9, 10 ക്ലാസുകളിലെ മാതൃകാ ടീച്ചിങ് മാനുവലുംകണ്ണന്‍ സാറിന്റെ പ്രൊജക്ടും

പാലക്കാട്ടെ പരുത്തിപ്പുള്ളിയിലെ കണ്ണന്‍ സാര്‍ പഴയപോലെ വീണ്ടും സജീവമാകുകയാണ് നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍! ഒമ്പതിലേയും പത്തിലേയും ഗണിത പുസ്തകങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചുമാറുമ്പോള്‍, മാത്‌സ് ബ്ലോഗിന് എങ്ങനെ ഗണിതത്തെ അവഗണിക്കാനാകും?ഹൈസ്കൂള്‍ ക്ലാസുകളിലെ പുതിയ ഗണിത സമീപനത്തിന്റെ സൗന്ദര്യം കുടികൊള്ളുന്നത്, ക്ഷേത്രഗണിത ബീജഗണിത സമന്വയമാണത്രെ! ഈ പഠന പ്രോജക്ട് അതുകൊണ്ടുതന്നെ സമാന്തരശ്രേണിക്കും വൃത്തങ്ങള്‍ക്കും തൊടുവരകള്‍ക്കുമൊക്കെ അവകാശപ്പെട്ടതുതന്നെ. "നിഗമനങ്ങളിലെ അപകടം" എന്ന ട്രിവിയ (സൈഡ് ബോക്സ്) ആധാരമാക്കിയാണ് ഈ പഠന പ്രോജക്ട് തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. ഇതു സംബന്ധമായി മാത്രമല്ല, ഈ യൂണിറ്റ് പഠിക്കുമ്പോഴും പഠിപ്പിക്കുമ്പോഴുമുണ്ടാകുന്ന സംശയങ്ങള്‍ ചുവടെ ചോദിക്കുക. കൃഷ്ണന്‍ സാറിനേയും ജോണ്‍ സാറിനേയുമൊക്കെ പ്രതീക്ഷിക്കാം.

Maths Project : Prepared by Kannan Sir, Paruthippully	Download
A Continous Activity on the above Maths Project Prepared by Pramod Moorthy Sir, Palakkad	Download
STD X Unit Plan & Model Teaching Note and Unit Plan	Download
STD IX Unit Plan & Model Teaching Note and Unit Plan	Download

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Maths Project, ചോദ്യപേപ്പര്‍, ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി

മൂന്നുകാര്യങ്ങളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിലുള്ളത്. ഒന്ന്: ഒരേ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിലും അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തിലും വരക്കാവുന്ന പരമാവധി വലുപ്പമുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകള്‍ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത്. രണ്ട് പത്താംക്ലാസുകാര്‍ക്കുള്ള ഒരു മാതൃകാചോദ്യപേപ്പര്‍ .മൂന്ന് തൊടുവരകളില്‍ നിന്നും സാധാരണകാണാത്ത ഒരു ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി.

ഒരു ത്രികോണം വരക്കുന്നതിന് മൂന്ന് അളവുകള്‍ ആവശ്യമാണ്. വരക്കുക എന്നത് ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയാണ്. ഒരു വശത്തിന്റെ നീളവും അതിന്റെ എതിര്‍കോണും തന്നിരുന്നാല്‍ ത്രികോണം വരക്കാന്‍ സാധിക്കില്ലേ? പത്താംക്ലാസില്‍ പഠിക്കാനുള്ള തൊടുവരയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഈ നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം. രണ്ട് വ്യവസ്ഥകള്‍ മാത്രം തന്നിരുന്നാല്‍ ഒരു പ്രത്യേക ത്രികോണമല്ല കിട്ടുന്നത്. പകരം ധാരാളം ത്രികോണങ്ങള്‍ വരക്കാന്‍ സാധിക്കും.

$‌\triangle ABC$ യില്‍ $\angle A= 60^\circ$ , $BC= 6$ സെ.മീറ്റര്‍. ത്രികോണം നിര്‍മ്മിക്കുക. ഇത്തരം എത്ര ത്രികോണങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാന്‍ സാധിക്കും ?

1. $6$ സെ.മീറ്റര്‍ നീളത്തില്‍ $BC$ വരക്കുക.
2. $B$ശീര്‍ഷമായി $CBX$ എന്ന കോണ്‍ വരക്കുക . കോണ്‍ $CBX=60^\circ$ ആയിരിക്കണം $XB$ എന്ന വര നീട്ടുക
3. $B$യില്‍നിന്നും ഇപ്പോള്‍ വരച്ച കോണ്‍ ഭുജത്തിന് ലംബം വരക്കുക. $BC$ യ്ക്ക് ലംബസമഭാജി വരക്കുക. ഈ ലംബങ്ങള്‍ രണ്ടും കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദു കേന്ദ്രമാക്കി $B$ യിലേയ്ക്കുള്ള ദൂരം ആരമാക്കി വൃത്തം വരക്കുക.
4. മറുഖണ്ഡത്തില്‍ കോണ്‍ വരക്കുക. ഇത് $A=60^\circ$ ആയിരിക്കും

ചിത്രം നോക്കുക

Project Discussions
Model Question Paper

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

----Challenges of a mathematics Teacher: --- നാം പ്രതിസന്ധികളെ മറികടക്കുന്നത്

പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ പുതുക്കിയെഴുതുന്ന കാലത്ത് കേരളത്തിലെ ഒരു പൊതുവിദ്യാലയത്തിലെ ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്റെ ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. രാകേഷ് സാര്‍ ആലപ്പുഴയില്‍ നിന്നുള്ള റിസോഴ്സ് പേഴ്സണനാണ്. മാത്​സ് ബ്ലോഗിന്റെ നിത്യസന്ദര്‍ശകനും. രാകേഷ് സാര്‍ എഴുതുന്നു... അഞ്ചാം തരം മുതല്‍ പത്താം തരം വരെയുള്ള നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോള്‍ വായനക്കാരന് വിവിധ കാഴ്ചപാടുകള്‍ അത് സമ്മാനിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി വായനക്കാരന് തന്റെ മാതൃഭാഷയായ മലയാളത്തിനോടുള്ള ഇഷ്ടം,സ്നേഹം,ബഹുമാനം ഇവയൊക്കെ തന്നെ ഗണിതപാഠപുസ്തകം സമ്മാനിക്കുന്നുണ്ട്.കൂടാതെ നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം പഠിക്കലാണ്- പഠിപ്പിക്കലാണ് ഏതൊരു ഗണിതവിദ്യാര്‍ത്ഥിയും ഗണിതാദ്ധ്യാപകനും ചെയ്യേണ്ടത് എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം അടിവരയിട്ട് പറയുന്നു. അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണമായ ഗണിതം ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ പല സ്ഥലങ്ങളിലും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു-(അതായത് പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നു).ഇത്തരം പ്രതിസന്ധികള്‍ ഉണ്ടാകുന്നതും അവ തരണം ചെയ്യുന്നതുമൊക്കെ തന്നെ വളരെ മനോഹരമായി നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്. 1 മുതല്‍ 12 വരെയുള്ള പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ 2014-2016 കാലയളവില്‍ മാറുകയാണല്ലോ.മാറ്റത്തെ നമുക്ക് സ്വാഗതം ചെയ്യാം.അതോടൊപ്പം തന്നെ നമ്മള്‍--നമ്മുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു,മാറ്റത്തിലും മാറാതെ നില്‍ക്കേണ്ടത് എന്തൊക്കെ,ഇനിയും എന്തൊക്കെ മാറ്റങ്ങളാണ് നമുക്ക് വേണ്ടത് എന്ന് ഓരോ ഗണിത പ്രേമിയും ആലോചിക്കേണ്ടതാണ്. അത്തരം ആലോചനകള്‍ക്ക് ആക്കം കൂട്ടാന്‍ ഈ കുറിപ്പിനും ഒരു പങ്കുണ്ടാകട്ടെ എന്നാഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട് തുടങ്ങുന്നു.

1)$2\times3=\cdots$,
2)$2\times-3=\cdots$,
3)$4\times \frac{1}{2}=\cdots$,
4)$-3\times-2=\cdots$,
5)$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\cdots$,
6)$3\times 2=.\cdots$
7)$-3\times 2=\cdots$,
8) $\frac{1}{2}\times 4=\cdots$

മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഗുണിതചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം ഒരേ അര്‍ത്ഥമാണോ? $2\times3=2$ തവണ $3$ കൂട്ടുക എന്നാണല്ലോ അര്‍ത്ഥം.അതായത് $2\times3=3+3=6$. അതുപോലെ $3\times2=3$ തവണ $2$ കൂട്ടുക എന്ന് വരുന്നു.അതായത്$3\times2=2+2+2=6$ അപ്പോള്‍ $2\times3=3\times2$. ഇനിയും $2\times-3$ ന്റെ അര്‍ത്ഥം പരിഗണിച്ചാലൊ? $2\times-3=2$ തവണ $-3$കൂട്ടുക എന്നു കിട്ടുന്നു.അതായത് $2\times-3=-3+-3=-6$.ഈ രീതിയില്‍ തന്നെ മുന്നോട്ടു പോയാല്‍ $-3\times 2=-3$ തവണ $2$കൂട്ടുക എന്ന് പറയേണ്ടി വരുന്നു.പക്ഷേ $-3$ തവണ എന്നൊരു തവണ ഇല്ലല്ലോ. അപ്പോള്‍ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളില്‍ നാം കണ്ട അര്‍ത്ഥം ഇവിടെ ശരിയാകുന്നില്ല എന്നു വരുന്നു. ഇതു നമ്മുടെ ഒരു പ്രതിസന്ധി ഘട്ടമാണ്. ഈ പ്രതിസന്ധി ഘട്ടം നമുക്ക് തരണം ചെയ്യേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്; അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.

എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ $a \times b$യും $b \times a$യും ഒന്നു തന്നെയാണല്ലോ.ഈ ഒരു സ്വഭാവം $2\times-3$, $-3\times2$ ഇവയിലേക്കും ആരോപിക്കുന്നു.അതായത് $-3\times2$ എന്നത് $2 \times -3$ ന് തുല്യമാണ് എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കുന്നു. അപ്പോള്‍ $-3 \times 2=2 \times -3= -6$ .ഇതുപോലെ അരത്തവണ എന്നൊന്നില്ലാത്തതിനാല്‍ $\frac{1}{2} \times 4$ നും $4 \times \frac{1}{2}$ എന്ന പുതിയ അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കേണ്ടിവരുന്നു.ഇത്തരത്തില്‍ നിര്‍വ്വചനങ്ങളുടെ തന്നെ യുക്തി പരിശോധിച്ച് അരക്കിട്ടുറപ്പിക്കുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്.

വീണ്ടും എട്ടാം തരത്തിലേക്ക് വന്നാല്‍, സര്‍വ്വസമത്രികോണങ്ങള്‍ എന്ന അധ്യായത്തില്‍ $12,13$ പേജുകളിലായി രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുന്നയിക്കുന്നുണ്ട്;
a) ഒരു വശവും ഏതെങ്കിലും 2 കോണുകളും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
b) രണ്ടു വശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണും തുല്യമായാല്‍ ത്രികോണങ്ങള്‍ സര്‍വ്വസമമാകുമോ?
നമ്മുടെ മുന്‍ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും സമാന്തര textbook ളിലും(NCERT,ICSE) വേണ്ടത്ര ഗൗരവമായി ചര്‍ച്ചചെയ്യപ്പെടാത്ത രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളാണിവ.മറ്റൊരു കാര്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധതിരിച്ചാല്‍,--പുതിയ അര്‍ത്ഥങ്ങള്‍കല്‍പ്പിക്കുമ്പോള്‍ ഒന്നില്‍കൂടുതല്‍ തത്വങ്ങളെ ഒരു തത്വമായി ചുരുക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു.ഉദാഹരണമായി കൃതികളുടെ ഹരണത്തിന് ഏഴാം ക്ളാസില്‍ പഠിച്ച രണ്ടു തത്വങ്ങള്‍ ഇവയാണ്.

1.$m>n$ ആയാല്‍$\frac{x^m}{x^n} =x^{m-n}$
2.$m < n$ ആയാല്‍ $\frac{x^m}{x^n}$ =$\frac{1}{x^{n-m}}$ അതായത് $\frac{4^5}{4^2}= 4^{5-2}= 4^3$ $\frac{4^2}{4^5} =\frac{1}{4^{5-2}}=\frac{1}{4^3}$ എന്തുകൊണ്ടാണ് $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$എന്നെഴുതാന്‍ കഴിയാത്തത്? $4^3$ എന്നതിന് 3 എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്നാണല്ലോഅര്‍ത്ഥം.പക്ഷേ $4^{-3}$ എന്നതിന് $-3$ എണ്ണം 4 കള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണിക്കുക എന്ന് അര്‍ത്ഥം സ്വീകരിക്കാനും പറ്റില്ല.അപ്പോള്‍ ന്യൂനസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തിന് പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുത്തതുപോലെ ന്യൂനകൃതികള്‍ക്കും പുതിയ അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കാം.എങ്കില്‍ $\frac{4^2}{4^5}=4^{2-5} =4^{-3}$ എന്ന് നമ്മള്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കില്‍( പ്രതിസന്ധി മറികടക്കാന്‍ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുവെങ്കില്‍) $4^{-3}$ ന് $\frac{1}{4^3}$ എന്ന അര്‍ത്ഥം കൊടുക്കേണ്ടി വരുന്നു. പൊതുവേ പറഞ്ഞാല്‍,x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതുസംഖ്യയായാലും n ഏതു എണ്ണല്‍സംഖ്യയായാലും $x^{-n}$ എന്നത് $\frac{1}{ x^n}$ ആകുന്നുഎന്ന് അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിക്കാം.അതായത് $x^{-n} =\frac{1}{x^n}$ .ഇങ്ങനെഅര്‍ത്ഥം കൊടുത്തുകഴിഞ്ഞാല്‍ നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച 2 തത്വങ്ങള്‍ക്കു പകരം $m>n$ ആയാലും $m < n$ ആയാലും $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$ എന്ന ഒരു തത്വം മതി. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം;കോണുകള്‍ A,B,Cയും വശങ്ങള്‍a,b,c യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിശോധിക്കാം; കോണുകള്‍ $A,B,C$യും വശങ്ങള്‍$a,b,c$ യും ആയ ത്രികോണങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുക. $\angle A < 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin A$ $\angle A > 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc \sin(180-A)$ $\angle A = 90^\circ$ ആണങ്കില്‍ പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc $ ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക എന്ന സമാന ആശയത്തിന് വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍വേണ്ടിവരുന്നു.ഈ പ്രതിസന്ധി തരണം ചെയ്യാന്‍ $90^\circ$ യേക്കാള്‍ വലിയ കോണുകള്‍ക്കും ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ പുതുതായി നിര്‍വ്വചിച്ചാല്‍ മതിയാകും. അപ്പോള്‍ $\sin(180-x)=\sin x$ എന്നും $\sin 90^\circ =1$ എന്നും അര്‍ത്ഥം കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ മുകളില്‍ പരാമര്‍ശിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങളെ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യത്തില്‍, പരപ്പളവ് $= \frac{1}{2} bc SinA$, ഒതുക്കാം.

മറ്റൊന്നുള്ളത് മുന്‍കാലങ്ങളിലും $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:1:\sqrt{2}$ ആണന്നും $30^\circ$,$60^\circ$, $90^\circ$ കോണളവുള്ള ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $1:\sqrt{3}:2$ ആണന്നതും നമ്മള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യ്ത കാര്യങ്ങളാണ്. പക്ഷേ ഇപ്പോള്‍ കുറെക്കൂടി വലിയ ക്യാന്‍വാസിലാണ് കാര്യങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.ഏതുത്രികോണത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ അംശബന്ധം,കോണുകളുടെ $\sin$ അളവുകളുടെ അംശബന്ധത്തിന് തുല്യമാണ് $(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C)$ എന്ന മനോഹരമായ,അര്‍ത്ഥപൂര്‍ണ്ണമായ ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാനുള്ള ചവിട്ടുപടികളായിട്ടാണ് നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച അംശബന്ധങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.

ചുരുക്കത്തില്‍ ഏഴാം തരത്തില്‍ ത്രികോണങ്ങളെ മുഖാമുഖം കാണുന്ന കുട്ടിക്ക് പത്താംതരത്തില്‍ത്രികോണമിതിയില്‍എത്തുമ്പോഴേക്കും ആടിത്തിമിര്‍ക്കാനുള്ള അവസരമാണ് ഒരുക്കിയിട്ടുള്ളത്. ഇങ്ങനെ ആടിതിമിര്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ ഭാവിയില്‍ CBI പോലെയുളള അന്വേഷണാത്മക ടീമിന്റെ നേതൃത്വനിരയിലേക്കും ഉയരും എന്ന കാര്യത്തിലും രണ്ടു പക്ഷമില്ല. അഭിന്നകസംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ഒന്നു പരാമര്‍ശിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒന്‍പതാം തരത്തില്‍ രണ്ടാമത്തെ അദ്ധ്യായത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഓരോ കുട്ടിയും പ്രതിസന്ധികള്‍ തരണം ചെയ്യുന്നത് മുഖാമുഖം കാണുകയാണ്. പുതിയ അര്‍ത്ഥ സങ്കല്‍പ്പങ്ങള്‍ കണ്ടാസ്വദിക്കാന്‍ സാധിച്ച കുട്ടി, അഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ എല്ലാ നീളങ്ങളെയും താന്‍ പരിചയപ്പെട്ട ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടളക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നു. ഒരു സമചതുരത്തില്‍, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഏതു ഭിന്നകസംഖ്യാ ഗുണിതമെടുത്താലും അതു വികര്‍ണ്ണത്തിന്റെ നീളത്തിനു തുല്യമാകില്ല എന്ന യാഥാര്‍ത്ഥ്യം ബോധ്യപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ ഗണിത ചരിത്രത്തിലെ തന്നെവലിയ ഒരു പ്രതിസന്ധി പഠിതാവും ഏറ്റെടുക്കുകയാണ്. തുടര്‍ന്ന് ആ പ്രതിസന്ധികള്‍ മറികടക്കുന്നതും അഭിന്നകസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും എല്ലാം അര്‍ഹിക്കുന്ന ഗൗരവത്തോടെയാണ് ഈ അദ്ധ്യായത്തില്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നത്.

ഏതു പ്രവര്‍ത്തനവും ചില ചിന്തകളിലേക്ക് നയിക്കുകയും അതില്‍ നിന്ന് യുക്തിപൂര്‍വ്വം ചില ആശയങ്ങളിലെത്തുകയും ഈ ആശയങ്ങള്‍ പുതിയ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളിലേക്കും പുതിയ ചിന്തകളിലേക്കും നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന സമീപനമാണ് നമ്മുടെ ഗണിതപാഠപുസ്തകങ്ങളിലുള്ളത്. ഈ അവസരത്തില്‍ ഒരു കാര്യം കൂടി-- കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ കാര്‍മികത്വത്തില്‍ $11,12$ ക്ളാസുകളിലേക്കും കൂടി, മലയാളിക്ക് അഭിമാനിക്കാവുന്ന, നെഞ്ചോട് ചേര്‍ത്തുപിടിക്കാവുന്ന ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകണമെന്ന് ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

ഏതൊരു ഭാഷയും നിലനില്‍ക്കുന്നതും ഉയരങ്ങള്‍ കീഴടക്കുന്നതും അത് ഏറ്റെടുക്കുന്നവരുടെ ആത്മാര്‍ത്ഥതയെയും കൂടി അനുസരിച്ചാണല്ലോ. കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ നേതൃത്വപരമായ ഇടപെടലുകളിലൂടെ പുതിയ ഗണിത പാഠപുസ്തകങ്ങള്‍ ഒരുപിടി പുതിയ മലയാളപദങ്ങള്‍ നമുക്ക് സമ്മാനിച്ചു.

1. പരപ്പളവ്----വിസ്തീര്‍ണ്ണം---Area
2. സമാനകോണുകള്‍---സമസ്ഥാനീയ കോണുകള്‍--Corresponding angles
3. മറുകോണുകള്‍---ഏകാന്തരകോണുകള്‍--Alternate angles
4. പുറംകോണുകള്‍--- ബാഹ്യകോണുകള്‍--Exterior angles
5. തൊടുവര---സ്പര്‍ശരേഖ ---Tangent
6. മധ്യമരേഖ---Medians
7. മധ്യമം---Median
8. മഹിതം---Mode
9. ചതുരചിത്രം--Histogram
10. വൃത്താംശം--Sector
11. ബഹുപദം---polynomial
12. പരിഹാരം;... solution

മറ്റൊരു കാര്യം കൂടി സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഈ കുറിപ്പ് അവസാനിപ്പിക്കുകയാണ്. നിരന്തര മൂല്യനിര്‍ണയത്തില്‍ ഗണിത ക്വിസിന്റെ പങ്ക് 2003 മുതല്‍ നടപ്പിലാക്കിയ CCE പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ ഇന്നത്തെ അവസ്ഥ എന്താണ്? CCE കേവലം മാര്‍ക്കിടല്‍ ചടങ്ങായി തരംതാണു എന്നൊരു ആക്ഷേപം നിലനില്‍ക്കുകയാണല്ലോ. ഇത്തരം പ്രതിസന്ധികളും നമുക്ക് തരണം ചെയ്യതേ പറ്റു.പത്തു വര്‍ഷത്തെ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളില്‍ നിന്നും പാഠം ഉള്‍ക്കൊണ്ട് പുതിയ തലങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് പോകേണ്ടതായിട്ടുണ്ട്.ഈ അദ്ധ്യയനവര്‍ഷം മുതല്‍ നടപ്പിലാക്കിതുടങ്ങിയ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപന രേഖയില്‍ നിന്നും ആരംഭിക്കാം.

പഠനപ്രക്രിയയുടെ അനിവാര്യ ഘടകമാണല്ലോ പഠിതാവിനെ വിലയിരുത്തുക എന്നത്. ഇപ്പോഴത്തെ വിലയിരുത്തല്‍ സമീപനം മൂന്ന് മാനങ്ങളിലായി ക്രോഡീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

1.Assessment as learning
2.Assessment for learning
3. Assessment of learning

1. Assessment as learning(വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനം)(പഠിതാവിന്റെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠിതാവ് തന്റെമികവുകളും പരിമിതികളും തിരിച്ചറിയുന്ന സ്വയം വിലയിരുത്തല്‍ പ്രക്രയ.ഇത് സ്വയം വിമര്‍ശനത്തിനുള്ള അവസരം ഒരുക്കുകയും തിരുത്തല്‍ പ്രക്രിയ കാര്യക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.ഇവിടെ വിലയിരുത്തല്‍ തന്നെ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായി മാറുന്നു.ഇത് കൂടുതല്‍ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിലേക്ക്നയിക്കുന്നു.
2. Assessment for learning(പഠനത്തിനായുള്ള വിലയിരുത്തല്‍)(പഠനത്തിനു വേണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍): പഠന ബോധന പ്രക്രിയയില്‍ തന്റെ പഠിതാക്കള്‍ എവിടെ നില്‍ക്കുന്നു?അവര്‍ എവിടെയാണ് എത്തിച്ചേരേണ്ടത്?അദ്ധ്യാപകനായ ഞാന്‍ ഇതിന് എന്തെല്ലാം ചെയ്യണം? ഈ ചോദ്യങ്ങളുടെ ഉത്തരം തേടലാണ് പഠനത്തിനുവണ്ടിയുള്ള വിലയിരുത്തല്‍.പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ ആസൂത്രണത്തിനും നിര്‍വ്വഹണത്തിനും ഈ വിലയിരുത്തല്‍ അനിവാര്യമാണ്.
3. Assessment of learning(പഠനത്തെ വിലയിരുത്തല്‍)(പഠിച്ചതിനെ വിലയിരുത്തല്‍):പഠനബോധന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നിശ്ചിതഘട്ടത്തിനു ശേഷം വിലയിരുത്തുമ്പോള്‍ അത്പഠനത്തെവിലയിരുത്തലാകുന്നു.പഠിതാവിലുണ്ടായ മാറ്റം,പഠനനിലവാരം നേടിയ അറിവ് എത്രമാത്രം പ്രയോജനപ്പെടുന്നു തുടങ്ങിയവ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ വിലയിരുത്തല്‍ സഹായകമാണ്.

ക്ളാസ്റൂം പഠനത്തിന്റെ ഭാഗമായി നടക്കുന്നതാണല്ലോ നിരന്തരവിലയിരുത്തല്‍.ഗണിതശാസ്ത്രപഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിരന്തരവിലയിരുത്തലിന് സ്വീകരിക്കാവുന്ന/സ്വീകരിക്കുന്ന ധാരാളം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ഉണ്ട്. ഇത്തരം പ്രവര്‍ത്തനങ്ങളെ 4 അടിസ്ഥാന മേഖലകളാക്കി നിരന്തര വിലയിരുത്തലിന് (HS തലത്തില്‍) പരിഗണിക്കുന്നു.

മേഖല 1-ദൈനംദിന പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 2-അന്വേഷണാത്മക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 3-പ്രായോഗിക പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍
മേഖല 4-സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍

നാലാമത്തെ മേഖലയിലാണ് ഗണിതക്വിസ് ഉള്‍പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.സര്‍ഗാത്മകമായ കഴിവുകളും വിഷയസംബന്ധമായ കഴിവുകളും പ്രകടിപ്പിക്കുവാനുളള അവസരമാണ് ഈ മേഖലയിലൂടെ കിട്ടുന്നത്.ക്വിസ്, ചോദ്യനിര്‍മ്മാണം,പസിലുകള്‍, ഗെയിമുകള്‍ ചാര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കല്‍, മോഡലുകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കല്‍, കവിതകള്‍,നാടകങ്ങള്‍, കാര്‍ട്ടൂണുകള്‍ ഐ സി റ്റി പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍, ഗണിതപതിപ്പ്, ഗണിതകഥ എന്നിവ ഈ മേഖലയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു.

ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ വിലയിരുത്തലിന് ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂചകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാം.
സൂചകങ്ങള്‍

1. ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം
2. ചോദ്യങ്ങളുടെ വൈവിധ്യം
3. ചോദ്യങ്ങളിലെ ലാളിത്യം
4. അവതരണം

ഈ സൂചകങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി good,average,to be improved എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി 3,2,1 എന്നീ സ്കോറുകള്‍ നല്‍കി ശരാശരി സ്കോര്‍ കണക്കാക്കാം. ക്വിസ് ചോദ്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത—പെന്‍സിലും പേപ്പറും എടുക്കാതെ ഒന്നോ രണ്ടോ മിനിട്ടു കൊണ്ട് മനസ്സില്‍ ക്രിയകള്‍ നടത്തി ഉത്തരത്തില്‍ എത്തിച്ചേരണം. അപ്പോള്‍ സ്വാഭാവികമായും ,ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം അന്വേഷിച്ചിറങ്ങുന്ന ഏതൊരു കുട്ടിക്കും ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങള്‍ സമഗ്രമായും സൂക്ഷ്മമായും മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവസരം വന്നു ചേരുന്നു.

1 Click Here to download Quiz Paper prepared by Rakesh Sir
2. Old post on State level Quiz
3. IT QUIZ POST

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Applied Construction എന്തല്ല..?

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ്  അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍ .എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് ഡ്രോയിംഗിനായി ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ സാമഗ്രികളും ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കാം. ഒന്നോ അതിലധികമോ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് നടപ്പാക്കുന്ന ജ്യാമിതീയനിര്‍മ്മിതികളാണ് ഇവ. മല്‍സരത്തെക്കുറിച്ചുപറഞ്ഞാല്‍‌ പരമാവധി മൂന്ന് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറിലായി തുടര്‍ച്ചയും വളര്‍ച്ചയും വ്യക്തമാകത്തക്കവിധം തയ്യാറാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ . ആശയവും നിര്‍മ്മിതിയും ഒരു ചാര്‍ട്ടില്‍ പൂര്‍ണ്ണമായില്ലെങ്കില്‍ രണ്ടാമത്തെതും മൂന്നാമത്തേതുമായി ചാര്‍ട്ടുകള്‍ ഉപയാഗിക്കാം. പരസ്പരബന്ധമില്ലാത്ത മൂന്നുനിര്‍മ്മിതികള്‍ വളരെ മനോഹരമായി തയ്യാറാക്കിയാല്‍ അവയില്‍ ഒന്നുമാത്രമേ മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം നടത്തുകയുള്ളൂ എന്ന് സാരം. ഒരാശയം തന്നെ ഉപയാഗിച്ച് നിര്‍മ്മിക്കുന്ന മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത നിര്‍മ്മിതികളും തുടര്‍ച്ചയല്ലെന്ന് അറിയുക. ഒത്തിരി തെറ്റിദ്ധാരണകള്‍ നിറഞ്ഞ ഒരു മല്‍സര ഇനമാണ് Applied Construction. ഇതേക്കുറിച്ച് ജോണ്‍ സാര്‍ ചുവടെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് ഇതൊരു വസ്തുവിന്റെ നിര്‍മ്മിതിയാക്കി അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. പലപ്പോഴും അവ മോഡലുകള്‍ മാത്രമായി മാറിപ്പോകുമായിരുന്നു. ഇവ ചാര്‍ട്ടുകളില്‍ വരക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാകണം എന്ന് നിഷ്ക്ര്‍ഷിച്ചപ്പോള്‍ അവ കേവലം വീടിന്റെ പ്ലാനുകളായി പുനര്‍ജനിച്ചു.  ചിലര്‍ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരക്കുകയും തെര്‍മ്മോക്കോളില്‍ മാതൃക നിര്‍മ്മിക്കുകയും ചെയ്തു. മറ്റുചിലരാകട്ടെ വീടിന്റെ പ്ലാന്‍വരച്ച് മുറികളുടെ പരപ്പളവും മറ്റും കണക്കുകൂട്ടി പട്ടികയിലാക്കി. ഇങ്ങനെ വ്യക്തതയില്ലാത്ത ഒരു ഇനമായിമാറി അപ്ലയ്ഡ് കണ്‍ട്രക്ഷന്‍.. മൂല്യനിര്‍ണ്ണയത്തിന് വ്യക്തമായ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ പ്രാബല്യത്തില്‍ വന്നപ്പോള്‍ കാഴ്ചപ്പാടുകള്‍ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതായി വന്നു. പാഠഭാഗങ്ങളുമായുള്ള നേര്‍ബന്ധം അനിവാര്യമായിത്തീര്‍ന്നു. പണ്ട് ഫിങ്ക് ട്രസുകളുടെയും കാന്റിലിവറുകളുടെയും സ്റ്റബിളിറ്റിയും മറ്റും ലിങ്ക് പോളിഗണണ്‍ നിര്‍മ്മിച്ച് ടെസ്റ്റ് ചെയ്ത് എഞ്ചിനിയറിങ്ങ് നിര്‍മ്മിതികള്‍ നടത്തി സംസ്ഥാനതലത്തില്‍ സമ്മാനങ്ങള്‍ വാങ്ങാമായിരുന്നു. ഇന്ന് അത്തരം വര്‍ക്കുകള്‍ പാഴ് വേലകളാണ് .. ഇത്രയുമൊക്കെ പറഞ്ഞപ്പോള്‍ പ്രീയ വായനക്കാര്‍ ചിന്തിക്കുന്നുണ്ടാകും പിന്നെ എന്താണ് ഈ നിര്‍മ്മിതി ? വിമര്‍ശനാന്മകമായ നിലപാടുകള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു നിര്‍മ്മിതി അവതരിപ്പിക്കട്ടെ. ഒരു ഷീറ്റ് മെറ്റല്‍ ജോലിക്കാരന്‍ നേരിടുന്ന പ്രശ്നമാണ്. അയാള്‍ക്ക് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള മെറ്റല്‍ഷീറ്റുകളാണ് വാങ്ങാന്‍ കിട്ടുന്നത് . ഓരോ ത്രികോണത്തകിടില്‍നിന്നും പരമാവധി വലുപ്പത്തിലുള്ള സമചതുരങ്ങള്‍ മുറിച്ചെടുക്കണം . പല വലുപ്പത്തിലുളള , പല ആകൃതിയുള്ള ത്രികോണത്തകിടില്‍ നിന്നു സമചതുരങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മിക്കാന്‍ അയാളെ ഒന്നു സാഹായിക്കാമോ?

നിര്‍മ്മിതിയുടെ ഏകദേശചിത്രമാണ് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് സമാനമായ നിര‍മ്മിതി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സ്റ്റപ്പുകള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരക്കുമല്ലോ ത്രികോണം ABC വരക്കുക.AB വശത്ത് D അടയാളപ്പെടുത്തുക. D യില്‍നിന്ന് AC യിലേയ്ക്ക് AE എന്ന ലംബം വരക്കുക AE വശമായി സമചതുരം DEGF വരക്കുക AF ലൂടെ നീട്ടുന്ന വര BC യെ H ല്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു H ല്‍ നിന്നും AC യിലേയ്ക്ക് HK എന്ന ലംബം വരക്കുക HK വശമായി വരക്കുന്ന സമചതുരം ഏറ്റവും വലിയ സമചതുരമായിരിക്കും ഇതിന്റെ ജ്യാമിതീയ തത്വം ഒന്നാലോചിച്ചുനോക്കാം ത്രികോണം ADF , ത്രികോണം AIH എന്നിവ സദൃസ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . അതിനാല്‍ $‌\frac{DF}{HI}=\frac{AF}{AH}$ ആയിരിക്കും . അതുപോലെ ത്രികോണം AFG , ത്രികോണം AHK എന്നിവ സദൃശ്യത്രികോണങ്ങളാണ് . $‌\frac{GF}{HK}=\frac{AF}{AH}$ അതിനാല്‍ $\frac{DF}{HI}=\frac{GF}{HK}$ ആണ്.എന്നാല്‍ DF = FG ആയതുകൊണ്ട് HK = HI ആണ്ലലോ . അതിനാല്‍ HIGK സമചതരം തന്നെ . അത് ഏറ്റവും വലുതല്ലേ? ഈ നിര്‍മ്മിതി പല ആകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ശരിയാകുമെന്ന് കാണിക്കാം .വേണമെങ്കില്‍ ചാര്‍ട്ടുപേപ്പറില്‍ വെട്ടിയെടുത്ത് ഭംഗിയാക്കാം ...

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഈ കുറിപ്പ് .ഒരു കുട്ടി ആദ്യമായി അഭ്യസിക്കുന്ന ഗണിതപാഠം എണ്ണലാണെന്നുപറയാം.എണ്ണല്‍ ഒരു ഗണിതരീതിയായി വളന്ന് നൂതനമായ ചിന്തകളിലേയ്ക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന രസകരമായകാഴ്ച ആസ്വാദ്യകരമാണ് . ചില മാതൃകകള്‍ കാണാം . നേര്‍വരകള്‍ ഒരു പരന്നപ്രതലത്തെ ഭാഗിക്കുന്ന കാഴ്ചതന്നെയാവട്ടെ.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കാണുക. ധാരാളം നേര്‍വരകളുണ്ട് ഇവിടെ . രണ്ടില്‍കൂടുതല്‍ നേര്‍വരകള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയോ , ഒരു വര മറ്റോരുവരയ്ക്ക് സമാന്തരമാകുയോ ചെയ്യരുത് . ആദ്യചിത്രത്തില്‍ ഒരു വര പ്രതലത്തെ രണ്ടായി മുറിച്ചിരിക്കുന്നു.

രണ്ടുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ നാലായി മുറിക്കുന്നു. അതുപോലെ മൂന്നുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ ആറ് ഭാഗങ്ങളായും നാല് വരകള്‍ പ്രതലത്തെ പതിനൊന്ന് ഭാഗങ്ങളായും മുറിച്ചിരിക്കുന്നതുകാണാം

ഇതില്‍ നിന്നും രൂപീകരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയുണ്ട് . താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടികയിലെ രണ്ടാംവരി സംഖ്യാശ്രേണിയാണ് . ഈ ശ്രേണിയുടെ ബിജഗണിതരൂപത്തെക്കുറിച്ച് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ. പത്താംക്ലാസ് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാവുന്ന ഒരു അധികപ്രവര്‍ത്തനം തന്നെയല്ലേ ഇത്? ജനറല്‍ചാര്‍ട്ട് വിഭാഗത്തില്‍ ഇത് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാമല്ലോ. ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരച്ച് വിവിധഭാഗങ്ങള്‍ നിറം നല്‍കിനോക്കിയാല്‍ നല്ലൊരു ചാര്‍ട്ടാകുമെന്ന് തീര്‍ച്ചയാണ് .

ഇനി വിശകലനപ്പട്ടിക കാണാം

ഇനി ശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപം ​എഴുതാമല്ലോ? $T_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$ എണ്ണലിന്റെ മറ്റൊരു പാറ്റേണ്‍ കാണാം. ഇത് വൃത്തവും ഞാണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് . വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഞാണ്‍ വരച്ചപ്പോള്‍ വൃത്തം രണ്ടായി മുറിഞ്ഞു. മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ പരസ്പരം യോജിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് വൃത്തത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളാക്കാം.

നാലുബിന്ദുക്കളും അഞ്ചുബിന്ദുക്കളുമൊക്കെ അടയാളപ്പെടുത്തി ഇപ്രകാരം ചെയ്താലോ? നാലു ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 8 ഭാഗങ്ങളും അഞ്ചെണ്ണം യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 16 ഭാഗങ്ങളും കിട്ടും . ആറെണ്ണം യോജിപ്പിച്ചാലോ? 32 എണ്ണമല്ല കിട്ടുന്നത് മറിച്ച് 31 എണ്ണമേ കിട്ടുകയുള്ളൂ. $2, 4, 8,16,---$ എന്ന ശ്രേണിയിലെ അടുത്തപദമായ 32 അല്ല എന്ന് ചിത്രംവരച്ച് ബോധ്യപ്പെടാവുന്നതാണ് . 32 ആയിരുന്നെങ്കില്‍ നേര്‍രൂപം $ 2^{n-1}$ എന്ന് എഴുതാമായിരുന്നു. $\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$എന്നതല്ലേ നേര്‍രൂപം . ഇതിന്റെ തെളിവ് കമന്റായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുണ്ട് . എണ്ണലിന്റെ ഗണിതവിസ്മയം മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍ ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കൊടുത്ത പ്രോജക്ടായി മുന്‍പൊരിക്കല്‍ നല്‍കിയത് ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ. ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ഇനിയുമുണ്ട് എണ്ണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ധാരാളം ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍.ഒരു ചെസ്ബോഡില്‍ ചെറുതുംവലുതുമായി ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ?

തിരശ്ചീനമായി 8 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി 8 ചെറിയകളങ്ങളും ഉണ്ടാകും . ഇത്തരം $8^2$സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും . ഇത്തരം സമചതുരങ്ങളെ $1\times1$ സമചതുരങ്ങള്‍ എന്നുവിളിക്കാം. രണ്ടെണ്ണം വലത്തേയ്ക്കും രണ്ടെണ്ണം വീതം താഴേയ്ക്കും എടുക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളെ $2\times2$ സമചതുരങ്ങളെന്നുപറയാം .ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നും പേരുനല്‍കാം. ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ ​എണ്ണം $8^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\=\frac{8\times9\times 17}{6}=204$ ഇത് ക്വിസ് മല്‍സരങ്ങളുടെ കാലം . എണ്ണല്‍ക്രീയയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ തരുന്നു . ഉത്തരം കണ്ടെത്താനും കമന്റ്ചെയ്യാനും കുട്ടികളെ തയ്യാറാക്കുമല്ലോ.

1. What is the digit in the ones place of $2^{50}$?
2. The sequence of natural numbers up to 100 is $1,2,3,4 \cdots 100$ . Divide each of the numbers by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
3. $1^2,2^2,3^2 \cdots 100^2$. Divide each of the number by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
4. What is the 2005 th term of the sequence $1,23,456,78910,\cdots$
5. Consider the following sequence . $\frac{2}{1},\frac{5}{2},\frac{10}{3},\frac{17}{4} ,\frac{26}{5}\cdots$.What is the $100^{th}$ term?
6. The sequence of natural numbers are grouped as follows. $(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10) \cdots $The $n^{th}$ group of this sequence has n natural numbers. In which group the natural number 100 lie?
7. $S_n=1-2+3-4+ 5-6 \cdots up to n terms$. What is the value of $S_{2004}+S_{2005}+S_{2006}$
8. What is the sum of the remainders obtained by dividing each of the first 20triangular numbers by 3 ?
9.  What is the 25 th term of $12,21, 112, 121, 211, 1112, 1121, 1211, 2111, 11112 \cdots $ ?
10. What is th product of 2005 terms of the sequence $1, (1-\frac{1}{2}), (1-\frac{1}{3}) , (1-\frac{1}{4}) \cdots $?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

വേറിട്ടചിന്തകള്‍ 3 : സമാന്തരശ്രേണി

പത്താംക്ലാസിലെ ഗണിതം ആദ്യ പാഠമായ സമാന്തരശ്രേണികളില്‍ നിന്നും ഭാമടീച്ചര്‍ ഗണിതക്ലബ്ബിലെ കുട്ടികള്‍ക്ക് താഴേ കാണുന്ന ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം നല്‍കി,
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍ ക്രമത്തില്‍ എഴുതിയാല്‍ അവ പൊതുവ്യത്യാസം 1 ആയ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലാണല്ലോ..? എന്നാല്‍, എ​ണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
പിന്നീട് എ​ണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍ ക്രമത്തിലെഴുതിയ ശേഷം അവയുടെ അടുത്തടുത്ത പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങള്‍ അടുത്തവരിയിലെഴുതി അവ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
സമാന്തരശ്രേണി കിട്ടുന്നതുവരെ ഈ പ്രവര്‍ത്തനം തുടരുക.
പ്രവര്‍ത്തനം ചെയ്യാന്‍ കുട്ടികള്‍ അനന്യയുടെ വീട്ടില്‍ ഒത്തുകൂടി. ഹരിത പറഞ്ഞു."നമുക്ക്, ഈപ്രവര്‍ത്തനം നാലാംകൃതി, അഞ്ചാംകൃതി, ആറാംകൃതി എന്നിവകൂടി കണ്ട് വികസിപ്പിച്ചാലോ?" ശരി എന്നായി ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റ് മിടുക്കികള്‍. അവര്‍ ചെയ്ത പ്രവര്‍ത്തനം താഴേ കാണിക്കുംപോലെയാണ്.
എണ്ണല്‍സംഖ്യകള്‍
1,2,3,4,5,6,..................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 1
പൊതുവ്യത്യാസം =1

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍

ശ്രേണി 1
1.4.9.16.25,..................
ശ്രേണി 2

3,5,7,9,11,....................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 3
പൊതുവ്യത്യാസം = 2

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങള്‍

ശ്രേണി 1
1,8,27,64,125,216,.......

ശ്രേണി 2
7,19,37,61,91,..............

ശ്രേണി 3
12,18,24,30,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 12
പൊതുവ്യത്യാസം = 6

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ നാലാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,16,81,256,625,1296,......

ശ്രേണി 2
15,65,175,369,671,...........

ശ്രേണി 3
50,110,194,302,................

ശ്രേണി 4
64,84,108,.........................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 60
പൊതുവ്യത്യാസം = 24

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ അഞ്ചാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,32,243,1024,3125,7796,16807,...............

ശ്രേണി 2
31,211,781,2101,9031,...............................

ശ്രേണി 3
180,570,1320,2550,4380,...........................

ശ്രേണി 4
390,750,1230,1830,.....................................

ശ്രേണി 5
360,480,600,.................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 360
പൊതുവ്യത്യാസം = 120

എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ ആറാംകൃതികള്‍

ശ്രേണി 1
1,64,729,4096,............................................

ശ്രേണി 2
63,665,3367,...............................................

ശ്രേണി 3
602,2702,8162,...........................................

ശ്രേണി 4
2100,5460,11340,20460,33540,.................

ശ്രേണി 5
3360,5880,9120,13080,..............................

ശ്രേണി 1
2520,3240,3960,......................(സമാന്തരശ്രേണി ആണ്)
ആദ്യപദം = 2520
പൊതുവ്യത്യാസം = 720
പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ നിന്നുള്ള കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു പട്ടികയാക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു.

പട്ടിക നാലഞ്ചാവര്‍ത്തി വായിച്ചുകഴിഞ്ഞയുടന്‍ അനന്യയുടെ പ്രതികരണം. "ആദ്യ രണ്ടുകോളങ്ങള്‍ തുല്യമായാണല്ലോ വരുന്നത്..!"
ഉടനെ അമ്മു "പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ കോളം ശ്രദ്ധിച്ചോ..? ആദ്യശ്രേണിയുടേത് 1, രണ്ടാം ശ്രേണിയുടേത് 2, മൂന്നാം ശ്രേണിയുടേത് 6...ഈ ഒരു ക്രമം വരുന്നതുകണ്ടോ..?"
ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റംഗങ്ങള്‍ ഇത് ശ്രദ്ധാപൂര്‍വ്വം വിശകലനം ചെയ്യവേ നിസാര്‍ പറഞ്ഞു. "ആദ്യപദത്തിന്റെ കോളത്തിലും ഒരു ക്രമമുണ്ടല്ലോ, 1,3,12,..."
എല്ലാവരും നിസാറിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ പ്രകീര്‍ത്തിച്ചു.
അപ്പോള്‍ അമ്മുവിന് ഒരു സംശയം. "എണ്ണല്‍സംഖ്യകളെ n ആം കൃതിയിലേക്ക് ഉയര്‍ത്തിയാലോ..?"
അതൊരു നല്ല ആശയം തന്നെ. എല്ലാവരും കൂടി പട്ടിക താഴേ കാണുംപോലെ മാറ്റിയെഴുതി.

ഇത്രയും തയ്യാറാക്കിക്കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ആതിരയ്ക്കൊരു സംശയം. "കുറേയേറെ സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ശരിയായി വന്നുവെന്ന് കരുതി, ഒരു പ്രസ്താവന ഗണിത തത്വമായി കരുതാനാകില്ലെന്ന് മുമ്പ് ഭാമടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞിട്ടില്ലേ..?"
അടുത്തദിവസം ഭാമടീച്ചറെ ചെന്നുകണ്ട സംഘത്തിന്റെ ഗണിതചിന്തയെ ഭാമടീച്ചര്‍ പ്രശംസിച്ചു. ഉയര്‍ന്ന ക്ലാസുകളില്‍ നിങ്ങള്‍ പഠിക്കുവാന്‍ പോകുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് തെളിയിക്കാം. എന്നാല്‍ ഈ ആശയം ഹൈസ്കൂളില്‍ ഇല്ലല്ലോ..? കുട്ടികള്‍ നിരാശരായി. സാരമില്ല, നമുക്കിത് മാത്​സ് ബ്ലോഗിലെ കൃഷ്ണന്‍ സാറോടു ചോദിക്കാം.നമുക്ക് മനസ്സിലാകുന്ന രീതിയില്‍ അദ്ദേഹമിത് വിശദമാക്കും. കാത്തിരിക്കാം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

വേറിട്ട ചിന്തകള്‍: 2 വൃത്തങ്ങള്‍

$A=\sqrt{abcd}$എന്ന സൂത്രവാക്യം കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? A എന്നത് പരപ്പളവും a,b,c,d ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുമാണ്.
ഒരു പ്രത്യേകതരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ പ്രസക്തി അന്വേഷണവിധേയമാകാകുകയുമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്
പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാട് പൂര്‍ണ്ണതയിലെത്തുന്നത് അതിനപ്പുറത്തുള്ള കാഴ്ചകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കുട്ടി പ്രാപ്തനാകുമ്പോഴാണ് . ഇവിടെ അദ്ധ്യാപകന്റെ റോള്‍ അതിനുള്ള പാശ്ചാത്തലം രൂപീകരിക്കുക എന്നതാണ്. ഇത്തരം ഒരു ചിന്തയിലേയക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ സന്ദര്‍ഭം അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ചെയ്യുന്നത്.
അന്തര്‍വൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാം. എല്ലാത്രികോണങ്ങള്‍ക്കും അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമെങ്കിലും എല്ലാ ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കും അത് സാധ്യമാകുകയില്ല.പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുമ്പോള്‍ സാധാരണ എഴുതാറുള്ള ഒരു ചോദ്യമുണ്ട് . അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ ഒരു ജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുക മറ്റേജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും . ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിനായി തൊടുവരകളുടെ അടിസ്ഥാനപ്രത്യേകത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനമായി അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന സാമാന്തരീകങ്ങള്‍ സമഭുജസാമാന്തരീകങ്ങള്‍ തന്നെയെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ സാധിക്കും . ഇതൊക്കെ പറഞ്ഞത് നമ്മുടെ വിഷയത്തിനുള്ള ആമുഖമായാണ്.

ഇനി പരിവൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഇവ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇവയുടെ നാലുശീര്‍ഷങ്ങളിലൂടെയും കൂടി കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമല്ലോ. ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ a, b, c, d വീതമായാല്‍ ഇവ ഉപയോഗിച്ച് പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗമുണ്ട് . $s= \frac{a+b+c+d}{2}$ ആയാല്‍ പരപ്പളവ്
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ആയിരിക്കും .
ഇനി നമുക്ക് പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലേയ്ക്ക് തിരിച്ചുവരാം. ഇക്കാര്യം പാഠപുസ്തകത്തിലെ അന്‍പതാം പേജിലെ സൈഡ് ബോക്സായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിശദീകരണങ്ങളില്‍നിന്നും ഇതിന്റെ ചരിത്രപശ്ചാത്തലം നമുക്ക് മനസിലാക്കാം . അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റുചില വസ്തുതകളും
ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും ചേര്‍ത്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു അന്വേഷണം ആരംഭിക്കാം .

ഒരേസമയം അന്തര്‍വൃത്തവും പരിവൃത്തവും വരക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമല്ലോ? തീര്‍ച്ചയായും . ഇത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം സമചതുരം തന്നെയാണ് . സമചതുരങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും പരിവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നിസ്സംശയം പറയാം. എന്നാല്‍ ഈ സവിശേഷസ്വഭാവമുള്ള മറ്റുചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഒരേ കേന്ദ്രം ആയിരിക്കില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ടുതന്നെ അത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളെന്നു വിളിക്കട്ടെ!
കോമ്പസസ്സും സ്ക്കേലും ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കുക ആയാസകരമാണ് . എന്നാല്‍ ജിയോജിബ്ര ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ ക്ഷണനേരം കൊണ്ട് വരച്ചെടുക്കാം. വശങ്ങളുടെ നീളം അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാം
ഏതൊരന്വേഷണത്തിനും ഒരു പരികല്പന ഉണ്ടാകുമല്ലോ. സമചതുരമെന്ന ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
$a^2$ ആണല്ലോ. അതിനെ നമുക്ക് $ \sqrt{a^4}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും . ഒന്നുകൂടി എഴുതിയാല്‍ പരപ്പളവ് $\sqrt{a \times a \times a \times a}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും .
മറ്റ് ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഇത് ശരിയാകുമോ? തീര്‍ച്ചയായും ശരിയാണെന്നാണ് മനസിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞത്
ഇനി വിവരശേഖരണത്തെക്കുറിച്ചാകാം. ധാരാളം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ജിയോജിബ്രയുടെ സഹായത്താല്‍ വരക്കാം. വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതുകയും അവ അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാമല്ലോ. പോരെങ്കില്‍ പരപ്പളവ് കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള ടൂളും ഉണ്ട് ഇങ്ങനെ വിവരശേഖരണം നടത്തി അളവുകള്‍ പട്ടികയിലാക്കി , പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
മറ്റൊരുമാര്‍ഗ്ഗം വിവരങ്ങലെ സ് പ്രേഡ് ഷീറ്റിലാക്കി അപഗ്രഥനം നടത്തുകയാണ് .
അടിസ്ഥാനപരമായി ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണല്ലോ. അതിനാല്‍
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$എന്ന സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിക്കാം . ഇതിനും സ് പ്രെഡ്ഷീറ്റ് സഹായം പ്രയോജനപ്പെടുത്താമല്ലോ.
ഈ പരപ്പവുകളെല്ലാം $A= \sqrt{abcd}$ എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന പരപ്പളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുനോക്കുക
ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പരപ്പളവുകാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും , അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയും സമന്വയിപ്പിച്ച് പുതിയ സൂത്രവാക്യം സൈദ്ധാന്തികമായി തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും . ഇതിന് ശ്രമിക്കുമല്ലോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

Tessellation patterns!

കഴിഞ്ഞദിവസം ബഹുഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് തുടക്കമിട്ടുകൊണ്ട് ജനാര്‍ദ്ദനന്‍മാസ്റ്റര്‍ ഫുട്ബോള്‍ പ്രശ്നം അവതരിപ്പിച്ചു. അത് വലിയോരു തുടക്കമായിരുന്നു. കനമുള്ള ഗണിതചിന്തകളുമായി കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ , അഞ്ജനടീച്ചര്‍ ,ഫിലിപ്പ് സാര്‍, ഗായത്രി മുതലായവര്‍ പ്രതികരിച്ചു. ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ നിലവാരമുയര്‍ത്താനുള്ള നിതാന്ത പരിശ്രമത്തില്‍ ഇവരുടെ ഇടപെടലുകള്‍ക്ക് അതുല്യമായ സ്ഥാനമുണ്ട്. ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം വീണ്ടും വായിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെബാഹ്യകോണുകളുടെ (Exterior angles) തുക 360 ഡിഗ്രിയാണ്. ആക്യതി മാറിയാലും, വലുപ്പം മാറിയാലും ,ആന്തരകോണുകള്‍ (Interior angles)മാറിയാലും, ബാഹ്യകോണുകള്‍ മാറിയാലും ,മാറാതെ നില്‍ക്കുന്ന തുക. മാറ്റത്തിലും മാറാത്തത് ! ഇവിടെ നിന്നുതന്നെയാകാം ഇന്നത്തെ ചിന്ത......

ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന് n വശങ്ങളുണ്ട്. ഒരു ബാഹ്യകോണ്‍ 360 / n ആണല്ലോ...? ഓരോ ആന്തരകോണും
(180 — 360/n) ആണ്. ഇത്തരം m ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിനുചുറ്റും വയ്ക്കുന്നു.
അപ്പോള്‍ m(180 ― 360/n) = 360 ആണ്. അതായത് m(1 ―2/ n) = 2 ആണ്.
ഈ ചിന്ത ഒരു പ്രോജക്ടിനു തുടക്കമിടുന്നു.
ആസൂത്രണത്തിന്റെ വിവിധ ഘട്ടങ്ങളില്‍കുട്ടികളെ പലതരം ടൈലിങ്ങ് പാറ്റണുകളിലൂടെ നയിക്കാന്‍ അധ്യാപികയ്ക്ക് കഴിയും.


താഴെ കൊടുത്തിരിക്കും വിധം ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്താലോ?

(1 ― 2/n1) + (1 ― 2/n2) + (1 ― 2/n3) + ..... = 2



ഇതോക്കെ തിയറിറ്റിക്കലായവ മാത്രമല്ല. ഗണിതവും കലയും ഒത്തുചേരുമ്പോള്‍ മനോഹരങ്ങളായ പാറ്റേണുകള്‍ ഉണ്ടാകും.


n=3, m=6



n=4, m=4


n=6, m=3


n1=6, n2=6, n3=3, n4=3


n1=4,n2=8,n3=8


n1=3, n2=12, n3=12


n1=4, n2=6, n3=12


n1=, n2=4, n3=3, n4=6


n1=3, n2=3, n3=3, n4=4



n1=3, n2=3, n3=3, n4=4, n5=4

നമ്മുടെ ഗണിതശാസ്ത്രമേളകളിലെ ജോമട്രിക്ക് ചാര്‍ട്ടുകള്‍ ഗണിതചിന്തകളുടെ നേര്‍സാക്ഷ്യങ്ങളാകുന്നത് എന്നാണ്?
ജനാര്‍ദ്ദനന്‍ സാറിന്റെ ചോദ്യത്തിന് ഈ വിശകലനം മതിയോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ നിന്നു തന്നെ..!

ഒന്‍പതാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തില്‍ , ഒന്നാംപാഠത്തിലെ അവസാന സൈഡ് ബോക്സ് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ? ശുദ്ധജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയാണ് വിഷയം. കോമ്പസസ്സും അങ്കനം ചെയ്യാത്ത ഒരു ദണ്ഡും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍മ്മിതി. ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ഇനമാണിത്. അളവെടുക്കാതെയും അളന്നെടുക്കാതെയും നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക.....


കോമ്പസസ്സും റുളറും ( compass and straight edge) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമപഞ്ചഭുജം വരക്കുന്ന രീതിയെക്കുറിച്ച് പ്രത്യേകപരാമര്‍ശം നല്‍കുന്ന സൈഡ് ബോക്സ്, പഠനത്തില്‍ ICT സാധ്യതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ നിര്‍മ്മിതി നോക്കാം.

AB എന്ന ഒരു വരയിടുക. A കേന്ദ്രമായി, Bയിലേക്കുള്ള അകലം ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക. B കേന്ദ്രമായി, Aയിലേക്കുള്ള അകലം ആരമായി മറ്റൊരു വൃത്തം വരക്കുക. ഈ രണ്ടുവൃത്തങ്ങളും AB യുടെ താഴെ P യില്‍ ഖണ്ഢിക്കുന്നു.
ഇനി P കേന്ദ്രമായി Aയിലേക്കുള്ള ദൂരം ആരമായി ഒരു അര്‍ദ്ധവൃത്തം വരക്കുക. ഈ അര്‍ദ്ധവൃത്തം P യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലായി ആദ്യം വരച്ച വൃത്തത്തെ Q യിലും രണ്ടാമത്ത വൃത്തത്തെ R ലും ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
ഈ രണ്ടുവൃത്തങ്ങളും ഖണ്ഢിക്കുന്ന P യും മറ്റേ ബിന്ദുവും യോജിപ്പിച്ചാല്‍ AB യുടെ ലംബ സമഭാജി കിട്ടുമല്ലോ. ഈ വര അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തെ S ല്‍ ഖണ്ഢിക്കുന്നു.
Q യില്‍ നിന്ന് Sലൂടെ വരച്ചാല്‍ രണ്ടാമത്ത വൃത്തത്തെ C യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും.R ല്‍ നിന്ന് S ലൂടെ വരച്ചാല്‍ ആദ്യവൃത്തത്തെ E യില്‍ ഖണ്ഡിക്കും
BC വരക്കുക, AE വരക്കുക. ഇപ്പോള്‍ സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ മൂന്നു വശങ്ങളായി. ഇനിയുള്ള രണ്ടുവശങ്ങള്‍ വരക്കാന്‍ എളുപ്പമാണല്ലോ...?ഈ ചിത്രം വരച്ചിരിക്കുന്നത് Geogebra യിലാണ്


ഇനി ഒരു കുട്ടി എന്നോട് ഇന്നലെ ചോദിച്ച ഒരു ചോദ്യം.

മുന്നു കോണ്‍ ഉള്ളതിനാലാണല്ലോ ത്രികോണം എന്നു വിളിക്കുന്നത്. നാലു കോണുള്ളതിനെ എന്താണ് ചതുര്‍കോണം എന്നു വിളിക്കാത്തത്? അതുപോലെ പഞ്ചകോണം എന്നും വിളിക്കുന്നില്ല. അവിടെയോക്കെ വശങ്ങള്‍ക്ക് പ്രധാന്യം നല്‍കിയിരിക്കുന്നത് എന്തിനാണ്?

നമ്മുടെ നിത്യസന്ദര്‍ശകയായ ഗായത്രി കുറച്ചു ചോദ്യങ്ങള്‍ തരാമെന്നു പറഞ്ഞിരുന്നല്ലോ. mathsekm@gmail.com ലെക്ക് അയച്ചാല്‍ നാളെ ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ഭാഗമാക്കാം. ഇതുപോലെ മറ്റുള്ളവരില്‍ നിന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

തേനീച്ചക്കൂടിന് ഈ ആകൃതി എന്തുകൊണ്ട് ?

ഈ വര്‍ഷം മാറിവരുന്ന ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ ഗണിതപുസ്തകത്തിലെ ആദ്യ യൂണിറ്റായ 'ബഹുഭുജങ്ങള്‍ ' അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ജോണ്‍മാഷിന്റെ പോസ്റ്റ് കഴിഞ്ഞയാഴ്ച പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് കണ്ടുകാണുമല്ലോ..! അതില്‍ നിന്നും പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടുകൊണ്ട് തത്സംബന്ധമായ ചില പ്രയോജനകരമായ പഠനക്കുറിപ്പുകള്‍ അയച്ചുതന്നിരിക്കുകയാണ്, പേരു വെളിപ്പെടുത്താനാഗ്രഹിക്കാത്ത ഒരധ്യാപകന്‍.ഇതിലെ പട്ടികകള്‍ കുട്ടികള്‍ പൂരിപ്പിക്കലായിരിക്കും ഉചിതമെന്നു തോന്നുന്നു. വായിച്ചാല്‍ മാത്രം പോരാ, കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ പങ്കുവെക്കുക കൂടി വേണം. ഇനി വായിക്കുക....

പ്രകൃതിയിലെ എന്‍ജിനീയര്‍മാരാണ് തേനീച്ചകള്‍. തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ പ്രത്യേകത എന്താണെന്നറിയാമോ?
അതിന്റെ എല്ലാ അറകളും സമഷഡ്ഭുജാകൃതിയിലാണ് . ഇത് എന്തു കൊണ്ടാണ്?
നമുക്കൊന്ന് പരിശോധിക്കാം .
താഴെ കൊടുത്ത പ്രവര്‍ത്തനം ഒന്ന് ചെയ്തു നോക്കാം.

ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കാണുക .
ചുവടെ കൊടുത്ത പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക

നിഗമനം :---ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ത്രികോണങ്ങളില്‍ , സമഭുജത്രികോണത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം
നിഗമനം :---ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ചതുര്‍ഭുജങ്ങളില്‍ , സമചതുരത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം
പൊതുനിഗമനം:- ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ , സമബഹുഭുജത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം.

ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം. ചുവടെ, ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള , ഏതാനും ബഹുഭുജങ്ങള്‍ തന്നിരിക്കുന്നു. പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക.
നിഗമനം :-ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുംതോറും വിസ്തീര്‍ണ്ണവും കൂടുന്നു.
ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ലഭിക്കുക വൃത്തത്തിനാണ്.
പിന്നെ എന്തുകൊണ്ട് തേനീച്ചകള്‍ അവയുടെ അറകള്‍ വൃത്താകൃതിയില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല? നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

താഴെ കൊടുത്ത പട്ടിക ശ്രദ്ധിക്കൂ.
ഇനി ഒരു ചോദ്യം:-ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക എത്ര?

ഇനി ചുവടെ കൊടുത്ത ചിത്രം നോക്കൂആറ് സമബഹുഭുജത്രികോണങ്ങള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും വെച്ചിരിക്കുന്നു.
അവയ്ക്കിടയില്‍ സ്ഥലം തീരെ പാഴാകുന്നില്ല എന്ന് കാണാം.എന്തുകൊണ്ടാണ് ആറ് ത്രികോണങ്ങള്‍ ഇങ്ങനെ കൃത്യമായി വെക്കാന്‍ കഴിയുന്നത്?
(കാരണം ഒരു സമഭുജതിക്കോണത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ അറുപത് ഡിഗ്രി ആണ്. ഇത് 360ന്റെ ഘടകമാണ്) 6x60=360

ഇത്പോലെ സമചതുരങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?

നാല് ചതുരങ്ങള്‍ വെക്കാം, എന്തുകൊണ്ട്? (കാരണം ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ തൊണ്ണൂറു ഡിഗ്രി ആണ്. ഇത് 360ന്റെ ഘടകമാണ്) 4x90=360
ഇത്പോലെ പഞ്ചഭുജങ്ങള്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?


കഴിയില്ല എന്ന് കാണാം. (ഒരു സമ പന്ചഭുജത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ 128.57 ആണ്,ഇതുഹ് 360ന്ടെ ഘടകമല്ല.)

ഇനി സമഷട്ഭുജം ക്രമീകരിക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കൂ?


സമഷട്ഭുജത്തിന്റെ ഒരു കോണ്‍ 120 ഡിഗ്രി ആയത് കൊണ്ട് ക്രമീകരികാന്‍ കഴിയുമെന്ന് കാണാം.
ഇനി അങ്ങോട്ടുള്ള ഏതൊരു സമബഹുഭുജവും ഈ വിധത്തില്‍ ക്രമീകരിക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്ന് കാണാം.

അതായത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചെലവില്‍, തീരെ സ്ഥലം പാഴാക്കാതെ ,ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ലഭിക്കുക സമഷഡ്ഭുജത്തിനാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് തേനീച്ചകള്‍ അവയുടെ കൂടിന്റെ അറകള്‍ സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ആകൃതിയില്‍ നിര്‍മ്മിക്കുന്നത്.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പാഠം 1. ബഹുഭുജങ്ങള്‍.

ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പാ​ഠപുസ്തകത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ചില പഠനവിഭവങ്ങള്‍ പങ്കുവെയ്ക്കുകയാണ് ഈ പക്തിയുടെ ലക്ഷ്യം. എല്ലാ ആഴ്ചയിലും ചൊവ്വാഴ്ചകളില്‍ ഇത് തുടരാനാണ് ഉദ്ദേശ്യം.നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമിലെ ജോണ്‍സാറാണ് ഇതു കൈകാര്യം ചെയ്യാമെന്നേറ്റിരിക്കുന്നത്. ഇതിലെ ഒരു പ്രവര്‍ത്തനവും സ്റ്റാന്റേഡൈസ് ചെയ്തവയല്ല. ഗണിതാധ്യാപകരുടെ ,ഗണിതചിന്തകരുടെ വിലയേറിയ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളാല്‍ തിരുത്തപ്പെടുകയും കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ നടത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രമേ ഇവ പൂര്‍ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. മാറിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ അധ്യാപികയ്ക്കുണ്ടാവാനിടയുള്ള സംശയങ്ങളും പ്രയാസങ്ങളുമൊക്കെത്തന്നെ നമുക്ക് പരസ്പരം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. ഒന്നാമത്തെ യൂണിറ്റായ 'ബഹുഭുജങ്ങളി'ല്‍ നിന്നും നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ഒന്നാമത്തെ യൂണിറ്റ് ബഹുഭുജങ്ങളാണ്.പാഠഭാഗത്ത് പരാമര്‍ശിച്ചിരിക്കുന്ന പഠനലക്ഷ്യങ്ങള്‍ (learning objectives) ലിസ്റ്റ് ചെയ്യാം.
ബഹുഭുജങ്ങള്‍ എന്ന ആശയം രുപപ്പെടുത്തുക, ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി കണ്ടെത്തുക, ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക 360 ഡിഗ്രിയെന്ന് തിരിച്ചറിയുക, ഒരു ബഹുഭുജം സമബഹുഭുജമാകുന്ന സാഹചര്യം വിലയിരുത്തുക, അതിന്റെ പ്രത്യേകതകളും ,ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ ചിന്തകളും വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നിവയൊക്കെയാണ് പ്രധാന ലക്ഷ്യങ്ങള്‍.സൈഡ് ബോക്സുകള്‍ നല്‍കുന്ന നൂതനചിന്തകള്‍ പഠിതാവിന് അനന്യസാധാരണമായ പഠനാനുഭവങ്ങള്‍ പകര്‍ന്നുതരാന്‍ പര്യാപ്തമാണ്.

നിര്‍വചിതചിന്തകള്‍ ക്കപ്പുറമുള്ള കാഴ്ചകളിലേയ്ക്ക് കുട്ടിയെ നയിക്കാന്‍പറ്റുന്ന വിധമാണ് പഠനവസ്തുതകള്‍ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ക്രമപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്. ഒരു പഠനപ്രോജക്ടാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഒരു പഠനലക്ഷ്യം നേടുന്നതിനായി പഠിതാവ് ഒറ്റയ്ക്കോ ,കൂട്ടായോ നിശ്ചിതസമയംകൊണ്ട് ചെയ്തുതീര്‍ക്കുന്ന പരസ്പരപൂരകങ്ങളായ പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ് പഠനപ്രോജക്ട് . പോജക്ട് പുര്‍ത്തിയാക്കിയ ശേഷമാണ് അതിന്റെ റിപ്പോര്‍ട്ട് തയ്യാറാക്കുന്നത്. പ്രോജകട് റിപ്പോര്‍ട്ട് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് അനുചിതമാണ്. അതുകൊണ്ട് അഞ്ച്കുട്ടികള്‍ കൂടി നടത്തുന്ന ഒരു പ്രോജക്ട് ചര്‍ച്ചതന്നെയാവാം.

ശ്രാവണി നല്ലൊരു കണക്കധ്യാപികയാണ്. ഒരു സര്‍ക്കാര്‍ വിദ്യാലയത്തില്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഒന്‍പതാം ക്ലാസിലെ പുതിയ പാഠപുസ്തകം പഠിപ്പിക്കാന്‍ ഒരുങ്ങുകയാണ്. ഒന്നാമത്ത യൂണിറ്റായ ബഹുഭുജത്തിലെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും കോണുകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ചര്‍ച്ചകളിലൂടെ സ്ഥാപിച്ചു കഴിഞ്ഞു. അതിനുശേഷം ശ്രാവണി ടീച്ചര്‍ ഒരു ത്രികോണം വരച്ചു. ത്രികോണത്തിന് എത്ര വികര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ചോദിച്ചു. ത്രികോണത്തിന് വികര്‍ണ്ണമോ? ഈ ടിച്ചര്‍ക്ക് എന്തുപറ്റി എന്നായി ചില വിരുതന്മാര്‍. അമ്മുവാണ് ആദ്യം പറഞ്ഞത്. ത്രികോണത്തിന് വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകില്ലെന്ന്. ചതുര്‍ഭുജത്തിന് എത്രവികര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെന്ന ചോദ്യത്തിന് എല്ലാമിടുക്കന്മാകും മിടുക്കികളും 2 എന്ന്ഉത്തരം പറഞ്ഞു.
ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ വിട്ടില്ല. പഞ്ചഭുജത്തിന്റെയും ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെയും വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുചോദിച്ചു. ഒറ്റയ്ക്കത്തരം പറയാന്‍ വിഷമിക്കുന്നതുകണ്ടപ്പോഴാണ് അഞ്ചുപേര്‍വീതമുള്ള ഗ്രുപ്പുകളായിരുന്ന് ,ചിത്രംവരച്ച് എണ്ണിനോക്കാന്‍ പറഞ്ഞത്.
ഇതോരു പ്രോജക്ടിന്റെ തുടക്കമായിരുന്നു
അമ്മു, അനുറാണി, ശ്രിക്കുട്ടന്‍, റിയാസ് , സൗമിനി എന്നിവര്‍ ഗ്രൂപ്പായി.അവര്‍ പ്രോജക്ടിന് ഒരു പേരിട്ടു.
"ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ..ഒരു അമ്പേഷണം‌ " ഇതായിരുന്നു പേര്
പടം വരച്ച്, വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തി ,വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും വികര്‍ണ്ണങ്ങളുടെ എണ്ണവും നോക്കി ,പട്ടികയിലാക്കി.
പട്ടിക വിശകലനം ചെയ്യവെ അവര്‍ ഒരു പാറ്റേണ്‍ കണ്ടെത്തി.തുടര്‍ന്ന് n വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജത്തിന് n(n - 3)/2 വികര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമെന്ന് അവര്‍ കണ്ടെത്തി.

ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ അവരുടെ പ്രോജക്ട് നിര്‍വഹണത്തില്‍ ഇടപെട്ടുകൊണ്ട് ഒരു യുക്തിചിന്തയിലേയ്ക്ക് അവരെ നയിച്ചു

‌രണ്ട് ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോഴാണ് വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകുന്നത്.

ഏതുരണ്ട് ശിര്‍ഷങ്ങള്‍ യോജിപ്പിച്ചാലും വികര്‍ണ്ണം ഉണ്ടാകുന്നില്ല.

ഒരു ശീര്‍ഷത്തെ സമീപസ്ഥങ്ങളായ ശീര്‍ഷങ്ങളുമായി ചേര്‍ത്താല്‍ വികര്‍ണ്ണമുണ്ടാകുന്നില്ല.

ഒരു ശീര്‍ഷത്തില്‍ നിന്നും n - 3 വികണ്ണങ്ങളുണ്ടാകും.

n ശീര്‍ഷങ്ങളുയോഗിച്ച് n ( n - 3 ) എണ്ണമുണ്ടാക്കാം.

അതില്‍ പകുതി എണ്ണമെടുക്കുന്നതിന്റെ യുക്തി എന്താണ്?

ഇത് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാനായി അധ്യാപകര്‍ക്കുമുന്നില്‍ ചര്‍ച്ചക്കുനല്‍കുന്ന ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമാണ്. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ ഇതിന്റെ സ്ഥാനം ,പ്രസക്തി ഇവ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെട്ടെക്കാം.....

ഭാവനയുടെ അനന്തമായ ആകാശം കുട്ടിക്കു കാട്ടിക്കൊടുക്കുന്നവളാകട്ടെ പുതിയ സമീപനത്തിലെ മാറുന്ന അധ്യാപിക .

ഗണിതാധ്യാപകരില്‍ നിന്നും ഗണിതസ്നേഹികളില്‍ നിന്നും കുട്ടികള്‍ക്കായി ചില പഠനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ ഈ യുണിറ്റില്‍ നിന്നും കമന്റുകളായും ,മെയിലായും പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അവ e question Bank ന് ഒരു മുതല്‍ക്കൂട്ടായിരിക്കും.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഈ തത്വത്തില്‍ തെറ്റുണ്ടോ?

ജ്യാമിതിയില്‍ ചില സൂഷ്മചിന്തകളുണ്ട്.ഒപ്പം ചില യുക്തിഭംഗങ്ങളും.ഇതില്‍ പലതും നമ്മുടെ ചിന്തകള്‍ക്കുണ്ടാകുന്ന താളപ്പിഴകളായിരിക്കും. പക്ഷെ ഇത്തരം ചിന്തകളാണ് കണ്ടുപിടുത്തങ്ങളിലേക്കും ചിന്തകളിലേക്കും നമ്മെ നയിക്കുക. അവ ഒരിക്കലും മറക്കാത്ത തിരിച്ചറിവുകളായി നമ്മളില്‍ അവശേഷിക്കുകയും ചെയ്യും. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണരീതിയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി പ്രശ്നവും നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയും നല്‍കുകയും അതിലെന്തെങ്കിലും കുഴപ്പങ്ങളുണ്ടോയെന്ന് അന്വേഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പരീക്ഷണമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ക്ലാസ് റൂമുകളില്‍ അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വിധത്തിലാണ് ഇത് തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. വിവിധതരം ത്രികോണങ്ങളെപ്പറ്റി കുട്ടികള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ കഴിയും. മൂന്നു വശങ്ങളും തുല്യമായ ത്രികോണമാണ് സമഭുജത്രികോണം,രണ്ടുവശങ്ങള്‍ തുല്യമാകുമ്പോള്‍ സമപാര്‍ശ്വത്രികോണം. മൂന്നുവശവും വ്യത്യസ്തങ്ങളായാല്‍ വിഷമഭുജത്രികോണം. ശരിയല്ലേ? ഇനി നമ്മളൊരു തത്വം പറയാന്‍ പോകുന്നു.

വിഷമഭുജത്രികോണങ്ങളെല്ലാം സമപാര്‍ശ്വത്രികോണങ്ങളാണ്

എന്തു തോന്നുന്നു. ഇതൊരു അബദ്ധമാണെന്ന് തോന്നുന്നുണ്ടോ? വെറുതെ പറയുന്നതല്ല. നമ്മള്‍ പഠിച്ചിട്ടുള്ള , പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയതത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പറഞ്ഞത് തെളിയിക്കാന്‍ നോക്കാം. എവിടെയെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടെന്നു തോന്നിയാല്‍ അപ്പോള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടണം. റെഡിയല്ലേ? അപ്പോള്‍, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

• ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണം.(Scalene Triangle)
• AB താഴെ വരുംവിധം വരച്ചോളൂ.
• കോണ്‍ C യുടെ സമഭാജിയും ,AB യുടെ ലംബസമഭാജിയും വരക്കാമല്ലോ.
• അവ G യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
• GF ലംബം BC ,GD ലംബം AC , GE ലംബം AB വരക്കുക.
• ത്രികോണം CDG യും ത്രികോണം CFG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണല്ലോ?(angle-angle-side).
• അപ്പോള്‍ DG = FG , CD = CF ആകുന്നു.
• G എന്നത് AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലായതുകൊണ്ട് AG = BG ആണല്ലോ.
• മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വ്വസമത അനുസരിച്ച് ത്രികോണം DAG യും ത്രികോണം FBG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണ്.
• അപ്പോള്‍ DA യും FB യും തുല്യം.
• CD = CF , DA = FB.
• അതിനാല്‍ CD + DA = CF + FB.
• അപ്പോള്‍ AC = BC ആകുമല്ലോ?
• അതായത് ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണമല്ല, സമപാര്‍ശ്വത്രികോണമാണ് .
  

ഒരു കാര്യം തീര്‍ച്ച. ഈ തെളിവില്‍ എവിടെയോ ചില പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. പക്ഷെ അത് കണ്ടെത്തണം. അതാണ് നമ്മുടെ പോസ്റ്റിന്‍റെ ഉദ്ദേശ്യലക്ഷ്യം.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

പ്യുവര്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍

ഇന്നലെ വായിച്ച ആത്മാര്‍ത്ഥത നിറ‌ഞ്ഞ ഒരു കമന്റിന് വാക്കുകള്‍കൊണ്ടൊരു മറുപടി മതിയാവില്ലെന്നു തോന്നി.വിനോദ് സാറിനെക്കുറിച്ചുതന്നെയാണ് ഞാന്‍ പറയുന്നത്."ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രധാനമായും ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്ന ഒരു ബ്ലോഗ്‌ മികച്ച ഒരു ഗണിത വിദ്യാര്‍ഥിയെ വളര്‍ത്തിയെടുക്കുന്നതിലായിരിക്കണം കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധ നല്‍കേണ്ടത് എന്ന് തോന്നുന്നു"ഈ വാക്കുകളിലാണ് ഞാന്‍ തരിച്ചുനിന്നത്.ഇതൊരു തിരിച്ചറിവിന് കാരണമായി.ശാസ്ത്രം സാങ്കേതിക വിദ്യയ്ക്ക് വഴികാട്ടിയാവണം.സാങ്കേതികത കാലത്തിനതീതമല്ല. ഒരിക്കലും ആകുകയുമില്ല.ശാസ്ത്രവും ചിന്തകളും കാലത്തെ അതിജീവിക്കുന്നു.ചിലപ്പോള്‍ പ്രക്യതിയുടെ സമസ്തസൗന്ദര്യവും ഒപ്പിയെടുക്കാന്‍ ശാസ്ത്രം നിമിത്തമാകുന്നു.മേഘം ,പച്ചിലപ്പടര്‍പ്പ്,കടല്‍തീരം എന്നിവയുടെ ഘടനയില്‍ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഗണിതാവിഷ്ക്കാരം ഗണിതവീദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്ക് ഇന്ന് പഠനവിഷയമാണ്.

ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി(PURE CONSTRUCTION)യെക്കുറിച്ചുളള ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഗണിതശാസ്ത്ര മേളകളിലെ ഒരു മല്‍സരഇനമാണ് പ്യൂവര്‍കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍.അളന്നെടുക്കുകയോ അളവെടുക്കുകയോ ചെയ്യാതെ കോമ്പസസ്സും റൂളറും ( straight edge) മാത്രമുപയോഗിച്ച് പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാണിവ. നിര്‍മ്മാണത്തിനാകട്ടെ നല്ല വ്യക്തതയും സൂഷ്മതയും അനിവാര്യവാണ്.ഈ നിര്‍മ്മിതിയൊന്നു നോക്കൂ...
ഒരു ത്രികോണത്തെ തുല്യവിസ്തീര്‍ണ്ണമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകത്തക്കവിധം ഒരു വശത്തിനു സമാന്തരമായ രേഖകൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.
നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കിക്കഴിയുമ്പോള്‍ ആദ്യം വരച്ച ത്രികോണം ഒരുലംബകമായും മറ്റോരു ത്രികോണമായും മാറിയിരിക്കും.അവയുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിധം നമുക്ക് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.

ത്രികോണം ABC വരക്കുക. ഏതുതരം ത്രികോണവുമാകാം.

AB എന്ന വശത്ത് ഒരു ബിന്ദു D അടയാളപ്പെടുത്തുക.

Dയിലൂടെ ABയ്ക്ക് ലംബമായി രേഖ വരക്കുക.

D കേന്ദ്രമായി DA ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം ലംബത്തെ Eയില്‍ മുറിക്കുന്നു.അപ്പോള്‍ AE എന്നത് root 2 * AD ആകുന്നു.

ഇനി EB വരക്കാം.A കേന്ദ്രമായി,AD ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം AE യെ F ല്‍ മുറിക്കുന്നു,ഇനി F ലൂടെ EBയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുക ഈ രേഖ AB യെ Gയില്‍ സന്ധിക്കുന്നു.

ഇനി G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരച്ച് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.

നിര്‍മ്മിതി ഒരു പ്രവര്‍ത്തനക്രമം മാത്രമാകരുത്. അത് ചിന്തയുടെ ഗണിതവല്‍ക്കരണം തന്നെയാണ്. ഏതൊരു ഘട്ടത്തിനു പിന്നിലും ഒരു ജ്യാമിതീയ തത്വം ഉണ്ടായിരിക്കും.ആ തത്വത്തിന്റെ ദൃശ്യവല്‍ക്കരണമായിരിക്കണം നിര്‍മ്മിതി.
ഇനി മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെക്കുതന്നെ പോകാം. ത്രികോണം AEB യില്‍ EB യ്ക്ക് സമാന്തരമായാണ് FG വരക്കുന്നത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ AF/AE = AG/AB = 1/root2 ആയിരിക്കും.G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുന്ന രേഖ AC യെ 1 : root 2 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ വിഭജിക്കും. ഈ രേഖ AC യെ വിഭജിക്കുന്നത് H ലായാല്‍
AH:AC = 1: root 2
സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായ കോണുകള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികം.
ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം : ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം = 1 : 2
അതായത് ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം = ലംബകം GBCH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം

ഈ ചര്‍ച്ചയുടെ ഗതി ഏതാണ്ട് മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടാകുമെന്നു കരുതി മറ്റൊരു നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചു പറയട്ടെ.
വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ 1 : 2 : 3 ആകത്തക്കവിധം 3ഏക കേന്ദ്രവൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കുക. വരച്ചു നോക്കി എങ്ങനെ അതിനു സാധിച്ചു എന്നു കൂടി വിശദീകരിക്കുമല്ലോ. ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ച സജീവമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്.....

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ഈ ക്യൂബുകളുടെ വലിപ്പം നിര്‍ണയിക്കാമോ?

വളരെ ചെറിയൊരു പ്രശ്നമാണ് ഇന്ന് ഗണിതബ്ലോഗിലൂടെ നിങ്ങള്‍ക്ക് മുന്നിലേക്ക് അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. നമുക്കേറെ പരിചിതമായ ക്യൂബുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് ഈ പ്രശ്നം. വരാപ്പുഴയിലെ ജോണ്‍സാറാണ് ചോദ്യകര്‍ത്താവ്. അതിന് മുന്‍പൊരു കാര്യം, കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റില്‍ വ്യത്യസ്തവലിപ്പമുള്ള മുന്‍പിന്‍ചക്രങ്ങളുള്ള വാഹനങ്ങളുടെ ഏത് ടയറുകള്‍ക്കായിരിക്കും തേയ്മാനം സംഭവിക്കുക എന്ന ചോദ്യത്തിന് പെരിങ്ങോട്ടുകരയിലെ ഭാമടീച്ചര്‍ വളരെ കൃത്യമായി ഉത്തരം നല്‍കിയത് ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കുമല്ലോ. ഭാമടീച്ചര്‍ക്ക് അഭിനന്ദനങ്ങള്‍. ഇനി ഇന്നത്തെ ഗണിതപ്രശ്നമെന്താണെന്ന് നോക്കാം.

മുകളില്‍ രണ്ട് ക്യൂബുകള്‍ കണ്ടല്ലോ. വക്കുകളെല്ലാം പോസിറ്റീവ് നിസര്‍ഗസംഖ്യകളാണ്. വ്യാപ്തങ്ങളുടെ തുക വക്കുകളുടെ ആകെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ്. ക്യൂബുകളുടെ വലിപ്പം നിര്‍ണയിക്കാമോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

മൂന്ന് സമഭുജത്രികോണങ്ങളും അവയ്ക്കുള്ളിലെ സമഭുജത്രികോണവും

വരാപ്പുഴയിലെ ജോണ്‍സാര്‍ നല്‍കിയ ഈ ചോദ്യത്തിന് സാധാരണഗതിയില്‍ ഉത്തരം നല്‍കുന്ന പലര്‍ക്കും ഉത്തരം നല്‍കാനായിട്ടില്ലെന്ന ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടായിരുന്നു. തോമാസ് സാറും ചന്ദ്രശേഖരന്‍ എന്ന അധ്യാപകനുമാണ് (?) ഈ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം നല്‍കിയത്. പല അധ്യാപകരും ലിനക്സ് അധിഷ്ഠിത കിഗ്ഗിലും ഡോക്ടര്‍ ജിയോയിലുമെല്ലാം വരച്ചു നോക്കിയപ്പോള്‍ സംഗതി വാസ്തവമാണെന്ന് കണ്ടുവെന്നും പറഞ്ഞു. കിഗ്ഗില്‍ വരച്ചതിന്റെ ലിങ്ക് കമന്റില്‍ നല്‍കിയിരുന്നെങ്കില്‍ നമ്മുടെ ഗണിതാധ്യാപകര്‍ക്ക് അതേറെ ഉപകാരപ്പെട്ടേനെ. ഇനി മുതല്‍ എല്ലാ വായനക്കാരും അക്കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ. ആദ്യം നമുക്ക് പ്രശ്നം ചര്‍ച്ച ചെയ്യാം. നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതി അതിന് താഴെ നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഉത്തരം കിട്ടില്ലായെന്ന് തോന്നിപ്പിക്കുന്ന ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് എപ്പോഴും നിര്‍ദ്ദേശാങ്കജ്യാമിതി ഉപയോഗിക്കാമെന്ന ഒരു അഭിപ്രായത്തോടെയാണ് ജോണ്‍ സാര്‍ ചോദ്യവും ഉത്തരവും അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരത്തോടൊപ്പം നമുക്ക് പരിചിതമായ മറ്റൊരു ചോദ്യം കൂടിയുണ്ട്. നോക്കാം

ചോദ്യം:

ചിത്രത്തില്‍ AB യ്ക്കിടയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് C. AC, CB, AB എന്നിവ വശങ്ങളായി മൂന്ന് സമഭുജത്രികോണങ്ങള്‍ വരച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രികോണം ADC, ത്രികോണം CEB, ത്രികോണം ABF ഇവ സമഭുജത്രികോണങ്ങളാണ്. ഇവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ (Centroids) യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ത്രികോണം PQR കിട്ടും. C യുടെ സ്ഥാനം എവിടെ ആയാലും PQR ഏത് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമായിരിക്കും. എന്തുകൊണ്ടാണ് PQR അത്തരമൊരു ത്രികോണമാണെന്ന് പറയാന്‍ കാരണം ? തെളിവുകളുടെ സഹായത്തോടെ സമര്‍ത്ഥിക്കാമോ?
ഉത്തരം

A ആധാരബിന്ദുവായി X അക്ഷവും y അക്ഷവും വരക്കുക

AC=x, BC=y ആയാല്‍ AC+BC=AB =x+y
മധ്യബിന്ദു മധ്യമരേഖയെ 2:1 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ വിഭജിക്കും.

Click here for the kig file

---------------------------അടുത്ത ചോദ്യം---------------------------------
പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ വസ്തുക്കള്‍ക്കും ഗണിതമയമായ ഒരു ബന്ധമുണ്ടാകാം. അവ പലപ്പോഴും നമ്മുടെ ശ്രദ്ധയില്‍പ്പെട്ടിട്ടുണ്ടാകണമെന്നില്ല. അങ്ങനെയുള്ള ഒരു ചോദ്യത്തിലേക്ക് നമുക്കൊന്ന് കണ്ണോടിക്കാം. വ്യത്യസ്ത വലിപ്പമുള്ള മുന്‍ചക്രജോടികളും പിന്‍ചക്രജോടികളുമുള്ള വാഹനങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും.

a) ഇത്തരത്തില്‍പ്പെട്ട ഏതെങ്കിലും വാഹനങ്ങളുടെ പേര് പറയാനാകുമോ?
b) ഈ വാഹനങ്ങളുടെ ഏത് ചക്രങ്ങളാണ് വലുത്?
c) ഇവിടെ തേയ്​മാനം ഏത് ചക്രജോടികള്‍ക്കായിരിക്കും?
d) അതിന് കാരണമെന്താണ്? ഗണിതപരമായി സമര്‍ത്ഥിക്കാമോ?
നാല് ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും ഉത്തരം നല്‍കാമെങ്കില്‍ മാത്രം കമന്റു ചെയ്യുക. വായനക്കാരില്‍ നിന്നും ഉത്തരങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക

ജ്യാമിതിയുടെ ചലനാത്മകത

ജ്യാമിതി രസകരമായ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ്. കൃഷിസ്ഥലം, ഭൂമി എന്നെല്ലാം അര്‍ത്ഥം വരുന്ന 'ജ്യാ', അളവ് എന്നര്‍ത്ഥം വരുന്ന 'മിതി' എന്നീ പദങ്ങള്‍ ചേര്‍ന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്ന പദം ഉണ്ടായത്. കൃഷിസ്ഥലം അളന്നു തിരിക്കാന്‍ വേണ്ടിയാണ് ചരിത്രാതീതകാലം മുതലേ പ്രധാനമായും ജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു പോന്നത്. ക്രിസ്തുവിനും 600 വര്‍ഷം മുന്‍പ് ജീവിച്ചിരുന്ന ഥേല്‍സാണ് ഈ ശാഖ ഇത്രയേറെ വികസിക്കുന്നതിന് കാരണക്കാരനായത്. അദ്ദേഹത്തിന്‍റെ ശിഷ്യനായ പൈതഗോറസും ഈ മേഖലയ്ക്ക് ഒട്ടേറെ സംഭാവനകള്‍ നല്‍കി. ബി.സി മുന്നൂറിനോടടുത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന യൂക്ലിഡും ജ്യാമിതിയില്‍ ശ്രദ്ധേയമായ നിരവധി കണ്ടെത്തലുകള്‍ നടത്തിയിട്ടുണ്ട്. പ്രായോഗികജ്യാമിതി, സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണീകരണ ജ്യാമിതി, വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി, പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി എന്നിവയാണ് ജ്യാമിതിയുടെ വിവിധ ഉപശാഖകള്‍. ഗണിതസ്നേഹികള്‍ക്ക് ആസ്വദിക്കാനായി ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ ജോണ്‍ മാഷ് ഇതാ ഒരു ഗണിതപ്രശ്നവുമായി എത്തിയിരിക്കുന്നു. ഉത്തരം കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രത്തില്‍ AB യ്ക്കിടയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് C. AC, CB, AB എന്നിവ വശങ്ങളായി മൂന്ന് സമഭുജത്രികോണങ്ങള്‍ വരച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രികോണം ADC, ത്രികോണം CEB, ത്രികോണം ABF ഇവ സമഭുജത്രികോണങ്ങളാണ്. ഇവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ (Centroids) യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ത്രികോണം PQR കിട്ടും. C യുടെ സ്ഥാനം എവിടെ ആയാലും PQR ഏത് തരത്തിലുള്ള ത്രികോണമായിരിക്കും. എന്തുകൊണ്ടാണ് PQR അത്തരമൊരു ത്രികോണമാണെന്ന് പറയാന്‍ കാരണം ? തെളിവുകളുടെ സഹായത്തോടെ സമര്‍ത്ഥിക്കാമോ?

Read More | തുടര്‍ന്നു വായിക്കുക