് . അത് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചപ്പോഴുണ്ടായ അനുകൂല പ്രതികൂല പ്രതികരണങ്ങള്‍ ഞങ്ങളെ ഏറെ സന്തോഷിപ്പിച്ചു. കാരണം, നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ അത് കൃത്യമായി വായിച്ചു നോക്കിക്കൊണ്ടായിരിക്കുമല്ലോ നിഷ്പക്ഷവും സ്വതന്ത്രവുമായ അവരുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ കമന്റായി രേഖപ്പെടുത്തിയത്. ചോദ്യപേപ്പറുകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്നവരടക്കം നമ്മുടെ വായനക്കാരായുള്ളപ്പോള്‍ തീര്‍ച്ചയായും കമന്റുകളില്‍ അലയടിച്ച പ്രതിഷേധവും തലോടലുകളുമെല്ലാം അവരും കണ്ടിട്ടുണ്ടാകുമെന്നതില്‍ സംശയം വേണ്ട.

അതിന്റെ തുടര്‍ച്ചയെന്നോണമുള്ള ഒരു പോസ്റ്റാണ് ഇതും. കാരണം ഇന്നത്തെ ലേഖനത്തോടൊപ്പം ഒരു ഡൌണ്‍ലോഡ് കൂടിയുണ്ട്. വരാപ്പുഴയില്‍ നിന്നും പി.എ ജോണ്‍ മാഷ് തപാലില്‍ അയച്ചു തന്ന, ആലുവ വിദ്യാഭ്യാസ ജില്ലയ്ക്ക് വേണ്ടി തയ്യാറാക്കിയ ഹൈസ്ക്കൂള്‍ വിഭാഗം ഗണിതശാസ്ത്ര ക്വിസ് ആണത്. ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ അടുത്ത തിങ്കളാഴ്ച നല്‍കും. അറിയാമെങ്കില്‍ 25 ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും ഉത്തരം നല്‍കാം. അതുമല്ലെങ്കില്‍ ഇവിടെയും നമ്മുടെ ആശങ്കകളും പ്രതിഷേധങ്ങളും പങ്കുവെക്കാം. മനസ്സു തുറന്ന് അഭിപ്രായം വരട്ടെ. ഇവിടെ anonymous ആയോ സ്വന്തം പേരിലോ ആശങ്കകള്‍ പങ്കുവെക്കാം. ഞങ്ങള്‍ കാതോര്‍ത്തിരിക്കുന്നു.

Click here to download a Math Quiz for HS

ഓര്‍ക്കുക, മുന്‍പ് ബ്ലോഗിനെപ്പറ്റി ഒന്നുമറിയാതിരുന്ന പല അധ്യാപകരും സ്ത്രീപുരുഷഭേദമന്യേ ഇന്ന് ബ്ലോഗിലെ കമന്റ് ബോക്സുകളില്‍ സ്വാഭിപ്രായം വാക്കുകളിലാക്കി വരച്ചു വെക്കുന്നവരാണ്. പോസ്റ്റുകള്‍ വായിക്കാന്‍ മാത്രമല്ല, കമന്റുകള്‍ വായിക്കാനും ആസ്വദിക്കാനും നമുക്ക് നല്ല വായനക്കാരുണ്ട്. ഇവിടെ കമന്റാന്‍ മംഗ്ലീഷും ഇംഗ്ലീഷും മലയാളവും ഉപയോഗിക്കാം. അധ്യാപകര്‍ക്കിടയിലേക്ക് ഒരു സൌജന്യസേവനമായ ബ്ലോഗിനെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നതിന്റെ ആദ്യ പടിയായിട്ടാണ് ഞങ്ങള്‍ കമന്‍റുകളെ കാണുന്നത്.

താഴെയുള്ള വെളുത്ത പ്രതലത്തില്‍ അഭിപ്രായം ടൈപ്പ് ചെയ്ത് Comment as എന്നതില്‍ നിന്നും Anonymous തെരഞ്ഞെടുത്ത് Publish ചെയ്യുകയേ വേണ്ടൂ. ഒന്നു ശ്രമിച്ചു നോക്കൂ. നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളാണ് ഇത്തരം പോസ്റ്റുകളും ചോദ്യപേപ്പറുകളും മറ്റും തയ്യാറാക്കി വായനക്കാര്‍ക്ക് എത്തിക്കാന്‍ ഞങ്ങളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നത്. യാതൊരു പ്രതികരണവുമില്ലെങ്കില്‍ ഇതാര്‍ക്കു വേണ്ടി എന്ന ചിന്തയില്‍ ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കാനും അവ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്യാന്‍ പാകത്തില്‍ PDF ആക്കാനും മണിക്കൂറുകള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് പ്രചോദനമുണ്ടാകുമോ? അതുകൊണ്ട് ജീവിതത്തില്‍ ഇന്നേ വരെ കമന്റാത്തവര്‍ക്കും ഇവിടെ മനസ്സു തുറന്ന് കമന്റാം. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ക്കായി കാത്തിരിക്കുന്നു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക