PURE MATHEMATICAL CONSTRUCTIONS

കാസറഗോഡ് ജില്ലയിലെ കണിയ ജിവിഎച്ച്എസ്എസ്സിലെ ഹെഡ്‌മാസ്റ്ററാണ് ശ്രീ സി മോഹനന്‍ സാര്‍. വര്‍ഷങ്ങളായി ഗണിത എസ് ആര്‍ ജിയായി പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന അദ്ദേഹം എട്ടാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകസമിതി അംഗംകൂടിയാണ്. 'പൈ'ചരിത്രവും പ്രത്യേകതകളും ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട്'പൈ മാഹാത്മ്യം'എന്നപേരില്‍ ഒരു ഓട്ടന്തുള്ളല്‍ തയ്യാറാക്കുകയും, ആയത് സിഡികളിലാക്കി പുറത്തിറക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിലെ ഒരിനമായ 'പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷനെ'ക്കുറിച്ച് ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ അദ്ദേഹം വായനക്കാരുമായി പങ്കുവെക്കുന്നത്, വളരേ പ്രധാനപ്പെട്ട ചില വസ്തുതകളാണ്. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങളുണ്ടായേക്കാം. എങ്കിലും, പോസ്റ്റിനുതാഴേയുള്ള കമന്റുകളിലൂടെ അവ ക്രോഡീകരിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താവുന്നതല്ലേയുള്ളൂ?
 പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ (Pure Mathematical Construction)സംസ്ഥാന സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയിൽ ഹൈസ്കൂൾ , ഹയർ സെക്കന്ററി വിഭാഗങ്ങളിലെ മത്സരയിനമാണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍ ക്ഷൻ. ഒന്നിലധികം ആശയങ്ങളുടെ സമന്വയത്തിലൂടെ നൂതനമായ ഒട്ടേറെ നിർമിതികൾ മത്സരത്തിനെത്തുന്നുണ്ട്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള ചില നിർമിതികൾ സംസ്ഥാനതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടുകാണുന്നുണ്ട്. സകെച്ച് പേന ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതികൾ , കൈവരകൾ (free hand drawing) ഉള്‍പ്പെടുന്ന നിര്‍മ്മിതികള്‍ (eg. construction of ellipse, cycloid etc.), ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിർമിതികൾ ഇവ അത്തരത്തിലുള്ള ചില നിർമിതികളാണ്. ഇതിൽ നിന്നും , മത്സരാർത്ഥികളിലും അവരെ പരിശീലിപ്പിക്കുന്നവരിലും ജില്ലയിൽ നിന്നും അവരെ തെരഞ്ഞെടുത്തയക്കുന്ന വിധികർത്താക്കളിലും ഇത് സംബന്ധിച്ച് അവ്യക്തത നിലനിൽക്കുന്നു എന്ന് കരുതാവുന്നതാണ്. ഈ കുറിപ്പും തുടർന്നുള്ള ചർച്ചയും പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷക്ഷനെ കുറിച്ച് പരമാവധി വ്യക്തത കൈവരുത്താനുതകം എന്ന പ്രതീക്ഷയിലാണ് ഇതെഴുതുന്നത്.

 എന്താണ് പ്യുര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷൻ ?
പുസ്തകങ്ങളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്: "Pure mathematical construction is the construction of lines, angles and other geometrical figures using only an idealized ruler(straight edge) and compass". “Compass may not be directly used to transfer distances. (This is an unimportant restriction, since using multistep procedure, a distance can be transferred.)”

ഗണിതശാസ്ത്രമേളയുടെ മാന്വലിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്: " റൂളർ (അങ്കനം ചെയ്യാത്ത സ്കെയിൽ) , കോമ്പസ് എന്നിവ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി. നിർമാണപ്രക്രിയയിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവയ്ക്ക് ഉയർന്ന പരിഗണന നൽകണം. ചാർട്ടിന്റെ വലിപ്പത്തിലായിരിക്കണം നിർമിതികൾ. പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ചാണ് വരയ്യേണ്ടത്. നിറം നൽകാൻ പാടില്ല. ഒരേ ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി 3 ചാർട്ടുകൾ വരേ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. " 

സ്കെച്ച് പേന ഉപയോഗിക്കരുതെന്ന് ഇതിൽ നിന്നും വ്യക്തമാണ്. റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമിതി എന്ന് കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതു കൊണ്ട് കൈവരകൾ (free hand drawing) പറ്റില്ല. മാത്രമല്ല കൈവരകളിൽ നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ട് തന്നെ ellipse, cycloid തുടങ്ങിയ നിര്‍മ്മിതികളിലെ free hand drawing അംഗീകരിക്കാന്‍ സാധിക്കില്ല. ത്രിമാന രൂപങ്ങളുടെ നിർമിതി സാധ്യമാണോയെന്നതാണ് മറ്റൊരു വിഷയം. ചതുരപ്പെട്ടിയുടെ ഒരു മുഖത്തിന് അഭിമുഖമായി നിൽക്കുമ്പോൾ , ആ മുഖം മാത്രമേ കാണുകയുള്ളൂ (അതാകട്ടെ ദ്വിമാന രൂപമായ ചതുരമാണ്). 3 മുഖങ്ങൾ കാണത്തക്കവിധത്തിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരാളുടെ കാഴ്ചയിൽ വരയ്ക്കുമ്പോൾ ഒരു മുഖം ചതുരമായും രണ്ട് മുഖങ്ങൾ സാമാന്തരികമായും (യഥാർത്ഥത്തിൽ ചതുരമായ മുഖങ്ങൾ) മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കുകയുള്ളൂ. മാത്രമല്ല സാമാന്തരികങ്ങളുടെ ചരിവ് വരുന്നത് . നോക്കുന്നയാളുടെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ചാണ് ഇവിടെയും നിർമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളായ സൂക്ഷ്മത , കൃത്യത ഇവ ഉറപ്പുവരുത്താൻ കഴിയില്ല. ത്രിമാനരൂപങ്ങളുടെ നിര്‍മ്മിതി സാധ്യമല്ലെങ്കില്‍ "doubling the cube" (construction of a cube with twice the volume of a given cube) എന്ന പ്രശ്നത്തിന് എന്താണ് പ്രസക്തി എന്ന് ചോദിക്കുന്നവരുണ്ട്. പൊതുവായി പരാമർശിക്കുമ്പോൾ construction of a cube എന്ന് പറയാറുണ്ടെങ്കിലും അതേക്കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ വ്യക്തമായി ഇങ്ങിനെ പറയുന്നു: “It is impossible to construct a side of a cube that has twice the volume of a cube with a given side" (This is impossible because we cannot construct a line of length cube root of 2, ) അതായത്, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമോയെന്നതാണ് പരിശോധിക്കപ്പെടേണ്ടുന്ന മറ്റൊരു വിഷയം. ഇതേ കുറിച്ച് മാന്വലിൽ ഒന്നും സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. 

പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷനെ കുറിച്ചുള്ള വിശദീകരണത്തിൽ , Compass may not be directly used to transfer distances എന്നും, This is an unimportant restriction എന്നുമാണ് പറഞ്ഞിട്ടുള്ളത്. അപ്രധാനമായ നിബന്ധന എന്ന് പറയാൻ കാരണം, റൂളറും കോമ്പസും മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഒന്നിലധികം വരകളിലൂടെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നതാണ് (അതായത് പ്യൂര്‍ മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസൂക്ഷന്റെ മാനദണ്ഡങ്ങൾക്കനുസൃതമായിത്തന്നെ ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും എന്നർത്ഥം). അങ്ങിനെ മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കാര്യത്തിൽ നിർബന്ധം പിടിക്കാതിരിക്കുന്നതിലൂടെ വരകളിലെ സങ്കീർണ്ണത ഒഴിവാക്കാൻ സാധിക്കും എന്ന മെച്ചമുണ്ട്. മാത്രമല്ല മാന്വലിൽ ഒന്നും പരാമർശിച്ചിട്ടുമില്ല. ആയതിനാൽ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നീളം മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് നേരിട്ട് മാറ്റപ്പെടാമെന്നത് അംഗീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

പലപ്പോഴും സബ് ജില്ലാതലത്തിൽ മത്സരിക്കാനെത്തുന്നവയുടെ എണ്ണം കുറവായതുകൊണ്ടും ഒന്നും രണ്ടും സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുകൊണ്ടും രണ്ടെണ്ണം സെലക്ട് ചെയ്യുകയും ഓരോന്നിനും A grade നൽകുകയുമാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഒന്നാലോചിച്ചാൽ ഇങ്ങിനെ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ തെറ്റായ സന്ദേശം നൽകുകയാണ്. മാനദണ്ഡങ്ങൾ പാലിക്കാതെയുള്ള നിർമിതികൾ അംഗീകരിക്കപ്പെടുകയാണ്. ഈ തെറ്റ് ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ടേയിരിക്കുന്നതിനിടയാക്കുകയാണ്. ഇങ്ങിനെ സെലക്ട് ചെയ്യപ്പെട്ടുവരുന്നവയിൽ ചിലത് ജില്ലാതലത്തിൽ നിന്നും സ്ഥാനം നേടി സംസ്ഥാനതലത്തിലുമെത്തുന്നു. ചിലതിനൊക്കെ A gradeലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് വളരെ നിർഭാഗ്യകരമായ ഒരു അവസ്ഥയാണ് എന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. ഇനിയുള്ള വർഷങ്ങളിൽ അപാകതകൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ടുള്ള മത്സരവും വിധിയെഴുത്തും ഉണ്ടാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം.